Bài tập Giải Tích 2 - Lê Hoàng Tuấn

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG , nếu là hàm lẻ , nếu là hàm chẵn Bài 1: Tính các tích phân sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ k/ l/ m/ n/ o/ p/ q/ r/ s/ t/ Bài 2: Tính các tích phân suy rộng a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ k/ l/ Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng a/ , với b/ c/ d/ e/ , với f/ g/ h/ i/ j/ k/ l/ m/ n/ , với o/ , với p/ q/ r/ s/ t/ u/ v/ w/ x/ y/ z/ Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong a/ và b/ c/ và d/ và trục e/ và f/ và g/ , với h/ và i/ và j/ và , với k/ và l/ , với Bài 5: Tính thể tích a/ ; và xoay quanh b/ xoay quanh và c/ vật bị giới hạn bởi mặt và (với ), d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ và e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi () và trục khi quay quanh và quay quanh f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi và quay quanh và quay quanh đường thẳng g/ , xoay quanh trục h/ quay quanh trục Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay a/ ; xoay quanh b/ ; và xoay quanh c/ ; quay quanh d/ ; quay quanh e/ ; quay quanh Bài 7: Tính độ dài đường cong a/ từ gốc toạ độ đến điểm b/ ; c/ với d/ ; e/ ; CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI Bài 1: Tính các tích phân bội hai a/ , với b/ , với c/ , với d/ , với e/ , với f/ , với g/ , với h/ , với i/ , với j/ , với k/ , với Bài 2: Tính các tích phân bội ba a/ , với b/ , với c/ , với d/ , với e/ , với f/ , với g/ , với h/ , với i/ , với j/ , với k/ , với l/ , với Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể sau a/ b/ c/ d/ Bài 4: Tính các tích phân sau a/ , với b/ , với c/ , với d/ , với e/ , với f/ , với g/ , với h/ , với i/ , với j/ , với k/ , với l/ , với m/ , với n/ , với o/ , với p/ , với q/ , với r/ , với s/ , với Bài 5: Biểu diễn các miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân , với a/ D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi và b/ D bị giới hạn bởi và c/ D bị giới hạn bởi và d/ D là hình thang bị giới hạn bởi và e/ D là tam giác bị giới hạn bởi và f/ D là hình tròn nằm trong phần tư thứ nhất, và g/ D là miền và h/ D là miền nằm phía trên đường ; nằm trong vòng tròn và i/ D bị giới hạn bởi và j/ D là hình tròn nằm trong phần tư thứ hai, và k/ D là hình chữ nhật và l/ D là hình chữ nhật và Bài 6: Hãy tính tích phân trên miền D cho bởi các hình vẽ sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ Bài 7: Tính các tích phân sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ Bài 8: Tính thể tích của các khối sau a/ có đáy là , với và nằm dưới mặt phẳng b/ nằm phía trên mặt phẳng và dưới mặt c/ nằm trong hình trụ , trên và dưới d/ là tứ diện nằm trong góc , tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt e/ là tứ diện có các đỉnh f/ là nửa mặt cầu g/ là tứ diện với các mặt Bài 9: Tính tích phân , với là phía trên của phần mặt phẳng , nằm giữa 2 mặt phẳng và thuộc góc phần tám thứ nhất. Bài 10: Tính tích phân , với là phía ngoài ellipsoid và thuộc góc phần tám thứ nhất. Bài 11: Tính tích phân , với là mặt Bài 12: Tính tích phân , với là mặt CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT Bài 1: Tính các tích phân đường (trên mặt phẳng ) a/ , với từ đến b/ , với là đường c/ , với là vòng tròn bán kính 1, từ đến . d/ , với là từ đến e/ , với là từ đến f/ , với là đường thẳng nối tới g/ , với là vòng tròn , từ đến Bài 2: Tính các tích phân sau a/ , với là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo ra bởi đường và parabol b/ , với là tam giác tạo bởi 3 đỉnh ngược chiều kim đồng hồ. c/ , với là ellipse thuận chiều kim đồng hồ. d/ , với là đường cong tạo bởi trong nửa mặt phẳng trên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. e/ , với là đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh hình vuông tạo bởi f/ , với là đường tròn thuận chiều kim đồng hồ. g/ , với là hình vuông tạo bởi ngược chiều kim đồng hồ. Bài 3: Chứng minh các tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các tích phân a/ , với là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối đến (2,4). b/ , với là đường cong bất kỳ nối từ đến . c/ , với là đường , nối từ đến . d/ , với là đường cong bất kỳ nối từ đến trong miền e/ , với là đường cong bất kỳ, nối từ đến f/ , với là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông g/ , với là đường cong bất kỳ, nối từ đến h/ , với là đường cong bất kỳ, nối từ đến trong miền Bài 4: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green a/ , với là đường cong kín bao quanh miền b/ , với là tam giác có 3 đỉnh c/ , với là đường cong kín bao quanh miền là phần hình tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất. d/ , với là đường cong kín, bao quanh miền là hình vuông e/ , với là biên của tam giác có 3 đỉnh . f/ Tính tích phân trong câu b/ với là biên của tam giác có 3 đỉnh g/ Tính tích phân trong câu b/ với là đường cong kín bao quanh miền . Bài 5: Chứng minh rằng với miền thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích bằng các công thức , , với là đường cong kín bao quanh miền . Sau đó áp dụng để tính các diện tích sau a/ Tính diện tích hình tam giác có các đỉnh b/ Diện tích tứ giác với các đỉnh . c/ Diện tích tam giác với 3 đỉnh , với giả thiết 3 điểm này không thẳng hàng. Bài 6: Cho và a/ Chứng minh rằng b/ Chứng minh rằng , với là đường cong kín bao quanh c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/ Bài 7: Tính các tích phân đường sau a/ , với là nửa đường tròn ngược chiều kim đồng hồ. b/ , với là đường tròn theo chiều dương lượng giác. c/ , trong đó TH1: là đường tròn theo chiều dương lượng giác TH2: là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ , ngược chiều kim đồng hồ. d/ e/ , với là đường ellipse , phần , theo chiều kim đồng hồ. f/ , với là chu vi tam giác , trong đó ngược chiều kim đồng hồ. g/ , với là đường tròn cùng chiều kim đồng hồ. h/ , với là đường tròn , ngược chiều kim đồng hồ i/ , với là đường tròn ngược chiều kim đồng hồ j/ , với là phần tư ellipse ở góc phần tư thứ nhất, ngược chiều kim đồng hồ. k/ , với là đường tròn cùng chiều kim đồng hồ. l/ , với là chu tuyến (biên của chu vi) dương của miền m/ , với là đường cong tùy ý, nối từ đến n/ theo đường cong tùy ý không chứa gốc . o/, với là nửa đường tròn , ngược chiều kim đồng hồ. p/ , trong đó TH1: là đoạn thẳng nối từ đến (chiều từ ) TH2: là giao của và theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương . q/ , với là giao của và từ đến . Bài 8: Cho và a/ Tìm , với để không phụ thuộc vào đường đi. b/ Với ở câu a/ hãy tính , với là đường tròn bên phải trục tung, ngược chiều kim đồng hồ. Bài 9: Tìm hàm , với để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi Bài 9: Tính các tích phân mặt (loại 1) sau a/ , với là phần mặt phẳng ở góc phần 8 thứ nhất. b/ , với là phần mặt cầu nằm trên hình nón c/ , với là phần mặt nón nằm trong hình trụ d/ , với là phần mặt paraboloic nằm trong hình trụ ở góc phần 8 thứ nhất. e/ , với là phần mặt trụ nằm giữa 2 mặt phẳng f/ , với là phần mặt giới hạn bởi g/ , với là phần mặt nón nằm dưới mặt phẳng h/ , với là phần 8 mặt cầu trong góc i/ , với là phần mặt trụ nằm giữa 2 mặt phẳng j/ , với là phần mặt trụ bị cắt bởi mặt nón Bài 10: Tính các tích phân mặt (loại 2) sau a/ , với là phần của mặt nằm trong hình trụ , phía dưới nhìn từ hướng dương . b/ , với là mặt phía dưới c/ , với là phần mặt nón nằm trong hình trụ , phía dưới. d/ , với là biên của vật thể bị giới hạn bởi , , phía ngoài. e/ , với là phần mặt nón bị cắt bởi mặt phẳng , phía dưới, nhìn từ hướng dương . f/ , với là nửa trên mặt cầu (phần ), phía trong. g/ , với là phần mặt paraboloic nằm dưới mặt phẳng , phía dưới, nhìn từ hướng dương . h/ , với là phần mặt trụ nằm giữa 2 mặt phẳng , phía ngoài. i/ , với là phần hình cầu ở góc phần 8 thứ nhất, phía trong. j/ , với là phần mặt cầu nằm trên mặt nón , phía ngoài. k/ , với là giao của và mặt phẳng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương . l/ , trong đó TH1: là giao giữa paraboloic và hình trụ chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương TH2: là giao của và , chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương . m/ , với là phần mặt phẳng ở góc phần 8 thứ nhất, phía dưới nhìn từ hướng dương . CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: giải các phương trình vi phân cấp 1 sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ Bài 2: giải các phương trình vi phân sau a/ b/ với c/ d/ với e/ f/ g/ h/ i/ với j/ Bài 3: giải các phương trình a/ b/ c/ d/ e/ Bài 4: Khi gặp phương trình dạng ta có thể đặt Lúc này, hãy chứng minh z thỏa Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên để giải các phương trình sau a/ b/ c/ d/ e/ Bài 5: Khi gặp phương trình dạng ta đặt , khi đó . Hãy chứng minh rằng Áp dụng để giải các phương trình sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ Bài 6: giải các phương trình vi phân sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ k/ l/ với m/ với n/ o/ p/ Bài 7: giải các phương trình sau a/ với b/ với c/ với Bài 8: giải các phương trình vi phân sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ k/ l/ m/ n/ o/ p/ q/ r/ s/ Bài 9: giải các phương trình vi phân sau (bằng cách đặt ) a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/