Bài giảng Tính toán hệ thanh

Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-1 Chương 4 TÍNH TOÁN HỆ THANH Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các bước trong chương trước. Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán mà áp dụng. 4.1 Hệ thanh giàn Như đã biết giàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu lực kéo nén dọc trục (đúng tâm) hay nói cách khác là chỉ chịu biến dạng dọc trục. Để đưa ra cách tính của giàn trước hết ta xét thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục. 4.1.1 Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục P1 P2 u(x) l, EF y u1=q1 u2=q2 q(x) x Hình 4-1. Phần tử chịu biến dạng dọc trục Xét phần tử thanh có hai đầu mút, trên thanh có tải trọng phân bố q(x)dọc trục. Khi đó thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục và mỗi đầu mút có một chuyển vị, phần tử thanh có 2 bậc tự do đó là chuyển vị u1 và u2 của nút đầu và cuối. Hàm chuyển vị xấp xỉ tại một vị trí bất kỳ của thanh u(x) có dạng: xxu 21)( αα += ( 4-1) Suy ra: [ ]{ }α)()( xPxu = ; [ ] [ ]xxP 1)( = Nếu cho x = 0 và x= l ta có 2 chuyển vị tại nút: 211 .0αα +=u ; 212 .αα lu += { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 2 1 1 01 α α l u e ( 4-2) Hay: { } [ ]{ }αAu e = Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= l A 1 01 Tính véc tơ { } [ ] { }euA 1−=α với [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −= − ll A 11 01 1 Thay vào hàm chuyển vị được: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-2 [ ] [ ] { }euAxPxu 1)()( −⋅= = [ ]{ }euN = [ ]{ }eqN Hay: [ ] [ ] [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⋅= − l x l xAxPN 1)( 1 ( 4-3) Với thanh chịu biến dạng dọc trục ta có: { } { }xεε = ; { } { }xσσ = ; [ ] [ ]ED = Hay: xx E εσ .= ; [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=∂ dx d Khi đó ma trận [ ]B sẽ là: [ ] [ ][ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=∂= l x l x dx dNB 1 ( 4-4) Suy ra: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= ll B 11 Ma trận độ cứng được xác định như sau: [ ] [ ] [ ][ ] == ∫ dvBDBK T V e [ ]FdllEl l 111 1 11 0 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−∫ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 11 11 l EF ( 4-5) Trong đó: F - là diện tích mặt cắt ngang; E - là môđun đàn hồi. Véc tơ tải trọng tại nút được xác định theo công thức: { } [ ] { } { }dxxp l x l x dxxpNP lTl e )( 1 )( 00 ∫∫ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − == ( 4-6) Trường hợp p(x) = p0 = const, ta có: { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = ∫ 112 1 0 0 0 lPdx l x l x pp l e ( 4-7) Nếu có tải trọng nhiệt độ thì tải trọng nút được xác định như sau: { } [ ] [ ]{ } { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−== ∫∫ 1111100 TEFFdxTEldvDBp l T Ve i e ααε ( 4-8) Trong đó: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-3 T - Độ biến thiên nhiệt độ. Sau khi xác định được chuyển vị của hệ ta xác định được chuyển vị nút của phần tử trong hệ toạ độ cục bộ, nội lực trên phần tử được xác định như sau: Ne = Np + Ncv Trong đó: Ne - Nội lực của phần tử; Np- Nội lực do lực trên phần tử; Ncv- Nội lực do chuyển vị nút. Đối với thanh chịu kéo nén nội lực do chuyển vị được xác định là: [ ]{ }exxcv uBFEFEFN === εσ . ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 2 111 u u ll FENcv ( 4-9) Nội lực Np xác định theo công thức của sức bền vật liệu. 4.1.2 Giàn phẳng: l u1 v1 v2 u2 x y Hình 4-2. Phần tử giàn phẳng. Ma trận độ cứng của giàn phẳng được lập dựa trên ma trận độ cứng của thanh kéo nén dọc trục. Với phần tử giàn phẳng, tại một nút ta có 2 chuyển vị. Khi đó phần tử sẽ có 4 bậc tự do: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 2 2 1 1 v u v u u e Chính vì vậy ma trận độ cứng của giàn là ma trận kích thước 4 x 4, các thành phần của nó được lấy từ ma trận độ cứng của phần tử chịu biến dạng dọc trục. [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 11 l EFK e Ma trận của giàn phẳng như sau: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − = 0000 0101 0000 0101 l EFK ( 4-10) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-4 Mỗi phần tử giàn phẳng có một hệ toạ độ cục bộ riêng do đó cần có ma trận chuyển hệ trục toạ độ từ cục bộ về tổng thể. y x Y X Y X α Hình 4-3. Phần tử giàn phẳng trong hệ toạ độ tổng thể. Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ toạ độ tổng thể một góc α . Theo hình học giải tích thì toạ độ cục bộ được chuyển về tổng thể theo công thức sau: [ ] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⋅′=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ y x T Y X ( 4-11) Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=′ yx yx mm ll T ( 4-12) Các đại lượng lx, ly, mx, my được xác định như sau: lx = cos(x,X) ; ly = cos(y,X); mx = cos(x,Y); my = cos(y,Y) Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X1, Y1) và (X2, Y2) ta sẽ tính được các giá trị lx, ly. Ta có: cos(x,X) = l XX 12 − ; cos(x,Y) = l YY 12 − ; 2 12 2 12 )()( YYXXl −+−= ( 4-13) Hoặc có thể viết như sau: cos(x,X) = cosα ; cos(x,Y) = sinα Tương tự có: cos(y,X) = -sinα ; cos(y,Y) = cosα Vậy ma trận chuyển hệ toạ độ có dạng: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=′ αα αα cossin sincos T ( 4-14) Ma trận [ ]′T hoàn toàn xác định. Dựa vào [ ]′T , ta có thể xác định ma trận [ ]T như sau: [ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′ ′ = T TT 0 0 ( 4-15) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-5 4.1.3 Giàn không gian Phần tử giàn không gian cũng chỉ chịu lực dọc trục, ma trận độ cứng của phần tử giàn không gian dựa trên ma trận độ cứng của phần tử kéo nén dọc trục. [ ] =eK ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − 000000 000000 001001 000000 000000 001001 l EF ( 4-16) w1 v1 u1 w2 v2 u2 Hình 4-4. Phần tử giàn không gian Việc xác định ma trận chuyển hệ trục tọa độ phức tạp hơn so với giàn phẳng. Xét một thanh nằm trong không gian có hệ tọa độ cục bộ xyz. Trong đó trục x luôn hướng theo trục phần tử, trục y, z tạo với trục x thành một tam diện thuận. y x z l A B x z y P A(X1, Y1, Z1) B(X2, Y2, Z2) Hình 4-5. Phần tử giàn không gian trong hệ toạ độ tổng thể. Dựa vào tọa độ của nút đầu và nút cuối phương trục x luôn xác định. Người sử dụng cần khai báo hướng của một trong hai trục còn lại thông thường là trục z, hướng của trục y còn lại được xác định dựa vào 2 trục đã biết x, z. Trục z được xác định bằng cách khai báo thêm điểm p là điểm nằm trong mặt xy, do z vuông góc với mặt xp nên: pxz rrr ×= Hướng của y được xác định theo x và z: xzy rrr ×= . Tích có hướng của 2 véctơ được định nghĩa như sau ( bac rrr ×= ): Về mặt hình học véctơ cr có phương vuông góc với mặt phẳng được tạo bởi hai véctơ ar và b r , độ lớn của cr bằng diện tích của hình bình hành do ar và b r tạo ra. Về mặt giải tích: nếu ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = z y x a a a ar ; ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = z y x b b b b r thì véctơ cr được xác định như sau: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-6 ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − −− − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = xyyx xzzx yzzy zyx zyx z y x baba baba baba bbb aaa kji c c c c rrr r det Chiều dài phần tử được xác định theo công thức: l= ( ) ( ) ( )212212212 ZZYYXX −+−+− ( 4-17) Phương của một trục bất kỳ được xác định bởi các cosin chỉ phương: { }ZYX vvvv ,,=r ; 222 ZYX vvvv ++=r ( ) v vXv Xr=,cos ; ( ) v vYv Yr=,cos ; ( ) v vZv Zr=,cos Dựa vào 3 véc tơ của hệ tọa độ cục bộ zyx rrr ,, ta có ma trận chuyển hệ trục tọa độ như sau: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′ zyx zyx zyx nnn mmm lll T ( 4-18) Trong đó: lx = cos(x,X); mx = cos(x,Y): nx = cos(x,Z) ly = cos(y,X); my = cos(y,Y); ny = cos(y,Z) lz = cos(z,X); mz = cos(z,Y); nz = cos(z,Z) Ma trận chuyển hệ tọa độ [ ]T có dạng: [ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′ ′ = T TT 0 0 ( 4-19) 4.2 Khung phẳng không có kéo nén dọc trục 4.2.1 Ma trận độ cứng Xét một phần tử khung phẳng không bị kéo nén dọc trục. Khi đó phần tử khung có 4 bậc tự do, hàm chuyển vị theo phương thẳng đứng được chọn như sau: 3 4 2 321)( xxxxv αααα +++= ( 4-20) [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 4 3 2 1 321)( α α α α xxxxv ( )[ ] [ ]321 xxxxP = ( 4-21) Gọi l là chiều dài phần tử, ta xác định các giá trị chuyển vị tại nút. Trong đó: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-7 dx dv=θ , hoặc: [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++== 4 3 2 1 22 432 321032)( α α α α αααθ xxxx dx dvx Tại các nút chuyển vị có giá trị như sau: 1011 )( α=== =xxvvq 2 0 22 αθ === =xdx dvq 3 4 2 32123 )( lllxvvq lx αααα +++=== = 3 43224 32 lldx dvq lx αααθ ++=== = Viết dưới dạng ma trận: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 2 32 4 3 2 1 3210 1 0010 0001 α α α α ll lll q q q q { } [ ] { }eqA 1−=α , trong đó: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−=− 2323 22 1 1212 1323 0010 0001 llll llll A ( 4-22) Ma trận hàm dạng được xác định như sau: [ ] [ ]{ } [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−⋅== − 2323 22 321 1212 1323 0010 0001 1 llll llll xxxAPN = [ ]4321 NNNN 3 3 2 2 1 231 l x l xN +−= 2 32 2 2 l x l xxN +−= ( 4-23) 3 3 2 2 3 23 l x l xN −= Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-8 2 32 4 l x l xN +−= Theo sức bền vật liệu, chuyển vị dọc trục u và độ võng v có quan hệ dx dvyyu −=⋅−= θ , trong đó y là khoảng cách từ trục trung hòa đến một điểm nào đó trong thanh. Biến dạng dọc trục được xác định theo công thức: 2 2 dx vdy dx du x −==ε ⇒ [ ]{ }ex uNdx dy 2 2 −=ε = [ ]{ }euB Trong đó: [ ]B = [ ]N dx dy 2 2 − Khai triển ta có: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−= 232232 6212664126 l x ll x ll x ll x l yB ( 4-24) Ứng suất tại một điểm của dầm chịu uốn: xx Eεσ = hay [ ] ED = Sử dụng công thức của ma trận độ cứng ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫∫ =⋅= l F T V T e dfdxBBEdvBDBK Sau khi tích phân ta có: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = 22 22 3 4626 612612 2646 612612 llll ll llll ll l EJK ze ( 4-25) Trong đó ∫= F z dfyJ 2 là mômen quán tính của mặt cắt ngang so với trục Z. 4.2.2 Quy tải trọng về nút: Tải trọng trên phần tử được quy về nút theo công thức: { } [ ] ( )[ ] ( ) im i T Mii l n i T Qi T e Mxdx dNQxNdxxqNF ∑∫ ∑ == ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡++= 11 )( ( 4-26) Trong đó: q(x)- lực phân bố trên chiều dài phần tử; iQ và xQi- giá trị lực tập trung và tọa độ các điểm đặt lực; iM và xMi- giá trị của mômen tập trung và tọa độ điểm đặt; n và m - số lực tập trung và mômen tập trung. 4.2.2.1 Trường hợp lực phân bố đều: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-9 y x p1 p3 p2 p4 l q0 Hình IV-6. Quy lực phân bố đều về tải trọng nút Ta có: { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − +− +− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ∫ 12 2 12 2 23 2 231 2 0 0 2 0 0 0 2 32 3 3 2 2 2 32 3 3 2 2 0 4 3 2 1 lq lq lq lq dx l x l x l x l x l x l xx l x l x q F F F F F l e ( 4-27) 4.2.2.2 Lực tập trung p 2 a p 4 x p 1 p 3 P Hình IV-7. Quy tải trọng tập trung về nút { } ( )[ ] PaN F F F F F Te = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 4 3 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − +− +− 2 32 3 3 2 2 2 32 3 3 2 2 23 2 231 l a l a l a l a l a l aa l a l a P ( 4-28) 4.2.2.3 Moment tập trung x a p2 p1 p4 p3M Hình IV-8. Quy mômen tập trung về nút. Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-10 { } M dx dN F F F F F T ax e = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 4 3 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − +− +− 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 32 66 341 66 l a l a l a l a l a l a l a l a M ( 4-29) 4.2.2.4 Phân bố dạng hình thang Đặt giả thiết thanh chịu tác dụng của tải trọng phân bố hình thang trong khoảng a,b (a<b) với giá trị lực phân bố tương ứng p1, p2. Khi đó giá trị tải trọng p tại tọa độ x bất kỳ được biểu diển bằng hàm tải trọng: ( ) ( ) ab aqbqx ab qqax ab qqqxq − −+− −=−− −+= 2112121 Nếu đặt: ab qqC − −= 12 ; ab aqbqD − −= 21 Ta có: ( ) DCxxq += Véctơ tải trọng nút được xác định như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a b a dxxqxN dxxqxN dxxqxN dxxqxN F F F F 4 3 2 1 4 3 2 1 Sau khi thực hiện phép tích phân ta được kết quả: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−− −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− −+−+−−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 33 2 44 2 55 2 33 2 44 32 55 3 223344 2 55 2 2233 2 44 32 55 3 4 3 2 1 34 1 5 23 4 1 5 2 2 2 3 12 4 1 5 2 23 4 1 5 2 ab l Dab l D l Cab l C ab l Dab l D l Cab l C abDab l DCab l D l Cab l C abDabCab l Dab l D l Cab l C F F F F 4.2.3 Nội lực trên phần tử Nội lực của phần tử dầm chịu uốn xác định như sau: qcv MMM += ( 4-30) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-11 qcv QQQ += M và Q - Mômen, lực cắt nội lực; Mcv và Qcv- Mômen, lực cắt do chuyển vị gây ra; Mq và Qq- Mômen, lực cắt do lực trên phần tử gây ra. Trong đó: [ ]{ } [ ]{ }eecv uNNNNEJqNdxdEJdxvdEJM ''4''3''2''12 2 2 2 === ( 4-31) 32 '' 1 126 l x l N +−= 2 '' 2 64 l x l N +−= 32 '' 3 126 l x l N −= 2 '' 4 62 l x l N +−= { }ecv ul x ll x ll x ll x l EJM ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= 232232 6212664126 ( 4-32) dx dM Q cvcv −= ( 4-33) [ ]{ }ecv uNNNNEJQ '''4'''3'''2'''1−= 3 ''' 1 12 l N = ; 2'''2 6lN = ; 3 ''' 3 12 l N −= ; 2'''4 6lN = { }ecv ullllEJQ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 2323 612612 ( 4-34) Mq và Qq xác định theo sức bền vật liệu. 4.3 Phần tử khung có kéo nén dọc trục q3 q2 y q5 q6 xq1 q4 Hình 4-6. Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục. Phần tử thanh có kéo nén dọc trục là tổ hợp của 2 loại phân tử: Khung + Kéo nén dọc trục. Do đó ma trận độ cứng của phần tử này được tạo nên từ 2 ma trận độ cứng của phần tử khung và phần tử kéo nén dọc trục 4.3.2 Kéo nén dọc trục 1 4 Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-12 [ ] 4 1 11 11 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= l EFK c 4.3.3 Phần tử khung 2 3 5 6 [ ] 6 5 3 2 4626 612612 2646 612612 22 22 3 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = llll ll llll ll l EJK c Từ các chỉ số của các phân tử của 2 ma trận độ cứng trên ta thiết lập được ma trận độ cứng của phần tử khung có kéo nén dọc trục: 1 2 3 4 5 6 [ ] 6 5 4 3 2 1 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 22 22 22 22 3 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − − − = llll ll J Fl J Fl llll ll J Fl J Fl l EJK e ( 4-35) Ma trận chuyển hệ trục tọa độ được xác định dựa vào ma trận chuyển hệ trục toạ độ của giàn phẳng có dạng sau: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 0 0 ' yx yx mm ll T ( 4-36) [ ] [ ] [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ' ' 0 0 T TT Góc xoay khi chuyển hệ trục tọa độ thì không đổi. 4.4 Khung phẳng có liên kết khớp Để thành lập ma trận độ cứng của phần tử khung có liên kết hai đầu khác nhau ta dựa vào hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jijii jijii jii l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θθ θθ ++−= ++−= −= 226 612 2 23 Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jijij jijij jij l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θθ θθ 226 612 2 23 ++−= +−−−= −−= Trong đó: i, j - chỉ số nút đầu và nút cuối của thanh; u, v, θ - là chuyển vị dọc trục, đứng, góc xoay; N, Q, M - nội lực tại đầu thanh. Dựa vào hệ phương trình này cũng có thể xây dựng được ma trận độ cứng của khung có hai đầu ngàm, trong trường hợp liên kết đầu thanh không phải là ngàm ta có các trường hợp sau: - Khớp tại đầu i; - Khớp tại đầu j; - Khớp tại hai đầu. 4.4.1 Khớp tại đầu i Khi đó đễ thấy: Mi=0, dựa vào phương trình thứ 3 suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= =++− =++− jiji jiji jiji vv l vv l l EJvv l EJ θθ θθ θθ 3 2 1 023 0226 2 Thay giá trị của iθ vào các phương trình còn lại ta được hệ phương trình ( ) ( ) 0 33 23 = +−= −= i jjii jii M l EJvv l EJQ uu l EFN θ ( ) ( ) ( ) jjij jjij jij l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θ θ 33 33 2 23 +−= −−−= −−= Ma trận độ cứng trong trường hợp này là: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-14 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − − − = 2 22 22 3 330030 330030 0000 000000 330030 0000 lll l J Fl J Fl l J Fl J Fl l EJK e 4.4.2 Khớp tại đầu j Khi đó đễ thấy: Mj=0, dựa vào phương trình thứ 6 suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= =++− =++− iijj jiji jiji vv l vv l l EJvv l EJ θθ θθ θθ 3 2 1 023 0226 2 Thay giá trị của jθ vào các phương trình còn lại ta được hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ijii ijii jii l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θ θ 33 33 2 23 +−= +−= −= ( ) ( ) 0 33 23 = −−−= −−= j ijij jij M l EJvv l EJQ uu l EFN θ Ma trận độ cứng trong trường hợp này là: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − − − = 000000 030330 0000 030330 030330 0000 22 2 22 3 l J Fl J Fl lll l J Fl J Fl l EJK e 4.4.3 Khớp tại đầu i và j Khi đó ta có hệ phương trình: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-15 ( ) ( ) ( ) 0 612 23 = ++−= −= i jijii jii M l EJvv l EJQ uu l EFN θθ ( ) ( ) ( ) 0 612 23 = +−−−= −−= j jijij jij M l EJvv l EJQ uu l EFN θθ Dựa vào phương trình 3 và 6 suy ra: ( ) l vv ij ji −== θθ Thay vào phương trình 2 và 4 ta được: 0== ji QQ Vậy ma trận độ cứng trong trường hợp này là: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 000000 000000 0000 000000 000000 0000 22 22 3 J Fl J Fl J Fl J Fl l EJK e 4.4.4 Quy tảI trọng về nút khi có liên kết khớp Để xác định véctơ tải trọng nút trong trường hợp này ta sử dụng phương trình cân bằng của một phân tử khung phẳng độc lập không kéo nén dọc trục với liên kết bất kỳ. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − j j i i j j i i M Q M Q P P P P v v l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ 4 3 2 1 22 2323 22 2323 4626 612612 2646 612612 θ θ Trong đó: P1, P2, P3, P4 – là các lực quy về nút trong trường hợp ngàm hai đầu; Qi, Mi, Qj, Mj – là các nội lực hai đầu có giá trị ngược chiều với phản lực, đây đồng thời cũng là lực quy về nút khi có các liên kết khớp. Trong từng trường hợp cụ thể ta luôn có 4 đại lượng đã biết và 4 đại lượng phải tìm trong 8 biến: 4 chuyển vị, 4 nội lực. Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-16 4.4.4.1 Trường hợp đầu i có khớp Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; 0=jθ Thay vào hệ phương trình ta tìm được: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − + − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 2 2 3 4 2 3 2 4 2 3 2 2 1 PP l PP EJ lP l PP M Q Q j j i i θ 4.4.4.2 Trường hợp đầu j có khớp Khi đó: vi=0; 0=iθ ; vj=0; Mj=0 Thay vào hệ phương trình ta tìm được: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ EJ lP l PP PP l PP Q M Q j j i i 4 2 3 2 2 3 4 4 3 4 2 4 1 θ 4.4.4.3 Trường hợp đầu i, j có khớp Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; Mj=0 Thay vào hệ phương trình ta tìm được: ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ++ −− +− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ EJ PPl l PPP EJ PPl l PPP Q Q j j i i 6 2 6 2 24 42 3 24 42 1 θ θ 4.4.5 Xử lý liên kết khớp 4.4.5.1 Sử lý ma trận độ cứng của hệ Với ma trận độ cứng của hệ việc sử lý khớp giống như sử lý điều kiện biên, có nghĩa là ta cần xoá các dòng và cột có chỉ số chuyển