Bài giảng Chương 5: Thiết kế lọc fir

1 Chương 5 THIẾT KẾ LỌC FIR Lọc là hệ thống điển hình và thường đựợc sử dụng nhất trong hệ thống rời rạc thời gian. Lọc thay đổi đặc tính biên độ-tần số, hoặc pha-tần số của tín hiệu ra theo cách mà ta muốn. Một ứng dụng điển hình của lọc là tách tín hiệu mong muốn ra khổi nền nhiễu. Lọc số là những thuật toán tính toán được tiến hành bằng phần cứng hoặc phần mềm, ngược lại lọc tương tự là tổng trung bình của tín hiệu vào tại một vài thời điểm. Lọc số vượt trội hơn so với lọc tương tự trong nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu: âm thanh, hình ảnh, video, nén dữ liệu, sinh học.Điểm thuận lợi chính của lọc số là: - Chúng có thể được thiết kế để có đáp ứng pha tuyến tính - Chúng có thể được thiết kế sử dụng sự cải tiến của kỹ thuật VLSI - Chúng có thể dễ dàng lập trình và lập trình lại với những chức năng khác nhau - Chúng ít nhạy với sự thay đổi môi trường (nhiễu, nhiệt độ, nguồn công suât) Tuy nhiên lọc số cũng có một số điểm bất lợi như chúng có thể bị ảnh hưởng từ hiệu ứng chiều dài từ vô hữu hạn. (xem chương 7). Lọc số được phân loại như đáp ứng xung hữu hạn (FIR), nó cũng là lọc không đệ qui, và đáp ứng xung vô hạn (IIR), lọc đệ qui. Chương này ta thảo luận về lọc FIR và sự thiết kế chúng. Nội dung chính của chương này là lọc lựa chọn tần số lý tưởng, lọc FIR pha tuyến tính, và ba phương pháp của thiết kế lọc: cửa sổ, tối ưu, và lấy mẫu tần số 5.1 LỌC FIR Phương trình tín hiệu vào ra của lọc FIR là (công thức (2.20a))    M Mk knxkhny )()()( (5.1) Với h(k) là những hệ số, hay đáp ứng xung của lọc (công thức (2.19)), x(n – k) là tín hiệu vào x(n) bị trễ k mẫu. Với lọc FIR nhân quả công thức trở thành M k=0 y(n)= h(k)x(n-k) = h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2) ( 2) +...+ h(M)x(n-M)x n  (5.2) Trong hình thức này bậc lọc là M, chiều dài lọc (tổng số hệ số lọc ) là 1M . Một số tác giả sử dụng N thay vì M, và viết ngưỡng trên như 1N để chiều dài lọc là N (cách viết này thấy trong matlab). Ta nên đánh dấu để tránh nhầm lẫn. Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) của đáp ứng xung:     0 )()( n njenhH (5.3) Biết đáp ứng tần số )(H ta lấy biến đổi ngược DTFT để có đáp ứng xung )(nh . Để phân tích, thiết kế và tiến hành hệ thống, hàm truyền (hàm hệ thống) thì quan trọng hơn. Nó là biến đổi z của đáp ứng xung (công thưc 4.4). M M n n zMhzhhznhzH     )(...)1()0()()( 1 0 (5.4a) Nhắc lại (phần 4.25) đáp ứng tần số ( )H  có được từ hàm truyền ( )H z bằng cách thay z bằng je  . Để tìm cực không của lọc FIR, ta diễn tả H(z) thành những thành phần mũ dương của z bằng cách nhân tử và mẫu với zM , kết quả là M MM z MhzMhzhzh zH )()1(...)1()0( )( 1    (5.4b) Trong hình thức này, lọc FIR có cùng số cực và không và những cực thì nằm tại gốc, hệ thống ổn định 2 5.1.1 Ƣu điểm và khuyết điểm của lọc FIR F Lọc FIR có một số ưu điểm hơn lọc IIR, hai điểm nổi bật nhất là: - Lọc FIR có để được thiết kế để có pha tuyến tính (phần 5.2) để dạng sóng của tín hiệu vào được giữ lại, như được yêu cầu trong nhiều lĩnh vực ứng dụng: xử lý ảnh, y khoa.. - Lọc FIR thì ổn định. Hàm truyền của chúng không phải là hàm hữu tỉ và vì vậy chỉ có không. Sự đảm bảo ổn định làm lọc FIR rất hữu ích trong lọc thích nghi. Ngược lại, lọc FIR cũng có một số nhược điểm như: - Lọc FIR yêu cầu nhiều hệ số để đạt tới cùng chất lượng của đáp ứng tần số, vì vậy đòi hỏi nhiều thời gian tính toán và cất dữ lớn. - Lọc FIR không giống lọc tương tự, vì vậy ta không thiết kế nó bằng những kỹ thuật tương tự 5.1.2 Lọai của lọc lựa chọn tần số lý tƣởng Dựa vào đặc điểm tần số(hoặc đáp ứng tần số) lọc được phân lọai thành: thông thấp, thông cao, dải qua, dải chặn (hình 5.1). Lọc lý tưởng có biên độ băng thông là hằng số, biên độ dải chặn bằng không, và sự truyền gián đoạn (thời gian truyền bằng với không). Chú ý rằng sự phân loại không dựa trên đặc điểm pha. Để chi tiết, lọc có thể được phân loại như trơn, băng hẹp, notch, comb, dải qua, pha cực tiểu Ta nên nhớ rằng phổ, tần số và pha của hệ thống và tín hiệu rời rạc thời gian có chu kỳ 2 - với chu kỳ trung tâm thƣờng lấy   , hoặc  2,0 . Phần tiếp theo, nó thích hợp để đề cập hai lọc mà có thể tham khảo đến một vài lần, vi phân số và định nghĩa hàm Hilbert, tƣơng ứng nhƣ sau 3π (a) Lowpass (b) Highpass (c) Bandpass (d) Bandstop (Bandsuppress) c  H( ) 0  2 0  2 0  2 0  2 Hình.5.1: Những loại cơ bản của lọc lựa chọn tần số lý tưởng - - - - passband stopband passband passband stopband H( ) H( ) H( )  l u u -c - c  - l -u 3  3   3 -u - l 3  - l 1 1 1 1 c  3  H ω = jω ,  (Vi phân lý tưởng) (5.5) Và  H ω = -j , 0 (Hàm Hilbert lý tưởng) (5.6) j , 0 Với vì phân lý tưởng, đáp ứng lọc là )(H  )( Với biến đổi Hilbert1, 1)( H  )( 2  , 0 2   , 0 Kết quả chỉ trong hình 5.2. 5.1.3 Sự quan hệ giữa những lọc lý tƣởng căn bản Từ hình 5.1 chú thích )(nhLP và )(LPH đặc trưng thời gian và tần số của lọc thông thấp lý tưởng. Sau đó, sự quan hệ trong đáp ứng tần số với giả sử cùng những tần số cắt là: - Cao qua: )(1)(  LPHP HH (5.7a) - Dải qua: ( ) ( ) ( )  u l BP LP LPH H H     (5.7 b) - Dải chặn: )(1)(  BPBS HH (5.7c) H()  –  –  0 H() 0  – 1  0  –  () /2 0  –  /2 () –/2 (a) Vi phân lý tưởng (b) Biến đổi Hilbert Hình.5.2: Đáp ứng tần số của vi phân số và biến đổi Hilbert. 4 Với u là tần số cắt trên, và l là tần số cắt dưới. Bằng cách lấy biến đổi ngược DTFT ta có sự liên hệ giữa đáp ứng xung như sau: - Cao qua: )()()( nhnnh LPHP  (5.8a) - Dải qua: ( ) ( ) ( )  u l BP LP LPh n h n h n  (5.8b) - Dải chặn: ( ) ( ) ( ) BS BPh n n h n (5.8c) Ví dụ đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c được tìm thấy trong ví dụ 3.7.3 là sin sin ( ) ( ) , 0 , 0 c c c LP c c n n h n n n n n             (5.9) Với n  . Thì sin ( ) ( ) cHP n h n n n      (5.10a) Nghĩa là sin ( ) , 0 1 , 0 c HP c n h n n n n          sin sin ( ) , 0 , 0 u l BP u l n n h n n n n n              (5.10b) sin sin ( ) ( ) , 0u lBS n n h n n n n n               (5.10c) Nghĩa là sin sin ( ) , 0 1 ( ) , 0 l u BS u l n n h n n n n n               Chú ý rằng, cùng tần số cắt c lọc thấp qua và cao qua có sự bù trừ trong độ nhạy mà tổng của đáp ứng xung của nó là mẫu đơn vị )(n . Và vì vậy cùng tần số giới hạn l và u , dải qua và dải chặn cũng có sự bù trừ. 5.1.4 Biến đổi lọc thông thấp thành những lọc khác Trong phần trước ta đề cập sự quan hệ chung giữa các lọc. Trong phần này ta thảo luận sự biến đổi của một lọc thông thấp, đáp ứng xung của nó được biết, sau đó bằng cách sử dụng thuộc tính dich tần số của DTFT (phần 3.5) ta có thể chuyển lọc thông thấp thành những lọc khác có cùng đặc tính chính. Đáp ứng tần số của lọc thông cao có được từ thông thấp bằng cách dịch về quá khứ bởi  radians, i.e. thay  bằng  : )()(  LPHP HH (5.11a) Trễ tần số của đáp ứng tần số bởi  radians tương ứng với nhân đáp ứng dụng với nje  , vì vậy đáp ứng xung của lọc thông cao là 5 ( ) ( )j nHP LPh n e h n  Hoặc ( ) ( ) ( ) (cos ) ( )n HP LP LP h n = -1 h n n h n (5.11b) Kết quả này nghĩa rằng ta giữ dấu những mẫu tại thời điểm chẵn ...)4,2,0( n của )(nhLP , và đảo dấu những mẫu tại thời điểm lẻ ...)5,3,1( n of ).(nhLP Biến đổi ngược thì cũng đúng như vậy: ( ) ( ) ( ) (cos ) ( )n LP HP HP h n = -1 h n πn h n (5.11c) Bên trên, n)1( là ncos , ta có thể viết đáp ứng xung trong cả hai hình thức. Nếu phương trình tín hiệu trình bày một lọc thông thấp, (công thức 2.21) là      N k M Mk kk knxbknyany 1 )()()( (5.12a) Thì công thức của cùng lọc thông cao là      N k M Mk k k k k knxbknyany 1 )()1()()1()( (5.12b) Ví dụ lọc thông thấp có phương trình tín hiệu )(5.0)1(8.0)( nxnyny  Thì tương ứng lọc thông cao có phương trình )(5.0)1(8.0)( nxnyny  Bây giờ xem cách chuyển một lọc thông thấp sang một lọc thông qua. Ta biết trong DTFT nhân trong miền thời gian tương ứng nhân chập trong miền tần số (phần 3.72) và DTFT của sinusoid 0cos n gồm hai xung tại tần số 0 (phần 3.7.2 ). Vì vậy khi ta nhân đáp ứng xung của lọc thông thấp bởi n0cos ta sẽ có một lọc thông qua tƣơng ứng có tần số giữa 0 và băng thông gấp đôi băng thông của lọc thông thấp. Thuộc tính nhân chập tần số (3.51) của DTFT nói rằng sự nhân trong miền thời gian tương ứng với nhân chập trong miền tần số. Ta cũng biết rằng DTFT của n0cos là hai mẫu đơn vị tại 0  . Ví dụ hình. 3.29 vẽ đáp ứng biên độ của một lọc thông thấp với đáp ứng xung là 21 mẫu (từ 1010  nton ) với biên độ bằng 1/21, nghĩa là, otherwise n N nh ,0 1010, 21 1 12 1 )(    Đáp ứng xung của một lọc thông qua có tần số trung tâm tại 3/0   là otherwise nnnhBP ,0 1010,cos 21 1 )( 3   Từ kết quả này ta có đáp ứng biên độ như hình 5.3. 1.0 0.5 - 0.5 - 1.0 n n  /3 0 H() 0 6 5.2 Lọc pha tuyến tính Khả năng để có một đáp ứng pha tuyến tính đảm bảo là một ưu điểm quan trọng của lọc FIR hơn lọc IIR. Phần này trình bày điều quan trọng trước khi ta đi vào thiết kế lọc FIR trong phần nhỏ sau. Ta chú thích )(H đáp ứng biên độ và )( or  )(H đáp ứng pha của lọc. 5.2.1 Trễ pha Nó được biết rằng trong miền thời gian tín hiệu ngõ ra được cho bởi nhân chập thời gian )()()()()( nxnhnhnxny  Mà biến đổi sang miền tần số như ( ) ( ) ( )Y H X   Biên độ và pha của tín hiệu ra tương ứng là, )()()(  XHY (5.13) )()()(  XHY Với sự quan hệ pha bên trên, pha )(H có nghĩa của một sự dịch pha (trễ hoặc tới trước). Vì điều này dịch pha phụ thuộc vào tần số, những thành phần tần số khác nhau của tín hiệu vào có thể có chịu những sự dịch pha khác nhau khi tín hiệu đi xuyên qua lọc, kết quả là một dạng sóng ngõ ra bị méo dạng. Hình dạng méo này được gọi là sự méo dạng pha. Xét một sinusoid tương tự có chu kỳ 0T s, và tần số gốc 0 rad/sec, 0 0( 2 / )T  . Vì vậy chu kỳ tương ứng với pha thay đổi với 2 rad, trễ pha 0 sẽ tương ứng với một thời gian trễ 00 )2/( Tp  sec. Vì vậy một trễ pha có thể giải thích như một trễ thời gian. Trễ pha của một lọc được định nghĩa như thuộc tính âm của pha )( được chia bởi tần số tương ứng  : ( ) ( )p Φ ω τ ω = - ω (5.14) Chú ý rằng dù gọi là trễ pha nhưng )( p thật sự là trễ thời gian. Một lọc được nói đến có pha tuyến tính khi đáp ứng tần số pha tỉ lệ với trừ của tần số Φ ω = H ω = -αω( ) ( ) (5.15a) Điều này có nghĩa 0 jH H e  ( ) (5.15b) Với là một hằng số và 0H là thừa số độ lợi độc lập với tần số. Nếu  dương lọc làm trễ tín hiệu vào, nếu âm nó tới trước tín hiệu vào. Trễ pha bây giờ là p ( ) ( )          (5.16) Vì vậy trễ pha là hằng số, nghĩa là tất cả những thành phần tần số của tín hiệu vào bị trễ cùng thời gian, vì vậy những thành phần tần số ra sẽ có cùng dạng sóng như đầu vào. Vì vậy tín hiệu ra là phiên bảng trễ của vào. Trong một lọc với đặc tính pha không tuyến tính, dạng sóng ngõ ra sẽ bị méo so với vào. Tất nhiên, vì một tín hiệu sin thuần túy chỉ có một thành phần tần số ngõ ra cũng giống chính xác như đặc tính pha của lọc. Trường hợp sau được xem như pha tuyến tính Φ ω = -αω+β( ) (5.17) 7 Với  và  là hằng số. Trường hợp này không phải nguyên mẫu của pha tuyến tính như trong công thức 5.15a , và được gọi là pha tuyến tính tổng quát. Với 0  ta có pha tuyến tính, với những giá trị khác của  như 2 ta có pha tuyến tính tổng quát, nhưng trường hợp   có thể xem như pha tuyến tính (phần 5.2.3). Xét ví dụ một lọc có ham truyền 2)(  zzH . Nhớ rằng điều này có nghĩa lọc trễ tín hiệu vào )(nx hai mẫu để có tín hiệu ra )2( nx . Đáp ứng tần số có được bằng cách thay jz e  (công thức (4.27)), vì vậy  2)( jeH Phổ biên độ và pha tương ứng là, 1)( H  2)( Phổ pha được chỉ trong hình.5.4. Vẽ thật sự của pha  2 trong chu kỳ   , là đường thẳng AB , nhưng, để thuận tiện, sự khác nhau phổ pha được giới hạn trong dải   , . Điều quan trọng này được nói nhiều lần trong chương 3. 5.2.2 Trễ nhóm Xuất phát từ pha tương ứng với tần số cũng trễ và được gọi là trễ nhóm hoặc trễ bao, chú thích )(g : ( ) ( ) g dΦ ω ω = - dω (5.18) Với pha tuyến tính trong công thức (5.15a), trễ nhóm là  )(g cũng là hằng số, giống như với trễ pha trong công thức 5.16. Ý tưởng khi tín hiệu vào chứa nhiều thành phần sin mà họa tần không liên quan, trễ pha được sử dụng với trễ nhóm để thay đổi pha của tín hiệu qua. Ví dụ pha tuyến tính tổng quát (5.17) trễ pha là p( )              (5.19) Phụ thuộc tần số  , ngược lại trễ nhóm là g ( )   Độc lập tần số  .  2  2    0 B Hình.5.4: phổ pha của  2)( jeH - - ( ) -2  A  2  8 5.2.3 Những loại của lọc pha tuyến tính Vì lọc FIR nhân quả được miêu tả bởi (5.2), phụ thuộc bậc lọc M là chẵn hoặc lẻ, và đáp ứng xung )(nh đối xứng hay phi đối xứng, ta chia thành 4 loại khác nhau với những đặc tính khác nhau. Hình 5.5 miêu tả bốn loại này FIR-1 Bậc lọc M là chẵn, và đáp ứng xung của nó đối xứng (hình 5.4a)     0, 0 , n M otherwise  h n = h M - n (5.20) Đáp ứng trên có giá trị từ 0 n M  nhưng vì đối xứng, dải thật sự là 0 / 2n M  4 trường hợp của đáp ứng xung trong hình 3.31 tất cả đều thuộc loại FIR_1. Đầu tiên xét ví dụ đơn giản với M=4. Chú ý rằng (0) (4)h h , (1) (3)h h , và (2)h là chính nó, ta viết công thức cho đáp ứng tần số như 2 3 4( ) (0) (1) (2) (1) (0)j j j jH h h e h e h e h e                   2 2 22 0 1j j j j je h h e e h e e                  2 2 2 0 cos2 2 1 cosje h h h        Hoặc     1 2 0 ( ) 2 2 ( )cos 2j k H e h h k k            (5.21) Vì vậy bậc lọc M có thể chỉ như ( ) ( ) ( ) ( )         M -1 2 -jωM/2 k=0 M H ω = e h +2 h k cosω -k 2 M / 2 (FIR-1) (5.22) 0 1 2 3 4(M) n 0 1 2 3(M) n Trục đối xứng at M n 2 2   Trục đối xứng at M 3 n 2 2   (a) FIR-1 (M chẵn, h(n) đối xứng) h(n) = h(M – n) (b) FIR-2 (M lẻ, h(n) đối xứng) h(n) = h(M – n) h(n) h(n) 0 1 2 3 4(M) n Trục đối xứng at M n 2 2   h(n) 0 1 2 3(M) n Trục đối xứng at M 3 n 2 2   h(n) (c) FIR-3 (M chẵn, h(n) bất đối xứng) h(n) = -h(M – n) (d) FIR-4 (M lẻ, h(n) bất đối xứng) h(n) = -h(M – n) Hình.5.5: 4 loại của lọc FIR pha tuyến tính nhân quả (bậc lọc M và chiều dài lọc là M+1) 9 Mà của hình thức 2/ ( ) ( ) j MH e G  (5.23) Với )(G thực nhưng có thể dương hoặc âm. Khi 0)( G trễ pha là 2/M và lọc là pha tuyến tính chính xác (5.15a). Khi 0)( G pha là 2 M      ( ) (5.24) Trong trường hợp này,  trong công thức (5.17) is  . Đây là pha tuyến tính tổng quát. Nó thấy rằng ở đây sẽ có pha méo dạng (dạng sóng tín hiệu ra bị méo dạng). May mắn biên độ của )(G và của )(H có thể âm chỉ trong dải chặn nơi biên độ thì hoàn toàn nhỏ (so với biên độ trong thông qua) vì vậy hiệu ứng của méo dạng có thể chấp nhận. Tất cả lọc chọn tần số cơ bản (hình 5.1) có thể là FIR lọai 1 khi M chẵn (Hình 3.31). FIR-2 Bậc lọc M lẻ, và đáp ứng xung là đối xứng (hình.5.4b) như trong công thức (5.20) nhưng dải thật sự là 0 ( 1) / 2n M   Nó có thể chỉ rằng đáp ứng tần số là       (M-1)/2 -jω k=0 H ω = 2e h k cosω -kM 2 M 2 (FIR-2) (5.25) Pha tuyến tính thì giống như loại 1. Bất kỳ lựa chọn tần số nào (hình 5.1) có thể là FIR loại 2 khi M lẻ. FIR-3 Bậc lọc M chẵn, và đáp ứng xung bất đối xứng (Hình.5.4c), i.e.     0h n = -h M-N n M otherwise  , 0 , (5.26) Đáp ứng trên có giá trị từ 0 n M  , nhưng, vì là bất đối xứng, dải thật sự là 0 2n M  như trong FIR-1. Đáp ứng tần số có thể được chỉ bởi        2 2 2M M  M/2-1 j -ω + k=0 H ω = 2e h k sinω -k (FIR-3) (5.27) Chú ý rằng lọc cho một pha tiến của 2/ (mà là  trong công thức (5.17)), hằng số tương ứng với tần số. Đáp ứng pha là ( ) 2 2 M       (5.28) i.e. pha tuyến tính tổng quát. Vi phân số và biến đổi số Hilbert (hình 5.2) có thể là của FIR loại 3 khi M chẵn (hình 5.8). FIR-4 Bậc lọc M lẻ, đáp ứng xung bất đối xứng (Hình.5.4d) như trong (5.24) nhưng dải thật sự là 0 ( 1) / 2n M   như trong FIR-2. Đáp ứng tần số có thể chỉ như        2 2 2M M  (M-1)/2 j -ω + k=0 H ω = 2e h k sinω -k (FIR-4) (5.29) Pha tuyến tính giống như loại 3 trên. Vi phân số có thể là lọc FIR loại 4 khi M lẻ. Với loại 3 và 4, cả hai bất đối xứng, đáp ứng tần số luôn luôn bằng không tại tần số 0 , vì vậy chúng không thể được sử dụng như lọc thông thấp. Ngược lại, sự cộng của chúng dịch pha 2/ 10 làm chúng hữu ích trong thiết kế của vi phân và biến đổi Hilberl (hình 5.2). Loại 1 và 2 thì linh hoạt hơn. Để căn bản hơn, ta xét hàm truyền thay vì đáp ứng tần số. Với lọc pha tuyến tính, như thảo luận trước, đáp ứng xung có thể đối xứng hoặc phi đối xứng,i.e. )()( nMhnh  mà được biến đổi thành       M n M n nn znMhznhzH 0 0 )()()( Một sự thay đổi biến sẽ dẫn đến    -M -1H z = ±z H z (5.30) Từ đây ta có sự quan sát khác nhau về vị trí không, ví dụ với lọc bất đối xứng, cả M chẵn và lẻ, ở đây có không tại z=1; vì vậy trường hợp M chẵn ở đây được cộng không tại z=-1 (làm lọc thích hợp với lọc thông qua) Khi tổng ( )H  và ( )H z từ 0n  đến 1N  (như chú thích bởi nhiều tác giả khác), thay vì 0n  đến M như ta sử dụng ở đây, sau đó trong tất cả công thức trước bao gồm M ta nên thay N-1 bằng M (hoặc N bằng M-1). Ví dụ 5.2.1 Từ đáp ứng xung được biết của một lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c , dẫn ra đáp ứng xung cho lọc pha tuyến tính nhân quả có M hệ số. Giải Đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng có dạng như trong ví dụ 3.7.2, lặp lại trong (5.9): sin sin 0 0 c c c LP c c n n h n n n n n              ( ) , , , (5.31a) Trường hợp của 2/ c được xét. Đáp ứng xung là vô hạn nhưng ta lấy nó hữu hạn bằng cách cắt tại N và N , vì vậy còn lại 12 N mẫu (Hình 5.6a). Sau đó, ta dịch chuỗi được cắt đến bên phải N mẫu để có hệ thống (hình 5.6b). Mẫu trước tại Nn  bây giờ gốc tại 0n , mẫu trước tại N bây giờ tại N2 , hay M theo chú thích của ta, mẫu trước tại gốc bây giờ tại M/2. Hình 5.6 chỉ trường hợp 4M  , trục đối xứng tại 2n  . Đây là lọc FIR pha tuyến tính loại 1. Hình 5.7 chỉ đáp ứng biên độ và pha của lọc. Chú ý rằng đáp ứng biên độ không tốt (vì sự cắt cụt) và tần số cắt không phải 2/ như mong đợi. 11 Thay n bằng 2n M trong (5.31a) ta có đáp ứng xung nhân quả     sin 2 ( ) 2 c LP n M h n n M      , Mn 0 , 2n M (5.31b) c   , 2n M -2 -1 0 1 2 n -N N ( 2M ) 2N (M) N (b) Nhân quả 0.5 0.318 h(n) 0 1 2 3 4 n (a) Hai bên h(n) Hình.5.6: Ví dụ 5.2.1 (đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng với 2/c  và M = 4) 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0  /4  /2 3 /4   |)(| H 12 Hình.5.7: Ví dụ 5.2.1 tiếp tục (đáp ứng tần số với 2 4/ , c M   ) Kết quả này cũng có thể lấy bằng cách chú ý rằng đáp ứng tần số của lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung đối xứng khoảng 2n M là 2 0 ( ) , , M j LP c c H e otherwise                Đáp ứng xung là đảo ngược DFTF của đáp ứng tần số: 2 2 1 1 2 2