Bài tập chương 2: Xác suất thống kê

Bài tập chương 2: Bài 1: Không gian mẫu của con xúc sắc là: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Số các chấm của mặt trên là số chẵn: A = {2, 4, 6} Tập hợp Ac = { 1, 3, 5} Ac : số các chấm của mặt trên là số lẻ Bài 2: Không gian mẫu là: S = { (1,1),(1,2),…,(1,6),…,(6,1),…,(6,6)} Tổng số chấm xuất hiện là chẵn: A = { (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,,4),(6,6)} Cả 2 lần tung đều được số chấm chẵn: B = { (2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6) } Nhìn 2 tập hợp ta thấy B kéo theo A A Bc = “ Cả hai lần tung đều được số chấm lẻ” C = “số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung là khác 1C = { (2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) } A C = { (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) } Bài 3: Không gian mẫu S = { 1,2,3, … , 12 } Tập A “Tổng số chấm xuất hiện là mặt chẵn” A ={ 2,4,6,8,10,12 } B : “Tổng số chấm xuất hiện là mặt lẻ” B = { 1,3,5,7,9,11 } Bài 4: Không gian mẫu S = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) } B: “quân xúc sắc xuất hiện mặt 4 chấm” B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (5,4), (6,4)} C: “ Biến cố N2 = 3” C = { (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) } D: “ Biến cố N2 =6” D = { (6,6) } Bài 5: Giả sử chiếc bút khô là K, chiếc bút tốt là T. Ta có: Không gian mẫu là S = { T, KT, KKT, KKKT } S = { 1,2,3,4 } S = { TT, KTT, TKT, KKTT, KTKT, TKKT, KKKTT, KKTKT, KTKKT, TKKKT } S = { 2,3,4,5} Bài 6: Không gian mẫu S = { FF, FR, FK, RF, RR, RK, KF, KR, KK } A “ không có thành phần nào bị hỏng” A = { FF, FR, RF, RR} Bài 7: Không gian mẫu S = { (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) } Ak : “ viên bi thứ k được lấy vào lần thứ k” A1 A2 A3 : “Tập hợp những viên bi số k chỉ lấy vào lần thứ k” A1 A2 A3 : “Tập hợp những viên bi số k được lấy vào tất cả các lần k” (A1 A2 A3)c : “Tập hợp những viên vi số k không được lấy vào lần thứ k” Bài 8: Nhìn trên hình vẽ ta thấy B = A C ; A C = Ø Bài 9: Bài 11: Biến cố A kéo theo B B là tập con của A Biến cố B kéo theo C C là tập con của B b. B A BC AC Theo sơ đồ Venn thì ta có AC là con của BC hay biến cố BC kéo theo AC Bài 12: Biến cố C cần tìm là C = ( A B) \ ( A B ) Bài 13: a. D = ( ABC) \ (ABC) \ (AB) \ (AC) \ (BC) b. D = ( AB)(AC) (BC) \ (ABC) ( phần màu xanh ) c. D = A BC d. D = (AB) (AC) (BC) Ø Bài 14: S = (A11A21A31) (A11A22A31) (A11A21A32) (A11A22A32) (A12A21A31) (A12A22A31) (A12A21A32) (A12A22A32). Như vậy mỗi biến cố sơ cấp của không gian mẫu S chính là 1 sự kết nối mạng trong mạch được chỉ ra. S = (A1A21A31) (A1A21A32) (A1A22A31) (A1A22A32) Bài 15: a. S = { (T1 + 24K; T2 + 2K) K 0 , K Z } b. A = {( 9+ 24K; T2 + 24K) KN* } “Sinh viên ngủ nhiều hơn thức” 24 + T1 – T2 > T2 – T1 12 + T1 > T2 Và ngoài ra T2 T1 d. Tập AC B tương ứng với biến cố “sinh viên dậy vào lúc 9h và ngủ nhiều hơn là thức” Bài 16: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } P(i) = ( i = 1, 2, …, 6 ) Gọi P(i) = a ( i = 1, 2, …, 6 ) 2a + 5a = 1 a = P1 = và Pi = ( i = 2, 3, …, 6 ) Với trường hợp của câu a: P( chẵn ) = = Với trường hợp của câu b: P( chẵn ) = Bài 17: P (A2) = A3 có các cặp số (1,2) và (2,1) P (A3) = A4 có các cặp số (1,3) , (2,2) , (3,1) P (A4) = A5 có các cặp số (1,4) , (2,3) , (3,2) và (4,1) P (A5) = A6 có các cặp số (1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,1) và (5,1) P (A6) = A7 có các cặp số (1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2), (6,1) P (A7) = A8 có các cặp số (2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2) P (A8) = A9 có các cặp số (3,6) , (4,5) , (5,4) và (6,3) P (A9) = A10 có các cặp số (4,6) , (5,5) , (6,4) P (A10) = A11 có các cặp số (5,6) và (6,5) P (A11) = A12 có cặp số (6,6) P (A12) = b. Lần tung thứ nhất có 6 lựa chọn Lần tung thứ hai có 5 lựa chọn Số phần tử tập B là 6.5 = 30 P (B)= Bài 18: Các biến cố a, b, c là xung khắc với nhau Do đó Bài 19: P[A] + P[B] – 2P[AB] = P [AB] – P[AB] Biểu diễn sơ đồ Venn Như vậy chỉ có thể có đúng một biến cố từ 2 biến cố A và B cho bởi P[A] + P[B] – 2P[AB] Bài 20: P[AC BC] = 1 – z P[AC BC] = P[A] – P[AB] = x – z P[AC BC] = 1 – (P[A] – P[AB]) = 1 – x + z P[AC BC] =1 – P[A] – P[B] + P[AB]) = 1 – x – y + z Bài 21: Gọi số trường hợp có thể xảy ra của phép thử là n Số trường hợp có thể xảy ra của A, B, C, AB, BC, AC, ABC là nA , nB, nC, nAB , nAC, nBC, nABC Khi đó P[A BC] = P[A BC] = P[A] + P[B] + P[C] - P[AB] - P[AC] - P[BC] +P[ABC] Bài 23: Không gian mẫu của phép thử là 8. P[A2] = ; P[A1A3 ] = P[A1 A2 A3 A4 ] = ...= P[A1 A2 A3 A4 ] = P[A1] + P[A2] + P[A3]+ P[A4] - P[A1A2 ] - P[A1A3 ] - P[A1A4 ] - P[A2A3 ] - P[A2A4 ] - P[A3A4 ] + P[A1 A2 A3 ] + P[A1 A2 A4 ] + P[A2 A3 A4 ] + P[A1 A3 A4 ] - P[A1 A2 A3 A4 ] = +++ - . - . - . - . - . - . + .. + .. + .. + .. - ... = Bài 24: Gọi Ci là biến cố mặt ngửa lần đầu tiên xuất hiện trong i lần tung P[A] = 1 - P[C1] - P[C2] - P[C3] - P[C4] - P[C5] = 1 - P[B] = 1 - 1 - P[BC] = 1 - P[B] = P[AB ] = P[B] = 1 - P[AB ] = P[A] + P[B] - P[AB ] = P[A] = 1 - Bài 25: Ta có: P[A BC] = P[A] + P[B] + P[C] - P[AB] - P[AC] - P[BC] +P[ABC] Do đó để chứng minh P[A BC] P[A] + P[B] + P[C] thì ta phải chứng minh P[AB] + P[AC] + P[BC] P[ABC] Điều này là hiển nhiên là vì: Vậy ta có điều phải chứng minh (theo hệ quả 7 nếu AB thì P[A] P[B]) P[ Ta có: P[ Như vậy tương tự câu a thì ta sẽ có điều phải chứng minh Bài 26: Gọi Ai là biến cố thứ tự thứ i bị ghi sai Ta có: P[ Bài 27: Biến cố B: | x- 0,5 | < 1 -1 < x – 0,5 < 1 -0,5 < x < 1,5 mà x[-1; 1] -0,5 < x 1 Vậy P[B] = Biến cố AB: AB = (-0,5 ; 0) P[AB] = Biến cố AC: AC = Ø P[AC] = 0. A B = (-1; 1) P[AB] = 1 A C = [-1;0] (0,75; 1] P[AC] = A B C = [-1; 1] P[ABC] = 1 Bài 28: Gọi A là biến cố số lấy đc từ [-1; 0] B là biến cố số lấy đc từ [0; 1] Ta có: P[A] + P[B] = 1 P[A] + 2 P[A] = 1 P[A] = và P[B] = Gọi A là biến cố = { x < 0 } B là biến cố = {-0,5 < x 1 } C là biến cố = {x > 0,75} P[B] = P[(0,5; 0) [0; 1] ] = P[(0,5; 0) ] + P [[0; 1] ] = P[AB] = P[(-0,5; 0)] = P[AC] = P[Ø ] = 0 P[AB] = P[[-1; 1]] =1 P[AC] = P[[-1; 0] (0,75; 1]] = P[[-1; 0]] + P[(0,75; 1]] = P[ABC] = 1 Bài 29: Thời gian sống của chip t > 0 P[X] = e-t (> 0) Với = 1 ta có P[X] = e-t P[AB] = P[B] = e-10 P[AB] = P[A] = e-5 Giả sử ta phải tìm xác suất thời gian sống của 1 chip trong ( r; s) Ta có: P[( r; s)] = P[( r; )] - P[( s; )] Nên P[( 5; 10)] = P[( 5; )] - P[( 10; )] = P[A] – P[B] = e-5 - e-10 Bài 30: Với r < s P[( -; s)] = P[( -; r] ( r; s]] = P[( -; r]] + P[( r; s]] Do đó P[( -; r]] P[( -; s)] r < s P[(r; s)] = P[(-; s)] - P[(-; r)] Bài 31: Gọi A là biến cố lấy số thứ 1trong [0; ½) B là biến cố lấy số thứ 2 lớn hơn ½ so với số thứ nhất Như vậy P[AB] = P[B/A]P[A] = P[B/A] = vì lần lấy số thứ 2 xảy ra ở đoạn còn lại Bài 32: Với bộ số từ tập {0, 1, 2, …, 59} ta có thể lập được tối đa 10.10.10 = 1000 từ khóa Bài 33: Số kết cục có thể xảy ra là: 6.2.52 = 624 Bài 34: Có 4 đôi giày tất cả Ngày thứ nhất có 4 cách chọn Ngày thứ hai có 3 cách chọn Ngày thứ ba có 3 cách chọn Ngày thứ tư có 3 cách chọn Ngày thứ năm có 3 cách chọn Vậy có 4. 3. 3. 3. 3 = 324 cách Bài 35: Mỗi chữ số có 10 – 2 = 8 cách chọn Vậy có 87 số điện thoại có 7 chữ số. Bài 36: Nếu lặp lại thì có 154 tổ hợp Nếu không lặp lại thì có A tổ hợp Bài 37: Số cách xếp 10 sinh viên vào 10 chiếc bàn là A = 10! Cách Số cách xếp 10 sinh viên vào 12 chiếc bàn là A = 239500800 cách Bài 38: Số tổ hợp có thể xảy ra là 3! = 6 cách Vậy xác suất để đặt đúng thứ tự là 1/6 Bài 39: Có A= 20! cách để sắp xếp 20 quân bài thành 1 hàng Xếp 10 quân bài đỏ vào 10 vị trí có 10! cách Xếp 10 quân bài đen vào 10 vị trí có 10! Cách Vậy có (10!)2 cách để sắp xếp đỏ đen xếp xen kẽ Vậy xác suất của biến cố xếp được các quân bài đỏ và đen xen kẽ là : Bài 40: Một gia vị có C= 5 cách Hai gia vị có C=10 cách Không có hoặc 1 vài hoặc tất cả có 1 + C+ C+ C+ C = 27 cách Bài 41: Lấy M sản phẩm có Ccách m trong tổng số k phế phẩm thì có Ccách Vậy xác suất để M sản phẩm có m phế phẩm là Bài 42: Xác suất để trong 20 con bị bắt có 5 con có nhãn là P(N) = Xét = Vậy với 25N40 thì P(N) > P(N-1) hay P(40) > P(39) > … > P(25) Với N > 40 thì P(N) P(42)>….) Và như vậy thì Vậy P(N) max khi N = 40 Bài 43: Lấy 6 quả bóng trong tổng số 49 quả bóng mà không xét thứ tự có C cách. Vậy xác suất 1 vé trúng số là: Bài 44: Như vậy ta sẽ sắp xếp 4 bi đỏ, 2 bi trắng, 3 bi đen vào 9 vị trí có C.C.C= 1260 (cách) Bài 45: Gọi A là biến cố tổng kết cục 3 lần tung là 7 A = {(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 2, 3)} Số trường hợp có thể xảy sau 3 lần tung xúc sắc là 6.6.6 = 216 kết quả Bài 46: ( hay C Do đó Bài 48: P(A/B) = Nếu AB = P(AB) = 0 P(A/B) = 0 Nếu AB thì P(AB) = P(A) P(A/B) = Nếu AB thì P(AB) = P(B) P(A/B) = 1 Nếu P(A/B) > P(A) Bài 49: P[A|B]= P[A∩B]/P[B] Ta có 0≤P[A∩B]≤P[B] → 0 ≤P[A|B]= P[A∩B]/P[B]≤ 1 P[S|B]= P[S∩B]/P[B] =P[B] /P[B] = 1 P[AUC |B] =P[AUC∩B]/P[B]=P[(A∩B)U(C∩B)]/P[B]=(P[(A∩B) +P[C∩B])/P[B]=P[A|B] +P[C|B] Bài 50: cmr P[A∩B∩C] = P[A|B∩C] x P[B|C] x P[C xét vế phải ta có P[A|B∩C] x P[B|C] x P[C]= P[A∩B∩C] x P[B∩C] x P[C] / (P[B∩C] x P[C]) = VT dpcm Bài 51: S={11,12,13,14,15,16,22,23,24,25,26,33,34,35,36,44,45,46,55,56,11,21,31,41,51,61,22,32,42,52,62,33,43,53,63,44,54,64,55,65,66} A là biến cố tổng các điểm là số chắn P[A]=18/42 B là biến cố cả 2 lần tung là số chẵn P[B]=9/42 P[A|B]=P[A∩B]/P[B]=1 P[B|A]=P[B∩A]/P[A]= 1/2 Bài 52: B={|x-1/2|<1}; P[B]= 3/4 C={x>3/4}; → P[C]= 1/8 P[B|C]= P[B∩C]/P[C]=1 P[C|B]= P[C∩B]/P[B]= 1/8/3/4= 1/6 Bài 53: a. phế phẩm thứ nhất xác suất chọn là 5/100 phế phẩm thứ hai xác suất chọn là 4/99 gọi A là biến cố 2 sản phẩm đuợc chọn đều là phế phẩm →P[A]= 1/495 gọi B là biến cố 2 sản phẩm đuợc chọn trong đó có nhiểu nhất là 1 phế phẩm → P[B]= 1- P[A]= 1- 1/495 =494/495 tương tự với truờng hợp có 10 phê phẩm b. phế phẩm thứ nhất xác suất chọn là 5/100 phế phẩm thứ hai xác suất chọn là 4/99 phế phẩm thứ hai xác suất chọn là 3/98 1 sản phẩm không là phế phẩm duợc chọn có xác xuất 95/100 gọi A là biến cố 2 sản phẩm đuợc chọn đều là phế phẩm P[A]= 5/100 x 4/99 x 95/100 =19/9900 gọi B là biến cố 2 sản phẩm đuợc chọn đều là phế phẩm P[B]= 5/100 x 4/99 x 3/98 =1/16170 gọi C là biến cố 2 sản phẩm đuợc chọn trong đó có nhiểu nhất là 1 phế phẩm P[C]= 1- 19/9900- 1/16170 = tương tự với truờng hợp có 10 phê phẩm Bài 56: a. khoảng thời gian từ 8h đến 9h ta chia làm 2 từ 8h-8h30 =B1=30p 8h30 -9h =B2 =30 p gọi A là biến cố đến nơi làm việc trong 1 phút vậy xác suất đi làm của giáo sư trong khoảng B2 là 1/30 1/30 còn là tần suất suất hiện của giáo sư trong khoảng thời gian di làm b. tuơng tự với B2= 8h50-9h=10p ta có xác suat di làm của giáo sư là 1/30 Bài 57: Ao là tập tín hiệu vào là 0 A1 là tập tín hiệu vào là 1 Bo là tập tín hiệu ra là 0 B1 là tập tín hiệu ra là 1 vì các tín hiệu vào là đồng xác suất nên P[Ao]= P[A1]=1/2 a. khi đó xác suất P[Bo ] = P[Bo|Ao ]+P[ Bo|A1 ] =(1-ƹ1+ƹ2)/2 b. xác suất tín hiệu vào1 với điều kiện tín hiệu ra là 0 P[Ao|Bo]x1/2=P[Ao∩Bo]/P[Bo ]x2= (1-ƹ1)/(1-ƹ1+ƹ2) (P[Ao|Bo]x1/2 có x1/2 vì các tín hiệu vào đồng xác suất và có xác suất là 1/2) tương tự với trường hợp tín hiệu vào la 0 điều kiện tín hiệu ra là 1 với xác suất tín hiệu ra là 1 P[B1 ] = P[Bo|Ao ]+P[ Bo|A1 ] =(1-ƹ2+ƹ1)/2 Bài 59: bài 59 ta coi xu 1 là tín hiệu vào là 0 coi xu 2 là tín hiệu vào là 1 mặt ngửa coi như tín hiệu ra là 0 mặt xấp coi như tín hiệu ra là 1 a. khi dó xác suất P[Bo ] = P[Bo|Ao ]+P[ Bo|A1 ] =(p1+p2)/2 b. khi đó P[A1|Bo ]x1/2 =P[A1∩Bo ] /P[B0]x2= p2/(p1+p2) (P[A1|Bo]x1/2 có x1/2 vì việc chọn bốc đồng xu là ngẫu nhiên xác suất là ½) Bài 60: Ao là tập tín hiệu vào là 0 A1 là tập tín hiệu vào là 1 A2 là tập tín hiệu vào là 2 Bo là tập tín hiệu ra là 0 B1 là tập tín hiệu ra là 1 B2 là tập tín hiệu ra là 2 a. theo như hình vẽ của kênh tam phân ta có các xác suất P[Bo]= P[Bo|A2] +P[Bo|A1] +P[Bo|Ao]= ƹ/4+0+ ƹ/2 =ƹ 3/4 P[B1]= P[B1|A2] +P[B1|A1] +P[B1|Ao]= 0+(1-ƹ)/4+ ƹ/2 = =(1+ƹ)/4 P[B2]= P[B2|A2] +P[B2|A1] +P[B2|Ao]= (1-ƹ)/4+ ƹ/4+0 = =1/4 b. tín hiệu quan sát đc là 1khi đó ta có xác suất tín hiệu vào là 0 P[Ao|B1]x1/2=P[Ao∩B1]/P[B1]x2= ƹ/2/(1+ƹ)/4=2 ƹ/(1+ƹ) tuơng tự với các tín hiệu vào là 1 và 2 Bài 62: A, B là các biến cố độc lập Ta có: độc lập độc lập độc lập Bài 63: Mà độc lập Bài 64: Bài 65: Gọi ki là bi đen trong hộp i ni là số bi trong hộp i Để A, B độc lập thì Bài 66: A, B, C là các biến cố độc lập Có đúng 1 biến cố xảy ra: Có đúng 2 biến cố xảy ra: Không có biến cố nào xảy ra: Bài 69: Gọi Ai là biến cố điều khiển thứ i còn hoạt động Bi là biến cố đơn vị ngoại vi thứ i còn làm việc F là biến cố 2 hoặc hơn 2 đơn vị ngoại vi và 1 bộ điều khiển hoạt động + + + = 6(1-a)2 a + 2(1-a)3 Bài 70: Không thể dung 1 kênh như vậy để truyền tin vì tín hiệu vào không thể tạo ra tín hiệu ra mong muốn