Bài giảng Khái niệm cơ bản lý thuyết xác suất

Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.1 CHÖÔNG 1 KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁT Nội dung ‰ Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố. ‰ Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ). ‰ Các công thức tính xác suất: • Công thức cộng xác suất. • Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất. • Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. • Công thức Bernoulli. 1. PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ – CAÙC LOAÏI BIEÁN COÁ 1.1. PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ 1.1.1. HAI VÍ DUÏ KINH ÑIEÅN Ví dụ 1.1. Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang – đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc không thể xảy ra: • Mặt sấp xuất hiện. • Mặt ngửa xuất hiện. • Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện. • Không mặt nào xuất hiện. Chúng còn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét. Ví dụ 1.2. Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang – đó cũng là một phép thử. Sinh ra bởi phép thử này có thể kể một vài biến cố dưới đây. • Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6). • Mặt có số chấm lẻ xuất hiện. • Mặt có số chấm chẵn xuất hiện. • Mặt có số chấm không quá k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6). • Mặt có số chấm lớn hơn 6 xuất hiện. • Mặt có số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.2 1.1.2. MO TAÛ PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ ‰ Phép thử là việc hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phép thử luôn được thực hiện trong một nhóm các điều kiện nào đó hoàn toàn xác định. Ta thường đồng nhất phép thử với nhóm điều kiện xác định nó. 1.2. 2.1. ‰ Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay kết cục) nhất định. Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và có thể xẩy ra, cũng có thể không xẩy ra sau khi phép thử kết thúc. Các biến cố sẽ đặc trưng cho phép thử. CAÙC LOAÏI BIEÁN COÁ 1.2.1. BIEÁN COÁ CHAÉC CHAÉN Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U. 1.2.2. BIEÁN COÁ KHOÂNG THEÅ COÙ Biến cố không thể có là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không thể có được ký hiệu là ∅. 1.2.3. BIEÁN COÁ NGAÃU NHIEÂN Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể không xẩy ra khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đoán nhưng không thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay không xẩy ra của biến cố đó. Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C… Ví dụ 1.3. • Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử. Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố không thể có. Biến cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố “bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc chắn. • Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải khuyến khích, không trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố vé số đó hoặc trúng giải, hoặc không trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa không trúng giải nào là biến cố không thể có. Ví dụ 1.4. Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc. Hãy kể các biến cố chắc chắn, không thể có và BCNN. 2. PHEÙP TOAÙN VAØ QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ TOÅNG CUÛA CAÙC BIEÁN COÁ • Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ (A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra). • Tổng của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu 1 n i i A = ∑ = A1 + A2 + … + An (hay 1 n i i A = U ), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố Ai nào đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy ( 1 n i i A = ∑ xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, hoặc A2 xẩy ra, …, hoặc An xẩy ra). 2.2. TÍCH CUÛA CAÙC BIEÁN COÁ • Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy (AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra). • Tích của n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu n i i n A = ∏ = A1A2 … An (hay 1 n i i A = I ), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. ( n i i n A = ∏ xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … và An xảy ra). 2.3. BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC VAØ BIEÁN COÁ ÑOÁI LAÄP • Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra khi phép thử được thực hiện. Tức là A.B = ∅. • Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia. Biến cố đối lập của A là được ký hiệu là A . Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra. Tức là ; . A A U AA ⎧ + =⎪⎨ =∅⎪⎩ Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai. Ví dụ 1.5. Một sinh viên thi hai môn Toán cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh viên đó đậu môn Toán cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu môn Kinh tế lượng. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua T, K: a) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn. b) Sinh viên đó đậu cả hai môn. c) Sinh viên đó bị trượt môn Toán cao cấp. d) Sinh viên đó bị trượt cả hai môn. e) Sinh viên đó chỉ đậu môn Kinh tế lượng. I.3 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ f) Sinh viên đó chỉ đậu một môn. g) Sinh viên đó đậu không quá một môn. Giải Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có a) A = T + K (= T K + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K ); d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B ). 2.4. BIEÁN COÁ SÔ CAÁP - KHOÂNG GIAN CAÙC BIEÁN COÁ SÔ CAÁP – NHOÙM ÑAÀY ÑUÛ CAÙC BIEÁN COÁ • Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được qua các biến cố nào khác ∅ và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi là không gian mẫu. Không gian mẫu thường được ký hiệu là Ω. Cũng có khi dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để ký hiệu. • Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An được gọi là một nhóm (hay hệ) đầy đủ các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, có một và chỉ một trong các biến cố đó xẩy ra. Tức là φ= ≤ ≠ ≤⎧⎨ + + + =⎩ L1 2 , 1 ; . i j n A A i j n A A A U Nói riêng, { },A A là một nhóm đầy đủ gồm hai biến cố. Ngược lại , mỗi nhóm đầy đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập. Ví dụ 1.6. Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc. Đặt • là biến cố mặt i chấm xuất hiện, iA 6,1=i . • C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện. • L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện. Khi đó , , , , , là tất cả các biến cố sơ cấp. Không gian các biến cố sơ cấp là . 1A 2A 3A 4A 5A 6A{ }654321 ,,,,, AAAAAA=Ω Các biến cố C, L không là biến cố sơ cấp vì: 2 4 6 1 3 5 ; . C A A A L A A A = + +⎧⎨ = + +⎩ 2.5. BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP • Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay không xẩy ra của biến cố nào trong chúng đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố còn lại. • Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi là độc lập toàn phần nếu A2 độc lập với A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1. I.4 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ Ví dụ 1.7. Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi môn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau. Chú ý Hai biến cố đối lập thì không thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định sự xẩy ra của biến cố kia. 2.6. VAØI TÍNH CHAÁT CUÛA CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN CAÙC BIEÁN COÁ 1) Tính giao hoán: ABBA +=+ và ABBA .. = . 2) Tính kết hợp: ( ) ( ) CBACBA ++=++ và ( ) ( )CBACBA .... = . 3) Tính phân phối: ( ) CABACBA ... +=+ và ( ) ( )( )CABACBA ++=+ .. . 4) AAA =+ ; AAA =. ; ( ) AA = . 5) Luật DeMorgan: • nn AAAAAA LL 2121 .=+++ . • 1 2 1 2... ...n nA A A A A A= + + + . 3. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT 3.1. NHAÄN XEÙT – YÙ NGHÓA CUÛA XAÙC SUAÁT ‰ Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể không xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta không thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra hay không. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này dễ xẩy ra hơn, còn biến cố kia khó xẩy ra hơn. Nói một cách khác, khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nói chung là khác nhau ‰ Ta muốn lượng hóa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố bởi một con số. Con số đó gọi là xác suất của biến cố đang xét. Nói rõ hơn, xác suất của một biến cố A nào đó là một số, ký hiêu P(A), dùng để đo khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của biến cố A. Xác suất P(A) càng nhỏ thì biến cố A càng khó xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng dễ xảy ra. ‰ Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra hay không xẩy ra của các biến cố chứ dường như không mấy quan tâm đến bản chất thực tế của biến cố. Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau nhưng có xác suất bằng nhau, tức là chúng có khả năng xẩy ra như nhau thì về một mặtnào đó, có thể xem là chúng tương đương với nhau. ‰ Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)? Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A). Chú ý rằng dù xác định xác suất như thế nào thì nó cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển nhiên như sau • P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1; • 0% = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = 100%, v A. ới mọi biến cố ngẫu nhiên I.5 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.6 3.2. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT THEO QUAN ÑIEÅM COÅ ÑIEÅN Giả sử sau khi thực hiện phép thử ta có tất cả n trường hợp đồng khả năng, trong đó có đúng m trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy ra. Khi đó xác suất P(A) của A được định nghĩa như là tỷ số của số trường hợp thuận lợi và số tất cả các trường hợp. Tức là n mAP A=)( Nhận xét • Định nghĩa cổ điển của xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính toán. • Tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp dụng được khi số tất cả các trường hợp đồng khả năng sau phép thử là một số hữu hạn. Ví dụ 1.8. Tung một con xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang. Tính khả năng (xác suất) để a) Mặt 6 chấm xuất hiện ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất hiện. Giải Vì con xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ 1 đến 6 nên sau khi gieo (tức là thục hiện xong phép thử), có đúng 6 trường hợp đồng khả năng Ta đặt tên các biến cố như sau : Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 6,1 ; C là biến cố mặt có số chấm chẵn xuất hiện . Theo yêu cầu đề bài, ta cần tính P(A6) và P(C). Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho A6 và C xẩy ra lần lượt là m6 = 1 và mC = 3. Do đó a) 6 1( ) 6 P A = ; b) 3 1( ) 6 2 P C = = ( = 0, 5 = 50%). Nhận xét • Để dễ trực cảm được khả năng xẩy ra của biến cố, xác suất của biến cố thường được để dưới dạng phần trăm. • 1( ) ; 1, 2,...,6 6i P A i= = ; P(L) = 50% ( L là biến cố mặt có số chấm lẻ xuất hiện). 3.3. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT THEO QUAN ÑIEÅM THOÁNG KE Giả sử ta thực hiện một phép thử τ nhiều lần (trong những điều kiện hoàn toàn giống nhau) và quan sát để đếm số lần xẩy ra của biến cố A. ‰ Nếu trong n lần thực hiện phép thử τ có m lần xuất hiện biến cố A, thì tỷ số n k)A(fn = được gọi là tần suất xuất hiện A trong n lần thử, m được gọi là tần số xuất hiện biến cố A. ‰ Khi số lần thử đủ lớn, tần suất fn(A) sẽ dao động xung quanh một giá trị ổn định nào đó. Giá trị đó được gọi là xác suất của biến cố A. Một cách chính xác, ta định nghĩa Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ P (A) = lim ( )nn f A→+∞ . Nhận xét • Định nghĩa thống kê của xác suất cũng đơn giản, dễ hiểu, nhưng rất khó tính toán một cách chính xác. • Người ta thường xuyên áp dụng định nghĩa này khi xác định xác suất của nhiều sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn. Tuy nhiên, thay cho tính toán chính xác, ta xấp xỉ P(A) với chính tần suất fn(A) của A khi n (số lần lặp phép thử) đủ lớn. Ví dụ 1.9. Khi tung nhiều lần một đồng tiền cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động quanh giá trị 0,5. – Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp là 2.048, tần suất là 0,5080. – Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp là 6.019, tần suất là 0,5016. – Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp là 12.012, tần suất là 0,5005. Như vậy, xác suất để xuất hiện mặt sấp là 0,5 = 50%. 3.4. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT THEO QUAN ÑIEÅM HÌNH HOÏC Trong nhiều trường hợp, ta có thể dùng hình học để xác định xác suất. Ta sẽ giới thiệu định nghĩa này thông qua một ví dụ cụ thể. Ví dụ 1.10. (Bài toán hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h. Mỗi người đến (và chắc chắn đến) địa điểm đã hẹn trong khoảng thời gian đó một cách độc lập, chờ 20 phút, nếu không gặp người kia thì bỏ đi. Tính khả năng ( xác suất ) để hai người gặp nhau. Giải Gọi G là biến cố hai người gặp nhau; X, Y là thời điểm đến của mỗi người. Rõ ràng X, Y đều là một điểm ngẫu nhiên trong đoạn [20; 21]. Để G xẩy ra, tức là hai người gặp nhau, ta phải có 20X Y− ≤ (phút) = 1 3 (giờ). Xem cặp (X, Y) như là một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó ta được hai miền phẳng (D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất cả các trường hợp; (G) = { (X, Y) ∈(D) / 1 3 X Y− ≤ }: biểu diễn các trường hợp thuận lợi cho biến cố G xẩy ra. Rõ ràng miền (G) càng to so với (D) thì khả năng gặp nhau của hai người càng lớn. Do đó sẽ là rất hợp lý khi ta định nghĩa P(G) chính là tỷ số diện tích của hai miền (G) và (D), tức là P(G) = 5 ( ) 59 ( ) 1 9 S G S D = = . I.7 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ 4. COÂNG THÖÙC COÄNG XAÙC SUAÁT 4.1. TRÖÔØNG HÔÏP CAÙC BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC • Cho hai biến cố A, B là hai biến cố xung khắc. Ta có công thức cộng xác suất như sau )()()( BPAPBAP +=+ • Cho n biến cố A1, A2,…,An xung khắc từng đôi, ta có công thức cộng xác suất như sau )(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP +++=++ 4.2. TRÖÔØNG HÔÏP CAÙC BIEÁN COÁ BAÁT KYØ Với A, B, C là các biến cố bất kỳ (không nhất thiết xung khắc). Ta có công thức cộng xác suất tổng quát như sau ).()()()( BAPBPAPBAP −+=+ ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC+ + = + + − − − + . 4.3. XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ ÑOÁI LAÄP Cho biến cố A trong phép thử τ, A có biến cố đối lập là A . Ta có công thức )(1)( APAP −= . Ví dụ 1.11. Theo thống kê của Bộ nông nghiệp Hoa kỳ, diện tích toàn bộ các nông trại tại nước này được cho bởi bảng sau Diện tích (ha) Tần suất Biến cố Dưới 10 0,087 A 10-49 0,192 B 50-99 0,156 C 100-179 0,173 D 180-259 0,098 E 260-499 0,143 F 500-999 0,085 G 1.000-1999 0,040 H Từ 2.000 trở lên 0,026 I Chọn ngẫu nhiên một nông trại. Sử dụng bảng thống kê trên, hãy tính xác suất để nông trại được chọn có diện tích: a) Từ 100 đến 499 ha. b) Nhỏ hơn 2.000 ha. c) Không dưới 50 ha. I.8 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ Giải Gọi J, K, L lần lượt là các biến cố nông trại được chọn thỏa mãn yêu cầu của các câu a, b, c. Ta cần tính các xác suất P(J), P(K), P(L). Từ bảng đã cho ta thấy: J = D + E + F; K = I ; L = A B+ . Vì các biến cố đã cho trong bảng từng đôi xung khắc nên ta có: a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4%. b) P(K) = ( )P I = 1 – P(I) = 1 – 0,026 = 0,974 = 97,4%. c) P(L) = P( A B+ ) = 1 – P(A+B) = 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1%. Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1%. Ví dụ 1.12. Tại một câu lạc bộ âm nhạc, thăm dò 100 người thì thấy có 80 người thích nhạc Văn Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Công Sơn; 60 người thích nhạc của cả hai nhạc sỹ trên. Chọn ngẫu nhiên một người trong số họ. Tính xác suất để người này thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên. Giải Đặt C là biến cố người được chọn thích nhạc Văn Cao. S là biến cố người được chọn thích nhạc Trịnh Công Sơn. T là biến cố người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên. Do C, S không xung khắc nên áp dụng công thức xác suất cộng P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS) = 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90%. Kết luận: Xác suất để người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên là 90%. 5. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN VAØ COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT 5.1. COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT KHI CAÙC BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP • Với A, B là hai biến cố độc lập, ta có công thức nhân xác suất như sau )().().( BPAPBAP = • Cho n biến cố A1, A2…, An độc lập toàn phần. Công thức nhân xác suất đối với chúng như sau )()()(( n21n21 AAA)A...AA PPPP K= Ví dụ 1.13. Tung con xúc xắc 3 lần. Tính xác suất mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Giải Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở lần tung thứ i, i= 1,2,3. Gọi A là biến cố mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Ta cần tính P(A). Rõ ràng là I.9 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A A A A A= + + + . Do đó ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A P A A A A A A A A A A A A= + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A A A P A A A P A A A P A A A= + + + . Vì các biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung độc lập với nhau nên ta có 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 5 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 216 P A A A P A A A P A A A P A P A P A= = = = × × = ; 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 216 P A A A P A P A P A= = × × = . Kết luận: ( ) 2 27 P A = . 5.2. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN VAØ COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT KHI CAÙC BIEÁN COÁ KHOÂNG ÑOÄC LAÄP Cho A, B là hai biến cố tùy ý. Giả sử B đã xẩy ra rồi. Khi đó xác suất của biến cố A (được tính trong điều kiện biết biến cố B đã xảy ra) được gọi là xác suất (có điều kiện) của A trong điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu là P(A/B). Công thức xác suất có điều kiện như sau ( . )( ) ( ) A B P A BP P B = ; ( . )( ) ( ) B A P B AP P A = . Do đó ( . ) ( ) ( )A BP A B P P B= ; ( ) ( )( ) ( ) B AA B P P AP P B = . Rõ ràng là khi A, B độc lập thì )()( APP BA = và )()( BPP AB = . Từ đây ta có thể tổng quát công thức nhân cho n biến cố bất kỳ A1, A2, … ,An (không nhất thiết độc lập) như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 1 3 1 2 1 2 1A A ... A A A / A / / ...n nP P P A P A A P A A A −= K A . Ví dụ 1.14. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có hai sản phẩm xấu. Chọn lần lượt mỗi lần một sản phẩm cho đến khi phát hiện đủ hai sản phẩm xấu thì dừng. Tính xác suất để dừng lại ở lần chọn thứ 3 nếu a) Chọn không hoàn lại. b) Chọn có hoàn lại. Giải Đặt Xi là biến cố chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ i, 20,1=i . D là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ 3. Ta cần tính P(D). Dễ thấy 321321 XXXXXXD += (các biến cố này xung khắc với nhau). Do đó ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3P D P X X X P X X X= + . a) Chọn không hoàn lại. Các biến cố không độc lập. Do đó ta có: 321 ,, XXX I.10 Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Ke⠉ )/()/()()( 213121321 XXXPXXPXPXXXP = 2 18 1 2 1. . . 20 19 18 20.19 190 = = = .. ‰ )/()/()()( 21