Bài tập nhị thức Newton

BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON A. BÀI TẬP MẪU 1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: 11 7 2 2 1 1 A x x x x                Giaûi: Công thức khai triển của biểu thức là:     11 7 7 11 2 11 72 0 0 11 7 11 3 14 3 11 7 0 0 1 1 1 k n k k n n k n k k k n n k n A C x C x x x A C x C x                         Để số hạng chứa x5 vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x5 là 2 311 7 90C C  2. Tính tổng: 0 1 2 10042009 2009 2009 2009...    S C C C C Giaûi: 0 1 2 1004 2009 2009 2009 2009...    S C C C C (1)  2009 2008 2007 10052009 2009 2009 2009...    S C C C C (2) (vì k n kn nC C )    20090 1 2 1004 1005 2009 2009 2009 2009 2009 2009 20092 ... ... 1 1         S C C C C C C 20082 S 3. Khai triển và rút gọn biểu thức nxnxx )1(...)1(21 2  thu được đa thức n nxaxaaxP  ...)( 10 . Tính hệ số 8a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn nCC nn 171 32  . Giaûi: Ta cã            nnnnnn n nCC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 §ã lµ .89.9.8 89 8 8  CC .9 0365 3 2        n nn n Suy ra 8a lµ hÖ sè cña 8x trong biÓu thøc .)1(9)1(8 98 xx  4. Tính tổng 0 1 2 2009 2009 2009 2009 2009 S C 2C 3C ... 2010C     . Giaûi: Xét đa thức:       2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 f(x) x(1 x) x(C C x C x ... C x )     0 1 2 2 3 2009 2010 2009 2009 2009 2009 C x C x C x ... C x . ww w. ho c2 47 .vn * Ta có:     / 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 f (x) C 2C x 3C x ... 2010C x      / 0 1 2 2009 2009 2009 2009 2009 f (1) C 2C 3C ... 2010C (a) * Mặt khác:       / 2009 2008 2008f (x) (1 x) 2009(1 x) x (1 x) (2010 x)  / 2008f (1) 2011.2 (b)  Từ (a) và (b) suy ra:  2008S 2011.2 . 5. Chöùngminh  k,n Z thõa mãn  3 k n ta luôn có:          k k 1 k 2 k k 3 k 2 n n n n 3 n n C 3C 2C C C C . Giaûi: Ta có:                   k k 1 k 2 k k 3 k 2 k k 1 k 2 k 3 k n n n n 3 n n n n n n n 3 C 3C 2C C C C C 3C 3C C C (5)                                 k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2n n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1VT(5) C C 2 C C C C C 2C C C C C C =      k k 1 k n 2 n 2 n 3 C C C ( điều phải chứng minh) 6. Giải phương trình 1 2 2 322 x x x x x x x xC C C C       ( k nC là tổ hợp chập k của n phần tử) Giaûi: ĐK : 2 5x x N     Ta có 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xC C C C C C C C C C                      (5 )! 2! 3x x     7. Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100100 100 100 1004 8 12 ... 200A C C C C     . Giaûi: Ta có:   100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x      (1)   100 0 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x C x       (2) Lấy (1)+(2) ta được:     100 100 0 2 2 4 4 100 100 100 100 100 1001 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x        Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được     99 99 2 4 3 100 99 100 100 100100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x       Thay x=1 vào => 99 2 4 100100 100 100100.2 4 8 ... 200A C C C     8. Tìm hệ số x3 trong khai triển n x x        22 biết n thoả mãn: 2312 2 3 2 1 2 2...  n nnn CCC Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12 Giaûi: ww w. ho c2 47 .vn Khai triển:          12 0 324 12 12 2 2 2 k kkk xC x x hệ số x3: 77 12 2C =101376 9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña n x x        42 1 biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d-¬ng tháa m·n: 1 6560 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0      n C n CCC n n n nnn  ( knC lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö) Giaûi:    2 0 nn n 22 n 1 n 0 n 2 0 n dxxCxCxCCdx)x1(I  2 0 1nn n 32 n 21 n 0 n xC 1n 1 xC 3 1 xC 2 1 xC          suy ra I nn 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2     (1) MÆt kh¸c 1n 13 )x1( 1n 1 I 1n 2 0 1n        (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã nn 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2     1n 13 1n     Theo bµi ra th× 7n65613 1n 6560 1n 13 1n 1n        Ta cã khai triÓn                   7 0 4 k314 k 7k k 7 0 4 k7 k 7 7 4 xC 2 1 x2 1 xC x2 1 x Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 2k2 4 k314   VËy hÖ sè cÇn t×m lµ 4 21 C 2 1 2 72  10. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: 49CC8A 1 n 2 n 3 n  . Điều kiện n  4 Giaûi: Ta có:      n 0k knk2k n n 2 2xC2x Hệ số của số hạng chứa x8 là 4n4 n 2C  Ta có: 3 2 1 n n n A 8C C 49    (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7 Nên hệ số của x8 là 2802C 34 7  B- BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN : ww w. ho c2 47 .vn 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2        x x , (x>0). 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048122 3 2 1 2  n nnn CCC  . ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức  !1 3 34 1     n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1   nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k nA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và knC là số tổ hợp chập k của n phần tử) 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1        x x với x>0. 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 2048242 210  nn n nnn CCCC  . 8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k n k n k n CCCn n 111 2 1 1 11              (n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n, biết: 3 n Cn 03n1Cn 1 +3 n2 Cn 23n3Cn 3+ +(1)nCn n =2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 10. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 12 3 1 2 0          , ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử).. 11. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ +anx n, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,an thỏa mãn hệ thức 4096 22 1 0  n naaa  . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,an. 12. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 12 2 12 2 5 2 3 2 1 2 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 n n n nnnn C n C n CCC     , ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        7 4 1 , biết rằng 122012 2 12 1 12   n nnn CCC  , (n nguyên dương và k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ww w. ho c2 47 .vn 14. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho   20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12    n n n nnnn CnCCCC  , ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 15. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. 16. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        5 3 1 , biết rằng  373 1 4     nCC n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n x n n n xx n n x n x n n x n n xx CCCC                                                                     3 1 32 1 13 1 2 1 12 1 032 1 22222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. 18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa 7x trong khai triển ña thức:   2 2 3 n x biết rằng n là số nguyên dương thoaû maõn: 1 3 5 2 12 1 2 1 2 1 2 1... 1024 n n n n nC C C C          ( k nC laø toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ) 19. (ĐH A–DB1-2006) Aùp duïng coâng thöùc Newtôn (x2+x)100. Chöùng minh raèng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100 101 ... 199 200 0 2 2 2 2 C C C C                             20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 3 4 1 x x       với x > 0. 21. (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của 8x trong khai triển của biểu thức:   8 21 1 .x x    22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức Newton của: 5 3 1 n x x       , biết rằng: 14 3 7( 3) n n n nC C n      ( n là số nguyên dương, x > 0 ). 23. (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi 3 3na  là hệ số của 3 3nx  trong khai triển thành đa thức của    2 1 2 . n n x x  Tìm n để 3 3 26 .na n  24. (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển nhị thức Newton của: 7 4 1 n x x       , biết rằng: 1 2 3 202 1 2 1 2 1 2 1... 2 1. n n n n nC C C C         ( n là số nguyên dương, x > 0 ). 25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: 49CC8A 1 n 2 n 3 n  . 26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có       0C1C1...C1nnC 1n n 1n2n n 2n1 n 0 n    . ww w. ho c 47 .v 27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x) 2n biết rằng 1002 23  nn AA (n là số nguyên dương) 28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn )3(35 )2)(1( 33    n nn CA nn . Tính tổng n n n nnn CnCCCS ..)1(.......43.2 2423222  29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton n n n n n n n n n CxCxCxCx   ....)1( 22110 30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương n 0 n 1 1 n 1 n 1 n n nn.2 C (n 1).2 C .... 2C 2n.3        31. (ĐH-A-2008) Cho khai triển:   0 11 2 ... . n n nx a a x a x     Trong đó *n N và các hệ số 0 1,.....,, na a a thỏa mãn hệ thức: 1 0 ... 4096 2 2 n n aa a     . Tìm số lớn nhất trong các số: 0 1, ,..., .na a a 32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức: 11 1 1 1 1 0 1 13 3 3 32 2 2 22 2 2 2 2 ... 2 2 2 n n nn n x x x xx x x x n n n n n nC C C C                                                   ( n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó 3 15n nC C và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. 33. (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:  1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... 2 1 .2 2005. n n n n n n nC C C C n C             34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: 2 3 1 0 1 22 1 2 1 2 1... . 2 3 1 n n n n n nC C C C n         35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 22 4 ... 2 243.n nn n n nC C C C     36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:   4 3 1 3 , 1 ! n nA AM n    biết rằng: 2 2 2 2 1 2 3 42 2 149n n n nC C C C       ( n là số nguyên dương ). ww w. c2 47 .vn