Bài tập Xác suất thống kê chương 3

Bài 1. a: Không gian mẫu là Sx={hóa đơn $1,hóa đơn $5, hóa đơn $50} b: Tập hợp A là A={2,4,6} c: Tập hợp Ac là Ac={1,2,3} Ac=1-A Bài 2. Một nguồn thông tin được sản sinh ra các ký tự S = {a , b, c, d, e}. Hệ thống nén số mã hóa các chữ cái thành các dãy nhị phân như sau. a 1 b 01 c 001 d 0001 e 0000 Với Y là biến ngẫu nhiên bằng độ dài dãy nhị phân ở đầu ra của hệ thống như vậy ta có không gian mẫu là SY = { 1 , 2 , 3 , 4} Ta có giá trị của các xác suất tại các điểm đó là P[Y = 1] = p(a) = ½ P[Y = 2] = p(b) = ¼ P[Y = 3] = p(c) = 1/8 P[Y = 4] = P[Y = 5] = p(d) + p(e) = 1/16 + 1/16 = 1/8 Bài 3 a. Không gian mẫu Sy={1,3,5…..,n} với n lẻ Sy={0,2,4,…..,n} với n chẵn b. Gọi Z là biến cố tương đương với {Y=0} Z : Sz à S Sz w à S(z) = 0 à Z là biến cố số lần xuất hiện mặt sấp ngửa bằng nhau c. W : Sw à S Sw w à W(w) <= k (k nguyên dương ) W là biến cố độ sai khác giữa số lần xuất hiện mặt sấp và số lần xuất hiện mặt ngửa <= k không nguyên dương. Bài 5 a.Không gian mẫu SZ của Z SZ={0,1,2,3,….2b} = { (0,0),(0,1),...(0,b),(1,1),(1,2)…(1,b)…(b,0),(b,1),(b,2)….(b,b)} b. c. P[Zz]=1-P[Z>z] Bài 07. Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên y trong bài tập 2 Ta có: Đồ thị hàm F(y) có dạng: Bài 8 Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên trong bài 3 + trường hợp 1 với n = 4 Ta coi các đồng được gieo là cân đối nên biến ngẫu nhiên Y lấy các giá trị 0,1,2,3,4 với các xác suất tương ứng là bởi vậy hàm một cách đơn giản là tổng xác suất của tổng các kết cục từ {0,1,2,3,4} vì vậy hàm phân phối được là hàm gián đoạn tại các điểm 0,1,2,3,4 Xét hàm phân phối tại lân cận của điểm x= 1 , cho là một số dương nhỏ ta có :: [0 lân xuất hiện mặt sấp] = bởi vậy giới hạn của hàm phân phối khi x tiến tới 1 từ bên phải là và [0 hoặc 1 lần xuất hiện mặt sấp] = + = Và = P[0 hoặc 1 lần sấp] = Như vậy hàm phân phối liên tục bên phải và bằng tại điểm x = 1. Độ nhảy tại điểm x = 1 là bằng P[ Y = 1 ] = - = Hàm phân phối có thể được biểu diễn theo hàm bậc thang đơn vị Khi đó hàm là = + + + + + + + trường hợp với n = 5 Tương tự như trường hợp n = 4 = + + ……….+ + ……..+ + Bài 9. Công thức hàm phân phối: Bài 10. Phác hoạ hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Z trong ví dụ 5. Chỉ ra dạng của Z Thời gian truyền Z của một tin nhắn trong một hệ truyền thông tuân theo quy luật phân phối mũ với tham số , nghĩa là Phác hoạ dạng đồ thị: Bài 11 P(x = k) = k=0,1,…, n q=1-p Với n=8 Xét p=1/8 => q = 7/8 Với p=1/2 => q=1/2 Đồ thị : Với p = 9/10 => q = 1/10 Đồ thị : Bài 12: Vì U là biến ngẫu nhiên phân phối đều trên khoảng [-1;1] nên: P[U] = P[U-0] = P[U+0] P[U>0] = P[0<U<1] = F[1] - F[0] = 1 - = P[|U|<] = P[<U<] = F[] – F[] = - = P[|U|] = P[-1<U<] + P[<U<1] = F[] - F[-1] + F[1] - F[] = - 0 + 1 - = P[U<5] = 0 P[<U<] = F[] - F[] = - = Bài 13: → P[A] = 0 → P[B] = = = → P[C] = → P[D] = Bµi 14: a. BiÕn ngÉu nhiªn x lµ BNN liªn tôc b. Bài 15: Bài 17: Biến cố ngẫu nhiên Rayleigh có hàm phân phối = Tìm P[] []=[R=][] P[]=-+-=- =(1-) –(1-)= P[R>]=1-P[R] =1-=1- Bài 18. X là biến ngẫu nhiên mũ với tham số ta có hàm mật độ xác suất của hàm biến mũ là nếu x nếu x < 0 Vậy ta có hàm phân phối mũ là Vậy giá trị của hàm phân phối được viết là Nếu x Nếu x < 0 Với giá trị d > 0 , k nguyên dương Tính P[] = P[]= Hay P[] = P[X>kd] = 1 - P[Xkd] = 1 - F(kd) = 1 – (1- e) = e b.Hãy chia phần dương của đường thẳng thực thành năm khoảng không có điểm chung đồng xác suất. P[] 0 d kd (k+1)d Các giá trị xác suất tại các điểm là không có điểm chung đồng xác suất P[0<X<d] = FX(d) – FX(0) P[d<X<kd] = FX(kd) – FX(d) P[kd<X<(k+1)d] = FX(kd) – FX((k+1)d) P[X > (k+1)d] = 1 – FX((k+1)d) Bài 19: a. Áp dụng tính chất Mặt khác = + + + + = 1 = 1 C(- ) | =1 C( - )= 1 C= 6 Vậy f(x)= 6x(1-x) nếu 0 x 1 0 nếu khác c. Hàm phân phối xác suất 0 nếu x< 0 F(x) = 3x2 – 2x3 nếu 0 x 1 1 nếu x>1 b. P[<x ] = F() – F() = ( 3 ()2 - 2 ()3 ) – [3()2 – 2()3] = 0,34375 Bài 21. a.Tìm fx(x). fx(x) = b.Tìm Fx(x) Fx(x)= Fx(x)==(t-c)2=[(x+c)2 – (c-a)2] = (x+c)2 - (c-a)2 Fx(x) = = (t-c)2 = [ (a-c)2 - (x-c)2] = (a-c)2 + (x-c)2 = (x-c)2 - (a-c)2 Vậy hàm phân phối : Fx(x)= c. P[|x|<b] = Bài 23 Bài 25. Công thức hàm mật độ xác suất: Bài 26. Chứng minh rằng thoả mãn tám tính chất của một hàm phân phối Từ tiên đề 1 . Cần chứng minh: Ta có mà A và xung khắc với nhau nên Từ tiên đề 1 => => (đpcm) Do nên khi thì . Điều này tương đưong với X là toàn bộ không gian mẫu X=S A là một biến cố nào đó có liên quan đến X và có giá trị luôn lớn hơn -∞ Vì a < b nên là tập con của Từ tiên đề 1 Do Hai biến cố ở vế trái xung khắc nên từ tiên đề 3 và định nghĩa hàm phân phối ( ta có Giả sử là một số vô cùng bé. Từ tính chất vi) ta có Khi . Điều này tương đưong với Và . Vậy: Bài 27: Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ Tích của hai biến cố bằng tập rỗng nếu X < t và sẽ bằng khi Do vậy: 0 t Nên b) Hàm mật độ xác suất có điều kiện tìm được bằng vi phân theo x: = = đặt S(x)= ={ khi t x <0 S(x)= t Bài 28: a.Áp dụng công thức: Đồ Thị: 0 a b x b.Tìm và phác họa : Bài 29: Đặt: BNN Nhị thức với n = 8, p = 1/10 (p = 1/2; p = 9/10). Khi đó: (a). Ta có: = ⇒ (b).Ta có: nếu Do đó: Bµi 30: V× Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn h×nh häc. T×m vµ ph¸c ho¹ FX(n/A) nÕu. vµ n ch½n k nguyªn d­¬ng Ta cã: Bài 31: a. b. c. Bài 33. Ta có X là biến ngẫu nhiên nhị thức nên ta có . mặt khác ta có giá trị . Lúc này ta có. b.Chứng minh rằng P[X= k] đạt cực đại tại kmax = [(n+1)p]. Ta có nếu ta xét tỷ số Vậy nếu khi k tăng giá trị từ 0 đến (n+1)p. Thì gía trị p(k) tăng. Nếu như ta có giá trị thì . Như vậy thì p(k) giảm nếu như k tăng. Vậy khi giá trị k = (n+1)p thì xác suất p[X =k ] đạt giá trị cực đại. Nếu khi giá trị (n+1)p nguyên thì giá trị k sẽ có hai giá trị k1 = (n+1)p và giá trị k2 = (n+1)p -1. Mà tại các giá trị này thì p(k) max. Nên khi (n+1)p nguyên thì cực đại đạt tại các giá trị kmax và kmax -1. Bài 34. Cho N là biến ngẫu nhiên hình học SN = {0 , 1, 2, …} a. Tìm P[N > k] Xác suất để hơn k lần phép thử được thực hiện trước khi xuất hiện thành công có P[N > k] = b. Tìm hàm phân phối của N Ta có hàm phân phối với giá trị p = 1 – q Tìm giá trị Nếu giá trị k > m thì ta có vậy suy ra = 0 Mặt khác vì N là biến ngẫu nhiên hình học nên ta có Với giá trị 1<k <m. Như vậy với k là điểm bất kỳ ta có = Mặt khác ta có = . Vậy xác suất của = Bài 35: Đối với biến ngẫu nhiên hình học: P[M=k] = (1-p)k-1.p Với k=1,2,3….; p= Ta có: P(x>t) = P[M>n] =(1-p) = [(1- => e khi n Chứng minh: P[ M = = = Mà P[M => đpcm Bài 37. a. Ta có => P[0]= .== 0,306. b.P[N] = = = 0,9301 Bài 39. Bài 40 Ta có biến ngẫu nhiên POISSON là :: = {0,1,2………..} k = 0,1,2………..và >0 (*) E[ X ] = VAR[X] = Ta có số lệnh chờ được thực thi cho bởi tham số = Với = 3 là số lệnh trung bình đến 1 ngày = 1 là số lệnh cần được thực thi bởi một nhân viên trong một ngày là số nhân viên Ta có với 4 lệnh chờ k 4 và xác suất cho có hơn 4 lệnh chờ nhỏ hơn 90% Giả sử ta lấy với k =4 và = 0,9 Thay số vào (*) ta được 0,9 = (khó quá không tìm được giá trị của ) + Đối với xác suất không có lệnh chờ thì = 0 Thì khi đó = 1 Bài 42. Phân vị thứ r, π(r), của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa: P[X ≤ π(r)] = a) Tìm phân vị 90%, 95% và 99% của biến ngẫu nhiên mũ với tham số λ Ta có: = P[X ≤ π(r)] = = P[X < 0] + P[0 ≤ X ≤ π(r)] = 0 + (π(r)) - () = (1 - ) = 1 - = = 1 - = = - Phân vị 90%, 95% và 99% lần lượt ứng với r = 90, 95 và 99 b) Làm lại câu a với biến ngẫu nhiên Gauss với tham số m = 0 và σ Đặt đưa biến ngẫu nhiên X bất kỳ về biến ngẫu nhiên Z chuẩn tắc . Trong đó: Hàm phân phối này không tính được bằng cách tích phân chỉ tính được gần đúng dựa vào một hàm đặc biệt. Từ đó ta tính được hàm phân phối là Mà Bài 43 Ta có : => là hàm đối xứng đối với x => = Ta lại có : Do = nên = Mà : Bài 44 Tính xác xuất Gauss Ta có hàm phân phối F(x) của biến ngẫu nhiên chuẩn là P[Xx] = t = () a, X<m ta có P[Xm] = t = () Theo bảng Q-hàm ta có () = 1 - Q(0) = 1 – 0.5 = 0.5 b, P[> k] với k = 1, 2, 3, 4, 5 và P[ X > m+k] với k = 1.28, 3.09, 4.26, 5.20 Trường hợp với X > k + m P[X > k + m] = 1 - P[X < k + m] = 1 - t = () = Q(k) Trường hợp với X < -k + m P[X < - k + m] = t = Q(-k) = 1 - Q(k) (do tính đối xứng của hàm mật độ) K= 1 Q(1) = 0.159 Q(-1) = 0.841 K= 2 Q(2) = 0.0228 Q(-2) = 0.9772 K= 3 Q(3) = 0.00135 Q(-3) = 0.99865 K= 4 Q(4) = 3.17E -5 Q(-4) = 0.9999683 K= 5 Q(5) = 2.87E -7 Q(-5) = 0.999999713 Theo bảng 3.4 ta có: K= 1.28 Q(1.28) = E -1 K= 3.09 Q(3.09) = E -3 K= 4.26 Q(4.26) = E -5 K= 5.20 Q(5.20) = E -7 Bài 45: BNN N là BNN Gauss N (0;1) có hàm phân phối: . Để nơi nhận mắc lỗi nếu 0 đã được gửi đi thì điện áp là không âm, tức là hay Khi đó: Tương tự, để nơi nhận mắc lỗi nếu 1 đã được gửi đi thì điện áp là âm, tức là hay : Xét tích phân : I = , đặt u = ⇒ du = t.dt = .dt ⇒ I viết lại: Trong đó: là hàm Gamma tại , suy ra ⇒ I = Từ đó ta có: Vậy xác suất để nơi nhận mắc lỗi nếu 0 và 1 đã được gửi đi là như nhau. Bµi 46: * Víi thêi gian sèng mong muèn cña hÖ thèng lµ 20000 giê. * XÐt víi chip 1 Ta cã hµm mËt ®é x¸c suÊt: Víi ®é lÖch chuÈn s = 4000 giê Gi¸ trÞ kú väng m = 20000 giê * XÐt víi chip 2: §é lÖch chuÈn s = 1000 giê Gi¸ trÞ kú väng: m = 22000 giê Cã: ® ChÝp 1 thÝch hîp h¬n. * Víi thêi gian mong muèn cña hÖ thèng lµ 24000 giê: ® ChÝp 1: ® ChÝp 2: Cã: ® ChÝp 2 thÝch hîp víi hÖ thèng h¬n. Bài 47: Với . Theo công thức biến ngẫu nhiên có phân phối mũ thì xác suất để thời gian vượt quá t giây là: a.X<6 thì b.X>8 thì Bài 49: Biến ngẫu nhiên khi_bình phương = 0<x< Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên khi_bình phương k nguyên dương K=1 = K=2 K=3 Bài 50 Ta có hàm mật độ m-erlang nếu Ta có giá trị của hàm phân phối được tính bằng phương pháp tích phân từng phần Đặt Đặt áp dụng tích phân từng phần cho tích phân này Vậy ta có Như vậy ta có giá trị của m tiến gần tới 1 Câu b. Ta có Nếu lấy đạo hàm của hàm phân phối trên sẽ nhận được hàm phân phối của hàm m-erlang Ta có hàm FSm được viết lại như sau Vậy khi ta lấy đạo hàm nên ta được Bài 51. Từ Hàm mật độ => Hàm phân phối F(x) = = = - = - Mà P[X] Vậy F(x) = = Vậy hàm khối lượng xác suất P(x) = P(x=x) Với x=8 P(x=x) = P (x== - P(x=x) = P (x== - P(x=x) = P (x== - P(x=x) = P (x== - P(x=x) = P (x= -= - P(x=x) = P (x= -= - P(x=x) = P (x= -= - P(x=x) = P (x== - b, Tìm P(- 4d < x < 4d) = F(4d-0) – F(-4d) = Vậy P(- 4d > x > 4d) = 1 - P(- 4d < x < 4d) = 1 Bài 52: X: là số khách đợi xe bus. M: là số khách xe có thể chở. Y = ( X – M )+ là số khách hàng phải chờ sau. Khi X M Do đó: = = Khi X > M Đặt X = M +k Bài 53. Biến cố {Yy} xảy ra khi A= Nếu a>0 thì Fy(y)= = Fy (a>0) Mặt khác nếu a<0 thì : và Fy(y) = = - Fy (a<0) (u la biến của F;) Fy(y) = Fx (a>0) ; Fy(y) = Fx (a<0)  Fy(y) =Fx() Mà x là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ Gauss có TB m và ĐLTC Fx(x) = . () Fy(y) = Vậy Y là hàm phân phối Gauss với kỳ vọng b+am Và độ lệch tiêu chuẩn |a| Theo đề bài ó Bài 55. Bài 58. Hàm trống giữa Y = h(X) được cho trên hình P3.4 Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của Y theo hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của X. Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của Y nếu X có hàm mật độ xác suất Laplace Hàm mật độ Laplace: Tìm hàm phân phối Laplace: Với Với Với v à Với v à Bài 60 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là: fx(x)= a, Miền được che phủ bởi đĩa bán kính X chính là diện tích của đường tròn S = X = Đặt Y= S Ta có : Py(Y) = Py() = Ta có hàm phân phối xác suất được tính theo bài 19 là Fy(Y) = 3Y2 – 2Y3 = 3 – 2()3/2 Đạo hàm hai vế ta có fY(y) = - Vậy hàm mật độ cần tìm là: fY(y) = b, Thể tích hình cầu được tính theo công thức V = X = )1/3 với Đặt Y= V Ta có : PY(Y) = PY()1/3 = Ta có hàm phân phối xác suất được tính theo bài 19 là FY(y) = 3Y2 – 2Y3 = - 2 + 3()2/3 Đạo hàm hai vế ta có FY(y) =- + 2()2/3 ()-1/3 Vậy hàm mật độ cần tìm là fy(y) = c, Y = Xn x = = Y1/n với Ta có : PY(Y) = PY(()1/n )= Ta có hàm phân phối xác suất được tính theo bài 19 là FY(y) = 3Y2 – 2Y3 = 3(y)3/n - 2(y)2/n Đạo hàm hai vế ta có FY(y) = - y(2-n)/n(1-y1/n) Vậy hàm mật độ xác suất là fY(y) = Bài 61: Đầu vào có phân phối đều trên khoảng [ -4d; 4d ] nên ta có: Biến cố Z = X – q(X) có hàm phân bố xác suất trên khoảng [ -4d; 4d ] là: Trong đó q(X) có phân phối đều trên mọi khoảng thuộc theo ví dụ 3.19 Xét trong khoảng : q(X) ánh xạ vào điểm , do đó: Tương tự với các khoảng còn lại ,…,, : =… Suy ra trên toàn khoảng ta có: Từ đó, hàm mật độ trên toàn khoảng được xác định: Vậy biến cố Z = X – q(X) có phân phối đều trên khoảng . Bài 63: Đề sai?!? Bài 65: Do biến ngẫu nhiên rời rạc đều nên ta có : xác suất của các thành phần là Kỳ vọng của bnn rời rạc: E(X)= Phương sai của bnn rời rạc: VAR(X)=== Bài 66. Tìm kỳ vọng và phương sai cảu biến ngẫu nhiên nhị thức Gọi X là biến ngẫu nhiên nhị thức S= {0,1,2,…,n} Giá trị kỳ vọng : Đặt j = k -1 ta có mặt khác ta có q = 1- p Vậy E(X) = np. b.Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức Ta có VAR(X)= Đặt j = k – 1 suy ra k = j + 1 Như vậy ta có giá trị tổng thứ nhất chính là giá trị kỳ vọng của biến X và tổng thứ hai thì bằng 1.Như vậy ta có Vậy thay vào ta có giá trị phương sai là VAR(X)= Vậy suy ra VAR(X)= b, Nếu X là số lần suất hiện mặt ngửa trong n lần tung đồng xu. Ta có nếu ta đặt là hàm chỉ tiêu của biến cố A(xuất hiện mặt ngửa) trong phép thử thứ j, thì khi đó ta có: Nghĩa là X là tổng của các biến ngẫu nhiên Bernoulli tương ứng với mỗi phép thử trong n phép thử độc lập. Vậy suy ra E(X) = E(I1) + E(I2)+…+E(In) = p + p + … + p = np. Vậy giá trị E(X) chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức. X là số lần xuất hiện thành công trong n phép thử Bernoulli và là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối. Bài 67. a, Biến ngẫu nhiên poisson: P= S= (0,1,2,3…) Biến ngẫu nhiên rời rạc kỳ vọng là: E(x) = Mà P=1= (1) Vậy E(x) = = = . = E(x) = = = = = + = Vậy theo tính chất V(x) = E(x2) – [E(x)]2 = b, Khi => P= => E(x) = => E(x) = Bài 71 Chứng minh rằng E[X] của biến ngẫu nhiên với hàm phân phối với x>1 là không tồn tại LG Ta có E[X] = Mà E[X] = Vì x>1 hay x ( 1 , + ) Ta có ln(+) không tồn tại vì vậy mà E[X] không tồn tại Bài 69. Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Gauss bắng cách tích phân trực tiếp các hệ thức (3.57) và (3.65) Ta có X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất Gauss có TB m và độ lệch tiêu chuẩn Fx(x) = . () Mà giá trị kỳ vọng E[X] = E[x] = dx = Đặt  ; = = (Tích phân Poison) = m + Phương sai Đặt x – m = z. dx = .dz Đặt = x= Bài 71 Bài 73 Chứng minh các hệ thức (3.68),(3.69)và (3.70) + hệ thức (3.68) VAR[c] = 0 Ta có E[c] = 0 E[cX] = cE[X] Mà VAR[X] = E[X] – E[X] = E[X.X] – E[X].E[X] = =X.E[X] - E[X].E[X] Thay X = c Ta được VAR[X] = c*c - c*c = 0 (dpcm) + hệ thức (3.69) VAR[X + c] = VAR[X] Xét Y = ax + b E[Y] = aE[X] + b E[X + b] = 1*E[X] + b VAR[Y] = E[Y] – E[Y] = E[] - (aE[X] + b) = = E[X] – E[X] = VAR[X] Thay Y = X + c vào ta được VAR[X + c] = VAR[X] (dpcm) + hệ thức (3.70) VAR[cX] = VAR[X] Đặt Y = cX VAR[Y] = E[] – E[Y] = E[] – [cE[X]] = = = (dpcm) Bài 74: Cho , ở đây A có kỳ vọng m và phương sai , và và c là các hằng số. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y. Bài 75 Chi phí cho n lần tung là : nd $ Chi phí cho X lần ngửa là Chi phí cho n-X lần xấp là nd – () Kì vọng cho tổng chi phí : E(X) = = = = Nếu chi phí cho việc nhận đc X lần ngửa là với a>0 , giá trị kì vọng của chi phí là : E(X) = Đặt u = t => du = dt = = Bài 76 Ta có Y = abX với X là biến ngẫu nhiên Poisson E(Y) = = đặt i-1 = k ta có E(Y) = = Bài 77: Giới hạn tử Y = g(X) được xác định : Y = g(X) = Hàm mật độ của Y theo hàm mật độ của X : Kỳ vọng của giới hạn tử được xác định: Phương sai: Bµi 78: Hµm cña C biÕn ngÉu nhiªn j + X ³ - a BiÕn cè x¶y ra khi hay víi y £ 0 + X ³ a BiÕn cè x¶y ra khi hay víi y ³ 0 VËy LÊy ®¹o hµm theo y ta ®­îc. Khi ®ã gi¸ trÞ kú väng cña hµm thèng nhÊt ®­îc x¸c ®Þnh. víi X £ - a víi x ³ a Ph­¬ng sai: Bài 79: Lấy kết quả bài 65: Ta có: Bài 80: T×m momen cÊp n cña X nÕu X ph©n phèi ®Òu trªn kho¶ng [0,1] va lÆp l¹i víi ®iÓm bÊt kú trªn [a,b] C«ng thøc tÝnh momen cÊp n lµ : E[] = VËy hµm X ph©n phèi ®Òu trªn [0,1] nªn ta cã : E[] = dx = = Víi kho¶ng bÊt kú [a,b] ta cã E[] = dx = = Bài 81: {|X-m|}= P({|X-m|})=p+P =1+ p- P =1+( )- a : X là biến ngẫu nhiên trên khoàng (-b,b) Ta có hàm mật độ xác suất là Hàm phân phối Xác suất chính xác của biến ngẫu nhiên đều trên khoảng (-b,b) P({|X-m|}) =1+( )- =1+ =1- Cận chebyshev VAR{X]= = Cận chebyshev P[X-m] b: X là biến ngẫu nhiên laplace với tham số a Nghiệm chính xác P({|X-m|}) =1+( )- Ta có: ==1- P({|X-m|}) =1+( )- =1+(1-)-(1-) =1+ Với m=0: P({|X-m|})=1+ c, X là biến ngẫu nhiên gauss với m=0 Nghiệm chính xác P({|X-m|}) =1+( )- =1+ Ta có: P[]= Dựa vào công thức tích phân Q(x)==[] Với a=1- b= -Q(x) Với Vậy P[]= =1- P({|X-m|}) =1+ =1+1- ] -1- ] =1- =1- Cận chebyshev E[X]=m=0 VAR[X]= P[|X-m|]= Bài 82. Cho X là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p. Như vậy X là biến ngẫu nhiên nhị thức. Mặt khác ta có E(X) = np , Var(X) = np(1-p) Y = X/n Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev Ta có . Điều gì sẽ xảy ra nếu Áp dụng luật số lớn Trê –bư-sép Khi Ta có khi n khi đó ta có với giá trị của Bài 83. Các bóng có phân phối mũ với kỳ vọng E[x] chưa biết và trung bình số học Y của các phép đo. Áp dụng bất đẳng thức chebyshev: P (|Y - E [X]| a) ; (Với là phương sai) Mà theo biến m – Erlang f(x) = => E[X] = m-Erlang là trường hợp khi biến Game với => f(x) = x>0 => E[X] = Trong đó V[X] = = E(x2) – [E(x)]2 = Vậy P (|Y - E [X]| a) Bài 85. Kiểm tra mức phù hợp tốt của số liệu giữa các lần đếm được giới thiệu ở BT 11 Chương 1 với biến ngẫu nhiên mũ tới mức có nghĩa 5% Ta có bảng số liệu :Pk= p K=0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.430 0.383 0.149 0.033 0.005 0.408.10-3 0.022. 10-2 0.72.10-6 0.01.10-6 0.004 0.031 0.109 0.219 0.273 0.219 0.109 0.031 0.004 0.01.10-6 0.72.10-6 0.22.10-3 0.408.10-3 0.005 0.033 0.149 0.383 0.043 Với P= : n=8 => kỳ vọng (trung bình) E[X]= D2= Số bậc tự do là : 9-1 = 8 So sánh bảng 3.5 với mức ý nghĩa là 5% là : 15.51 P2 không vượt quá ngưỡng vậy BNN phân phối đều. Với P=;n=P =>Kỳ vọng E[X]= => Số bậc tự do là : K=9-1=8. Với P=;n=8;E[X]=0.13 => D2 = 1.83 T2 P = => Số liệu BNN phân phối đều Bµi 90: + Hµm ®Æc tr­ng cña biÕn ngÉu nhiªn Ganss * Gi¸ trÞ trung b×nh (kú väng) ¸p dông ®Þnh lý moment: + LÊy ®¹o hµm hai lÇn ta cã: ® M«ment cÊp 2 b»ng: ® Ph­¬ng sai cña X: Bài 90 Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Gauss với việc dùng định lý moment cho hàm đặc trưng cho trong Bảng 3.2 Hàm đặc trưng: Kỳ vọng: Phương sai: Bài 91 Giả sử hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Cauchy được giới thiệu ở bài 72 là Khi đó : tồn tại Mà ta lại có : Theo định lý mô men : Theo bài 72 ko tồn tại => Bài 92: Hàm sinh của biến ngẫu nhiên hình học được xác định theo công thức: (vì ) . Giá trị kỳ vọng : Giá trị phương sai: Bài 93: BNN nhị thức: , k = 0, 1,…, n Hàm sinh xác suất: Kỳ vọng và phương sai từ hàm sinh xác suất: Bài 95: với X l