Chuyên đề luyện thi đại học Toán - Vấn đề: Ứng dụng tích phân

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400 Page 1 Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng: Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường g(x) y f(x), y b, x a, x  với a b là ( ) ( ) b a S f x g x dx  Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 , 2 1xy y x   Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) 2 2 4, 4y x x y x     b) 3 22 8 1, 6y x x x y     c) 2 22 2, 3y x x y x x       d) 2 1 , , 1x x y y e x e      e) ln , 0y x y  và x e f) 2 2 4 4 4 2 x x y y   g) Parabol 2 6 8,y x x    tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung. h) 3 3y x x  và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ 1 2 x   i) y x sin 2 , 0, 0, 4 x y x x     k) 1 ln , 0, ,y x y x x e e     l) 1 1, (( ) )xy ey e x x   Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 22 2 , 2 2y x y x x      Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) 2 1 2 2 2 y x x   và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M ( 5 2 ;-1) b) 2 4 3 , 3y x x y x     c) 2 , 2y x y x   d) 2 , 2 , 0y x y x y    e) 2 2 27, , 8 x y x y y x    f) 25 , 0, 0, 3xy y x y x     Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số 2 1y x  luôn cắt đường thẳng 2y mx  tại hai điểm phân biệt. Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường trên là nhỏ nhất Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400 Page 2 Bài 4: Xét hàm số 2y x trên đoạn  0;1 . Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc 0;1 . Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi các đường 0x  , 2y m và 2y x , S2 là diện tích giới hạn bởi các đường 2 2,y x y m  và 1x  . CMR với mọi giá trị của  0;1m ta đều có 1 2 1 2 4 3 S S   . II. Thể tích tròn xoay Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường f(x) y 0, y b, x a, x  với .a b Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là   2 ( ) b a V f x dx  . Ví dụ 3: Tính thể tích khối trong xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox 2 2( 2) 1.x y   Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox: 21 2y x x   và 1y  Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x a) y x ln x , 0, 1,y x x e   b) y x sin x , 0, 0, 2 y x x     c) 4 4sin os , 0, , 2 y x c x y x x       d) 2 2 28, 2x y y x   e)  3ln 1 , 1, 0y x x x y    f) 2 24 6; 2 6y x x y x x       . Bài 6: Cho parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox. Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với .a b Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là   2 ( ) b a V g y dy  Bài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường  ; 0 0xy e y x    Khi quay quanh a) 0x b) 0y Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y a) 2 2;y x x y  ; b) ; 2 ; 0y x y x y    ; c) 22 ; 0y x x y   .