Bài tập đại số tuyến tính - Ma trận - Định Thức - Hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Bài 1: Thực hiện các phép tính sau 1. 1 3 6 5 0 0 2 3 2 11 5 7 3 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2. ( )2 1 1 1 2 1 4 2 0 1 2 −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ 3. và Ra na ∈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ , 10 1 n∈` 4. 1 4 1 1 0 2 1 2 3 2 1 0 1 1 0 3 0 4 3 2 1 0 2 1 4 3 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 5. cos sin sin cos nϕ ϕ ϕ ϕ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ),0 2n ϕ π∈ ≤ <` Bài 2: Cho và 2 1 0 3 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) 23 2 4f x x x= + − . Tính ( )f A . Bài 3: 1. Tìm các số thực , , ,x y z w sao cho 6 4 3 1 2 3 x y x x y z w w z w +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ . 2. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận . 2 1 0 1 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ Bài 4: Cho các ma trận , , 1 1 3 1 2 2 2 2 5 A ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2 B = 1 2 3 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 1 2 2 3 1 C − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Tính . t t tC B A Bài 5: Tìm ma trận X trong các trường hợp sau 1. 2 1 4 5 3 2 5 3 1 2 3 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟. .X 2. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟. .X X 3. X - = 3 1 2 2 2 5 4 2 4 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ 3 5 7 6 2 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ 1 5 2 2 1−2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ §2. ĐỊNH THỨC Bài 6: Tính các định thức sau đây 1. 7 6 5 1 2 1 3 2 2 − − 4. 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 4 4 1 2 3 2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. xcxx xxbx xxxa + + + 3. 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 4 4 1 2 3 6. x xy x xy y yz xz yz z 2 2 2 1 1 1 + + + z Bài 7: Tính các định thức cấp n sau đây 1. 1 2 3 1 1 0 3 1 1 2 0 1 1 2 3 0 1 2 3 1 0 ....... ....... ........ ...................................... ............ ........ n n n n n n n n − − − − 3. nnnnn nnnnn nn nn nn ....... 1.......111 ............................... 1.......333 1.......322 1.......321 −−−− − − − 3. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 3 1 ....... ....... ....... ... ... ... ....... .... .... ....... ....... n n n n − − − 4. x a a a a x a a a a x a a a a x " " " " " " " " " Bài 8:Giải các phương trình sau đây 1. 2 31 1 2 4 8 0 1 3 9 27 1 4 16 64 x x x = 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 x x x x x x x x x + + 0+ + + = + + + §3. HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 9: Tìm hạng của các ma trận sau 1. 2. 1 3 5 1 2 1 3 4 5 1 1 7 7 7 9 1 −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜⎜ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟ 2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 2 1 1 8 2 − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 3. 0 2 4 1 4 5 3 1 7 0 5 10 2 3 0 −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟ 3. 2 4 3 1 0 1 2 1 4 2 0 1 1 3 1 1 7 4 4 5 −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟− −⎝ ⎠ Bài 10: Tùy theo tham số m , hãy tìm hạng của các ma trận sau 1. 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12m ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 1 1 4 2 2 4 3 4 10 1 1 7 17 3 m ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ Bài 11: Cho ma trận 2 1 1 1 1 1 1 1 1 m A m m m ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ . Tìm để m ( ) 3r A < . §4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp biến đổi sơ cấp 1. 2. 3. 1 0 3 2 1 1 3 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 3 2 2 1 3 3 2 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 3 5 5 0 1 3 1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 4. 5. 6. 1 2 0 1 1 1 2 0 0 1 1 2 2 0 1 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 1 0 2 2 2 1 0 0 2 2 1 1 0 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟ 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ §5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 13: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau 1. 2. x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 7 5 − + + = + − + = + − − = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ =−−− =+++ 08723 0374 053 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx Bài 14: Giải và biện luận các hệ phương trình sau 1. 2. mx y z x my z m x y mz m + + = + + = + + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 2 x y m z m m x y z x my z m + + − = + + − +2 = − +3 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ( ) ( ) 1 2 1 0 2 2+ m m 2 m m 3 1 1 b 0 0 0 3. 4. x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 −2 + +2 = + − + = +7 −5 − = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ x x x x x x x x x x x mx x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 2 +3 +2 +4 = +5 +2 +9 = +5 +6 + = +3 +4 +3 = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 5. 6. 2 1 2 4 7 4 11 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x − + + = + − + = + − + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ x x x x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 6 5 +2 − = −3 +7 = −1 − + +3 = + +2 = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 7. x x x mx m x x x mx m x x x mx m x x x mx m x x x mx m m 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 1 2 2 3 3 2 +2 +3 + = + + + + = + +3 +4 +2 = + +4 +2 +3 = + + +2 +2 = + + ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ Bài 15: Cho hệ phương trình . Tìm tham số để hệ phương trình trên có nghiệm. mx y z m x m y m z m x y mz + + = + + + + = − + + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 1 1 1 ( ) ( ) m Bài 16: Cho hệ phương trình (I), trong đó là tham số. ax y z ax y z x y z −3 + = −2 + +2 = +2 + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 3 3 ,a b 1. Xác định để hệ (I) là hệ Cramer. Khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo . ,a b ,a b 2. Tìm để hệ (I) vô nghiệm. ,a b 3. Tìm để hệ (I) có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ. ,a b Bài 17: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình . x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 0 2 2 2 3 2 2 4 6 3 − + − = + − + = − + + = + − + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪