Bài tập giới hạn

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN GIA SƯ
ỨC KHÁNH ‘‘Thắp sáng ngọn lửa thành công’’ • Chuyên luyện thi ðại Học Khối A - B • Nhận dạy kèm tất cả các lớp 22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn Liên hệ : Thầy Khánh – 0975.120.189 BÀI TP GI I HN DNG I: TÌM GI I HN DÃY S Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số VÝ dô 1: T×m: 28n 3n3lim 2n − Gi¶i: 28n 3n 3 333lim lim 8 8 2 n2n − = − = = VÝ dô 2: T×m: 22n 3n 1lim 2n 2 − − − + Gi¶i: 3 122 n 22n 3n 1 2nlim lim 22 2 1n 2 1 2n − − − − = = = − − − + − + VÝ dô 3: T×m: 2lim n 1 n 1      − − + Gi¶i: 2n 22lim n 1 n 1 lim lim 1 2 1 1n 1 n 1 1 1 n 2n        − − − − + = = = − − + + − + + . DNG II: CHuchoasacNG MINH limu 0n = Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý • Cho hai dãy số ( ) | u | vn n u ,v : limu 0n n nlim v 0n      ≤ ⇒ = = (1) • ( ) v u w , nn n n limu Lnlimv limw L Ln n      ≤ ≤ ∀ ⇒ = = = ∈ℝ (2) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN VÝ dô: Chøng minh: ( )n1 cosnlim 0 n − = Gi¶i: Ta cã: ( )n1 cosn 1 n n − ≤ vµ 1lim 0 n = nªn ( )n1 cosnlim 0 n − = DNG III: CHuchoasacNG MINH limun TN TI Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý • Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn ; • Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn VÝ dô: Chøng minh d·y sè ( )nu cho bëi ( ) 1 un n n 1 = + cã giíi h¹n. Gi¶i: Ta cã ( )( ) ( )u n n 11 nn 1 . 1, n. u 1 n 2n 1 n 2n ++ = = < ∀ ++ + Do ®ã d·y ( )nu gi¶m. Ngoµi ra, ( ) 1*n :u 0,n n n 1∀ ∈ = >+ℕ nªu d·y ( )nu bÞ chÆn d−íi. VËy d·y ( )nu cã giíi h¹n. DNG IV: TÍNH TNG CuhoahoiA CP S NHÂN LÙI VÔ HN Phương pháp giải: Sử dụng công thức u1S ,|q | 11 q= <− VÝ dô: TÝnh tæng 1 1 1S 1 ... ....n2 2 22 = + + + + + Gi¶i: §©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi 1q 12= < vµ u 11 = . VËy: u 11S 21 q 11 2 = = = − − DNG V: TÌM GI I HN VÔ CuchoanangC Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực VÝ dô 1: T×m: 32n 4n 3lim 23n 1 − + − + Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 4 323 2 32n 4n 3 n nlim lim2 3 13n 1 n 3n − + − − + − = + + L¹i cã 4 3 3 1lim 2 2 0,lim 0 n2 3 2n n n                 − + − = − < + = vµ 3 1 *0 n n 3n       + > ∀ ∈ℕ nªn suy ra: 4 323 2 32n 4n 3 n nlim lim2 3 13n 1 n 3n − + − − + − = = −∞ + + C¸ch 2: GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN Ta cã: 4 3 4 33n 2 23 2 3 2 32n 4n 3 n n n nlim lim lim n.2 113n 1 2 3n 3 22 nn                          − + − − + − − + − = = + ++ L¹i cã 4 3 4 32 232 3 2 32 2n 4n 3n n n nlimn ; lim 0 lim lim n.1 3 2 13n 13 32 2n n              − + − − + − − + − = +∞ = − < ⇒ = = −∞ ++ + VÝ dô 2: TÝnh 2lim 4x 1 x − →−∞ Gi¶i: 1 12 2lim 4x 1 lim x 4 lim | x | . 4 x x x2 2x x         − = − = − →−∞ →−∞ →−∞ V× lim | x | x = +∞ →−∞ vµ 1 2lim 4 2 0 lim 4x 1 x x2x − = > ⇒ − = +∞ →−∞ →−∞ DNG VI: TÌM GI I HN CuhoahoiA HÀM S Phương pháp giải: Sử dụng các ñịnh lý và quy tắc VÝ dô 1: TÝnh: 1lim x.sin xx 0      → . Gi¶i: XÐt d·y ( )xn mµ x 0, nn ≠ ∀ vµ limx 0n = . Ta cã: ( ) 1f x x sin | x |n n nxn= ≤ V× ( )lim | x | 0 limf x 0.n n= ⇒ = Do ®ã 1lim x.sin 0xx 0       = → . VÝ dô 2: TÝnh: 2lim x x 1 x x        + + − →+∞ Gi¶i: Ta cã: 112 2x x 1 x x 1 12 xlim x x 1 x lim lim lim x x x x 22 2 1 1x x 1 x x x 1 x 1 1 x 2x        ++ + − ++ + − = = = = →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + + + + + + + + VÝ dô 3: TÝnh: 2lim x 3x 1 x x        + + + →−∞ Gi¶i: Ta cã: 1 13 33x 1 32 x xlim x 3x 1 x lim lim lim x x x x 22 2 3 1x 3x 1 x x 3x 1 1 11 x 2x x        + +++ + + = = = = − →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + + − + + − + + − − (Chó ý: khi x → −∞ lµ ta xÐt x < 0, nªn 2x x= − ) DNG VII: CHuchoasacNG MINH ( )lim f x 0 x x0 = → (Ho%c b(ng L) Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý giới hạn kẹp GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác ñịnh trên tập hợp { }J \ x0 khi ñó: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x J \ x :g x f x h x0 lim f x L x xlim g x lim h x L 0x x x x0 0        ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ = →= = → → VÝ dô: Chøng minh: 2x sin xlim 0 x 41 x = →+∞ + Gi¶i: Ta lu«n cã: ( ) ( )2 2 2 2x sin x x x x| f x | f x4 4 4 41 x 1 x 1 x 1 x= ≤ ⇒ − ≤ ≤+ + + + 1 1 2 22 2x xx xlim lim 0; lim lim 0 x xx x4 1 4 11 x 1 x1 14 4x x 2 2 2x x x sin xlim lim 0 lim 0 xx x4 4 41 x 1 x 1 x = = = = →−∞ →−∞→+∞ →+∞+ ++ + ⇒ = = ⇒ = →−∞→+∞ →+∞+ + + . DNG VIII: GI I HN M,T BÊN Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên • Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng 0(x ;b) .
Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến 0x (hoặc tại ñiểm 0x ),nếu với mỗi dãy (x )n trong khoảng 0(x ;b)mà n 0limx x= ,ta ñều có nlimf(x ) L= .
ðịnh nghĩa tương tự cho 0 lim f(x) L x x = −→ .
Hàm số có giới hạn tại x0 và 0 lim f(x) L x x = → tồn tại lim f(x) x x 0 +→ , 0 lim f(x) L x x = −→ và lim f(x) lim L x xx x 00 = = −→+→ . VÝ dô 1: Cho hµm sè ( ) 3x x 1 f x 22x 3 x 1 víi víi      < − = − ≥ − . T×m ( )lim f x x 1→− Gi¶i: Ta cã: ( ) ( )22lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1 x 1 x 1                    = − = − − = − + + → − → − (1) ( ) 3lim f x lim x 1 x 1 x 1              = = − − − → − → − (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ( )lim f x 1 x 1 = − →− VÝ dô 2: Cho hµm sè ( ) 1 x 1 x 1f x 1 x 1 x 1 khi khi       > + = − < + a) T×m ( )lim f x x 2→ GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN b) T×m ( )lim f x x 1→ Gi¶i: a) ( ) 1 1lim f x lim x 1 3x 2 x 2 = = +→ → b) ( )lim f x x 1→ Ta cã: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x1 x 2 1 x 2x 1 x 1 x 1x 1 x 1 x 1 − = = = = − ⇒ ≠ − − −+ + ++ +→ → →→ → → suy ra kh«ng tån t¹i ( )lim f x x 1→ (Chó ý: ( )lim f x x x0→ tån t¹i khi vµ chØ khi ( ) ( )lim f x lim f x L x xx x 00 = = −→+→ th× ( )lim f x L x x0 = → ) DNG IX: KHuchoahoi DNG VÔ 12NH Phương pháp giải: 1) Khi t×m giíi h¹n d¹ng ( ) ( ) P xlim x x Q x0→ , víi ( ) ( )lim P x lim Q x 0 x x x x0 0 = = → → : • Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x x0− • NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l−îng liªn hiÖp. VÝ dô 1: T×m: 2x 9x 14lim x 2x 2 − + −→ Gi¶i: ( )( ) ( )2 x 2 x 7x 9x 14lim lim lim x 7 5 x 2 x 2x 2 x 2 x 2 − − − + = = − = − − −→ → → VÝ dô 2: T×m: 4 x 2lim 4xx 0 + − → Gi¶i: ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 x 2 4 x 24 x 2 4 x 4 1 1lim lim lim lim4x 16x 0 x 0 x 0 x 04x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2 + − + ++ − + − = = = = → → → →+ + + + + + VÝ dô 3: T×m: 3 x 7 2lim x 1x 1 + − −→ Gi¶i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 233 3x 7 2 x 7 2. x 7 43 3x 7 2 x 7 2lim lim lim x 1x 1 x 1 x 12 23 33 3x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4                            + − + + + + + − + − = = −→ → → − + + + + − + + + + ( ) 1 1lim 12x 1 23 3x 7 2. x 7 4         = = → + + + + VÝ dô 4: T×m: 2x 5 3lim x 2 x 2 2 + − → + − Gi¶i: ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) (2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 22x 5 3 4lim lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2x 2 2 2x 5 3x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3 + − + + + + + − + + + ++ − = = = = → → → →+ − + ++ − + + + + + − + + GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN VÝ dô 5: T×m: 3x 3x 2lim x 1x 1 − − −→ Gi¶i: ( ) ( )( ) 3x 1 3x 2 13 3x 3x 2 x 1 3x 2 1lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1 x 1 3x 2 1 3 3 32 2lim x x 1 lim x x 1 3 2 2x 1 x 1 3x 2 1x 1 3x 2 1                             − − − − − − − − − = = − = − − − −→ → → − −+ + − = + + − = − = → → − + − − + = VÝ dô 6: T×m: 4 x 2 1lim 3x 1 x 2 1 + − →− + − Gi¶i: §Æt 12 12 12t x 2 x 2 t x t 2, khi x 1 t 1 ®ã th× = + ⇒ + = ⇔ = − → − → . Do ®ã: ( ) ( )( ) ( ) 2t 1 t t 14 3 2x 2 1 t 1 t t 1 3lim lim lim lim3 4 42 2x 1 t 1 t 1 t 1t 1x 2 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1                   − + + + − − + + = = = = →− → → → −+ − − + + + + VÝ dô 7: T×m: 3 x 7 x 3lim x 1x 1 + − + −→ Gi¶i: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 x 7 2 x 3 23 3x 7 x 3 x 7 2 x 3 2lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1 x 1 3x 7 2 x 3 4lim 2x 1 x 1 x 3 23 3x 1 x 7 2. x 7 4 1 1 1lim 12x 1 2 x 3 23 3x 7 2 x 7 4                                                  + − − + − + − + + − + − = = − − − − −→ → → + − + − = − → − + + − + + + + = − = → + + + + + + 1 1 4 6− = − 2) Khi t×m giíi h¹n d¹ng ( ) ( ) P xlim Q xx→±∞ , ta l−u ý: • §Æt mx (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x) • Sö dông kÕt qu¶: 1lim 0 x x =α→∞ ( víi 0α > ) VÝ dô 1: T×m: 23x 4x 1lim x 22x x 1 − + →+∞ − + + Gi¶i: 4 132 x 23x 4x 1 3xlim lim x x2 1 1 22x x 1 2 x 2x − + − + = = − →+∞ →+∞ − + + − + + GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN VÝ dô 2: T×m: 2x x 1 3xlim x 2 3x + + − →−∞ − Gi¶i: 1 11 32 x 2x x 1 3x 1 3 4xlim lim x x2 3x 2 3 33 x − + + − + + − − − = = = →−∞ →−∞− − − VÝ dô 3: T×m: 3 3 28x 3x 1 x lim 2x 4x x 2 3x + + − →−∞ − + + Gi¶i: 3 13 8 13 33 2 x 38x 3x 1 x 8 1xlim lim 1 x x2 1 2 4 34x x 2 3x 4 3 x 2x + + − + + − − = = = →−∞ →−∞ − + − + + − − + + 3) Dạng ∞ −∞ và dạng 0.∞ • Nhân và chia với biểu thức liên hợp • Nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy ñồng mẫu ñể ñưa về cùng một phân thức. VÝ dô : 2lim ( 2 3 )+ + − →+∞ x x x x Gi¶i: 2 2( 2 3 )( 2 3 )2 lim ( 2 3 ) lim 2( 2 3 ) 322 3lim lim 1 2 2 3( 2 3 ) ( 1 1)2 + + − + + ++ + − = →+∞ →+∞ + + + ++ = = = →+∞ →+∞ + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x