Chuyên đề Lượng giác - Ôn thi đại học

1 chuyên đề lượng giác BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.  Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn.  0360 2  (rad) suy ra 0 0 a 180    ( đơn vị rad).  1 vòng tròn tương ứng 0360 2 có chu vi là 2 R suy ra cung tròn bán kính R có số đo 0a  0 a 360  thì có độ dài aR 180   .  Đường tròn lượng giác  OA = sin  OB = cos   2 2 2OA OB OM 1   . 2 2sin cos 1    1 sin 1    1 cos 1    sin( k2 ) sin( )     cos( k2 ) cos( )    2. CÔNG THỨC CƠ BẢN.  Lượng giác trong tam giác.  doi sin huyen  ; ke cos huyen  ; doi tan ke  ; ke cot an doi  .  sin tan ;cos 0 cos       . cos cot ;sin 0 sin       .  tan .cot 1.   Công thức cơ bản.  2 2sin cos 1   ;  2 2 1 1 tan cos     ; điều kiện cos 0 k ,k . 2          2 2 1 1 cot sin     ; điều kiện sin 0 k ,k .    2  Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt: Hai góc đối nhau ( và  ) Hai góc bù nhau ( và  ) sin( ) sin    cos( ) cos   tan( ) tan    cot( ) cot    sin( ) sin   cos( ) cos   tan( ) tan   cot( ) cot   Hai góc phụ nhau ( và 2   ) Hai góc hơn kém nhau 2  ( và 2   ) sin( ) cos 2     cos( ) sin 2     tan( ) cot 2     cot( ) tan 2     sin( ) cos 2     cos( ) sin 2      tan( ) cot 2      cot( ) tan 2      Hai góc hơn kém nhau  ( và  ) sin( ) sin   cos( ) cos   tan( ) tan   cot( ) cot    Công thức cộng. cos(a b) cosa.cosb sina.sinb   cos(a b) cosa.cosb sina.sinb   sin(a b) sina.cosb sinb.cosa   sin(a b) sina.cosb sinb.cosa   tana tanb tan(a b) 1 tana.tanb     tana tanb tan(a b) 1 tana.tanb      Công thức nhân đôi. 2 2 2 2cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a.      sin2a 2.sina.cosa . 2 2.tana tan2a (a k ,a k ,k .) 2 4 21 tan a            3 2cot a 1 cot2a 2.cot a   Suy ra công thức hạ bậc: 2 1 cos2a sin a 2   ; 2 1 cos2a cos a 2   3 3.sina sin3asin a 4   ; 3 3cosa cos3a cos a 4   .  Công thức nhân ba. 3cos3a 4.cos a 3.cosa  3sin3a 3.sina 4sin a   Công thức biến đổi tổng thành tích. a b a b cosa cosb 2.cos .cos 2 2     a b a b cosa cosb 2.sin .sin 2 2      a b a b sina sinb 2.sin .cos 2 2     a b a b sina sinb 2.cos .sin 2 2     Chú ý: sinx cosx 2sin x 2cos x 4 4                  sinx cosx 2sin x 2cos x 4 4                    Công thức biến đổi tích thành tổng.     1 cosa.cosb cos a b cos a b 2            1 sina.sinb cos a b cos a b 2             1 sina.cosb sin a b sin a b 2         Công thức chia đôi. Đặt a t tan (a k2 ) 2     thì khi đó ta có: 2 2 2 2t 1 t sina ;cosa ; 1 t 1 t      2 2t tana . 1 t   4 BÀI 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số sin Hàm số cosin Hàm số y = sinx  tập xác định là R  -1 sinx  1 , x R ,  là hàm số lẻ ,  tuần hoàn với chu kì 2  sinx =0 khi x k ,k Z    sinx =1 khi x k2 ,k Z 2       sinx = -1 khi x k2 ,k Z 2       Hàm số y = cosx  tập xác định là R  -1 cosx  1 , x R ,  là hàm số chẵn ,  tuần hoàn với chu kì 2  cosx =0 khi x k ,k Z 2       cosx =1 khi x k2 ,k Z    cosx = -1 khi x (2k 1) ,k Z    Hàm số tan Hàm số cotan Hàm số y= tanx  tập xác định R \ k ,k Z 2          là hàm số lẻ  tuần hoàn với chu kì   tanx=0 khi x k ,k Z    tanx=1 khi x k ,k Z 4       tanx =- 1 khi x k ,k Z 4       Hàm số y= cotx  tập xác định  Zk,k\R   là hàm số lẻ  tuần hoàn với chu kì   cotx=0 khi x k ,k Z 2       cotx=1 khi x k ,k Z 4       cotx =- 1 khi x k ,k Z 4       BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .  Phương trình sinx = m (1) m là hằng số.  Nếu |m| 1 thì phương trình (1) vô nghiệm  Nếu |m| 1 Gọi  là một giá trị sao cho sin =m, thì phương trình (1) có nghiệm x k2 ,k Z   và x k2 ,k Z    Chú ý:  2 , sin sin 2 ,                 x k k Z x x k k Z 5              2 , sin sin 2 ,              f x g x k k Z f x g x f x g x k k Z  0 0 0 0 0 0 360 , sin sin 180 360 ,               x k k Z x x k k Z  arcsin a 2 , sin ; ,sin a arcsin a 2 , 2 2                          x k k Z x a x k k Z  Đặc biệt:  sinx 1 x k2 ,k Z 2         sinx 1 x k2 ,k Z 2           sinx 0 x k ,k Z      Phương trình cosx = m (2) m là hằng số.  Nếu |m| 1 thì phương trình (2) vô nghiệm  Nếu |m| 1 Gọi  là một giá trị sao cho cos =m,thì phương trình (2) có nghiệm x k2 ,k Z   và x k2 ,k Z   .  Chú ý:  2 , cos cos 2 ,                x k k Z x x k k Z              2 , cos cos 2 ,             f x g x k k Z f x g x f x g x k k Z  0 0 0 0 0 360 , cos cos 360 ,               x k k Z x x k k Z    arccosa 2 , cos , 0 ,cos a arccosa 2 ,                 x k k Z x a a x k k Z  Đặc biệt:  cosx 1 x k2 ,k Z      cosx 1 x k2 ,k Z      cosx 0 x k ,k Z 2         Phương trình tanx=m (3) m là tham số.  Điều kiện x k ,k Z 2      . 6  Nếu có số  thỏa 2 2      và tan m thì phương trình (3) có nghiệm: x +k ,k    Chú ý:  tanx tan x k ,k             tanf x tang x f x g x k ,k       0 0 0tanx tan x k180 ,k       Phương trình cotx = m (4) m là tham số.  Điều kiện: x k ,k Z    Nếu có số  thỏa mãn 0và cot=m thì phương trình (4) có nghiệm x k ,k .    Chú ý:  cot x cot x k ,k             cot f x cot g x f x g x k ,k       0 0 0cot x cot x k180 ,k       Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (5) .  Dạng: a.sinx b 0  ; a.cosx b 0  ; a.tanx b 0  ; a.cot x b 0  .  Tổng quát: at + b = 0, với a,b là hằng số.  Cách giải: chia 2 vế của phương trình cho a, chuyển về dạng cơ bản (1),(2),(3),(4) và giải tương tự.  Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (6).  Dạng:  2a.sin x b.sinx c 0.   (a) 2a.cos x b.cosx c 0.   (b)  2a.tan x b.tanx c 0.   (c ) 2a.cot x b.cot x c 0.   (d)  Cách giải:  phương trình (a) đặt t = sinx, ( 1 t 1   )  phương trình (b) đặt t = cosx, ( 1 t 1   )  phương trình (c ) đặt t = tanx, ( t )điều kiện cosx  0.  phương trình (d ) đặt t = cotx, ( t )điều kiện sinx  0. Chuyển về phương trình bậc hai 2a.t b.t c 0   ,giải ra t và suy ra x.  Phương trình thuần nhất bậc hai đối với hàm số lượng giác.(7)  Dạng:  a.sin2x+b.sinx.cosx+c.cos2x =0  a.sin2x+b.sinx.cosx+c.cos2x =d  Phương pháp giải: 7  Kiểm tra cosx = 0 (sinx = 1 ) có phải là nghiệm không?. Nếu không phải là nghiệm thì chia 2 vế của phương trình cho 2cos x , ta được phương trình bậc hai theo tanx, giải như dạng (6).  Nếu cox = 0 là nghiệm thì ta chi 2 vế của phương trinh cho 2sin x , ta được phương trình bậc hai theo cotx, giải như (6).  Chú ý: Có sử dụng công thức:  2 2 1 1 tan cos     và 2 2 1 1 cot sin     .  Phương trình thuần nhất bậc nhất đối với hàm số lượng giác.  Dạng a.sinx + b.cosx = c , ( a2+b2  0)  Điều kiện có nghiệm: a2+b2  c2.  Cách giải 1: Biến đổi vế trái về dạng:   2 2 2 2 2 2 2 2 a b asinx bcosx a b sinx cosx a b a b = a b sin x               trong đó 2 2 2 2 a b cos ,sin a b a b       và phương trình trở thành    2 2 2 2 c a b sin x c sin x a b        là phương trình cơ bản dạng (1).  Cách giải 2: Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b ta được: 2 2 2 2 2 2 a b c sinx cosx a b a b a b      . Gọi  là số đo sao cho : 2 2 2 2 a b cos ,sin a b a b       . Phương trình trở thành: 2 2 c sinx.cos sin .cosx a b     hay   2 2 c sin x a b    là phương trình cơ bản dạng (1). CÁC DẠNG BÀI TẬP 8 DẠNG 1 GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Bài 1. Điền vào chỗ trống: Số đo độ 060 0240 03100 030 Số đo rad 3 4   16 3   68 5  4  Bài 2. Bánh xe máy có đường kính 55cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?. Bài 3. Một đường tròn có bán kính 15cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo 1. 4  2. 16  3. 030 4. 040 5. 2  DẠNG 2 BÀI TẬP ÔN CÔNG THỨC VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN Bài 1.Cho x 2     . Xác định dấu của các giá trị lượng giác. 1. 3 sin x 2       2. cos x 2       3.  tan x 4.cot x 2       5.  0 0sin50 .cos 300 6. 0 21sin215 .tan 7  7. 3 2 cot .sin 5 3         8. 4 4 9 cos .sin .tan .cot 5 3 3 5     Bài 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x nếu: 1. 3 sinx 2   và 3 x 2    3. cosx 0,8 và 3 x 2 2     . 2. tanx 3 và 0 x 2    4. 1 sinx 2   và 3 x 2    . Bài 3. Xác định dấu của sinx, cosx, tanx biết: 1. 3 x 2    2. 3 7 x 2 4     3. 7 x 2 4     4. 5 11 x 2 4     5. 10 3 x 3    . Bài 4. Cho 4 sin ; . 5 2       Tính cos ; sin2 ; tan 4        ; tan . Bài 5. Cho 1 1 cosa ,cosb 3 4   .Tính giá trị của biểu thức A cos(a b).cos(a b)   . 9 Bài 6. Cho 5 cosa 0 a 13 2         . Tính cos2a,cos a 3       ; cos 6        Bài 7. Cho  0 04cos 0 90 . 5     Tính cot tan A cot tan      . Bài 8. Cho 3 3 cos 2 . 5 2           Tính sin ; tan ; cos 2 3        ;  A sin tan 3 2           Bài 9. Cho tan 3 . Tính giá trị của biểu thức 2sin cos A ;B tan 2 sin 2cos 4               . Bài 10. Cho 1 sina 3   và 3 a 2    . Tính sina, cos a 2 , cosa, tana, sin2a. Bài 11. Cho tana=4 và 0 00 a 90  . Tính sina, cosa, cos 2a 4       . Bài 12. Tính sinx biết x 0 2     và      2 2 3 7 5 cos 5 x sin x 3tan x cot 3 x sin 7 x sin x 2 2 2                               Bài 13. Rút gọn biểu thức   5 P sin x cos x 2          . Khi 1 P 2  hãy tính giá trị của 1 cos2x Bài 14. Tính 3 3 7 7 K cos cos sin sin tan tan 4 4 4 4 6 3                           Bài 15. Cho tam giác ABC chứng minh rằng sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC. Bài 16. Chứng minh  1+sina+cosa+tana=(1+cosa)(1+tana); sinx sinx 2 1 cosx 1 cosx sinx      0 0 0cos36 sin18 sin30  ;  1 cosa 3sina cos a 2 3          0 0 0 0 3 sin20 .sin40 .sin60 .sin80 16  . 10  2 2 2 1 sin x 1 2tan x 1 sin x     ; 4 2cos4x 8cos x 8cos x 1    sina sina 2 1 cosa 1 cosa sina     ; 1 1 tanx tan2x cos2x          0cosa 3sina 2sin 30 a   ; 2sina cos a 4 tan a 4 2cosa sin a 4                     2 sin3x sinx cosx 2cos x sin2x 1 4           ;     0 0G cosx cos x 120 cos x 120     không phụ thuộc vào biến x.   1 cosa 3sina cos a 2 3         ; 4 2cos4a 8cos a 8cos a 1   ;    2 2 sinx cosx 1 2tan x cot x sinx.cosx     ; sina sin3a sin5a tan3a cosa cos3a cos5a      .  0 0 0 0 0 1 cos48 cos18 4cos15 .cos54 .cos21 2      7 1 cos .cos 12 12 4     ; 0 0 0cos36 sin18 sin30  ; 4 4sin x cos x cos2x    sinb cosb(1 cosb) tanb sinb    ; 1 sin2b cos2b tan b 1 sin2b cos2b 4             Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 4 4 2 2 2Z 2cos x sin x sin xcos x 3sin x    Câu 17. Rút gọn hoặc đơn giản biểu thức 1 cos2x sin2x A 1 cos2x sin2x      cosa cos3a cos5a B sina sin3a sin5a      2 21 2sin 2cos 1 C cos sin cos sin          sin4a sin2a D cos2a cos4a    2 1 cosa cos2a cos3a E 2cos a cosa 1       2 1 cos2x P 5 2cos x    3 3cos a sin a Q 1 sina.cosa    . Tính giá trị của Q khi a 3   . 11 T 4sina.cosa.cos2a 2 2 tan a tana Z 2sin x cosa 4tan a 1          .       5 3 cos 7 a .sin a sin 5 a .cos a 2 2 M cot 3 a .tan a 2                          sin4a sin2a N cos2a cos4a    2 1 cosa cos2a cos3a J 2cos a cosa 1       ; Câu 18. Cho tanx 3 .Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 4sin x 5sinxcosx cos x A sin x 2     Câu 19. Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn sinx sinx A 1 cosx 1 cosx     ; 22cos x 1 B sinx cosx    ; 2 2 2 2 sin 2x 4sin x C sin 2x 4sin x 4     Câu 20. Cho 5 sina cosa 4   ; Tính sin2a, cos2a, tan2a. Câu 21. Cho tanx 1 .Tính 2sinx cosx P sinx cosx    và Q cos2x . Câu 22. Chứng minh 2 2 2 2 G cos x cos x cos x 3 3                  không phụ thuộc vào x. Câu 23. Cho 4 sin2a 5   và 3 a 2 4     .Tính các giá trị lượng giác của góc a. Câu 24. Cho tam giác ABC. CM rằng: 2 2 2cos A cos B cos C 1 2cosA.cosB.cosC.    Câu 25. Rút gọn   11 11 A cos 5 x 2sin x cos x 2 2                   . Câu 26. Biết 2 3 sina ;cosb 3 4    . Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi số a và b cùng nằm ở góc phần tư thứ II. Hãy tính  cot a b và  cot a b . Câu 27. Cho 0 a 2    . Hãy xác định dấu của các số: sin a 4       và 3 cos a 8       . Câu 28. Rút gọn 0 0 0 0 0 0 cos20 cos80 A sin40 .cos10 sin10 .cos40    và 2 0 2 0 2 0B cos 10 cos 20 cos 80 .    12 Câu 29. Cho 1 sina 3   .Tính      P cos 2 a tan a tan a cot a 2            . Câu 30. Cho 3 cosa 5   và a 2     . Tính giá sina và  A sin a tan a 3 2           . Câu 31. Tính giá trị của biểu thức 0 0X cos15 3sin15  . Câu 32. Cho cot x 4tanx với x 2     . Tính các giá trị lượng giác của x. Câu 33. Tính giá trị        0 0 0 0V cos 17 a .cos 13 a sin 17 a .sin 13 a      . Câu 34. Chứng minh rằng cosa cos5a 2sina sin4a sin2a    . Câu 35. Chứng minh sin3a cos3a sina cosa  không phụ thuộc vào a. Câu 36. Rút gọn         sin x .cos x .tan 7 x 2 A 3 cos 5 x .sin x .tan 2 x 2                  . Câu 37. SBT-NC Chứng minh a.- 2 2 6 2 2 tan x sin x tan x cot x cos x    b. 2 3 3 sinx cosx 1 tanx tan x tan x cos x      c.    2 2sin x 1 cot x cos x 1 tanx |sinx cosx|     d. 2 2 2 2 2sin xtan x 4sin x tan x 3cos x 3    e. 1 cosx 1 cosx 2 1 cosx 1 cosx |sinx|       f. 1 cosx 1 cosx 2cox 1 cosx 1 cosx |sinx|       Câu 38. Cho tanx cot x m  , hãy tính theo m a. 2 2tan x cot x b.| tanx cot x| c. 3 3tan x cot x Câu 39. Cho sinx cosx m  , hãy tính theo m a. 3 3sin x cos x b. |sinx cosx| c. 6 6sin x cos x Câu 40. Đơn giản biểu thức a.  cos x sin x 2         b.  cos x sin x 2         c. cos x sin x cos x sin x 2 2 2 2                                  13 d. 3 3 7 7 cos x sin x cos x sin x 2 2 2 2                                  e.     3 cos x cos x cos x cos 2 x 2 2                    f.   5 13 sin x cos x 3sin x 5 2sinx cosx 2 2                     g.   11 11 cos 5 x 2sin x sin x 2 2                  Câu 41. Không sử dụng máy tính hãy tính 0 0 0 0 0sin135 ; cos930 ; tan405 ; cos750 ; sin1140 Câu 42. Tính a. 2 8 cos cos cos 9 9 9       b. 2 9 cos cos cos 5 5 5       DẠNG 3. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. 2x y cos x 1   2. x y tan 3  3. y cot2x 4. 2 1 y sin x 1   5. y cosx 1  6. 2 1 y sin x 1   7. y cosx 1  9. 2 2 3 y sin x cos x   10. y tanx cot x  11. 2 y cosx cos3x   12. 2 cosx y 1 tan x 3          13. tanx cot x y 1 sin2x    14. 2 cosx y 1 tan x 3          15. tanx cot x y 1 sin2x    16. tgx y cosx 1   17. y tgx cotg2x  18. y t g 2x 3        19. 2017x y cos2x 1   20. y 3 sinx  21. 1 cosx y sinx   22. 1 sinx y 1 cosx    23. y sin3x 24. 2 y cos x  25. y sin x 14 26. 1 x y sin 1 x    27. sinx 2 y cosx 1    28. 2 1 y sin x 1   29. tanx y sin2x 3cos2x   30. y tan 2x 3        31. 1 cosx y 2sinx 2    32.  sin x 2 y cos2x cosx    33. tanx y tanx 1   34. 1 y 3cot2x 1   35. 3sin2x cosx y 2 cos 4x cos 3x 5 4                  36. tanx y sin3x cos3x   DẠNG 4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. y= 2+3cosx; 2. y= 3 4sinx; 3. y= 2sin2x  3 4. y 4 3|sinx|  5. 2 2y 2sin x cos x  6. 2y cos x 2cos2x  7. y 3 cosx 2  8. y 2cos x 3 3         9. 2y 3sin2x 2cos x 4   10.  2y 1 sin x 1   11. y 4sin x 12. y cosx cos x 3         13. y 2 cosx  14. y sinx cosx 2   15. y 3sin2x cos2x  16. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức 4 4sin x cos x 17. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức 6 6sin x cos x DẠNG 5. XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ 1. y x.cos3x 2. 2y x .sin2x 3. 3y x .cos4x 4. 2y sin 2x 5. 3y cos x 6. y tan3x 7. 2y sin 2x+1 8. 2 2y cos x sin x  9. 2 2y cos x tan x  10. 3 2y sin 2x tan x  11. 2cosx cot x y sinx   12. 2y sinx.cos x+tgx 13. y sinx cosx  14. y tg|5x| 15. y tgx sin2x  16. y 2sinx  17. y 3sinx 2  18. y sinx cosx  15 19. 2y sinx.cos x tanx  20. y cos x 4        21. 1 cosx y 1 cosx    22. 2y tan x 23. 3x sinx y cos2x   24. 2cosx cot x y sinx   DẠNG 6. VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước vẽ đồ thị hàm số:  Vẽ đồ thị hàm số y sinx  Vẽ đồ thì hàm số  y sin x  bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y sinx sang bên trái  đơn vị.  Vẽ đồ thì hàm số  y sin x  bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y sinx sang bên phải  đơn vị.  Vẽ đồ thì hàm số y sinx K  bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y sinx lên trên theo phương trục oy, K đơn vị.  Vẽ đồ thì hàm số y sinx K  bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y sinx xuống dưới theo phương trục oy, K đơn vị.  Các dạng khác của hàm số cosx, tanx, cotx thực hiện tương tự. 1. y sinx 2. y sin x 4        3. y sin x 4        4.  y sin x 1  5.  y sin x 1  6.  y sin x  7. y 2sinx 8. y sin2x 9. y sin 2x 4        10. y sin 2x 4        11. y sin 2x 1 4         12. y sin 2x 1 4         13. y sin|x| 14. y |sinx| 15. sin|2x| 1 16. y cosx 17. y cos x 4 