Bài giảng Lý thuyết sóng

Chương 10. Lý thuyết sóng Chương 10 LÝ THUYẾT SÓNG Chuyển động sóng của chất lỏng là quá trình lan truyền dao động của mặt nước. Nguyên nhân gây ra sóng có thể là do các yếu tố chủ yếu sau: - Sóng do tàu chuyển động; - Sóng do gió; - Sóng do dao động của nền; - Sóng thuỷ triều. Trong các yếu tố trên ta chỉ xét sóng do gió là chủ yếu. Sóng do gió còn được gọi là sóng trọng lực (sóng dao động do trọng lượng bản thân). Trong lý thuyết sóng, chất lỏng được coi như là chất lỏng lý tưởng, dòng chảy được coi là dòng chảy thế (là dòng chảy không có xoáy). Chất lỏng trong lý thuyết sóng được coi là chất lỏng lý tưởng vì trên thực tế cho thấy sóng lan truyền ở khu vực nước sâu có thể đi xa hàng trăm km mà hình dạng ít thay đổi hoặc không thay đổi. Khi sóng lan truyền ở vùng nước sâu thì chiều cao của sóng so với chiều dài của sóng là tương đối nhỏ ( l h nhỏ) khi đó có thể áp dụng lý thuyết sóng tuyến tính biên độ nhỏ. h λH z y x zV =zV(x,y,z) Hình vẽ 10- 1. Sơ đồ tính toán sóng. 10.1. Hệ phương trình chuyển động của sóng 10.1.1 Phương trình Laplace: 0 zyx 2 2 2 2 2 2 =∂ ϕ∂+∂ ϕ∂+∂ ϕ∂ (10- 1) Dòng chảy thế thì có hàm thế vận tốc ϕ. Phương trình Laplace còn được gọi là phương trình liên tục. Phương trình này phải thoả mãn điều kiện ban đầu như sau: )0,,( )0,,,( yx zyx oo oo ηη ϕϕ = = (10-2) 10.1.2. Phương trình điều kiện động học trên mặt nước 10-1 Chương 10. Lý thuyết sóng Lấy vi phân toàn phần của η theo t: dt dy ydt dx xtdt d ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ηηηη (10-3) Với: zvdt d =η ; xvdt dx = ; yvdt dy = η - độ lệch của sóng so với mặt nước lặng tại thời điểm và vị trí đang xét, là hàm của thời gian và toạ độ. Hàm thế vận tốc là một hàm khi đạo hàm theo đơn vị chiều dài của chiều nào thì ra chính vận tốc của chiều đó, vậy ta có: Zvzdt d =∂ ∂= ϕη ; Xvxdt dx =∂ ∂= ϕ ; yvydt dy =∂ ∂= ϕ → yyxxtz ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ ϕηϕηηϕ (10-4) Phương trình trên là điều kiện động học khi η=z . 10.1.3. Phương trình điều kiện động lực trên mực nước. Phương trình này còn được gọi là phương trình Lagrange. 0 2 1 2 22 =+⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ ηϕϕϕϕ g zyxt (10-5) Vậy có hệ gồm 3 phương trình: phương trình Laplace, phương trình động học và phương trình động lực. 10.2. Lý thuyết sóng tuyến tính (biên độ nhỏ). 10.2.1.Hệ phương trình chuyển động sóng tuyến tính Đối với sóng lan truyền tại khu vực nước sâu thì chiều cao sóng so với bước sóng thường nhỏ do đó độ dốc của sóng x∂ ∂η không lớn, có thể bỏ qua. Lý thuyết sóng, trong đó không tính đến độ dốc của sóng và bỏ qua các thành phần tuyến tính, gọi là sóng biên độ nhỏ. Ngược lại sóng phi tuyến có tính đến độ dốc của sóng còn được gọi là sóng có biên độ hữu hạn. Xét mô hình phẳng (không có thành phần toạ độ y), biên độ nhỏ và bỏ qua thành phần phi tuyến trong phương trình động học ta có hệ phương trình: 10-2 Chương 10. Lý thuyết sóng ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ =∂ ∂+∂ ∂ 0 02 2 2 2 ηϕ ηϕ ϕϕ g t tz zx (10-6) 10.2.2. Hàm thế vận tốc Từ phương trình thứ 3 của (10-6) suy ra: tg∂ ∂−= ϕη 2 21 tgt ∂ ∂−=∂ ∂ ϕη Kết hợp với phương trình 2 của(10-6): 2 21 tgz ∂ ∂−=∂ ∂ ϕϕ 01 2 2 =∂ ∂+∂ ∂⇒ tgz ϕϕ (10-7) Hệ phương trình chuyển động sóng trở thành: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ϕ∂+∂ ϕ∂ =∂ ϕ∂+∂ ϕ∂ 0 tz .g 0 zx 2 2 2 2 2 2 (10-8) Việc giải hệ phương trình thực hiện bằng cách phân tích biến, đặt: )()()( 321 zxt ϕϕϕϕ = Thay vào phương trình Laplace ta có: 02 3 2 212 2 2 31 =∂ ∂+∂ ∂ zx ϕϕϕϕϕϕ (do zx ∉∉ 2131 , ϕϕϕϕ ) 2 2 " 2 3 " 3 kconst ±==−=→ ϕ ϕ ϕ ϕ (vì ϕ2 và ϕ3 là hàm của hai biến độc lập) ikxikx eBeB −+= 212ϕ (có dạng dao động điều hòa) (10-9) kxkx eBeB −+= 432ϕ (loại vì hàm thế tăng vô hạn khi x tăng vô hạn) kzkz eDeD −+= 213ϕ ikzikz eDeD −+= 433ϕ (loại vì thế vận tốc giảm dần theo độ sâu) Xét điều kiện biên: 0 z =∂ ϕ∂ khi z= -d 10-3 Chương 10. Lý thuyết sóng 03 =∂ ∂ z ϕ 0)( 21 =−→ − kdkd eDeDk 021 =−→ − kdkd deDdeD → kd kd e e D D −= 2 1 Đặt: 221 DeDeD kdkd ==− ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = → − kd kd e DD e DD 2 2 2 1 [ ] )( 2 )()( 3 dzDchkee D dzkdzk +=+=→ +−+ϕ (10-10) Khi H>>1 thì: )( 3 2 dzkeD +=ϕ Thay )()()( 321 zxt ϕϕϕϕ = vào phương trình 2 của (10-8) ta có: 02312 1 2 32 =∂ ∂+∂ ∂ z g t ϕϕϕϕϕϕ 2 2 2 1 " 1 ωϕ ϕ ϕ ϕ ±==∂ ∂=→ const z g (vì ϕ1 và ϕ2 là hàm của hai biến độc lập) Vậy ta có phương trình: 01 2" 1 =± ϕωϕ (10-11) Gọi A là nghiệm của phương trình đặc trưng: ⎩⎨ ⎧ ±= ±=→=± ω ωω 4,3 2,122 0 A iA A Khi đó hàm ϕ1 được tính như sau: titi eAeA ωωϕ −+= 211 (có dạng dao động điều hòa) tt eAeA ωωϕ −+= 431 loại vì khi t→∞ thì ϕ→∞ mà sóng không tăng biên độ. Nghiệm tổng hợp ϕ được xác định: )sin(3 )( 3321 tkxABABe tkxi ωϕϕϕϕϕϕ ω −=== − (10-12) Thay 3ϕ vào ta có kết quả: ( ) ( dzchktkxF +−= )ωϕ sin (10-13) Trong đó: 10-4 Chương 10. Lý thuyết sóng F =const; ω- tần số; k - số sóng. 10.2.3 Phương trình dao động sóng. Dao động bề mặt sóng được xác định theo công thức: )cos()( )cos()(1 tkxdzFchk g tkx g dzFchk tg ωω ωωϕη −+= −+=∂ ∂−= (10-14) Với z =0 ta có phương trình dao động sóng: )cos()cos( tkxatkxFchKd g ωωωη −=−= (10-15) Trong đó: a- biên độ dao động. ) 2 ( kdkd eechkdFchkd g a −+== ω chkd agF ω=→ Thay giá trị F vào hàm thế ta có: )sin()( tkxdzchk chkd ag ωωϕ −+= (10-16) 10.2.4. Các đặc trưng cơ bản của sóng Các đặc trưng cơ bản của sóng bao gồm: c- vận tốc lan truyền sóng; k - số sóng; τ - chu kỳ sóng; ω - tần số dao động. Mối liên quan giữa các đại lượng đó như sau: ω πτλ πω 2;2; === k k c Để xác định ω ta thay hàm thế vào phương trình sau: 02 2 =∂ ∂+∂ ∂ z g t ϕϕ (khi z=0) Thực hiện các phép tính đạo hàm ta được: )sin()( tkxdzchk chkd ag ωωϕ −+= 10-5 Chương 10. Lý thuyết sóng chkd dzchktkxgat )()sin(" +−−=→ ωωϕ Mặt khác: chkd dzshktkxakg z )()sin( 2 +−−=∂ ∂ ωω ϕ Vậy: chkd dzshktkxakg chkd dzchktkxga )()sin()()sin( 2 +−−=+−− ωωωω )( )(2 dzchk dzkgshk + +=↔ω thay z=0 ( )dkgthk=⇒ω (10-17) Trường hợp nước nông với λ π2=k có: ( )dgthkλ πω 2= (10-18) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== dthg k c λ π π λω 2 2 (10-19) gthkd πλ ω πτ 22 == (10-20) Trường hợp nước sâu: d=∞; d≤ 2 λ gλ πω 2= (10-21) π λω 2 g k c == g πλτ 2= Trường hợp nước rất nông 1≤λ d gddthgc =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= λ π π λ 2 2 vì λ π λ π ddth 22 ≈⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ (10-22) gdλ πω 2= dg. λτ = 10.2.5. Vận tốc và phương trình quỹ đạo phần tử nước 10-6 Chương 10. Lý thuyết sóng 10.2.4.1. Vận tốc: Xuất phát từ hàm thế của vận tốc: )sin()( tkxdzchk chkd ag ωωϕ −+= Vận tốc theo phương ngang và phương đứng được xác định bằng cách đạo hàm hàm thế theo phương tương ứng: )cos()( tkxdzchk chkd agk x vx ωω ϕ −+=∂ ∂= (10-23) )sin()( tkxdzshk chkd agk z vz ωω ϕ −+=∂ ∂= 10.2.4.2. Phương trình quỹ đạo phần tử nước. Đặt giả thiết vị trí đang xét có tọa độ z0, x0 sau một khoảng thời gian phần tử nước di chuyển được quãng đường: ∫ −+−==− )sin()( 0020 tkxdzchkchkdgakdtvxx x ωω ∫ −+==− )cos()( 0020 txkdzshkchkdgakdtvzz z ωω Suy ra: 1)(cos)(sin )( )( )( )( 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 =−+−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + −+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − tkxtkx chkd dzgakshk zz chkd dzgakchk xx ωω ωω (10-24) Đây là phương trình ellipse vậy quỹ đạo của phần tử nước của sóng tuyến tính có dang ellipse, càng xuống dưới kích thước của ellipse càng nhỏ. 10.3. Lý thuyết sóng phi tuyến (biên độ hữu hạn). Lý thuyết sóng có biên độ hữu hạn (Stokes) còn gọi là sóng bậc cao. Lý thuyết sóng Stokes cho kết quả thoả đáng đối với vùng nước tương đối sâu (d/L>0,1). Lý thuyết sóng này được Stokes phát triển từ năm 1847. Ý tưởng cơ bản của lý thuyết sóng này là phân tích phương trình mặt sóng thành chuỗi và xác định các hệ số của chuỗi từ các điều kiện thoả mãn các phương trình thuỷ động lực học đối với sóng có biên độ hữu hạn. Sóng Stokes biểu diễn hàm thế φ dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( )nn33221 .H.H.H.H φ++φ+φ+φ=φ KK Cấp của sóng được xác định bởi số các số hạng được giữ lại trong chuỗi. Như vậy, sóng biên độ hữu hạn là sóng có cấp >1. Các thông số sóng Stokes theo các cấp được xác định như sau: 10.3.1. Sóng Stokes bậc 1: Trong (1.30), nếu giá trị số hạng thứ hai rất nhỏ so với số hạng thứ nhất thì có thể bỏ qua số hạng thứ hai và các số hạng tiếp theo, hàm thế vận tốc φ chỉ lấy số hạng thứ nhất, lúc đó hàm và các đặc trưng sóng trùng với kết quả sóng tuyến tính (Airy). φ 10-7 Chương 10. Lý thuyết sóng 10.3.2. Sóng Stokes bậc 2: Hàm thế vận tốc sóng có dạng: φ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tkx kdsh dzkch L H kT H tkx shkd dzkch Tk Htzx ωππ ωπφ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ −+= 2sin2. 8 3 sin. . ,, 4 (10-25) Phương trình đường mặt sóng: ( ) [ ] ( tkxkdch kdsh chkd L HHtkxH ωπωη −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+−= 2cos22 8 cos 2 3 ) (10-26) Với đỉnh sóng và bụng sóng xác định theo biểu thức: kd kdshL HH coth 2 31 .42 2 2 max ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= πη (10-27) kd kdshL HH coth 2 31 .42 2 2 min ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−= πη Các thành phần vận tốc theo phương ngang và phương đứng: ( )[ ] ( ) ( ) ( )tkx kdsh dzkch L H T H tkx shkd dzkch T H x u ωππ ωπφ −++ −+=∂ ∂= 2cos2.. 4 3 cos 4 (10-28) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tkx kdsh dzksh L H T H tkx shkd dzksh T H z v ωππ ωπφ −++ −+=∂ ∂= 2sin2. 4 3 sin 4 (10-29) Các đặc trưng sóng Stokes bậc 2 được tóm tắt trong bảng 1.1. Bảng 10- 1. Các thông số sóng Stokes bậc 2. Hàm thế vận tốc: ( ) ( ) ( ) ( ) θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ππ+θπ=φ 2sin. kdsinh ks2cosh. L H.. T.k H.. 8 3sin. kdsinh kscosh. T.k H. 4 Vận tốc lan truyền: ( )kdtanh. k g k c 2 2 2 =ω= Đường mặt sóng: ( ) ( ) ( )[ ] θ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π+θ=η 2cos.kd2cosh2. kdsinh kdcosh. L H.. 8 Hcos. 2 H 3 Chuyển dịch phần tử nước theo phương ngang: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t.kdsinh ks2cosh. L H.. 4 H 2sin. kdsinh.2 ks2cosh.31. kdsinh 1. L H.. 8 H sin. kdsinh kscosh. 2 H 2 22 3 ω⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π+ θ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π+ θ−=ξ Chuyển dịch phần tử nước theo phương đứng: ( ) ( ) ( ) ( ) θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π+θ=ξ 2cos. kdsinh ks2sinh. L H.. 16 H.3cos. kdsinh kssinh. 2 H 4 Vận tốc phần tử nước theo phương ngang: ( ) ( ) ( ) ( ) θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ππ+θπ= 2cos. kdsinh ks2cosh. L H.. T H.. 4 3cos. kdsinh kscosh. T H.u 4 10-8 Chương 10. Lý thuyết sóng Vận tốc phần tử nước theo phương đứng: ( ) ( ) ( ) ( ) θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ππ+θπ= 2sin. kdsinh ks2sinh. L H.. T H.. 4 3sin. kdsinh kssinh. T H.w 4 Gia tốc phần tử nước theo phương ngang: ( ) ( ) ( ) ( ) θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ππ+θπ=∂ ∂ 2sin. kdsinh ks2cosh. L H.. T H..3sin. kdsinh kscosh. T H..2 t u 42 2 2 2 Gia tốc phần tử nước theo phương đứng: ( ) ( ) ( ) ( ) θ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ππ−θπ−=∂ ∂ 2cos. kdsinh ks2sinh. L H.. T H..3cos. kdsinh kssinh. T H..2 t w 42 2 2 2 Áp suất: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 1 4 12 3 12 2 1 4 3 2 1 2 − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ πρ−θ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ πρ+θρ+ρ−= kscosh. kdsinh . L H. H.g..cos. kdsinh kscosh . kdsinh . L H. H.g..cos. kdcosh kscosh .H.g..z.g.p Năng lượng trung bình sóng: [ ]( )42 c0H.g..81E +ρ= 10.3.3. Sóng Cnoidal Lý thuyết sóng Cnoidal thích hợp với vùng nước độ sâu tương đối nhỏ (d/L<0,1), lý thuyết này được Corteverg và Dephriz đề xuất năm 1985, sau đó có nhiều công trình nghiên cứu và phát triển thêm. 10.3.3.1. Phương trình sóng bề mặt. Sóng Cnoidal là sóng điều hoà, bề mặt sóng được mô tả theo biểu thức: ( )mtkxHcn ,2min ωηη −+= (10-30) Trong đó: η - độ chênh lệch của mặt sóng so với MNL tại điểm có toạ độ x ở thời điểm t; minη - độ lệch ứng với đáy sóng; H- chiều cao sóng; cn - hàm eliptic Jacobien với môđun m (0≤m≥1). d H L η ηmin MNTBMNLy x ν u Hình vẽ 10- 2. Các thông số sóng Cnoidal Môđun m quan hệ với chiều cao sóng H, chiều dài sóng L và độ sâu nước d theo biểu thức: 3 2 2* 16 3 d HLmk = (10-31) k* là thông số tích phân eliptic toàn phần phụ thuộc vào m, các giá trị của m, k*, được nêu trong bảng (10-2). 32 / dHL 10-9 Chương 10. Lý thuyết sóng Các yếu tố đặc trưng sóng như số sóng k, tần số vòng ω , chiều dài sóng L và chu kỳ T liên hệ với nhau theo các biểu thức: L kk *2= ; T k *2=ω (10-32) 2 22 *2 11 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= k E md Hgdkω (10-33) Trong đó: g- gia tốc trọng trường; E- thông số tích phân eliptic toàn phần bậc hai phụ thuộc vào môđun m, được lấy theo bảng (10-2). Nếu cho trước chiều dài sóng L thì tìm được số sóng k theo (10-32), tần số sóng và chu kỳ sóng T theo 2 biểu thức trên. ω Đại lượng trong (10-30) được xác định theo biểu thức: minη ( ) * 1*min mk Emk H −−=η (10-34) Bảng 10- 2. Các thông số dùng trong lý thuyết sóng Cnoidal. m HL2/d3 k* E 0 0 1.571 1.571 0.100 1.38 1.612 1.531 0.200 2.94 1.660 1.489 0.300 2.71 1.714 1.445 0.400 6.74 1.778 1.399 0.500 9.16 1.854 1.351 0.600 12.17 1.950 1.298 0.700 16.09 2.075 1.242 0.800 21.74 2.257 1.178 0.900 31.90 2.578 1.105 0.950 42.85 2.908 1.060 0.990 72.13 3.696 1.016 1.000 ∞ ∞ 1.00 Từ (10-30), độ lệch mặt sóng xác định theo biểu thức: ( mcn H ,2min θ )ηη =− (10-35) Trong đó: tkx ωθ −= Các giá trị bằng số của (10-35) ứng với các giá trị m,θ khác nhau cho trong bảng (10-3), trường hợp m=1, thì các đại lượng trong bảng sẽ thay đổi tuần hoàn với chu kỳ 2k*. Như vậy các giá trị trong bảng ứng với nửa chu kỳ, nếu giá trị của nằm ngoài miền xét thì thay bằng (2k-θ ) rồi sử dụng bảng (10-3) để xác định đại lượng θ θ( ) H/minηη − . 10-10 Chương 10. Lý thuyết sóng 10.3.3.2. Vận tốc và gia tốc. Lý thuyết sóng Cnoidal thích hợp đối với vùng nước tương đối cạn, khi đó vận tốc của phần tử chất lỏng theo phương ngang là đặc trưng cơ bản: η 21 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= d gVx (10-36) Từ biểu thức trên, gia tốc theo phương ngang xác định theo biểu thức: x VV t VW xxxx ∂ ∂+∂ ∂= (10-37) Dùng các phép biến đổi tương ứng với các hàm eliptic nhận được: ( ) A d gVCkHW xx 21 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−±= (10-38) Trong đó: C- vận tốc truyền sóng: kC /ω= 21 minminmin 11 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−= H mm HH A ηηηηηη (10-39) Trong (10-38): giá trị dương của W, tương ứng với 0≤θ≤k*; giá trị âm của W, tương ứng với trường hợp k*≤θ≤2.k*. 10.3.3.3. Áp suất. Áp suất ở độ cao z so với đáy biển (sinh ra do sóng và áp lực thuỷ tĩnh) được xác định theo công thức: ( zdgp −+= )ηρ (10-40) Với ρ là mật độ nước biển. Bảng 10- 3. Các giá trị gần đúng ( ) H/minηη − . θ m=0.0 m=0.2 m=0.4 m=0.6 m=0.8 m=1.0 0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.2 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.4 0.848 0.850 0.852 0.852 0.854 0.856 0.6 0.681 0.687 0.694 0.699 0.706 0.712 0.8 0.487 0.500 0.516 0.530 0.545 0.560 1.0 0.292 0.317 0.342 0.368 0.394 0.420 1.2 0.131 0.162 0.194 0.229 0.266 0.305 1.4 0.029 0.053 0.085 0.123 0.166 0.216 1.6 0.001 0.003 0.019 0.049 0.094 0.151 1.8 0.052 0.016 0.000 0.009 0.044 0.104 2.0 0.175 0.062 0.028 0.001 0.013 0.071 10.3.4. Phạm vi sử dụng các lý thuyết sóng Việc tồn tại nhiều lý thuyết sóng khác nhau dẫn đến yêu cầu phải xác định phạm vi áp dụng đúng của các lý thuyết. Có thể sử dụng phương pháp đánh giá phạm vi áp dụng các lý thuyết sóng theo sơ đồ của LeMehauté (1976) dựa vào các thông số H/T2 và d/T2. 10-11 Chương 10. Lý thuyết sóng Hình vẽ 10- 3. Phạm vi áp dụng các lý thuyết sóng 10.4. Sóng nước nông. 10.4.1. Phương trình cân bằng năng lượng sóng khi lan truyền. Khi sóng lan truyền trên các độ sâu khác nhau ta có năng lượng toàn phần không đổi, từ đó ta có phương trình: 222111 mm EuaEua = Trong đó: ad - khoảng cách giữa các tia sóng; ud - vận tốc lan truyền năng lượng; Em - năng lượng trung bình trên một đơn vị chiều dài sóng. Trong trường hợp sóng nước sâu vào nước nông ta có: mdddm EuaauE = a, u, - sóng nước nông; mE mddd E,u,a - sóng nước sâu. Hai phương trình trên dùng để xác định chiều cao sóng nước nông có độ sâu và mái dốc thay đổi. 10.4.2. Sóng khúc xạ. Khúc xạ sóng xẩy ra khi sóng truyền tới vùng nước nông dưới một góc nào đó với đường bờ. Hiện tượng này làm thay đổi đường đỉnh sóng. 10-12 Chương 10. Lý thuyết sóng Đặt giả thiết sóng lan truyền theo một phương nào đó, hợp với trục x một góc α. xco sα ysi nα S x y α x yS S y x α h−íng sãng Hình vẽ 10- 4. Sóng khúc xạ Khi đó ta có: ( )tkSa ωη −= cos Trong đó: k - số sóng theo phương S; S- quãng đường theo phương truyền sóng. Dễ dàng thấy: S = xcosα + ysinα, hay: ( ) ( )[ ] ( )tkykxa tyxkatyx ωαα ωααη −+= −+= sincoscos sincoscos,, Gọi , là số sóng theo phương x, y ta có: xk yk αcoskkx = ; αsinkk y = Ta có phương trình: ( ) ( )tykxkatyx yx ωη −+= cos,, Đặt: ( ) tkktyxG yx ω−+=,, Khi đó: x Gkx ∂ ∂= ; y Gk y ∂ ∂= ; t G ∂ ∂−=ω Như vậy G(x, y, t) là hàm thế của số sóng k: ( )Ggradk = Từ điều kiện chuyển động sóng là chuyển động thế, không xoáy nên rot (grad G)=0 → 0=∂ ∂−∂ ∂ y k x k xy Mặt khác: 10-13 Chương 10. Lý thuyết sóng ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=∂ ∂ t GgradgradG t → ( ) 0=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ t GgradgradG t Thay k=grad G ; ω−=∂ ∂ t G , ta có: 0=+∂ ∂ ωgrad t k Hệ phương trình sau dùng để giải bài toán khúc xạ: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+∂ ∂ =∂ ∂−∂ ∂ 0 0 ωgrad t k y k x k xy Để đơn giản hoá coi sóng lan truyền theo hướng S là đều theo thời gian và không thay đổi theo hướng y. 0=∂ ∂ t k ; 0=∂ ∂ y k x Thay vào hệ trên ta có: gradω=0 và 0=∂ ∂ x k y → ; const=ω constk y = Hay: const c kk y === αωα sinsin Suy ra: const c =αsin (10-41) Đây chính là định luật khúc xạ Snell. 10.4.3. Chiều cao sóng nước nông. Kết hợp định luật khúc xạ và phương trình cân bằng dòng năng lượng ta có hệ phương trình lan truyền sóng vùng nước nông. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = mdddm dd EuaauE c c α α sin sin nước sâu vào nước nông ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = ''' 'sin sin ' mm EuaauE c c α α nước nông vào nước nông Khi tìm các thông số sóng trong hướng lan truyền thì tham số sóng vùng xuất phát phải biết, thường gọi là tham số sóng khởi điểm. Trong vùng sóng lan truyền chu kỳ sóng T coi như không đổi (thực tế khẳng định) Xét trường hợp sóng lan truyền từ nước sâu vào nước nông ta có: 10-14 Chương 10. Lý thuyết sóng 2 8 1 dmd ghE ρ= ; 28 1 ghEm ρ= ; dd CU 2 1= ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= λ π λ π dsh d CU 4 4 1 2 1 ; π λ 2 2 d d g C = ; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= λ π π λ dthgC 2 2 2 ; πλ 2 2gT= Đặt: d NC λ λ= , Mặt khác: T C λ= → d d d C T C T λ==λ= → d d CC λ=λ → dd C C=λ λ (10-42) → 2 d 2 2 d 2 C C=λ λ → π λ λ π π λ λ λ .2 2 2 2 2 dd g dg ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = → ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= λ π λ λ dth d 2 → ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= dN N d C thC λ π2 Như vậy sẽ xác định được nhờ phép gần đúng dần (lặp). NC Xét hai độ sâu và trong vùng nước nông. Khi đó ta sẽ có các tham số sóng tương ứng là và id 1id + ii c;λ 1i1i c; ++λ . Do chu kỳ không đổi nên: i 2 1i 2 i 2 1i 2 C C ++ =λ λ → i 1i i 1i C C ++ =λ λ → i 1i d 1i d 1i C C + + + = λ λ λ λ ⇒ i 1i Ni 1N C C C C i ++ = (10-43) Định luật khúc xạ được viết lại theo dạng sau: ( ) i ii Ni Ni C C α αα sin sin1 ∆+=+ (10-44) Trong đó: iα - góc hợp của tia sóng với pháp tuyến của đường đồng mức. iα∆ - góc lệnh thêm của tia sóng so với hướng cũ, đại lượng này hoàn toàn xác định được khi biết . 1NiNii C,C, +α Theo điều kiện bảo toàn năng lượng, ta có: mdddm EuaauE = Thay giá trị của các đại lượng ta có: 10-15 Chương 10. Lý thuyết sóng ( ) 22 8 1 2 1 8 1 4 41 2