Cơ ứng dụng - Chương VII: Tính biến dạng thanh

Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM Chương VII Tính biến dạng thanh Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.1. Khái niệm Đối với vật thể dạng thanh, biến dạng gồm 3 loại: - Biến dạng dài: do thành phần nội lực dọc trục Nz gây ra. - Biến dạng xoắn: còn gọi là góc xoắn, do Mz gây ra. - Độ võng, góc xoay: do các thành phần moment uốn gây ra. 7.1.1. Khái niệm Biến dạng dài x y z a a’ Góc xoay quanh trục x Độ võng y Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.1. Khái niệm 7.1.2. Các phương pháp tính - Phương pháp tích phân phương trình vi phân: Dựa vào các phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng với ứng suất , đặc trưng hình học tiết diện và tính chất cơ học của vật liệu thanh. - Phương pháp năng lượng: Dựa vào quan hệ năng lượng giữa công của ngoại lực và năng lượng tích lũy trong thanh khi thanh biến dạng. Nhận xét: Phương pháp năng lượng dễ sử dụng hơn nhiều khi dùng cho các bài toán phức tạp khác nhau, vì vậy phương pháp này được cho là phương pháp vạn năng, được sử dụng phổ biến hơn. Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.2.1.1. Các phương trình cơ bản Để tính biến dạng dài, biến dạng xoắn, góc xoay ta sử dụng các phương trình vi phân sau: (7.1) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.2.1.2. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Trên mặt cắt ngang thanh chịu kéo nén đúng tâm chỉ có thành phần lực dọc Nz , nên trong trường hợp này thanh chỉ có biến dạng dài: a. Nếu (7.2) (7.3) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp b. Nếu , ta chia thanh thành n đoạn sao cho trên mỗi đoạn 3 đại lượng này đều là hằng số. (7.4) 7.2.1.2. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Ví dụ: Cho E = 2.105 N/mm 2 AAB = 20mm2 ; ABC = 30mm2 ; ACD = 40mm2 Tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh. A B C D Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.2.1.3. Thanh chịu xoắn Khi thanh chịu xoắn hay uốn và xoắn đồng thời, trên mặt cắt ngang có thành phần nội lực Mz . Thành phần này gây ra biến dạng góc gọi là góc xoắn tương đối giữa hai cắt ngang của thanh. (7.5) a. Nếu Mz ,G, Jz là hằng số: (7.6) b. Nếu Mz ,G, Jz không là hằng số, chia thanh ra thành n đoạn sao cho trên mỗi đoạn 3 đại lượng này đều là hằng số (7.7) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng - Uốn phẳng: hiện tượng sau khi chịu uốn trục thanh vẫn nằm trong mặt phẳng tải trọng. - Đường đàn hồi: trục thanh sau khi biến dạng. K K’ P Đường đàn hồi z y Phương trình của đường đàn hồi y =f(z). K K’ v u Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng Khi thanh chịu uốn phẳng, trên mặt cắt ngang có thành phần nội lực Mx Thành phần này gây ra các biến dạng: độ võng và góc xoay. a. Góc xoay Sử dụng cộng thức (7.1), ta có: Tích phân bất định Hằng số tích phân (7.8) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng - Để tính độ võng của thanh, ta phân KK’ thành hai thành phần u, v như hình vẽ. Bài toán được xét trong điều kiện chuyển vị bé nên có thể xem u << v và có thể bỏ qua thành phần u. Thành phần v được gọi là độ võng của dầm tại vị trí đang xét. - Phương trình độ võng của thanh: (7.9) b. Độ võng K K’ P z y K K’ v u Tiếp tuyến với đường đàn hồi tại K’ Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp - Mối quan hệ giữa độ võng và góc xoay: 7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng (7.10) - Kết hợp (7.8) và (7.10): (7.11) - Phương trình vi phân đường đàn hồi: (7.12) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân 7.2.2. Phương pháp hàm đặc biệt Đọc thêm trong sách lý thuyết. Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.1. Nguyên lý lực ảo - Lực ảo: Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật mà không gây ra sự dịch chuyển của các điểm thuộc vật. Lực ảo Ứng suất ảo Biến dạng ảo Công ảo ngoại lực - Công biến dạng ảo trên toàn bộ thể tích. - Nguyên lý lực ảo: Công ảo ngoại lực thì bằng công biến dạng ảo. (7.13) (7.14) (7.15) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.2. Biểu thức công biến dạng ảo a. Công biến dạng ảo gây bởi Nz b. Công biến dạng ảo gây bởi Mx (7.16) (7.17) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.3. Phương pháp giải Áp dụng phương pháp năng lượng tính độ võng, góc xoay trong bài toán uốn phẳng. - Thực nghiệm cho thấy, công biến dạng ảo do lực cắt gây ra nhỏ hơn nhiều so với phần do moment uốn gây ra. Vì thế, công biến dạng ảo của thanh sẽ được xác định theo biểu thức (7.17). - Nguyên tắc: + Khi tính độ võng, ta sử dụng hệ lực ảo là lực tập trung có giá trị 1 đơn vị đặt tại vị trí cần tính độ võng. + Khi tính góc xoay, ta sử dụng hệ lực ảo là moment tập trung có giá trị 1 đơn vị đặt tại vị trí cần tính góc xoay. Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.3. Phương pháp giải a. Độ võng - Công ngoại lực ảo - Công biến dạng ảo: - Theo nguyên lý lực ảo: (7.18) (7.19) (7.20) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.3. Phương pháp giải b. Góc xoay - Công ngoại lực ảo - Công biến dạng ảo: - Theo nguyên lý lực ảo: (7.21) (7.22) (7.23) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.3. Phương pháp giải Công thức Mohr để tính độ võng, góc xoay Moment do lực ảo gây ra Moment do lực thật gây ra Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.3. Phương pháp giải - Các tích phân trong các biểu thức (7.20) và (7.23) đươc gọi là tích phân chập. Để giải các tích phân này, ta sử dụng phương pháp nhân biểu đồ. - Xét tích phân chập: + Giả sử hàm là hàm tuyến tính: (7.24) (7.25) (7.26) Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng 7.3.3. Phương pháp giải - Xét tích phân chập: Tọa độ trọng tâm của hình phẳng tạo bởi f2 và trục hoành Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng Các bước giải trong phương pháp nhân biểu đồ: + Vẽ biểu đồ MxP do các tải gây ra. + Đặt các lực ảo đơn vị Pk, moment ảo đơn vị Mk tại vị trí cần tính độ võng góc xoay. + Vẽ biểu đồ MxK do các lực ảo gây ra. + Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ giải các tích phân (7.20), (7.21). 7.3.3. Phương pháp giải Điều kiện để sử dụng phương pháp nhân biểu đồ: + EJx = const + Một trong hai hàm trong công thức Mohr phải là hàm bậc nhất. Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng Một số công thức tính gần đúng diện tích hình phẳng đặc biệt 7.3.3. Phương pháp giải Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng Ví dụ: Tính chuyển vị, góc xoay lớn nhất 7.3.3. Phương pháp giải Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.3. Phương pháp năng lượng Độ võng lớn nhất tại C Góc xoay lớn nhất tại A Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.4. Giải bài toán siêu tĩnh bằng phương pháp lực 7.4.1. Khái niệm - Bậc tự do của cơ hệ + Dof = 0: hệ tĩnh định + Dof < 0: hệ siêu tĩnh - Bậc của hệ siêu tĩnh: Số phản lực thật sự sinh ra - số phương trình cân bằng tĩnh học thật sự để giải 6 ràng buộc Hệ siêu tĩnh bậc 6 phản lực Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.4. Bài toán siêu tĩnh 7.4.2. Giải bài toán bằng phương pháp lực - Bỏ bớt các liên kết để hệ trở thành hệ tĩnh định. - Thay các liên kết đã bỏ bằng các phản lực liên kết. - Lập hệ phương trình chính tắc để giải các phản lực liên kết. Các lực này được xác định nhờ vào điều kiện: chuyển vị do tải trọng và do các phản lực liên kết gây nên theo các phương của phản lực liên kết phải bằng với chuyển vị thật của hệ siêu tĩnh. + : chuyển vị đơn vị theo phương i do lực đơn vị theo phương j gây ra. + gọi là các hệ số chính, gọi là các hệ số phụ, gọi là các số hạng tự do. Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.4. Bài toán siêu tĩnh 7.4.2. Giải bài toán bằng phương pháp lực + : chuyển vị đơn vị theo phương i do lực đơn vị theo phương j gây ra. + gọi là các hệ số chính, gọi là các hệ số phụ, gọi là các số hạng tự do. Chương VII: Tính biến dạng thanh  Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 7.4. Bài toán siêu tĩnh