Bài giảng Xử lý tín hiệu số chương 6: Biến đổi Fourier rời rạc

Chương VI: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2009 Nội dung  Lấy mẫu tần số  Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc tuần hoàn  Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn  Các phương pháp tính nhanh biến đổi Fourier rời rạc Lấy mẫu tần số  Lấy mẫu phổ Fourier liên tục X(ω) của tín hiệu rời rạc x(n): vì X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2pi, ta chỉ cần lấy mẫu trong [0, 2pi]: N: số mẫu được lấy trong [0, 2pi] → chu kỳ lấy mẫu là 2pi/N. X  2N k= ∑n=−∞ ∞ x ne − j 2 N kn Lấy mẫu tần số (tiếp)  Phổ Fourier rời rạc được ký hiệu là X(k): X k =∑ n=−∞ ∞ x ne − j 2 N kn =∑ l=−∞ ∞ ∑ n=l N l NN−1 x ne − j 2 N kn =∑ l=−∞ ∞ ∑ n=0 N−1 x n−l N e − j 2N k n−l N  =∑ n=0 N−1 ∑ l=−∞ ∞ x n−l N e − j 2N k n−l N =∑ n=0 N−1 x p ne − j 2N kn Lấy mẫu tần số (tiếp) ở đó: → xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N → xp(n) biểu diễn được bằng một chuỗi Fourier: x p n=∑ l=−∞ ∞ x n−l N  x p n=∑ k=0 N−1 ck e j 2N kn Lấy mẫu tần số (tiếp) ở đó, các hệ số {ck | k = 0..N−1} của chuỗi Fourier được tính bằng công thức:  Như vậy, từ phổ Fourier rời rạc X(k) của tín hiệu x(n) ta khôi phục được tín hiệu xp(n) như sau: ck= 1 N ∑n=0 N−1 x pne − j 2N kn ck= 1 N X k  x p n= 1 N ∑k=0 N−1 X k e j 2N kn Lấy mẫu tần số (tiếp)  Có thể khôi phục được tín hiệu x(n) hay không? Có, nếu x(n) có độ dài ≤ N và các giá trị ≠ 0 của x(n) đều nằm trong khoảng [0, N−1]: x n={x pn 0≤n≤N−10 n0∨nN−1 Lấy mẫu tần số (tiếp) Khi đó, phổ Fourier liên tục X(ω) của tín hiệu x(n) khôi phục được từ phổ rời rạc X(k): X =∑ n=−∞ ∞ x ne− jn = ∑ n=−∞ ∞ 1 N ∑k=0 N−1 X k e j 2 N kn e− jn =∑ k=0 N−1 X k [ 1N ∑n=−∞ ∞ e − j−2N kn] Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc tuần hoàn  Xét tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N: x(n) có năng lượng vô hạn → không tồn tại biến đổi Fourier (liên tục) của x(n). Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của x(n) được định nghĩa dựa trên khai triển chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn. Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc tuần hoàn (tiếp)  Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N: X(k) tuần hoàn với chu kỳ N.  Biến đổi Fourier rời rạc nghịch (chú ý hệ số 1/N): X k =∑ n=0 N−1 x ne− j 2 kn /N x n= 1 N ∑k=0 N−1 X k e j 2 kn /N Tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc tuần hoàn  Trễ:  Tích chập tuần hoàn của hai tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ N: DFT [ x n−n0]=X k e − j 2N kn0 x1n∗N x2n=∑ k=0 N−1 x1k  x2n−k  DFT [ x1n∗N x2 n]=X 1k X 2k  Tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc tuần hoàn (tiếp)  Tương quan tuần hoàn của hai tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ N: (x1(n) và x2(n) là tín hiệu thực) r x1 x2n=∑ k=0 N−1 x1k  x2k−n Rx1 x2k =X 1 ∗k  X 2k =X 1k  X 2 ∗ k  Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn  Biến đổi Fourier rời rạc của một tín hiệu x(n) có độ dài L hữu hạn là biến đổi Fourier rời rạc của một tín hiệu tuần hoàn xp(n) được tạo ra bằng cách lặp lại x(n) với một chu kỳ N ≥ L: DFT N [ x n]=DFT [ x p n]=∑ n=0 N−1 x ne − j 2N kn x p n=∑ l=−∞ ∞ x n−l N  Tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn  Từ định nghĩa của DFT của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn → tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn x(n) về bản chất chính là tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc tuần hoàn xp(n). Tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn (tiếp)  Trễ vòng: (x(n) có độ dài ≤ N) DFT N [ x n−n0N ]=DFT n [ x n]e − j 2 N kn0 Tính chất của DFT của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn (tiếp)  Tích chập vòng: (x1(n) và x2(n) đều có độ dài ≤ N) x1n∗N x2 n=∑ k=0 N−1 x1 k  x2 n−k N DFT N [ x1n∗N x2n]=DFT N [ x1n]DFT N [ x2n]