Bài giảng Chương 7: Thực hiện lọc và những hiệu ứng chiều dài từ hữu hạn

1 Chương 7 THỰC HIỆN LỌC VÀ NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU DÀI TỪ HỮU HẠN. Thực hiện, cấu trúc, của một lọc số là trình bày phương trình tín hiệu vào ra, hoặc hàm truyền, bằng giảng đồ (hoặc đồ thị tín hiệu) (phần 1.6.2), sử dụng ba khối cơ bản, cộng, nhân, và đơn vị trễ. Nhưng để có một lọc đang làm việc, ta phải thiết kế mạch logic (phần cứng) hoặc xử lý phần mềm. Những cách thực hiện khác nhau trong chương này sẽ trình bày cho cả lọc FIR và IIR. Mặc khác, hiện thực phần cứng hoặc phần mềm của một lọc từ cấu trúc của nó không thể chính xác, vì một vài nguồn của lỗi, như lượng tử đầu vào, cắt cụt hoặc làm tròn những hệ số lọc. Vì vậy, phần hai của chương này thảo luận những hiệu ứng độ dài từ hữu hạn. 7.1 TIẾN HÀNH LỌC FIR Lọc FIR nhân quả có bậc M có phương trình (công thức 5.2) và hàm truyền (5.4a) tương ứng. )()(...)2()2()1()1()()0( )()()( 0 MnxMhnxhnxhnxh knxkhny M k    (7.1) và MzMhzhzhh zX zY zH   )(...)2()1()0( )( )( )( 21 (7.2) Với những hệ số h(n) là đáp ứng xung của lọc. Chú ý rằng một lọc có bậc M có M+1 hệ số. Ở đây có một vài hình thức khác nhau của sự thực hiện lọc FIR được nói đến như sau 7.1.1 Hình thức trực tiếp Quan sát công thức trên ta vẽ giản đồ của lọc FIR bậc ba như hình 7.1 được gọi là sự thực hiện hình theo thức trực tiếp. Hình 7.2 chỉ một hình thức với lọc bậc M có M bộ cộng, và M đơn vị trễ. Vì một sự nhân tốn nhiều thời gian hơn một bộ cộng, lý tưởng là giảm số nhân càng nhiều càng tốt, nhưng sự giảm bộ cộng cũng hữu ích. Hình. 7.1:Cấu trúc của lọc FIR bậc ba )(nx )(ny )1(h 1z 1z 1z + )2(h )3(h )0(h 2 Hình. 7.2: Tapped-đường trễ (đường chuyển)lọc FIR bậc M Theo lý thuyết chuyển vị, hay định lý đảo ngược, ta có thể di chuyển đơn vị trễ ở đường trên hình 7.2 xuỗng đường dưới và đảo bậc của những nhánh hệ số như hình 7.3, mà không ảnh hưởng đến sự quan hệ vào-ra. Hình. 7.3: Thay đường tapped trễ (đường chuyển tiếp) lọc FIR bậc M. 7.1.2 Cấu trúc pha tuyến tính Như thảo luận trong chương 6, hầu hết lọc FIR được thiết kế để có pha tuyến tính (bao gồm pha tuyến tính tổng quát), và ở đây có 4 loại được chú thích như FIR-1 đến FIR-4 (hình 5.5) phụ thuộc bậc lọc M là chẵn hay lẻ và những hệ số lọc (đáp ứng xung) h(n) là đối xứng hoặc phi đối xứng. Đầu tiên, xét trường hợp FIR-1, với M chẵn, h(n) đối xứng với hệ số giữa h(M/2), nghĩa là )()( nMhnh  . Công thức lọc là )]1 2 ()1 2 ()[1 2 ( ...)]1()1()[1()]()()[0( )()0()1()1(...)1()1()()0( )()()1()1(...)1()1()()0()(     M hx M nx M h MnxnxhMnxnxh MnxhMnxhnxhnxh MnxMhMnxMhnxhnxhny (7.3) Vì vậy nhóm từng đôi với những hệ số bằng nhau, từ thành phần giữa h(M/2) x(n – M/2), số phép nhân giảm đi một nửa (Hình. 7.4). Với FIR-2, M là lẻ, M + 1 là chẵn, những hệ số đối xứng, h(n) = h(M – n), và đối xứng là M/2. Công thức lọc )]()()[( )]1()1()[1()()()[0( )()0()1()1(...)1()1()()0( )()()1()1(...)1()1()()0()( 2 1 2 1 2 1      MMM nxnxh MnxnxhMnxnxh MnxhMnxhnxhnxh MnxMhMnxMhnxhnxhny (7.4) )(Mh )1( Mh )2(h )1(h )0(h )(nx + )1(h 1z 1z 1z )0(h + + + )2(h )1( Mh )(Mh )(ny )(nx + 1z + + + )(ny 1z 1z 3 Hình. 7.4: Dạng tực tiếp cho FIR -1 Cấu trúc được chỉ trong hình 7.5. Hình. 7.5: Dạng trực tiếp với FIR-2 Ta có thể xử lý giống như thế cho FIR-3 và FIR-4. Lọc FIR có thể có dạng khác gọi là dạng lưới mà sẽ nói kèm với lọc IIR trong phần 7.4. 7.2 THỰC HIỆN LỌC IIR: DẠNG TRỰC TIẾP VÀ DẠNG CHUYỂN VỊ Phương trình tín hiệu của lọc IIR nhân quả là    M k k N k k knxbknyany 01 )()()( (7.5) Với bk là những hệ số lọc của phần trước (không đệ qui), và ak là những hệ số của phần hồi tiếp (đệ qui). Chú ý rằng một số tác giả viết phương trình như    M k k N k k knxbknya 00 )()( (7.6) Theo cách này những hệ số ak , trừ a0, có dấu ngược với dấu của ak trong(7.4). Ta đánh dấu dạng (7.7) từ hàm truyền là (4.13a) N N M M N k k k M k k k zazaza zbzbzbb za zb zY zX zH              ...1 ... 1 )( )( )( 2 2 1 1 2 2 1 10 1 0 )( )( zD zN  (7.7) Hàm truyền là nghịch đảo và chú thích đa thức tử và mẫu như N(z) và D(z) )(ny )1(h + 1z + + ) 2 3 ( M h )(nx 1z 1z 1z )0(h + + + 1z 1z + + ) 2 1 ( M h 1z + )2(h )(ny )(nx + )1(h 1z 1z 1z )0(h + + )1 2 (  M h ) 2 ( M h + + + 1z 1z 1z 4 Như ví dụ, xét một lọc IIR bậc hai có những hệ số đệ qui a1 và a2 , và ba hệ số không đệ qui b0 , b1 và b3 , thì )2()1()()2()1()( 21021  nxbnxbnxbnyanyany (7.8) và 2 2 1 1 2 2 1 10 1 )(      zaza zbzbb zH (7.9) 7.2.1 Dạng trực tiếp I Dạng trực tiếp(hoặc dạng trực tiếp I) là giản đồ trực tiếp trình bày công thức truyền (7.7). Ví dụ với lọc (7.8) thực hiện dạng trực tiếp là hình 7.6. Chú ý rằng ta có thể tách tổng thành hai tổng nối tiếp, một cho phần vào và một cho phần ra (xem hình 7.8a). Hình 7.6: Dạng trực tiếp I của lọc IIR bậc hai (7.9) Ví dụ 7.2.1 Tìm cấu trúc thực tế của lọc IIR có hàm truyền 421 31 4.05.03.01 543 )(      zzz zz zH Giải Ta có thể vẽ cấu trúc bằng sự quan sát. Kết quả trong hình 7.7. Phương trình có thể dễ dàng tìm thấy là )3(5)1(4)(3)4(4.0)2(5.0)1(3.0)(  nxnxnxnynynyny 7.2.2 Dạng trực tiếp II (hoặc dạng chính tắc) Hàm truyền (7.7) có thể được viết như )( )( 1 )( 1 )( )( )( )( zN zDzD zN zD zN zH  (7.10) )(nx 1z + 1z 1z 1z )(ny 1b 2b 1a 2a 0b 5 Hình. 7.7: Ví dụ 7.2.1 Nghĩa rằng bậc của lọc vào N(z) và lọc ra )(1 zD của cấu trúc như hình 7.6 có thể hoán đổi mà không thay đổi sự quan hệ vào-ra (phương trình vào ra) để có cấu trúc khác. Xét lần nữa lọc bậc hai (7.8). Dạng trực tiếp với cấu trúc I như hình 7.8a (vẽ lại hình 7.6) với ngõ ra của tầng 1 N(z) đưa đến tầng ngõ ra 1/D(z). Trong hình 7.8b bậc của hai tầng được đảo ngược, bây giờ tầng vào là 1/D(z) và tầng ra là N(z). Lấy chú thích tín hiệu trực tiếp là by v(n) thì ta thấy rằng nó bị trễ cùng số mẫu với hai đơn vị trễ của hai lọc. Hoặc cách nói khác, hai tập trễ có cùng nội dung, vì vậy ta có thể kết nối thành một tập duy nhất để có cấu trúc hình 7.8c mà là dạng trực tiếp II, cũng gọi là dạng chính tắc với số đơn vị trễ ít hơn. Ta có thể kiểm tra cấu trúc bằng cách viết phương trình cho v(n) và y(n): )2()1()()( 21  nvanvanxnv )2()1()()( 210  nvbnvbnvbny Mà trong miền z là )()()()( 22 1 1 zVzazVzazXzV   )()()()( 22 1 10 zVzbzVzbzVbzY   Giải phương trình với V(z) và Y(z) ta có )( )( 1 )( 1 1 )( 2 2 1 1 zX zD zX zaza zV     )( )( 1 )( )()()()()( 22 1 10 zX zD zN zVzNzVzbzbbzY    )(nx 1z + 1z 1z 1z )(ny 1z 1z 1z 3 -4 -5 -0.3 0.5 0.4 6 (a) Dạng trực tiếp I (b) Bậc đảo dạng trực tiếp I )(nx )(ny + 1z 1z 1a 2a + 2b 1b 0b )(nx )(ny 0b N(z) 1/D(z) + 1z 1z 1a 2a 1z 1z 1b 2b + )(nv )(nv )(nx 1z + 1z 1z 1z )(ny 1b 2b 1a 2a 0b + N(z) 1/D(z) 7 (c) Dạng trực tiếp II Hình 7.8: Sự tiến hành dạng trực tiếp I đến dạng trực tiếp II (dạng chính tắc) của lọc IIR bậc hai. Vì vậy, hàm truyền là )( )( )( )( )( zD zN zY zX zH  Như mong muốn, nghĩa là, dạng trực tiếp II trình bày cùng một lọc như dạng trực tiếp I. Ví dụ 7.2.2 Cho dạng trực tiếp II cấu trúc thực tế của lọc trong ví dụ 7.2.1 Giải Hình. 7.9: Ví dụ 7.2.2 Cấu trúc được cho trong hình 7.9. 7.2.3 Cấu trúc chuyển vị Như đề cập trong phần 7.1.1, lý thuyết của giản đồ tín hiệu ở đây là lý thuyết chuyển vị, cũng được gọi là lý thuyết đảo ngược, mà phát biểu rằng sự liên hệ vào ra của hệ thống duy trùy không đổi khi ta đảo hướng của tất cả các nhánh, hóa vị vào và ra, và đổi điểm nguồn vào điểm bên trong và ngược lại. Lý thuyết này dẫn đến cấu trúc chuyển vị mà có thể hữu ích hơn cấu trúc thông thường. Vì vậy ta có chuyển vị trực tiếp. )(nx )(ny + 1z 1z + 1z 1z v(n) -0.3 0.5 0.4 5 -4 3 8 Hình. 7.10: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.6) Dạng I và dạng chuyển vị trực tiếp II. Ví dụ, cấu trúc của hình 7.6 chuyển thành hình 7.10, và cấu trúc hình 7.8c trở thành hình 7.11. Hình. 7.11: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.8c) 7.3 THỰC HIỆN LỌC IIR: CẤU TRÚC TẦNG VÀ SONG SONG Lọc IIR bậc cao có thể được phân tích dẫn đến dạng tầng, hoặc mở rộng thành phân tích thành phần để thành dạng song song. 7.3.1 Cấu trúc tâng Nhìn chung lọc IIR nhân quả (7.5) có hàm truyền (7.7) và phương trình )(...)1()( )(...)2()1()( 10 21 Nnxbnxbnxb Mnyanyanyany N N   (7.11) Bất kỳ hàm truyền nào cũng có thể phân tích thành thừa số bậc 2 với những hệ số lọc thực nếu nó có hệ số thực.            1 0 1 0 2 2 1 1 2 2 1 10 )( 1 )( N i i N i ii iii zHG zaza zbzbb GzH (7.12) G là một thừa số độ lợi. Lọc được chú thích như )(),( 10 zHzH Lọc bậc hai bao gồm một lọc bậc một khi những hệ số 2ib và 2ia bằng không. Nhìn chung, hàm truyền có thể phân tích thành lọc bậc một (cả tử và mẫu là bậc một) với những hệ số phức. Nếu đáp ứng xung hệ thống h(n) là thực, căn của H(z) sẽ xuất hiện trong đôi liên hiệp phức, và thừa số liên hiệp phức có thể kết nối để hình thành thừa số bậc hai với những hệ số thực như bên trên. )(nx )(ny + 1z 1z 1a 2a + 2b 1b 0b )(nx 1z + 1z 1z 1z 1b 2b 1a 2a 0b 9 Phân tích thừa số dẫn đến dạng tầng, với ngõ ra của tầng một là ngõ vào của tầng hai và tiếp tục như vậy. Phương trình của lọc gốc có được bằng cách tìm phương trình của mỗi tầng và lấy ngõ ra của tang một như ngõ ra của tầng hai Ví dụ 7.3.1 Tìm dạng trực tiếp II và cấu trúc dạng tầng của lọc bậc 4 có hàm truyền 42 42 25.08.01 449 )(      zz zz zH Giải Cấu trúc dạng trực tiếp II (dạng chính tắc) là một sự thực hiện trực tiếp của hàm truyền với sự giảm số đơn vị trễ (hình 7.12a). Để có dạng tầng, ta phải phân tích đa thức tử và mẫu, kết quả như sau: 21 21 21 21 5.04.01 243 5.04.01 243 )(           zz zz zz zz zH Hình. 7. 12: Ví dụ 7.3.1. (a): Dạng trực tiếp II, (b):Dạng tầng w01 y(n) x1(n) z -1 0.4 -4 x(n) w00 + w02 -0.5 w0(n) 2 z -1 + 3 z -1 w11 0.4 -4 w10 + w12 -0.5 w0(n) 2 z -1 + 3 z -1 z -1 9 w1 x(n) + wn + w2 y(n) z -1 z -1 w4 -0,25 w0 -4 -0,84 w3 4 z -1 9 w1 x(n) + wn + w2 y(n) z -1 z -1 w4 -0.25 w0 -4 -0.84 w3 4 z -1 (a) (b) 10 Vì vậy cấu trúc tầng bao gồm hai lọc bậc hai (hình 7.12b). Chú ý với hai thừa số một trong tử và một trong mẫu, ta có thể sắp xếp để có bốn lọc bậc hai khác nhau, và vì vậy ở đây có bốn cấu trúc tầng mà có hiệu ứng độ dài từ khác nhau, ảnh hưởng sự chính xác của hệ thống khác nhau. Lý do là một tầng sẽ cho một lỗi chắc chắn mà được truyền đến tầng tiếp theo. Ví dụ 7.3.2 Tìm dạng cấu trúc tầng của lọc bậc 4 )7.0)(8.0](16.0)3.0[( )1(2 )( 2 3    zzz zz zH Giải Phân tích thừa số có kết quả như 21 1 21 21 56.01.01 1 25.06.01 1 2)(           zz z zz zz zH Fig. 7.13: Ví dụ 7.3.2 Hình. 7.13 Chỉ cấu trúc tầng. Phân tích của hàm truyền Vấn đề của sự biến đổi một lọc bậc cao thành dạng tầng của lọc bậc một và bậc hai là quá trình xử lý của sự phân tích thừa số tử và mẫu của hàm truyền. Với đa thức mâu D(z) có bậc N ta xử lý để tìm căn bậc hai của nó (giống như tìm cực của hệ thống). )1)...(1)(1( ...1)( 11 2 1 1 2 2 1 1     zpzpzp zazazazD N N M (7.13) Nếu căn bậc hai là thực, ta có thể để D(z) thành hình thức trên hoặc kết nối đôi thừa số thành hàm bậc hai với những hệ số thực. Ví dụ với p1, p2 thực, ta có ))(1()1)(1( 221 1 21 1 2 1 1   zppzppzpzp Nếu căn là phức, chúng sẽ xuất hiện như đôi liên hiệp phức. Ví dụ, với p1, p2 liên hiệp phức là * 12 pp  , và 22 1 1 1 2* 21 1* 21 1* 1 1 1 ||)Re(21 )(1)1)(1(     zpzp zppzppzpzp (7.14a) Kết quả có thể viết trong trục tọa độ cực với 111 j erp  , như 22 1 1 1 1* 1 1 1 )(cos21)1)(1(   zrzrzpzp i  (7.14b) Phân tích thừa số của đa thức mẫu N(z) sẽ xuất hiện giống nhau. Thật ra, tìm căn yêu cầu giải phương trình bậc cao, ta phải nhờ tới một phần mềm toán học như Matlab chẳng hạn Ví dụ 7.3.3 )(nx + 1z 1z 6.0 -0.25 + -1 2 + 1z + 1z 0.1 0.56 )(ny 11 Tìm cấu trúc tầng cho lọc sau 321 54321 52.077.12.21 5328.09376.033.048.05.11 )(      zzz zzzzz zH Giải Sử dụng Matlab, ta có thể tìm căn của mẫu và tử như sau: 4.07.0,8.0 4.08.0,7.05.0,9.0 jp jjz   Vì vậy tử số bao gồm ba thừa số: )8.10( 1z )0.7zz(1]j0.7)z-(-0.5-][1j0.7)z(-0.5-[1 -2-1-1-1  )8.06.11(])4.08.0(1][)4.08.0(1[ 2111   zzzjzj Và mẫu gồm hai thừa số )8.01( 1 z )65.04.11(])4.07.0(1][)4.07.0(1[ 2111   zzzjzj Với những thừa số trên, một cấu trúc tầng có thể là )8.06.11( 65.04.11 74.01 8.01 9.01 )( 21 21 21 1 1             zz zz zz z z zH Trong hình thức này, hệ thống là một tầng của lọc bậc một, một lọc bậc hai và một lọc FIR bậc hai. Ta có thể có sự kết hợp khác của những thừa số để có cấu trúc tầng khác. Ví dụ 7.3.4 Xét một lọc comb đỉnh (phần 4.7.3) 8 8 0625.01 1 )(      z z zH Tìm sự thực hiện tầng của nó Giải Đầu tiên, ta tìm nghiệm của tử bằng cách đặt nó bằng không 01 8  z Hoặc  )12(28 1  kjnkjjj eeeez Với ,2nkje với k là một số nguyên, bằng 1. Vì vậy, 8 nghiệm là 7,...,1,0,8/)12(   kez kjk  Hình. 7.14 cho giản đồ cực không và đáp ứng biên độ của lọc. Những cực được nhóm thành bốn đôi liên hiệp phức như sau: Hình. 7.14: Ví dụ 7.3.4 (Vẽ cực-không và đáp ứng biên độ) Unit circle p2 p0 p1 p3 p4 p5 p6 p7 z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 Tần số cực = 2k/8 Tần số không = (2k+1)/8 H() 0 /8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8  12 2121 8 71 4 1 3 2121 8 51 5 1 2 2121 8 31 6 1 1 2121 8 1 7 1 0 8478.11)(cos21)1)(1( 7654.01)(cos21)1)(1( 7654.01)(cos21)1)(1( 8478.11)(cos21)1)(1(         zzzzzzzz zzzzzzzz zzzzzzzz zzzzzzzz     Giống như thế, nghiệm của mẫu được cho bởi 00625.01 8  z Hoặc kjkj eez  2428 5.00625.00625.0  Vì vậy, 8 nghiệm là 7,...,1,0,5.0 8/2  kep kjk  Hai cực thực p0 và p4 được kết hợp thành thừa số bậc hai: 2111 4 1 0 5.01)5.01)(5.01()1)(1(   zzzzpzp 6 nghiệm phức còn lại được kết hợp thành 3 đôi liên hiệp phức (p1, p7), (p2, p6), và (p3, p5) để hình thành đôi bậc hai như sau. 2121 8 61 5 1 3 221 8 41 6 1 2 2121 8 21 7 1 1 5.015.0)(cos21)1)(1( 5.015.0)(cos21)1)(1( 5.015.0)(cos21)1)(1(       zzzzzpzp zzzzpzp zzzzzpzp    Khi phân tích thừa số đã hoàn thành, ta có nhiều sự kết nối của tử bậc hai và mẫu bậc hai. Sự kết hợp là 21 21 2 21 21 21 2 1 5.01 8478.11 5.01 7654.01 5.01 7654.01 5.01 8478.11 )(                     zz zz z zz zz zz z z zH Vì vậy, lọc comb đỉnh thể hiện bằng dạng tầng của lọc IIR bậc 4 như sau 7.3.2 Cấu trúc song song Thay vì phân tích thừa số hàm truyền để có cấu trúc dạng tầng, ta có thể khai triển nó thành phân số từng phần để có cấu trúc dạng song song. Vấn đề khai triển phân số từng phần đã khảo xác kỹ trong phần 4.6 Khai triển là                  N k k M k k N k k k M k k k z z G za zb zH 1 1 1 1 1 0 )1( )1( 1 )(   (7.17) Nếu NM  và nghiệm k là phân biệt, hàm truyền có thể khai triển như là tổng của M thừa số bậc một     M k k k z A zH 1 11 )(  (7.18) Với thừa số độ lợi kA và nghiệm k nhìn chung là phức. Kết quả trên chỉ rằng lọc bậc cao có thể tín hành bằng M lọc bậc một song song. Trong hầu hết các trường hợp đáp ứng xung h(n) là thực, thì cực của H(z) xuất hiện trong đôi liên hiệp phức, mà dẫn đến hệ thống bậc hai với những hệ số thực.       M k kk kk zaza zbb zH 2 2 1 1 1 10 1 )( (7.19) 13 Nếu MN  , khai triển phân số từng phần sẽ chứa một lọc FIR mà được đặt song song với lọc IIR bậc hai. Khi N = M, ở đây sẽ tồn tại một hằng số trong khai triển, đó là NM ab / . Bậc của lọc song song thì không quan trọng Cấu trúc song song không phổ biến như cấu trúc tầng vì sự nhạy của không với sự lượng tử hệ số và một số lý do khác. Ví dụ 7.3.5 Tìm cấu trúc song song của lọc Butterworth bậc ba 321 321 0165.03419.01801.01 )331(1432.0 )(      zzz zzz zH Giải Kết quả của khai triển phân số từng phần là 21 1 1 3355.0131.01 08407.02916.1 049.01 1764.10 7107.8)(         zz z z zH Hình.7.15: Ví dụ 7.3.5 Cấu trúc được diễn tả trong hình. 7.15. 7.4 CẤU TRÚC LƢỚI Một dạng không trực tiếp khác là dạng mắc lưới mà có nhiều ưu điểm trong những ứng dụng như xử lý giọng nói, xử lý đa phân giải, và lọc thích nghi. Một số ưu điểm chính như sau: - Lọc mắc lưới ít nhạy với hiệu ứng lượng tử hơn dạng trực tiếp - Lọc mắc lưới có thuộc tính điều chỉnh, nghĩa là bổ sung nhiều tầng sẽ tăng bậc lọc hơn là việc thiết kế lại. - Trong dự đoán tuyến tính, cấu trúc mắc lưới cho dự đoán lỗi tới trước và lỗi hồi tiếp một cách tức thì 7.4.1 Cấu trúc lọc FIR mắc lƣới Viết hàm truyền của lọc bậc M như )(nx )(ny + 1z -0.0490 + 0b + + -8.6788 10.1764 1z -0.1310 -0.0841 1z 1.296 0.3355 14 MM zMazMazazaazA   )()1(...)2()1()0()( )1(21 (7.20) Với a(0) lấy bằng 1 (a(0) = 1), vì vậy i M i ziazA    1 )(1)( (7.21) Chú ý rằng ta sử dụng chú thích khác so với thông thường (so với 7.2). Trong cách này lọc bậc nhất là )1()1()()( 1  nxanxny (7.22a) 1 11 )1(1)(  zazA (7.22b) Với miêu tả 1 chú thích bậc nhất. Cấu trúc mắc lưới đơn của lọc bậc nhất được chỉ trong hình 7.16 có hai vào và hai ra với ngõ ra bên trên y(n). K1 được gọi là hệ số phản xạ. Ngõ vào là Hình. 7. 16a: Mắc lưới bậc nhất )()()( 00 nxngnf  (7.23) Và ngõ ra )1()()( 0101  ngKnfnf (7.24a) )1()()( 0011  ngnfKng (7.24b) Từ công thức, ta có thể dễ dàng thấy rằng )(1 nf là ngõ ra y(n) khi )1(11 aK  . Với lọc bậc hai 2 2 1 22 )2()1(1)(   zazazA )2()2()1()1()()( 22  nxbnxbnxny (7.25) Với chú thích 2 cho lọc bậc hai. Cấu trúc mắc lưới (hình 7.17) là một tầng của hai mắc lưới đơn. Ngõ ra y(n) là )2()1()1()()()( 22112  nxKnxKKnxKnxnfny (7.26) Hình. 7.16b: Mắc lưới FIR bậc hai So sánh cái này với phương trình (7.25), ta có )2(22 aK  , 1z + )(nx + )(2 ng 1K 1K 1z 2K 2K + + )()(2 nynf  1z + )(nx + )()(1 nynf  )(1 ng )(0 ng 1K 1K )(0 nf 15 )2(1 )1( 2 2 1 a a K   (7.27) Với lọc FIR bậc M cấu trúc tổng quát là một tầng gồm M tầng đơn, như trước, kênh trên là ngõ ra của tín hiệu y(n). Tầng mắc lưới hoán đổi (tầng thứ k) chỉ trong hình 7.18. Nó có hai mạng lưới cổng với hai đầu vào )(1 nf k và )(1 ngk , và hai ngõ ra )(nf k và )(ngk liên hệ với hai ngõ vào thông qua hệ số phản xạ Kk trong dạng của đôi phương trình khác nhau. )1()()( 11   ngKnfnf kkkk (7.28a) )()()( 11 nfKngng kkkk   (7.28b) Hình. 7. 17: M