Bài giảng Phương pháp tính toán thuỷ văn

Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN THUỶ VĂN. 5.1. Đặt vấn đề. Có nhiều phương pháp để tính toán các giá trị của đại lượng thuỷ văn. Trong phạm vi môn học, chỉ nghiên cứu phương pháp tính toán sử dụng lý thuyết xác suất thống kê. Theo phương pháp này, giá trị của các đại lượng thuỷ văn được tính toán theo khả năng xuất hiện của chúng. Khả năng xuất hiện này chính là tần suất. Công cụ để tính toán theo phương pháp này là đường tần suất. Đường tần suất là đồ thị biểu diễn mối quan hệ hàm số giữa giá trị của đại lượng thuỷ văn và khả năng xuất hiện (tần suất) của giá trị đó. Khi có đường tần suất, biết một giá trị cụ thể của đại lượng thuỷ văn, tra đồ thị xác định được khả năng xuất hiện giá trị đó. Ngược lại, khi yêu cầu tìm một giá trị với khả năng xuất hiện nào đó, tra đồ thị với tần suất yêu cầu cũng xác định được giá trị tương ứng. Như vậy trong chương này chủ yếu nghiên cứu cách vẽ đường tần suất trong thuỷ văn. Còn việc tra đồ thị để xác định giá trị của đại lượng hoặc khả năng xuất hiện là hoàn toàn đơn giản. 5.2. Đường tần suất thực nghiệm. 5.2.1. Khái niệm. Đường tần suất thực nghiệm là đường tần suất được xây dựng từ mẫu số liệu thực nghiệm của đại lượng ngẫu nhiên, biểu thị mối quan hệ hàm số giữa biến ngẫu nhiên nghiên cứu và xác suất luỹ tích tương ứng và thể hiện cụ thể quy luật thống kê của tập hợp mẫu. 5.2.2. Các bước tiến hành vẽ đường TSTN. 1. Tiến hành sắp xếp, thống kê và phân cấp số liệu: - Các số liệu thực nghiệm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Đối với các đại lượng thuỷ văn, số liệu được sắp xếp theo thứ tự giảm dần. - Thống kê số lần xuất hiện các giá trị. - Nếu chuỗi số liệu dài, biên độ lớn thì có thể phân thành các cấp có độ lớn bằng nhau và thống kê số lần xuất hiện trong từng cấp. - Số lần xuất hiện 1 giá trị (hay cấp giá trị) được gọi là tấn số - ký hiệu f. 2. Tính tần suất lũy tích thực nghiệm: Giá trị tần suất lũy tích thực nghiệm của mỗi giá trị hay mỗi cấp giá trị xác định bằng công thức: %100. n m p i i X X = (5.1) Với: mXi - tổng số lần xuất hiện các giá trị lớn hơn hoặc bằng giá trị Xi đang xét; ∑ ≥ = i i XX XX fm 5-1 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. n - tổng số giá trị trong liệt tài liệu (dung lượng của mẫu). 3. Vẽ đồ thị quan hệ X ~ pX được đường tần suất lũy tích thực nghiệm. Quá trình trên có thể lập thành bảng để tiện cho tính toán. VD: Vẽ đường tần suất thực nghiệm của lưu lượng TB tại một trạm thuỷ văn A với mẫu tài liệu 20 năm theo bảng sau: Trình tự tính toán: - Ở đây số liệu không nhiều, không cần phân cấp lưu lượng mà chỉ cần sắp xếp lại số liệu theo thứ tự từ lớn đến nhỏ để tìm ra số lần xuất hiện trị số nào đó rồi tính ra tần suất luỹ tích theo công thức sau: %100. n mp iX = Bảng 5.1. Tính tần suất của lưu lượng QTB năm ở trạm thuỷ văn A, n=20 mXi pXi STT Năm xuất hiện Lưu lượng QTB m3/s Sắp xếp lại Qi fi Σfi (x ≥ xi) = %100.n m iX (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 176 212 234 147 288 215 262 250 192 167 284 264 275 213 188 221 242 189 245 196 288 284 275 264 262 250 245 242 234 221 215 213 212 196 192 189 188 176 167 147 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Dựa vào các điểm Qi ở cột (4) và tần suất tương ứng ở cột (7), chấm các điểm quan hệ lên hệ trục toạ độ vuông góc và vẽ đường cong đi qua trọng tâm khối điểm được đường tần suất thực nghiệm. Từ bảng tính toán và đồ thị nhận thấy: Trong 20 năm chỉ có 1 lần xuất hiện Q ≥ 288 m3/ s 5-2 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. → P(Q = 288) = %100.20 1 = 5% Trong 20 năm xuất hiện 20 lần trị số Q ≥ 142 m3/ s → P(Q ≥142) = %100.20 20 = 100% Trong tính toán thuỷ văn, đường tần suất có ý nghĩa lớn vì nó cho phép xác định khả năng xuất hiện 1 giá trị của đại lượng thuỷ văn là bao nhiêu. Cần chú ý do đặc điểm của hiện tượng thuỷ văn, khi xuất hiện giá trị lớn hơn thì coi như đã xuất hiện giá trị nhỏ hơn rồi, nên có thể sử dụng đường tần suất luỹ tích để xác định khả năng xuất hiện giá trị. Khả năng xuất hiện ở đây cần được hiểu là xuất hiện giá trị lớn hơn hoặc bằng giá trị đang xét. Ví dụ, khi thiết kế luồng tàu, quy định mực nước chạy tàu là +1,5m, thì khi khai thác luồng, không nhất thiết phải đợi đến khi mực nước đạt đúng giá trị +1,5m mới chạy tàu mà có thể chạy tàu với mọi mực nước cao hơn hoặc bằng +1,5m. Khi xuất hiện mực nước lớn hơn +1,5m thì coi như đã xuất hiện mực nước +1,5m rồi. Và khả năng xuất hiện mực nước +1,5m bằng tần suất lũy tích của mực nước +1,5m. Phần lớn các trường hợp trong tính toán thuỷ văn đều sử dụng tần suất lũy tích. Nhưng cũng có một số trường hợp đặc biệt sử dụng tần suất xuất hiện - là khả năng xuất hiện chính xác một giá trị nào đó. Tần suất xuất hiện tính bằng công thức: %100. n f p i i X xhX = (5.2) Với fXi - là tần số hay số lần xuất hiện chính xác giá trị Xi. Đường tần suất xuất hiện cũng có dạng hình chuông như đường mật độ tần suất. Trong thuỷ văn quy ước nói tần suất là tần suất lũy tích. 5.2.3. Các công thức tính đường tần suất thực nghiệm. Công thức tính %100. n mp = được sử dụng ở trên luôn cho tần suất ứng với trị số bé nhất của mẫu bao giờ cũng là 100%, nghĩa là sẽ không có trị số nào bé hơn nó nữa. Điều này là bất hợp lý vì liệt tài liệu thu được chỉ là một phần nhỏ của tổng thể, ta không thể khẳng định được trước đây hoặc sau này còn xuất hiện trị số nào nhỏ hơn trị số nhỏ nhất của mẫu không. Công thức này chỉ ứng dụng khi n →∞. Để khắc phục nhược điểm trên, đưa ra một số công thức sau: 1) Công thức trung bình (Hazen): %100. n 5,0mp −= (5.3) 2) Công thức vọng số: %100. 1n mp += (5.4) 3) Công thức số giữa (Tregozaev): 5-3 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. %100. 4,0n 3,0mp + −= (5.5) 4) Công thức Alếcxâyép: %100. 5,0n 25,0mp + −= (5.6) Với cùng một liệt tài liệu thì tính toán theo các công thức trên sẽ cho những kết quả khác nhau. Vẽ các đường tần suất theo các công thức trên thu được kết quả như hình (5….) Từ đồ thị, nhận thấy: - Khi thiết kế các công trình chống lũ, giá trị thiết kế (mực nước, lưu tốc, lưu lượng …) lớn tương ứng với tần suất thiết kế nhỏ. Khi tần suất p < 50% thì với cùng một giá trị tần suất, công thức vọng số cho trị số của đại lượng thuỷ văn là lớn nhất, do đó thiên về an toàn. - Khi thiết kế các công trình dùng nước, giá trị thiết kế nhỏ tương ứng với tần suất thiết kế lớn. Khi tần suất p > 50% thì với cùng một trị số tần suất, công thức vọng số cho trị số của đại lượng thuỷ văn là lớn nhất, do đó cũng thiên về an toàn. Như vậy công thức vọng số cho kết quả luôn thiên về an toàn, do đó được sử dụng phổ biến nhất. 5.2.4. Các hạn chế của đường tần suất thực nghiệm và cách khắc phục. Đường tần suất thực nghiệm vẽ như trên sẽ có những hạn chế như sau: - Bản thân đường tần suất thực nghiệm vẽ trên cơ sở những điểm thực nghiệm của tập hợp mẫu, mà tập hợp mẫu không thể đại diện cho quy luật ngẫu nhiên của tổng thể. - Đường tần suất thực nghiệm vẽ trên cơ sở các điểm thực nghiệm nên có nhiều sai số trong quá trình quan trắc, đo đạc và sai số chủ quan trong quá trình vẽ đồ thị. - Đường tần suất thực nghiệm bị hạn chế ở hai đầu đường cong vì ở đó có ít hoặc không có số liệu thực đo (những giá trị đặc biệt lớn hoặc đặc biệt nhỏ). Nhưng thực tế khi thiết kế lại rất cần những giá trị này. VD: Các công trình chống lũ cần xác định lưu lượng MN ứng với tần suất rất nhỏ (1%; 0,1%; 0,01%) Còn các công trình cấp nước giao thông, phát điện lại phải xác định các đặc trưng dòng chảy với tần suất rất lớn: 95%; 98%; 99%; 99,9%. - Đường tần suất thực nghiệm nếu vẽ trên đồ thị thông thường thì hai đầu sẽ rất dốc (do có ít số liệu), nếu phải xác định các trị số ở vùng này hoặc kéo dài một cách trực quan thì sẽ mắc phải sai số chủ quan rất lớn và sẽ ảnh hưởng đến quy mô kích thước công trình, đến vốn đầu tư, độ an toàn cũng như hiệu quả khai thác các công trình thiết kế. Để khắc phục những hạn chế trên, cần hiệu chỉnh đường tần suất thực nghiệm theo những nguyên tắc sau: 5-4 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. - Chính xác, tiện lợi hạn chế sai số, phù hợp với thực tế. - Mô tả được quy luật ngẫu nhiên thông qua các mô hình xác suất (các hàm phân phối) phù hợp. - Hạn chế sai số do độ dốc quá lớn ở 2 đầu đường cong. Để đảm bảo được những nguyên tắc trên, việc vẽ đường tần suất trong thuỷ văn được thực hiện bằng những biện pháp như sau: - Sử dụng mô hình xác suất hay các hàm phân phối xác suất phù hợp để vẽ các đường tần suất lý luận. - Hiệu chỉnh đường lý luận vừa vẽ bằng thực nghiệm để tôn trọng quy luật tự nhiên. Đường tần suất lý luận vẽ trên cơ sở các hàm phân phối xác suất là các hàm toán học nên chính xác, đơn giản. Việc sử dụng hàm số để mô tả diễn biến của hiện tượng cũng đảm bảo yêu cầu mô tả hiện tượng ngẫu nhiên. Việc hiệu chỉnh đường lý luận bằng chuỗi số liệu thực đo cũng đảm bảo nguyên tắc dùng thực tế kiểm nghiệm lý luận, đảm bảo cho hàm phân phối được chọn phù hợp với thực tế. Và việc vẽ đồ thị của hàm số toán học cũng khắc phục được sai số chủ quan người vẽ. - Đường tần suất được vẽ trên giấy xác suất, là loại giấy vẽ đồ thị có tỷ lệ chia là khác nhau trên các trục, có tác dụng làm giảm độ dốc ở 2 đầu đường cong, hạn chế được sai số khi vẽ ở vùng này cũng như khi ngoại suy và tìm các giá trị đặc biệt lớn hoặc đặc biệt nhỏ. Vấn đề trước hết cần được giải quyết ở đây là lựa chọn mô hình xác suất (hàm phân phối xác suất) phù hợp. Để giải quyết được vấn đề này, cần nắm được một số khái niệm cơ bản về các tham số thống kê. 5.3. Các tham số thống kê cơ bản. 5.3.1. Các tham số thống kê biểu thị xu thế tập trung. 5.3.1.1. Số trung bình số học X . Giả sử có một liệt trị số quan trắc: X1, X2, ...Xn thì số trung bình của liệt số đó, ký hiệu X , xác định bằng công thức: ∑ = = n 1i iX.n 1X (5.7) Nếu tần số xuất hiện của mỗi giá trị Xi là fi thì X xác định bằng công thức: ∑∑ ==+++ +++= n 1i ii in21 nn2211 f.X. f 1 f...ff f.X...f.Xf.XX (5.8) X phản ánh độ lớn bình quân của toàn liệt số, tuy nhiên dễ bị ảnh hưởng của các trị số cực đoan, nhất là khi dung lượng mẫu ít. 5.3.1.2. Số đông Xđ . Trị số ứng với mật độ tần suất lớn nhất trên đường phân bố mặt độ tần suất được gọi là số đông. So với các trị số khác trong liệt tài liệu thì số đông được xuất hiện nhiều nhất, vì vậy tại vị trí số đông hàm mật độ tần suất f(x) có đạo hàm f’(x) = 0 5-5 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. f(x) X® f'(x) = 0 Hình 5.1. Xác định số đông. Số đông có ưu điểm là không bị ảnh hưởng của trị số cực đoan, phản ánh khả năng xuất hiện của liệt số. Tuy nhiên đối với đại lượng thuỷ văn khó xác định được chính xác, chỉ có tác dụng tham khảo, không áp dụng thực tế. 5.3.1.3. Số trung vị XV (số giữa). Khi số giá trị của liệt tài liệu là chẵn, số trung vị là số bình quân toán học của 2 số ở giữa sau khi đã sắp xếp. VD: Liệt số X1, X2, … X6 được xếp từ lớn đến bé, số trung vị 2 XXX 43v += Khi số trị số trong liệt tài liệu là lẻ, số trung vị là số ở giữa liệt tài liệu. VD: Liệt số từ X1, X2, ... X5 → XV = X3 5.3.2. Các tham số thống kê biểu thị xu thế phân tán. 5.3.2.1. Khoảng lệch (hiệu số tách rời, ly sai). Khoảng lệch là hiệu số giữa trị số trong liệt tài liệu Xi và số bình quân X : XXX ii −=∆ (5.9) Khoảng lệch biểu thị độ chênh lệch giữa một giá trị cụ thể trong liệt số và số bình quân, tuy nhiên không biểu thị được mức độ phân tán của toàn liệt số. 5.3.2.2. Khoảng lệch quân phương (phương sai) σ. Khoảng lệch quân phương, còn gọi là phương sai, ký hiệu σ, xác định bằng: ( ) n XX n 1i 2 i∑ = − =σ (5.10) σ phản ánh được mức độ dao động của các trị số quanh số bình quân, từ đó suy ra xu thế tập trung hay phân tán. VD: có 2 liệt số 18, 19, 20, 21, 22 và 16, 18, 20, 22, 24 đều có số bình quân là 20, tuy nhiên liệt thứ nhất có σ = ±1,58; liệt thứ hai có σ = ±3,16. Vậy liệt số thứ nhất tập trung hơn liệt thứ hai. Hạn chế của σ là có thứ nguyên, nên không thể dùng để so sánh 2 đại lượng khác thứ nguyên. 5-6 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. VD: không thể dùng σ để so sánh 2 liệt tài liệu: thời gian mưa là 18, 19, 20, 21, 22 phút và lượng mưa là 16, 18, 20, 22, 24 mm. 5.3.2.3. Hệ số phân tán Cv. Hệ số phân tán Cv là tỷ số giữa khoảng lệch quân phương và số trung bình của liệt số: ( ) ( )∑ ∑ = = −= − =σ= n 1i 2 i n 1i 2 i V 1K.n 1 X XX. n 1 X C (5.11) Trong đó X XK ii = gọi là hệ số môđuyn hoặc là hệ số biến suất. Hệ số Cv là một số không âm và không có thứ nguyên, biểu thị mức độ phân tán của liệt số. CV càng lớn liệt số càng phân tán. Do không có thứ nguyên nên CV có thể dùng để so sánh mức độ phân tán của các liệt tài liệu có thứ nguyên khác nhau. VD: so sánh mức độ phân tán của thời gian mưa 18, 19, 20, 21, 22 phút và lượng mưa là 16, 18, 20, 22, 24 mm. Thời gian mưa có CV = Lượng mưa có CV = Hạn chế của CV là chỉ phản ánh mức độ phân tán - tập trung của liệt tài liệu, không thể hiện được tình hình phân phối của liệt số quanh trị số bình quân, đối xứng hay không đối xứng. 5.3.2.4. Hệ số thiên lệch Cs. Hệ số thiên lệch Cs để phản ánh hình dáng của đường phân bố mật độ tần suất lệch về phía bên phải hay bên trái của trị số bình quân. ( ) ( ) 3 V n 1i 3 i 33 V n 1i 3 i S C.n 1K X.C.n XX C ∑∑ == − = − = (5.12) Khi → C( ) 01K 3i >−∑ S > 0, đường phân bố lệch về bên trái trị số bình quân, gọi là phân bố lệch dương. Khi → C( ) 01K 3i <−∑ S < 0, đường phân bố lệch về bên phải trị số bình quân, gọi là phân bố lệch âm. Khi → C( ) 01K 3i =−∑ S = 0, đường phân bố lệch đối xứng qua trị số bình quân. 5-7 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. Cs = 0Cs > 0 Cs < 0 y xX Hình 5.2. Sự biến đổi của đường mật độ tần suất khi CS thay đổi. Chú ý: các công thức tính σ, Cv, CS trên chỉ thích hợp khi mẫu có dung lượng rất lớn (n → ∞). Khi n ≤ 30 thì xem liệt tài liệu là ngắn và khi đó dùng các công thức sau: ( ) ( )∑∑ == −−=−−=σ n 1i 2 i n 1i 2 i 1K.1n 1.XXX. 1n 1 (5.13) ( ) ( )∑∑ == −−=−−= n 1i 2 i n 1i 2 iV 1K.1n 1XX. 1n 1. X 1C (5.14) ( ) (∑= −−= n 1i 3 i3 V S 1K.C.3n 1C ) (5.15) 5.3.3. Sai số mẫu thống kê. Trong tính toán thuỷ văn, ngoài sai số sinh ra trong quá trình đo đạc còn có sai số trong quá trình lấy mẫu tổng thể vì dung lượng của tập hợp mẫu lấy được thường khá ngắn không đủ đại diện cho tình hình phân bố của tổng thể. Sai số đó gọi là sai số mẫu thống kê (sai số lấy mẫu). Việc tính toán sai số mẫu thống kê có thể tham khảo trong các tài liệu [..]. 5.4. Đường tần suất lý luận thường dùng trong thuỷ văn. Như đã phân tích ở trên, để khắc phục những hạn chế của đường tần suất thực nghiệm, cần tìm được một mô hình xác suất - hay một hàm phân phối xác suất - có thể biểu diễn được diễn biến của hiện tượng thuỷ văn. Từ đó sử dụng hàm xác suất này, kết hợp với những hiệu chỉnh từ số liệu thực nghiệm để xây dựng đương tần suất tính toán. Các đường tần suất xây dựng theo các hàm xác suất này gọi là các đường tần suất lý luận. Thực tế chưa thể xuất phát từ lý thuyết xác suất để chứng minh hiện tượng thuỷ văn phù hợp với mô hình xác suất nào. Hiện nay sử dụng 2 mô hình phân phối xác suất tương đối phù hợp với hiện tượng thuỷ văn là mô hình Piêcsơn III và Krisky - Menkel. 5.4.1. Đường tần suất Piếcsơn III (PIII). 5.4.1.1. Khái niệm. Nhà sinh vật học Piếcsơn (Pearson) đã đưa ra 13 đường mật độ tần suất để biểu diễn các quy luật khác nhau của các đại lượng ngẫu nhiên, các quy luật này nói chung đều không đối xứng. 5-8 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. Các đại lượng thuỷ văn cũng là các đại lượng ngẫu nhiên không đối xứng và tương đối phù hợp với dạng đường thứ 3 trong họ 13 đường phân bố mật độ Piếcsơn cho nên trong tính toán thuỷ văn sử dụng mô hình Piếcsơn III (viết tắt là PIII). y0 d y x a Hình 5.3. Họ đường cong Piếcsơn. Phương trình vi phân tổng quát của Piếcsơn có dạng: ( ) 2 2210 x.bx.bb y).dx dx dy ++ += (5.16) Đường PIII là đường có b2 = 0: ( ) x.bb y).dx dx dy 10 + += Chuyển trục toạ độ từ vị trí X về Xđ và tích phân phương trình vi phân ta được phưng trình của đường phân bố mật độ tần suất PIII: d x d a 0 e.a x1.yy −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += (5.17) Trong đó: x,y – toạ độ đường cong; y0 – xác suất xuất hiện số đông (tung độ lớn nhất của đường cong ứng với vị trí Xđ); a – khoảng cách từ điểm cuối bên trái đường cong tới vị trí số đông Xđ. d - Độ lệch từ vị trí Xđ tới X; e - Lôgarít tự nhiên = 2,718. Đặc điểm của đường PIII: đầu trái có giới hạn (tồn tại trị số nhỏ nhất Xmin) còn đầu phải vô hạn (không có Xmax). 5.4.1.2. Cách vẽ đường tần suất lý luận theo PIII. Khi biết 3 tham số y0, a, d thì đường cong tần suất hoàn toàn được xác định. Qua phân tích toán học thống kê, rút ra được quan hệ giữa 3 tham số trên với các tham số thống kê như sau: X. 2 C.Cd SV= (5.18) d C X.C.2a S V −= (5.19) 5-9 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛Γ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = − 2 S C 4 V C 4 2 S S 0 C 4.e.C 1 C 4.C.2 y 2 S 2 S (5.20) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛Γ 2 SC 4 gọi là hàm gamma, giá trị được tra trong bảng lập sẵn. Với một liệt số ngẫu nhiên, xác định được các giá trị X, Cv, Cs thì hoàn toàn xác định được đường phân bố mật độ tần suất. Tích phân đường phân bố mật độ tần suất thu được đường tần suất lũy tích lý luận theo Piếcsơn III. Tuy nhiên khi áp dụng trong thực tế thì việc xác định y0, a, d và tích phân hàm phân phối mật độ tần suất là quá phức tạp nên để thuận lợi trong thực hành tính toán Foster và Rupkin đã tiến hành phân tích và lập thành bảng tra sẵn để vẽ đường tần suất luỹ tích theo PIII như sau: - Gọi X X K pp = , gọi là hệ số môđun hay hệ số biến suất với Xp là giá trị lý luận của đại lượng ngẫu nhiên ứng với tần suất p cho trước. - Gọi hàm số Ф (chỉ phụ thuộc vào CS và tần suất p) là hệ số tách rời hoặc khoảng lệch tung độ, công thức của Ф là: ( p,Cf C 1K S V p =−=Φ ) (5.21) Ф được tra bảng lập sẵn Foster - Rupkin theo CS và p. - Có Ф xác định được Kp: 1C.K Vp +Φ= (5.22) - Từ đó xác định được các giá trị lý luận Xp ứng với các tần suất p: ( )X.1C.X.KX Vpp +Φ== (5.23) - Từ các cặp trị số Xp ~ p vẽ trên giấy xác suất được đường tần suất lũy tích theo PIII của đại lượng cần nghiên cứu. Chú ý: Khi sử dụng đường PIII. + Khi Cs < 0 vẫn có thể tra bảng Foster – Rupkin nhưng phải biến đổi: ( ) ( )Sp100Sp C0C −Φ−=<Φ (5.24) + Khi áp dụng đường PIII cho hiện tượng thuỷ văn, giới hạn của Cs là: 5-10 Chương 5. Phương pháp tính toán thủy văn. min V SV K1 C.2CC.2 −≤≤ (5.25) - Khi Cs < 2.Cv → Đường PIII xuất hiện trị số âm, không phù hợp với hiện tượng thuỷ văn. - Khi min V S K1 C.2C −> đường tần suất có dạng lưỡi liềm, không phù hợp với hiện tượng thuỷ văn. 5.4.2. Đường tần suất Krisky - Menkel. Để khắc phục giới hạn về giá trị của CS khi sử dụng đường PIII, Krisky – Menkel đề nghị dùng đường mật độ tần suất Krisky – Menkel (viết tắt là K–M) để dùng cho trường hợp Cs < 2Cv. Hàm mật độ K–M có dạng: ( ) b 1 a x 1 b b e.x. .b. y ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛α−−α α α αΓα α= (5.26) Với 0 ≤ x ≤ ∞, 2 VC 1=α ;