Chương 3: Moment quỹ đạo. Trường xuyên tâm Bài 11 Moment quỹ đạo

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm CHƯƠNG 3: MOMENT QUỸ ĐẠO. TRƯỜNG XUYÊN TÂM BÀI 11 MOMENT QUỸ ĐẠO Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ “quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo xác định). Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau; và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã làm ban đầu trong Cơ học cổ điển. Định nghĩa moment quỹ đạo, các hệ thức giao hoán đối với các thành phần của moment quỹ đạo Như đã nói, moment quỹ đạo của hạt là toán tử vector: Bây giờ ta tìm giao hoán tử của hai thành phần của Ta có: Viết gọn lại hệ thức này cùng hai hệ thức tương tự, ta có: Các hệ thức trên cho thấy: KHÔNG THỂ CÓ TRẠNG THÁI MÀ HAI THÀNH PHẦN CỦA MOMENT ĐỀU CÓ GIÁ TRỊ CỤ THỂ. Tuy nhiên, mỗi thành phần (và chỉ một thành phần) đều có thể đo được cùng với bình phương moment Thật vậy, ta có: Từ đó suy ra rằng có nhung trạng thái mà đo được cùng với 2. Moment trong toạ độ cầu Trong nhiều bài toán, nhất là các bài toán về chuyển động trong trường đối xứng tâm, tiện lợi hơn cả là ta dùng toạ độ cầu. Việc này càng tỏ ra hữu hiệu khi thao tác với toán tử moment. Các công thức cho các thành phần moment trong toạ độ cầu sẽ là: có thể coi là xung lượng suy rộng ứng với toạ độ Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của Cơ học giải tích cổ điển. Tiếp theo, ta có: Sau một số bước biến đổi, ta được: Chú ý rằng trong hoàn toàn không có mặt biến số r. 3. Trị riêng và hàm riêng của bình phương moment và một hình chiếu của nó Ta chỉ có thể tìm các hàm mà vừa là hàm riêng của vừa là hàm riêng của một thành phần của nó, ví dụ Hệ phương trình để tìm các hàm như vậy là: hay Phương trInh đầu của (11.4’) có thể viét lại như sau: Từ lý thuyết toán học về các hàm thế ta biết rằng (11.5) có nghiệm khi và chỉ khi , với l là số nguyên không âm. Như vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Nói cách khác, M2 chỉ nhận giá trị Mặt khác, do các toán tử trong (11.4’) chỉ tác dụng lên các biến  và  mà không đụng chạm đến r, nên nghiệm sẽ có dạng =(r, , ) = R(r)Y(, ) Do tính tuyến tính của phương trình nên khi thay  vào ở hai vế của mỗi phương trình đều sẽ có thừa số R(r) không bị đụng chạm tới, nên có thể rút gọn phương trình cho thừa số này Vì vậy, hệ (11.4) trở thành: (11.6) Phương trình thứ hai trong (11.6) chính là: Nghiệm của nó có dạng: (11.7) Vì hai bộ toạ độ cầu (r, , ) và (r, ,  +2) xác định cùng một điểm trong không gian nên hàm (11.7) phải tuần hoàn với chu kỳ 2, tức là hay: là số nguyên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Như vậy, các trị riêng của phải có dạng Do đó, nghiệm của (11.6) có dạng: Chú ý rằng giá trị của số nguyên m trong (11.8) không phải là tuỳ ý mà phải thoã mãn điều kiện Như vậy, với l đã cho thì m có thể lấy 2l + 1 giá trị nguyên khác nhau, từ –l cho đến l. Có thể chứng tỏ điều này một cách chặt chẽ từ các suy luận thuần tuý toán học Cũng có thể xuất phát từ ý nghĩa vật lý để đi đến khẳng định trên Thật vậy, vi chỉ là giá trị của một thành phần của còn là giá trị của nên phai có: Suy ra: Do đó: Vì m và l đều nguyên nên từ đây suy ra Bây giờ ta viết lại phương trình (11.5), nhưng với hàm ẩn là Y(, ) (sau khi đã rút gọn cho R(r)), và Thế (11.8) vào (11.10), ta đi đến phương trình cho Q(): Khi đó Q() = Q(arcsinx) = P(x) và phương trinh đối với P(x) sẽ là: Đặt Người ta đã chứng minh rằng nghiệm của phương trình này có dạng: Và nghiệm của (11.10) sẽ là: trong đó: Các nghiệm (11.14) đã được chuẩn hoá: Sau đây là biểu thức cụ thể của các hàm với , Ta biết rằng các toán tử và có phổ liên tục và ca ba thành phần của mỗi toán tử vector này đều đo được cùng lúc Thế mà tích của chúng, lại có các thành phần không đo được cùng với nhau nghĩa là không bao giờ có giá trị cụ thể (nếu thành phần này có giá trị cụ thể thi các thành phần khác lại không như vậy) Hơn thế, phổ của mỗi thành phần lại còn rời rạc Đây cố nhiên là một điều vô cùng kỳ lạ !!!. Có vẻ như những suy luận dựa vào lý thuyết toán tử là sự BỊA ĐẶT PHI VẬT LÝ Tuy nhiên, các quan sát thực hiện trên những đối tượng vi mô lại cho những kết quả đúng như vậy