Chuyên đề hình học 12_Ban cơ bản: Quan hệ vuông góc

Chuyên đề hình học 12_Ban cơ bản Quan hệ vuông góc Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 1 QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC I) Hai đường thẳng a và b vuông góc nhau: 1) Tích vô hướng của hai véc-tơ: cos... baba = ( ba, ) 2) Ứng dụng của tích vô hướng: Xác định góc giữa hai vectơ: cos( ba, ) = ba ba . . 3) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc nhau: * Cách 1: áp dụng định nghĩa: ),( baba ⇔⊥ = 900 . * Cách 2: 0. =⇔⊥ vuba ( v,u là các véc-tơ chỉ phương của a và b) a b α * * Cách 3: Hai đường thẳng a và b vuông góc nhau khi đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa dường thẳng kia. ( ) ( ) bab a ⊥⇒⎩⎨ ⎧ α⊂ α⊥ * * Cách 4: Định lý ba đường vuông góc Cho a , b’ là hình chiếu của b trên )(α⊂ )(α . a ⊥ b ⇔ a ⊥ b’ * Cách 5: Cho đường thằng a // (α). Nếu đường thẳng b vuông góc với mp (α) thì nó cũng vuông góc với đường thẳng a . ( ) ba )(b //a ⊥⇒ ⎩⎨ ⎧ α⊥ α * * Cách 6: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh còn lại. II) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α): * * Cách 1: Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng a b α b b’ a α a b α c cắt nhau nằm trong mp (α) thì đường thẳng a vuông góc với mp (α). )(a Icb ca ba α⊥⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∩ ⊥ ⊥ * * Cách 2: Cho hai mặt phẳng vuông góc (α) và (β). Khi đó, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 2 với mp còn lại. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α⊥⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ β∩α=⊥ β⊂ β⊥α a ba a )( * Cách 3: Nếu hai mp cắt nhau cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mp thứ ba. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α⊥⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ α⊥γ α⊥β =γ∩β a a III) Chứng minh hai mặt phẳng (α) ⊥ (β): * Cách 1: áp dụng định nghĩa: (α) ⊥ (β) ⇔ góc giữa chúng bằng 900. * * Cách 2: Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại. ⇔ (α) ⊥ (β) ( )⎩⎨ ⎧ α⊥ β⊂ a )(a IV) GÓC: 1) Góc giữa hai đường thẳng: a Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc a’ giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. b’ (a, b) = (a’, b’) b ⇒⎩⎨ ⎧ 'b//b 'a//a a b β α α β γ a a β α b b’ a O a a’ α Chú ý: Để dựng góc giữa hai đường thẳng chỉ cần lấy điểm O trên a từ đó kẻ đường thẳng b’ // b. Khi đó, góc giữa a và b chính là góc giữa a và b’. b // b’ ⇒ (a, b) = (a’, b’) 2) Góc giữa đường thẳng a và mp (α): Đ/n: Góc giữa đường thẳng a và mp (α) bằng góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên mp (α). (a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α). 3) Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β ): Các bước xác định góc: Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 3 + Xác định giao tuyến c của (α) và (β ) α + Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (α) và (β ) đồng thời cùng vuông góc a β b c với giao tuyến c + Xác định góc giữa a và b. ( góc giữa a và b là góc giữa (α) và (β ) ) V) KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a: O H a Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a Khi đó: d(O, a) = OH 2) Khoảng cách từ điểm O đến mp (α): O H α Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (α) Khi đó: d(O, (α)) = OH 3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song: Cho đường thẳng a song song với mp (α). Khoảng cách O H α a giữa đường thẳng a song song với mp (α) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến mp (α). d(a, (α)) = d(O, (α)) = OH , ∀ O ∈ a 4) Khoảng cách giữa hai mp song song: O H α β Cho hai mp song song (α) và (β ). Khoảng cách giữa (α) và (β ) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mp còn lại. d((α), (β ) ) = d(O, (α)) = OH ∀ O ∈ )(β 5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a b M N * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của chúng. d( a, b) = MN, với MN là đoạn vuông góc chung * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song chứa đường thẳng còn lại. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 4 M a N α b d(a, b) = d(a, (α)), với (α) chứa b và song song a * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. α β b a M N d(a, b) = d((α), (β )) , với (α), (β ) song song lần lượt chứa a, b * * Một số dạng hình thường gặp: S A B C D S A B C S A B C D Hình chóp đáy tam giác Hình chóp đáy tứ giác Hình chóp đáy hình thang A B C S S A B C D Hình chóp có đáy là hbh, ht, hcn, hv Hình chóp đáy tam giác có SA ⊥ đáy S A B C D S A B C D Hình chóp đáy hình thang có SA ⊥ đáy Hình chóp đáy là hbh, ht, hcn, hv có SA ⊥ đáy Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 5 B S A H C I S A C B H D Hình choùp ñeàu ñaùy tam giaùc Hình choùp ñeàu ñaùy töù giaùc Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương BÀI TẬP 1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. a) CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. CMR: B’D’ // BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ SD. 2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 . Gọi O là giao điểm của AC và BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = 4 a3 . Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm của BE. a) CMR: (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC) 3/ Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ADC) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a. a) CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông b) Gọi I, K là trung điểm của AD và BC. CM: IK là đường vuông góc chung của AD và BC. 4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 và SA = SB = SD = 2 3a a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC b) CMR: (SAC) ⊥ (ABCD) c) CMR: SB ⊥ BC d) Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanα. A B B’ C A’ C’ A B B’ C D A’ C’ D’ A C D A’ C’ D’ B B’ Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 6 CHƯƠNG I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I) Kiến thức cơ bản: 1) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc (tích ba kích thước) 2) Thể tích khối lập phương: V = a3 3) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4) Thể tích khối chóp: V = 3 1 B.h Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. II) Bài tập: A. Bài toán 1: Thể tích khối lăng trụ. Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ . Giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ. Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ = 'AA AH AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60⇒ 0 = 2 3b Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: A A’ C B B’ C’ H 600 h = 2 3a Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = 4 a3h.a 2 1 2= Thể tích ABC.A’B’C’: V = 3 1 .AH. SA’B’C’ = ba 8 3 2 BÀI TẬP Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A1BB1C1, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= a, góc C bằng 60 , 0 đường chéo BC1 của mặt bên (CC1BB1) hợp với mặt bên (ACC1A1) một góc 30 . 0 a. Tính độ dài đoạc AC1. b. Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: a. AC1 = 3a, b. V = 6 a3. Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A1BB1C1D1 , đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC1A1 và BĐ1BB1 là s1 và s2. Biết góc BA1D là góc vuông. Tính thể tích khối hộp. ĐS: V = 4 2 1 2 2 21 )ss(4 ss − Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 7 Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1BB1C1, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy một góc 60 . 0 a. Tính thể tích lăng trụ. b. Chứng minh: BCC1BB1 là hình chữ nhật c. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ ĐS: a. V = 4 3a 3 , c. Sxq= 3 )213(3a 2 + Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A1BB1C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 . Chân đường vuông góc hạ từ B 0 1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB1= a a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy b. Tính thể tích khối hộp ĐS: a. 600, b. V= 4 a3 3 Bài 5. Cho lăng trụ đều ABCD.A1BB1C1D1 cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC1 và đáy là 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ. 0 Bài 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1BB1C1D1 có đường cao bằng h. Mp (A1BD) hợp với mặt bên (ABB1B A1) một góc α. Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 7. (đề thi ĐH khối D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. ĐS: V = 3a 2 2 , d(AM, B’C) = 7 7a Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1BB1C1D1 có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một góc α và góc BAC’ = β. Tính thể tích hình hộp. Bai 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB1C1 , cạnh đáy a. Mặt phẳng (ABC1) hợp với mặt phẳng (BCC1B1B ) một góc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC1. a. CM: góc AJI bằng α. b. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB1C1 , cạnh đáy bằng a, đường chéo BC1 của mặt bên (BCC1B1B ) hợp với mặt bên (ABB1A1) một góc α. a. Xác định góc α b. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 11. Cho lăng tru đứng ABC.A1BB1C1 , đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA1 và BC1 là 300 và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 600. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 12. Cho lăng trụ đều ABC.A1BB1C1. Mặt phẳng (A1BC) cách A một khoảng 4 3a và hợp với BC’ một góc α biết sin α = 10 15 . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 13. Cho lăng tru đứng ABC.A1BB1C1 , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= b, góc C bằng α. Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) một góc β. a. Tính thể tích khối lăng trụ b. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy. Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A1BB1C1 đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Góc BAA1 bằng 450. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 15. Cho lăng trụ xiên ABC.A1BB1C1 đáy là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên (ABB1A1) là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy một góc α. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 16. Cho lăng trụ xiên ABC.A1BB1C1 đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a, BC = 2a. Mặt bên Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 8 ABB1A1 là hình thoi, mặt bên (BCC1BB1) nằm trong mặt phẳng vuông với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc α. a. Tính khoảng cách từ A đến mp (BCC1BB1). Xác định góc α b . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 17. Tính thể tích của khối lăng trụ có chiều cao h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính bằng r. B. Bài toán 2: Tính thể tích khối chóp. Ví dụ: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. A B C S I H Giải Kẻ SH ⊥ (ABC) Gọi I là giao điểm của AH và BC Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC. ⇒ AI = 2 3a ⇒ AH = 3 2 AI = 3 2 a 3 3 2 3a = Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 600. Xét tam giác SAH vuông tại H ta có: tan 600 = 060tan.AHSH AH SH =⇒ = a Diện tích tam giác ABC: SABC = BC.AI 2 1 = 2a 4 3a 2 3a 2 1 = Thể tích khối chóp: V = 3 1 SH. SABC = 3 1 32 a 12 3a 4 3a =⋅ BÀI TẬP Bài 1. Cho khối chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 300. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài 2. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài 3. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB= a, BC= b, SA= c. a) Tính thể tích của khối chóp đó. b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB). Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC= 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. a) Tính thể tích của khối chóp M.AB’C. b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C). Bai 5. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc của chúng. Biết AC = h, AB = a, CD = b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 9 Bai 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Dựng đường cao SH. a. CMR: SA ⊥ BC b. Tính thể tích khối chóp ABCD c. Gọi O là trung điểm SH. CMR: OA, OB, OC đôi một vuông góc. ĐS: b. V = 12 2a 3 Bài 7. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB = α. ĐS: V = 1 2 cot 6 a 23 −α Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một góc α và hợp với mặt bên (SAB) một góc β. a. Tính SC b. Tính thể tích khối chóp ĐS: a. SC = β−α 22 2 sincos a , b. V = )sin(cos3 sinsina 22 3 β−α βα Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC. a. CMR: SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD. b. Tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc của S lên DM c. Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và CM = x với ax0 ≤≤ ĐS: a. V= 6 3a 3 , b. Quĩ tích là đường tròn đk DH trong (ABCD) c. )xa(4 xa4xa4a7 22 2234 + +− Bài 10. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hãy tính thể tích và diện tích mặt chéo của hình chóp. Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a. a. Tính thể tích khối chóp SABCD b. Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp. Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc giữa mặt đáy và mặt bên là α. Tính thể tích khối chóp SABCD theo h và α. Bài 13. Cho hình chóp SABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy một góc α và tạo với mp(SAD) một góc β. a. Xác định góc α và β b. CMR: 2222 BDADSASB ++= c. Tính thể tích khối chóp Bài 14. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân AB=AC = a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA= SB = a. a. CMR: tam giác SBC là tam giác vuông b. Cho SC = x. Tính thể tích khối chóp theo a và x. Bài 15. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với SC và (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ a. h phải thỏa đk gì để C’ là điểm thuộc cạnh SC b. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’ c. CM: tam giác B’C’D’ luôn có một góc tù. Bài 16. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x ( ax0 ≤≤ ) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = y với y >0 Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 10 a. CMR: (SAB) ⊥ (SBC) b. Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) c. Tính thể tích khối chóp SABCM d. Với giả thiết x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích SABCM. Bài 17. (đề thi ĐH khối B - 2008) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích của khối chóp SBMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM, DN. Bài 18. (đề thi ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài 19. (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. ĐS: 5 a153 3 Bài 20. (đề thi TNTHPT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài 21. (đề thi ĐH khối B – 2009) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600. Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A’.ABC theo a. ĐS: 208 a9 3 Bài 22. (đề thi ĐH khối D – 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’= 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm đoạn A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC). ĐS: V= 9 a4 3 ; k/c = 5 5a2 Bài toán 3: Tính tỉ số thể tích. Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần của 1 khối đa diện (H) được phân chia thành (H1) , (H2) bởi mặt phẳng (α) ta lựa chọn một trong hai cách sau đây: ¾ Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α). Bước 2: Tính thể tích V1 và V2 của (H1) , (H2) Bước 3: Tính k = 2 1 V V ¾ Cách 2: Sử dụng kết quả : “Cho hình chóp SABC , trên ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S. Gọi V và V’ là thể tích của SABC và SA’B’C’. Khi đó: 'SC SC 'SB SB 'SA SA 'SC'.SB'.SA SC.SB.SA 'V V == S A’ C’ A B’ C B Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 11 Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, 3 2 SB 'SB = a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD S A B D D’ C’ B’ H’ H b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Giải a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD C Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P). Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm E của AC và BD. ⎩⎨ ⎧ ⊥⇒⊥ ⊥ )SAC(BD ACBD SHBD ⇒ BD ⊥ SC. Do mp (P) ⊥ SC ⇒ BD // mp (P) Do ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⇒ =∩ ⊂ 'D'B//BD 'D'B)SBD()P( )SBD(BD )P//(BD ⇒ 3 2 SB 'SB SH 'SH SD 'SD === , H’D’ = H’B’ va B’D’ ⊥ AC’ Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC, 3 2 SE 'SC = ⇒ SE 'EC 3 1 SE 'SCSE ==− ⇒ SC’ = 2EC’ = CC’ Ta có: 9 4 3 2 3 2 V V ABD.S 'D'AB.S =⋅= , 9 2 2 1 3 2 3 2 V V BCD.S 'D'C'B.S =⋅⋅= Ta có: VS.ABD = VS.BCD = 2 V ABCD.S ⇒ VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = ABCD.SABCD.S V3 1 2 V 9 2 9 4 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + b) Theo cm trên : AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC nên SA = AC ⇒ tam giác SAC đều ⇒ SH = a 2 62a 2 3AC 2 3 == VS.ABCD = 3 1 33 a 6 6a 2 6 = ⇒ VS.AB’C’D’ = 3a 18 6 BÀI TẬP Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bả