Bài 1. Phương pháp hàm số

CHƯƠNG I. HÀM SỐ BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ta có 2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ta có 3. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ¦¢(x) ³ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b). 4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ¦¢(x) £ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b). b a x 5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm đổi dấu tại điểm 6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Giả sử y = ¦(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại . Khi đó: Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì Hàm bậc nhất trên đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH b x a v(x) u(x) 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị với đồ thị . 2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ³ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm ở phía trên so với phần đồ thị . 3. Nghiệm của bất phương trình u(x) £ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm ở phía dưới so với phần đồ thị . 4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị . a b x y = m 5. BPT u(x) ³ m đúng "xÎI Û 6. BPT u(x) £ m đúng "xÎI Û 7. BPT u(x) ³ m có nghiệm xÎI Û 8. BPT u(x) £ m có nghiệm xÎI Û III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1. Cho hàm số a. Tìm m để phương trình ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2] b. Tìm m để bất phương trình ¦(x) £ 0 nghiệm đúng "xÎ[1; 4] c. Tìm m để bất phương trình ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ Giải: a. Biến đổi phương trình ¦(x) = 0 ta có: . Để ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2] thì b. Ta có "xÎ[1; 4] thì Û Û . Do giảm trên [1; 4] nên ycbt Û c. Ta có với xÎ thì Û . Đặt . Xét các khả năng sau đây: + Nếu thì bất phương trình trở thành nên vô nghiệm. + Nếu thì BPT có nghiệm . Do giảm / nên ycbt + Nếu thì nên BPT có nghiệm . Ta có . Do đó nghịch biến nên ta có Kết luận: ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ Bài 2. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1 Giải: BPT . Ta có suy ra tăng. YCBT Bài 3. Tìm m để bất phương trình đúng Giải: Đặt thì đúng . Ta có nên nghịch biến trên suy ra ycbt Û Bài 4. Tìm m để phương trình: có nghiệm. Giải: Điều kiện . Biến đổi PT . Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. Thủ thuật: Đặt Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng tăng. Suy ra có nghiệm Bài 5. Tìm m để bất phương trình: có nghiệm. Giải: Điều kiện . Nhân cả hai vế BPT với ta nhận được bất phương trình . Đặt Ta có . Do và tăng ; và tăng nên tăng Khi đó bất phương trình có nghiệm Bài 6. Tìm m để nghiệm đúng Cách 1. BPT đúng Lập bảng biến thiên suy ra Max Cách 2. Đặt . Ta có . Khi đó bất phương trình trở thành . Ta có: Þ tăng nên Bài 7. Tìm m để đúng Giải: Đặt Þ Þ Xét ycbt Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm thực. t 0 1 + 0 – 0 – 1 Giải: ĐK: , biến đổi phương trình . Đặt . Khi đó Ta có . Do đó yêu cầu x 2 + 0 Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt. Giải: Điều kiện: . Biến đổi phương trình ta có: . ycbt có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có: . Do đó đồng biến mà liên tục và nên có đúng một nghiệm Î. Vậy , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: Giải: Đặt Ta có: Đặt x 0 2 6 + 0 – f(x) Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Đặt ta có và Khi đó hệ trở thành Û là nghiệm của phương trình bậc hai Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . Lập Bảng biến thiên của hàm số với t – 2 2 5/2 + – – 0 + + 22 2 7/4 + Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình đúng với . Giải: Đặt , BPT Do đồ thị là một đoạn thẳng với nên Bài 13. Cho Chứng minh rằng: Giải: BĐT trong đó . Như thế đồ thị là một đoạn thẳng với . Ta có nên suy ra . Vậy . Đẳng thức xảy ra . Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): Cho . Chứng minh rằng: . Giải: Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên . Đẳng thức xảy ra Bài 15. Chứng minh rằng: . Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có Đồ thị là một đoạn thẳng với nên Ta có Bài 16. CMR: Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có: Đồ thị là một đoạn thẳng nên Ta có Đồ thị là một đoạn thẳng nên Ta có Þ . Vậy hay ta có (đpcm)