Bài giảng Xử lý tín hiệu số chương 3: Biến đổi Z và áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc

Chương III: BIẾN ĐỔI Z VÀ ÁP DỤNG CHO HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN RỜI RẠC XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2009 Nội dung  Biến đổi trong xử lý tín hiệu  Biến đổi Z  Các tính chất của biến đổi Z  Biến đổi Z ngược  Biến đổi Z một phía  Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z  Xét tính ổn định của hệ thống Biến đổi trong xử lý tín hiệu  Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu: biến đổi tín hiệu từ không gian tự nhiên của nó (miền thời gian) sang không gian (miền) khác.  Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số x(n) = sin 2pif0n → m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f ≠ f0. x(n) = asin 2pif1n + bsin 2pif2n → m(f) = a nếu f = f1, b nếu f = f2, 0 còn lại. Lựa chọn biến đổi  Tín hiệu sau khi được biến đổi sẽ hội tụ trong một vài vùng của miền biến đổi → thuận tiện cho việc khảo sát các đặc trưng.  Phải tồn tại biến đổi ngược → có thể thực hiện việc chỉnh sửa tín hiệu trong miền biến đổi và thu lại được tín hiệu đã chỉnh sửa trong không gian tự nhiên (miền thời gian) của tín hiệu. Định nghĩa biến đổi Z  Biến đổi Z hai phía:  z là một biến phức → biến đổi Z thực hiện việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian rời rạc vào một không gian phức (miền Z).  Biến đổi Z tồn tại nếu chuỗi biến đổi hội tụ. Ví dụ: biến đổi Z của δ(n) và của δ(n−n0) X z =∑ n=−∞ ∞ x n z−n Định nghĩa biến đổi Z  Biến đổi Z một phía:  Biến đổi Z một phía và hai phía của một tín hiệu nhân quả là như nhau. X 1z =∑ n=0 ∞ x n z−n Ý nghĩa của biến đổi Z  Với tín hiệu rời rạc, biến đổi Z đơn thuần là một cách biểu diễn khác của tín hiệu.  Vai trò của biến đổi Z đối với hệ thống rời rạc tương đương với vai trò của biến đổi Laplace đối với hệ thống liên tục. Miền hội tụ của biến đổi Z  Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập hợp tất cả các giá trị của z mà chuỗi biến đổi Σx(n)z−n hội tụ. Ví dụ  Tiêu chuẩn Cauchy: lim n∞ ∣xn∣ 1 /n1⇒∑ n=0 ∞ xn∞ Miền hội tụ của biến đổi Z  Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy → tiêu chuẩn hội tụ của biến đổi Z: Rx− ∣z∣Rx Rx− =lim n∞ ∣x n∣1/n Rx = 1 lim n∞ ∣x −n∣1 /n Miền hội tụ của biến đổi Z  Miền hội tụ của biến đổi Z là miền nằm giữa 2 đường tròn bán kính Rx− và Rx+ trong mặt phẳng z.  Miền hội tụ của biến đổi Z của một số loại tín hiệu: Tín hiệu có độ dài hữu hạn. Tín hiệu nhân quả có độ dài vô hạn. Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vô hạn. Miền hội tụ của biến đổi Z  Miền hội tụ của biến đổi Z một phía: là miền nằm ngoài đường tròn bán kính Rx− trong mặt phẳng z. Các tính chất của biến đổi Z  Tuyến tính:  Trễ:  Co giãn trong miền z: )()()]()([ 2121 zbXzaXnbxnax +=+Z )()]([ 00 zXznnx n− =−Z +− − << = xx n RazRaROC zaXnxa |||||:| )()]([ 1Z Các tính chất của biến đổi Z  Lật:  Đạo hàm trong miền z: −+ − << =− xx R z R ROC zXnx 1||1: )()]([ 1Z dz zdXznnx )()]([ −=Z Các tính chất của biến đổi Z  Biến đổi Z của tích chập:  Biến đổi Z của tương quan:  Định lý giá trị đầu: )()()]()([ 2121 zXzXnxnx =∗Z )()()]([ 12121 − = zXzXnr xxZ )(lim)0( zXx z ∞→ = Biến đổi Z ngược  Định lý Cauchy C là một chu tuyến (đường khép kín) có chiều dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ) bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng Z.   ≠ = =∫ − )0(0 )0(121 1 nndzzj C n pi Biến đổi Z ngược  Biến đổi ngược của biến đổi Z (chứng minh được bằng cách sử dụng định lý Cauchy): ∫ −= C n dzzzX j nx 1)( 2 1)( pi Các phương pháp tính biến đổi Z ngược  Phương pháp tính tích phân theo C (sử dụng định lý phần dư của Cauchy): Nếu {zpk} là tất cả các trị cực của X(z)z n−1 nằm bên trong chu tuyến C: Tính phần dư tại trị cực: nếu zpk là cực đơn x n=∑ k Res[ X  z  zn−1∣z=z pk ] Res [ X  z  zn−1∣z=z pk ]= z− z pk X z  z n−1∣z= z pk Các phương pháp tính biến đổi Z ngược Tính phần dư tại trị cực bội: zpk là một trị cực bội bậc sk Res [ X  z  zn−1∣z=z pk ] = 1 sk−1! d sk−1 z−z pk sk X  z  zn−1 dz sk−1 Các phương pháp tính biến đổi Z ngược  Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa: Nếu X(z) khai triển được thành một chuỗi lũy thừa của z−1 như sau: thì ta có x(n) = αn. Cách khai triển: dùng phép chia đa thức. Chú ý: ROC của X(z) quyết định dạng của chuỗi lũy thừa. X z =∑ n=−∞ ∞ n z −n Các phương pháp tính biến đổi Z ngược  Phương pháp khai triển phân thức tối giản: Không giảm tổng quát, giả thiết X(z) có thể biểu diễn dưới dạng X(z) = N(z)/D(z), ở đó N(z) và D(z) là 2 đa thức với bậc của N(z) ≤ bậc của D(z). Giả sử {zpk} là tất cả các trị cực của X(z). Các phương pháp tính biến đổi Z ngược Nếu tất cả các trị cực của X(z) đều là cực đơn: X(z) khai triển được thành tổng của các phân thức ở dạng tối giản ở đó X z =∑ k Ak z−z pk Ak= z− z pk X z ∣z=z pk Các phương pháp tính biến đổi Z ngược Trường hợp tổng quát (cực bội): đặt sk là bậc bội của trị cực zpk, X(z) sẽ được khai triển như sau: ở đó: Ak= 1 sk−s! d sk−s z−z pk  sk X  z  dz sk−s ∣z=z pk X  z =∑ k ∑ s=1 sk Ak s  z−z pk  s Các phương pháp tính biến đổi Z ngược Biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản:   <−− >− =   −   <−−− > =   − − − |)||(|)( |)||(|)1(1 |)||(|)1( |)||(|)( 1 1 1 1 aznua aznua az aznua aznua az z n n - n n - Z Z Các phương pháp tính biến đổi Z ngược    <−− +−− − > +−− =   − − − + |)||(|)1( ! )1)...(1( |)||(|)( ! )1)...(1( )( 1 1 aznua m mnnn aznua m mnnn az z mn mn m -Z Chú ý: thường dễ dàng tính biến đổi ngược hơn nếu khai triển X(z)/z thay vì khai triển X(z). Biến đổi Z một phía  Các tính chất Trễ: với k > 0 Tiến: với k > 0 Định lý giá trị cuối nếu ROC của (z−1)X1(z) chứa đường tròn đơn vị. ∑ = −− −+=− k m kmk zmxzXzknx 1 11 )()()]([Z ∑− = − −=+ 1 0 11 )()()]([ k m mk zmxzXzknxZ )()1(lim)(lim 1 1 zXznx zn −= →∞→ Biến đổi Z một phía  Ứng dụng để giải phương trình sai phân tuyến tính bất biến: Biến đổi Z được dùng để giải phương trình sai phân tuyến tính bất biến. Phương trình sai phân tuyến tính bất biến có điều kiện đầu khác không → phải sử dụng biến đổi Z một phía. Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z  Hàm chuyển của hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc: Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc được biểu diễn bằng tích chập: Hàm chuyển: biến đổi Z của đáp ứng xung H  z = Y  z  X  z  y n=x n∗hn Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z  Mối quan hệ giữa hàm chuyển và phương trình sai phân tuyến tính bất biến của hệ thống: Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc được biểu diễn bằng phương trình: ∑ k=0 N ak y n−k =∑ r=0 M br x n−r  Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z Hàm chuyển của hệ thống được xác định như sau: H  z = ∑ r=0 M br z −r ∑ k=0 N ak z −k =zN−M ∑ r=0 M br z M−r ∑ k=0 N ak z N−k Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z  Biểu diễn hàm chuyển theo các trị cực và trị không: Giả sử {z0r} là tất cả các trị không và {zpk} là tất cả các trị cực của H(z): H  z = b0 a0 ∏ r=0 M 1−z0r z −1 ∏ k=0 N 1−z pk z −1 = b0 a0 zN−M ∏ r=0 M z− z0r ∏ k=0 N  z−z pk Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z Các trị cực của H(z) là nghiệm của phương trình đặc trưng: ∑ k=0 N ak z N−k=0 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z  Tính hàm chuyển của hệ thống ghép nối: Nối tiếp: H(z) = H1(z)H2(z) Song song: H(z) = H1(z) + H2(z) Phản hồi (dương) Phản hồi (âm) H  z = H 1 z  1−H 1 z H 2 z  H  z = H 1z  1H 1 z H 2 z  Xét tính ổn định của hệ thống  Xét tính ổn định dựa trên hàm chuyển của hệ thống: Hệ thống TTBB ổn định khi và chỉ khi hàm chuyển H(z) hội tụ với |z| = 1 → miền hội tụ của H(z) phải chứa đường tròn đơn vị: Rh− < 1 < Rh+ Với hệ thống nhân quả: Rh− < 1 → tất cả các trị cực của H(z) phải nằm bên trong đường tròn đơn vị. Xét tính ổn định của hệ thống  Tiêu chuẩn ổn định Jury: Giả thiết hệ thống có phương trình đặc trưng (a0 > 0): Thiết lập bảng Jury từ các hệ số {ak} D z =∑ k=0 N a k z N−k=0 Xét tính ổn định của hệ thống Hàng 1 a0 a1 a2 … aN−2 aN−1 aN 2 aN aN−1 aN−2 … a2 a1 a0 3 c0 c1 c2 … cN−2 cN−1 4 cN−1 cN−2 cN−3 … c1 c0 … … … … … … 2N-3 d0 d1 d2 Xét tính ổn định của hệ thống Các phần tử ở hàng thứ 3 và 4 của bảng được tính như sau: Các phần tử ở hàng thứ 5 và 6 của bảng được tính từ các phần tử ở hàng thứ 3 và 4 một cách tương tự. Hàng cuối cùng của bảng là hàng đầu tiên có 3 phần tử. ci=∣a0 aN−ia N a i ∣=a0 ai−aN aN−i Xét tính ổn định của hệ thống  Điều kiện Jury: Hệ thống ổn định khi và chỉ khi cả 3 điều kiện sau được thỏa mãn 1. D(1) > 0 2. D(−1) > 0 nếu N chẵn và < 0 nếu N lẻ 3. |aN| < a0 |cN−1| < |c0| … |r2| < |r0|