Bài giảng Mô hình hóa các thực thể hình học

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 3. MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC 3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật. 3.1.1. PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC. Mô hình toán học biểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn, phương trình tường minh hoặc phương trình tham số. Phương trình ẩn và phương trình tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D. Đường cong đa thức tương ứng với các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau: Phương trình đa thức ẩn. 0),( 0 0 == ∑∑ = = m i n j ji ij yxcyxg Phương trình đa thức tường minh. ...)( 2 +++== cxbxaxfy (theo toạ độ Đề các) ...)( 2 +++== γθβθαθhr (theo toạ độ cực) Phương trình đa thức tham số. ...))(),(),(()( 2 +++=≡ ctbtatztytxtr Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm: 1, Đường cong đa thức chuẩn tắc, 2, Đường cong Ferguson, 3, Đường cong Bezier, 4, Đường cong B-spline đều, 5, Đường cong B-spline không đều. 3.1.2. ĐƯỜNG CONG 2D. Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn. Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 0)()( 222 =−−+− rbyax ; 0=++ cbyax Mô hình này có ưu điểm: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến, - Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong. Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt và mặt nón, đường cong conic có thể là: 1, Elip : 01 2 2 2 2 =−+ b y a x 2, Parabôn : 042 =− axy 3, Hyperbôn : 01 2 2 2 2 =−− b y a x Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được sử dụng. 2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh. Phương trình tường minh dạng : y = f(x) = a + bx + cx2 + ... mô tả đường cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol. Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức là: 0)(),( =−≡ xfyyxg hoặc x(t) = t ; y(t) = f(t) (3.1) Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và phương trình tham số, đó là: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến. - Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong. - Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự. Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể điều khiển đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi là dạng phi tham số. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3.1.3. ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ. Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P0, P1, t0, t1. Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc. Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định. Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu2 + du3 Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở U và vectơ hệ số A như sau: [ ] UA d c b a uuuur = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 321)( với 10 ≤≤ u (3.2) Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { Pi: i = 1,...,4} theo phương pháp sau: Đặt di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1: iii PPd −= +1 với i = 0, 1, 2 Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định như sau: 00 =u ; ∑= iddu /01 ; ∑+= idddu /)( 102 ; 13 =u Đường cong bậc 3 (3.2) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện: ii Pur =)( ; với i = 1,...,4 Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình đa thức: ∑ = = n i i iuaur 0 )( 2. Đường cong Ferguson. Ferguson giới thiệu một phương pháp khác sử dụng phương trình (3.2). Theo đó đường cong được thiết lập bởi (Hình 3.1): a. Hai điểm đầu cuối P0 và P1. b. Tiếp tuyến đầu cuối t0 và t1. r(u) t0 t1 P0 P1 Hình 3.1 - Đường cong Ferguson C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Đường cong bậc 3 (3.2) thoả điều kiện biên P0, P1, t0, t1 chúng phải đảm bảo: dcbrt brt dcbarP arP 32)1( )0( )1( )0( 1 0 1 0 ++== == +++== == & & (3.3) Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức được xác định theo biểu thức: CS t t P P d c b a A ≡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−=⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 0 1122 1233 0100 0001 (3.4) Kết hợp biểu thức (3.2) và (3.4), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau: S)( UCUAur == , với 10 ≤≤ u (3.5) Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến 0110 PPtt −== . Sự lựa chọn này thoả yêu cầu về hình dáng. Phương trình (3.2) và (3.5) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở. Có thể biểu diễn (3.5) dưới dạng khác: r(u) = (U C) S = (1- 3u2 +2u3)P0 + (3u2 - 2u3)P1 + (u - 2u2 + u3)t0 + (-u2 + u3)t1 (3.6) = 1 3 31 3 20 3 10 3 0 )()()()()()( PuHutuHutuHPuH +++ trong đó: )231()( 3230 uuuH +−= ; )2()( 3231 uuuuH +−= )()( 3232 uuuH +−= ; )23()( 3233 uuuH −= )(3 uHi là hàm kết nối Hermite bậc 3 thoả điều kiện biên tại u = 0, 1 như sau: 0)0()1()0()1( 1)1()0()1()0( 3 2 3 1 3 3 3 0 3 2 3 1 3 3 3 0 ==== ==== HHHH HHHH && && 0)()()()( 32 3 1 3 2 3 1 ==== jHjHjHjH && với mọi j = 0,1 Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (3.6) thoả điều kiện biên (3.3). Phương trình (3.6) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3. Đường cong Bezier Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp. Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong Ferguson (3.5). Bốn đỉnh điều khiển Bezier V0, V1, V2, V3 (hình 3.2a) thoả điều kiện: V0 là điểm đầu của đường cong, V1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu, V2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối, V3 là điểm cuối của đường cong. Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau: V0 = P0 ; V1 = (V0 + t0/3) ; V2 = (V3 - t1/3) ; V3 = P1 Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều khiển Bezier Vi là: P0 = V0 ; P1 = V3 ; t0 = 3(V1-V0) ; t1 = 3(V3-V2) hay dưới dạng ma trận: LR V V V V t t P P S ≡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −=⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ≡ 3 2 1 0 1 0 1 0 3300 0033 1000 0001 (3.7) Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R = U M R , với 10 ≤≤ u (3.8) trong đó: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −= 1331 0363 0133 0001 M ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 0 V V V V R Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) . Tương tự như V0=P0 V3=P1 V2 V1 t1 t0 a, V3 V0 V1 V2 r(u) r(u) b, V0 V1 V2 V3 r(u) c, Hình 3.2 - Đường cong Bezier bậc 3 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương trình đa thức: ∑ = = +++= = 3 0 3 3 3 32 3 21 3 10 3 0 )( )()()()( )()( i ii VuB VuBVuBVuBVuB RUMur (3.9) trong đó: 330 )1()( uuB −= ; 231 )1(3)( uuuB −= )1(3)( 232 uuuB −= ; 333 )( uuB = là đa thức Bernstein bậc 3. Đa thức Bernstein bậc n có dạng : inini uuin nuB −−−= )1(!)!1( !)( (3.10a) Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường cong Bezier bậc n bằng cách kết nối (n+1) đỉnh điều khiển: ∑ = = n i i n i VuBur 0 )()( , với 10 ≤≤ u (3.10b) Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau: r(0) = V0 ; r(1) = V1 ; )()0( 01 VVnr −=& ; )()1( 1−−= nn VVnr& (3.11) Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (3.10b) thể hiện tính chất hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (3.8), ví dụ như có thể chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược mại dạng ma trận có ưu điểm là dễ dàng xử lý dữ liệu. 4. Đường cong B-spline đều. Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này. Xét 4 đỉnh điều khiển V0,...,V3 và các điểm M0, M1, P0, P1 với tính chất như sau: (Hình 3.3). M0 là điểm giữa của đoạn thẳng V0V2 : M0= (V0+V2)/2 M1 là điểm giữa của đoạn thẳng V1V3 : M1= (V1+V3)/2 P0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V1M0 : P0= (2V1+M0)/3 P1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V2M1 : P1= (2V2+M1)/3 Cần thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thoả điều kiện: 1. Đường cong bắt đầu từ điểm P0 và kết thúc tại điểm P1, 2. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P0 có giá trị bằng (M0-V0), 3. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P1 có giá trị bằng (M1-V1). Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P0, P1 và tiếp tuyến t0, t1 theo đỉnh điều khiển như sau: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH P0≡ r(0) = [4V1+(V0+V2) ]/6 (3.12a) P1≡ r(1) = [4V2+(V1+V3) ]/6 (3.12b) t0≡ r& (0) = (V2 - V0) /2 (3.12c) t1≡ r& (0) = (V3 - V1) /2 (3.12d) hay dưới dạng ma trận: KR V V V V t t P P S ≡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −=⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ≡ 3 2 1 0 1 0 1 0 3030 0303 1410 0141 6 1 Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline đều N và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (K R) = U (C K) R = U N R với 10 ≤≤ u trong đó: C là ma trận Ferguson ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −= 1331 0363 0303 0141 6 1N Tương tự như đường cong Bezier ta có thể biểu diễn đường cong B-spline đều bậc 3 bởi hàm kết nối B-spline đều )(3 uNi : ∑ = == 3 0 3 )()()( i ii VuNRUNur (3.14) trong đó: 6/)331()( 3230 uuuuN −+−= ; 6/)364()( 3231 uuuN +−= 6/)3331()( 3232 uuuuN −++= ; 6/)( 333 uuN = 3.1.4. ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỀU (NURBS) NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline Phần này sẽ cung cấp định nghĩa toán học về đường cong B-spline không đều và chỉ ra rằng đường cong Bezier và B-spline đều là trường hợp đặc biệt của NURBS. V1 V2 V3 V0 M1 M0 P0 P1 r(u) t1 t0 Hình 3.3 - Đường cong B-spline đều bậc 3 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 1. Hàm cơ sở B-spline. Xét hàm vô hướng đệ qui )(tLni được định nghĩa theo chuỗi điểm không giảm {ti}: )( )( )()( )( )()( 11 1 11 1 tL tt tttL tt tttL ni ini in i ini in i − + ++ +− −+ − −+− −= (3.15) trong đó: khác t các ],,[ ,0 ,1 )( 11 + ∈ ⎩⎨ ⎧= iii ttttL 1+< ii tt Hàm đệ qui (3.15) được gọi là hàm đệ qui Cox-deBoor là phương pháp chuẩn định nghĩa hàm cơ sở B-spline (bậc n-1). Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng. Xét n = 2: )( )( )()( )( )()( 1 1 12 11 1 2 tL tt tttL tt tttL i ii i i ii i i + ++ + + − −+− −= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ ∈ −− −− = ++ + +++ + khác t các ],[ ],[ ,0 ),/()( ),/()( 21 1 122 1 ii ii iii iii ttt ttt tttt tttt Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng cách giữa các điểm nút: )( 1 iii tt −=∇ + (3.16a) )(... 1 ikikii k i tt −+∇++∇=∇ +−+ (3.16b) Sử dụng toán tử vi phân ∇ , hàm Cox-deBoor với n = 2 có giá trị: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ ∈ ∇− ∇− == ++ + ++ khác t các ],[ ],[ ,0 ,/)( ,/)( )( 21 1 12 2 ii ii ii ii i ttt ttt tt tt tL Với n = 3, ta có: )()()()()( 2 12 32 2 3 tLtttLtttL i i i i i i i + + ∇ −+∇ −= ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∇∇− ∇∇∇−∇−∇∇− ∇∇− = +++ +++ 0 ),/()( ),/()()/()( ),/()( 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 322 22 iii iiiiiiii iii tt tttt tt ],[ ],[ ],[ 32 21 1 ++ ++ + ∈ ∈ ∈ ii ii ii ttt ttt ttt (3.17) C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2. Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên hình 3.4. Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]: )()(][ tLtL n i n ki ≡ với nkttt kiki ,...,2,1:],[ 1 =∈ +−+ (3.18) Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên ],[ 1+∈ ii ttt được trình bày lại như sau: )()( 33 ]1[ tLtL ii ≡ với )/()(],[ 221 iiikiki ttttt ∇∇−=∈ +−+ Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau: u = (t - ti)/(ti+1 - ti) = (t - ti)/∇i (3.19) Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị khác không trên miền ],[ 1+∈ ii ttt , bao gồm )(3 ]3[2 tLi− , )(3 ]2[1 tLi− , )(3 ]1[ tLi− . )./()()( 2 1 2 1 3 ]3[2 iiiii tttL ∇∇−= −+− )/()/2()/( 2 1 22 1 2 1 −−− ∇∇+∇∇−+∇∇= iiiiii uu (3.20a) )(20 uN≡ với 10 ≤≤ u t t t t )(1 tLi )(2 tLi )(3 tLi )(4 tLi ti ti+1 ti+2 ti+3 ti+4 Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-spline không đều C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH )/()()./()()( 1 223 11 2 1 2 1 3 ]2[1 −−−−−− ∇∇∇−∇−∇∇−= iiiiiiiii tttttL ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∇ ∇−∇ ∇ ∇ ∇+∇∇+∇∇= − −− −−− 2 3 1 2 11 22 1 2 11 )/()/( i i i i i i iiii uu (3.20b) )(21 uN≡ với 10 ≤≤ u )./()()( 223 ]1[ iiii tttL ∇∇−=− )./()( 22 iiiu ∇∇∇= (3.20c) )(22 uN≡ với 10 ≤≤ u 2. Đường cong B-spline không đều. Với chuỗi điểm 3D cho trước {Pj} và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) )(3 tLj (3.17) trên miền tham số ],[ 1+∈ ii ttt , ta thiết lập hàm vectơ: ∑ −= + ∈= i ij iijj ttttLPtr 2 1 3 ],[:)()( (3.21) Như đã minh hoạ trên hình 3.5, hàm kết nối (3.21) có giá trị khác 0 chỉ khi j=i- 2, i-1, i. Ta đặt: V0 = Pi-2; V1 = Pi-1; V2 = Pi từ (3.17) và (3.20) hàm vectơ (3.21) được biểu diễn bởi: ∑ −= = i ij jj tLPtr 2 3 )()( với ],[ 1+∈ ii ttt )()()( 33 11 3 22 tLPtLPtLP iiiiii ++= −−−− với ],[ 1+∈ ii ttt (3.22) )()()( 3 ]1[2 3 ]2[11 3 ]3[20 tLVtLVtLV iii ++= −− )()()( 222 2 11 2 00 uNVuNVuNV ++= )(urRUNq ≡= với ]1,0[∈u trong đó: [ ]21 uuU = ; [ ]TVVVR 210= ti-2 ti+1ti-1 ti ti+2 3 1+iL ti+3 3 ]2[1−iL 3 ]1[iL 3 ]3−iL 3 ]3[2−iL Hình 3.5 - Hàm cơ sở B-spline bậc 2 khác 0 trên miền [ti, ti+1][2] t C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∇ ∇−∇ ∇ ∇ ∇∇∇ ∇∇∇∇− ∇∇∇∇ = − −− − −− −−− 22 3 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 )/( 0)/2()/2( 0)/()/( i i i i i i i i ii iiii iiii qN : )( 1 iii tt −=∇ + ; ,...12 +∇+∇=∇ iii và đường cong (3.22) được gọi là đường cong NUBRS bậc 2. Khảo sát giá trị của hàm kết nối B-spline không đều bậc 2, ta có thể rút ra kết luận: đường cong NURBS bậc 2 được hỗ trợ bởi 6 điểm nút ti-2 đến ti+3, ngay cả khi miền tham số xác định là [ti, ti+1] (Hình 3.5). Tuy nhiên các điểm biên ti-2 và ti+3 không cần thiết bởi vì dữ liệu này không được sử dụng để xác định đường cong. Do đó đường cong NURBS bậc 2 hoàn toàn được xác định bởi 3 giá trị bước nút 11 ,, +− ∇∇∇ iii và 3 đỉnh điều khiển V0, V1, V2. Tương tự ta có đường cong NURBS bậc 3 có dạng như sau: ∑ −= = i ij jj tLPtr 3 4 )()( với ],[ 1+∈ ii ttt (3.23) r(u)R ≡= cUN với ]1,0[∈u 3. Trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS. Qua khảo sát ta thấy rằng đường cong NURBS bậc 3 (3.23) có dạng tương tự như đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13), nhưng ma trận hệ số Nc không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các điểm nút. Do vậy với cùng tập hợp đỉnh điều khiển, ta có thể đạt được hình dáng đường cong khác nhau bằng cách thay đổi khởng cách giữa các điểm nút. Khi tất cả điểm nút {ti} được xác định trên miền số nguyên liên tục và khoảng cách giữa chúng đều nhau, nếu đặt ∇i = 1, với mọi i và từ đó 22 =∇ i ,..., ma trận hệ số Nc của đường cong NURBS (3.23) trở thành ma trận N của đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13). Như vậy đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13) là trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS khi khoảng cách giữa các điểm nút đều nhau. Tương tự, đường cong NURBS có thể trở thành đường cong Bezier nếu đặt các giá trị: ti-2 = ti-1 = ti = 0; ti+1 = ti+2 = ti+3 = 1 Từ đó ta có khoảng cách giữa các điểm nút tương ứng có giá trị như sau: ∇i = 1; ∇j = 0, với mọi ij ≠ Điều này làm cho ma trận hệ số B-spline không đều bậc 3 Nc (3.23) biến đổi thành ma trận hệ số M của đường cong Bezier bậc 3 (3.8). Ma trận hệ số B-spline không đều bậc 2 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 12 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Vậy cả 2 đường cong B-spline đều và Bezier chỉ là trường hợp đặc biệt của dường cong NURBS. 3.1.5. ĐƯỜNG CONG HỮU TỶ. Hàm hữu tỷ được định nghĩa như là tỷ số của 2 hàm đa thức. Đường cong hữu tỷ có độ linh hoạt về hình dáng cao hơn so với các dạng đường cong đa thức chuẩn tắc khác. Đường cong hữu tỷ sẽ có dạng đa thức chuẩn tắc nếu như được biểu diễn theo hệ toạ độ đồng nhất. Ta sẽ khảo sát dạng hữu tỷ của mô hình đường cong Bezier. 1. Toạ độ đồng nhất. Ta đã biết phương trình tham số của đường tròn đơn vị như sau: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = ((1-u2)/(1+u2), 2u/(1+u2), 0/(1+u2)) Vì mỗi tyhành phần của vectơ 3D trên có cùng mẫu số, nên ta có thể chuyển chúng thành vectơ đồng nhất 4 thành phần R(u) với 3 thành phần đầu tiên ứng với tử số và thành phần thứ 4 ứng với mẫu số chung: R(u) = ((1-u2), 2u, 0, (1+u2)) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) Vectơ R(u) được gọi là vectơ đồng nhất và thành phần của chúng trở thành toạ độ đồng nhất của điểm 3D (r(u)). Ta có thể chuyển đổi (X, Y, Z, h) thành (X/h, Y/h, Z/h, 1) tức là thành (x, y, z, 1). Sự chuyển đổi này gọi là sự chuẩn hoá. Ý nghĩa hình học của sự chuẩn hoá là vectơ 4D được chiếu lên mặt phẳng h = 1 trong không gian 4 chiều. Như vậy vectơ đồng nhất (x, y, z, 1) và (hx. hy, hz, h) biểu diễn cùng một điểm 3D (x, y, z) nếu 0≠h . Theo mô hình hữu tỷ mõi dỉnh điều khiển Vi(xi, yi, zi) được định nghĩa như đỉnh điều khiển đồng nhất: Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi ) trọng số wi làm tăng tính linh hoạt về hình dáng. Biểu diễn toạ độ Đề các dưới dạng đồng nhất được sử dụng rộng rãi trong các phép biến đổi tạo độ ứng dụng trong đồ hoạ cũng như Robot học. 2. Đường cong hữu tỷ bậc 2. Nếu vectơ đỉnh điều khiển Bezier chuẩn tắc được thay thế bởi vectơ đồng nhất tưong ứng ta sẽ đạt được đường cong Bezier hữu tỷ. Đường cong Bezier bậc 2 có dạng: