Đề cương Bài giảng giải tích hàm nâng cao - Phạm Hiến Bằng

®¹i häc th¸i nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) Thái Nguyên, 2011 ®¹i häc th¸i nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15) Thái Nguyên, 2011 1 MỞ ĐẦU Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch. đó là một lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải tích phức nói riêng Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ khả tổng và e - tôpô cũng như p - tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên. Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại pl và loại s . Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành toán. . 2 Chương 1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Lý thuyết 04 Thảo luận 02 Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm: không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. 1.1. Không gian lồi địa phương 1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ Giả sử E là không gian véc tơ thực hay phức. Hàm thực p trên E gọi là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn 1) ( ) 0N p x ³ với mọi x EÎ . 2) ( ) ( ), ( , )N p x p xl l l= Î = ¡ £K K , với mọi x EÎ . 3) ( ) ( ) ( )N p x y p x p y+ £ + với mọi ,x y EÎ . Nửa chuẩn p gọi là chuẩn nếu ( ) 0 0p x x= Þ = . Từ 2)N và 3)N suy ra ( ) ( ) ( )p x p y p x y- £ - với ,x y EÎ . 1.1.2. Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski Tập con A trong không gian véctơ E gọi là )a lồi nếu (1 )tx t y A+ - Î với mọi ,x y AÎ và 0 1t£ £ . )b cân nếu x Al Î với mọi x AÎ và 1l £ . )c hút nếu với mọi x EÎ tồn tại 0e > sao cho x Al Î với mọi l e£ . 1.1.2.1. Rõ ràng nếu p là nửa chuẩn trên E thì { }: ( ) 1pU U x E p x= = Î < hay { }: ( ) 1U x E p x= Î £% là các tập lồi, cân, hút trong E . Ngoài ra ( ) inf{ 0 : } x p x Ul l = > Î inf{ 0 : }. x Ul l = > Î % 1.1.2.2. Giả sử U là tập lồi, cân, hút trong E . Khi đó công thức 3 ( ) { 0 : }U x p x inf Ul l = > Î xác định một nửa chuẩn trên E , Nửa chuẩn Up gọi là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U . Ta có { } { }: ( ) 1 : ( ) 1U Ux E p x U x E p xÎ < Ì Ì Î £ và nếu { }: ( ) 1UW x E p x= Î < thì U Wp p= . 1.1.2.3. Một cách tổng quát nếu A là tập con lồi, cân của E và ( )E A ký hiệu không gian con véctơ sinh ra bởi A , thì công thức ( ) { 0 : }, ( )A x p x inf A x E Al l = > Î Î xác định một nửa chuẩn trên ( )E A . 1.1.3. Định nghĩa không gian lồi địa phương 1.1.3.1. Không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ ( )CS EF các nửa chuẩn trên E sao cho với mọi 1, ..., ( )np p CS EÎ F đều tồn tại ( )p CS EÎ F để: ( )1( ), ..., ( ) ( )nmax p x p x p x£ với mọi x EÎ . Sau này ta chỉ xét họ ( )CS EF thỏa mãn ( )H , 0, ( ) : ( ) 0.x E x p CS E p x" Î ¹ $ Î ¹F Từ 1.1.2.1. và 1.1.2.2. suy ra không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ ( )EFU các tập con lồi cân hấp thụ của E thỏa mãn 1, ..., ( )nU U E" Î FU , ( )U E$ Î FU : 1 ... nU U UÌ Ç Ç và ( )H tương đương với ( ) , 0, ( ) : .H x E x U E x U¢ " Î ¹ $ Î ÏFU 1.1.3.2. Rõ ràng mọi không gian lồi địa phương là không gian tôpô, với tôpô xác định bởi V là lân cận của ( )x E U EÎ Û $ Î FU : x U V+ Ì . ( )H ¢ có nghĩa là tôpô xác định như trên là tôpô Hausdorff. 1.1.3.3. Dễ thấy rằng nửa chuẩn p trên E là liên tục khi và chỉ khi { }: ( ) 1x E p xÎ là o- lân cận (lân cận của 0 EÎ ). 4 1.1.4. Không gian con và không gian thương 1.1.4.1. Giả sử E là không gian lồi địa phương và F EÌ . Ta nói F là không gian con của E nếu F là không gian con vectơ của E và F được xét với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E . Như vậy F cũng là không gian lồi địa phương với tôpô xác định bởi { }0( ) : ( )FF U F U U U E= = Ç ÎFU . 1.1.4.2. Giả sử F là không gian con đóng của E . Khi đó không gian vectơ thương E F là không gian lồi địa phương với tôpô cho bởi { }( ) ( ) : ( )E U F U EF = ÎF FU U , ở đây { }( ) : ,U F U F x y x U y F= + = + Î Î . Do F là đóng nên ( )E FFU thỏa mãn ( )H ¢ nghĩa là E F là Hausdorff. 1.1.5. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn 1.1.5.1. Tập con A trong không gian lồi địa phương E gọi là )a bị chặn nếu ( )U E" Î FU , 0 : .A Ue e$ > Ì )b hoàn toàn bị chặn nếu 1 1 ( ), , ..., : ( ). n n i i U E x x E A x U = " Î $ Î Ì +UFU Rõ ràng mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. 1.1.5.2. Họ ( )EFB các tập bị chặn gọi là họ cơ bản các tập bị chặn nếu với mọi tập bị chặn A EÌ tồn tại ( )B EÎ FB sao cho A BÌ . Do bao lồi cân của tập bị chặn A : 1 1 1 ( ) : | | 1, , ..., n n i i i n i i A x x x Al l = = ì üï ïï ïG = £ Îí ý ï ïï ïî þ å å là tập bị chặn nên sau này các tập thuộc ( )EFB ta luôn coi là lồi cân. 1.1.5.3. Với ( )U EÎ FU , giả sử Up là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U . Khi đó 5 { }: ( ) 0U UKer p x E p x= Î = là không gian con véctơ của E . 1.1.5.4. Một dãy suy rộng trong E là một họ các phần tử { } I xa a Î với I là tập chỉ số định hướng: , , : , .I Ia b g a g b g" Î $ Î < < Dãy suy rộng { } I xa a Î gọi là )a hội tụ tới x nếu ( )U E" Î FU , : , .U Ux x Uaa a a$ - Î " > )b dãy Cauchy nếu ( )U E" Î FU , : , , .U Ux x Ua ba a b a$ - Î " > Hiển nhiên mọi dãy suy rộng hội tụ đều là dãy suy rộng Cauchy. Không gian lồi địa phương E gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy suy rộng đều hội tụ . Mệnh đề. Mọi tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian lồi địa phương đầy là compact. 1.2. Không gian đối ngẫu với không gian lôi địa phương. 1.2.1. Định lý (Hahn-Banach). Giả sử F là không gian con của không gian véctơ E và p nửa chuẩn trên E . Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính f trên F sao cho ( ) ( )f x p x£ với mọi x FÎ , tồn tại phiếm hàm tuyến tính fˆ trên E sao cho ˆ F f f= và ˆ( ) ( )f x p x£ với mọi .x EÎ Định lý 1.2.1 là cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trong không gian lồi địa phương. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Không gian vectơ E ¢ tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E gọi là đối ngẫu tôpô của E . 1.2.3. Trên E ¢ thường xét ba tôpô lồi địa phương sau )a Tôpô yếu ( , )E Es ¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn 6 { }1 1( ) , , ..., , , , ...,n np f max x f x f x x E= Î )b Tôpô Mackey ( , )E Em ¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn { }( ) , : ,p f sup x f x K K E= Î Ì compact. )c Tôpô yếu ( , )E Eb ¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn { }( ) , : ,p f sup x f x B B E= Î Ì bị chặn. Ở đây ta viết ,x f thay cho ( )f x . Rõ ràng ( , ) ( , ) ( , )E E E E E Es m b¢ ¢ ¢£ £ và lần lượt là các tôpô hội tụ đều trên các tập hữu hạn, compact, bị chặn. 1.2.4. Đổi vai trò E và E ¢ ta có thể xét trên E tôpô ( , )E Es ¢ xác định bởi họ các nửa chuẩn { }1 1( ) , ,..., , , , ...,n np x max x f x f f f E ¢= Î ( , )E Es ¢ gọi tôpô yếu của E . Ta có kết quả sau Định lý. ( , ( , ))E E E Es¢ ¢ ¢= và ( , ( , ))E E E Es ¢ ¢ ¢= . 1.2.5. Định lý (Mackey). Mọi tập con bị chặn yếu trong một không gian lồi địa phương là bị chặn. 1.2.6. Cho E là không gian lồi địa phương và M EÌ . Tập { }0 : , 1,M f E x f x M¢= Î £ " Î gọi là pôla của M (trong E ¢). Định lý (song pôla) Nếu M là tập lồi cân trong E thì 00M là bao đóng của M , trong đó { }00 0: , 1,M x E x f f M= Î £ " Î . 1.2.7. Định lý (Alaoglu – Bourbaki). Nếu U là o- lân cận trong không gian lồi địa phương E , thì 0U là ( , )E Es ¢ – compact. 1.3. Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt. 1.3.1. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là )a Tựa thùng nếu mọi tập bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục. 7 )b s - tựa thùng nếu mọi tập đếm được bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục. Ở đây A E¢ ¢Ì gọi là đồng liên tục nếu tồn tại o– lân cận U trong E để 0A U¢Ì . 1.3.2. Nếu E là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản đếm được các o- lân cận, thì E là khả mêtric hay còn gọi là mêtric. Không gian lồi địa phương mêtric đầy gọi là không gian Frechet hay ( )F - không gian. Mệnh đề. Mọi không gian lồi địa phương mêtric là tựa thùng. 1.3.3. Một không gian s - tựa thùng E trong đó có một dãy cơ bản các tập bị chặn gọi là đối ngẫu mêtric. Một không gian đối ngẫu mêtric đầy gọi là ( )F ¢ – không gian. 1.3.4. Mối liên hệ giữa các không gian mêtric và đối ngẫu mêtric lồi địa phương cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề. )a Nếu E là mêtric lồi địa phương thì E ¢là ( )F ¢ – không gian. )b Nếu E là đối ngẫu mêtric thì E b¢, nghĩa là E ¢ xét với tôpô mạnh ( , )E Eb ¢ là ( )F – không gian. 1.4. Không gian Banach. 1.4.1. Không gian lồi địa phương E gọi là không gian định chuẩn nếu tôpô của nó có thể xác định bởi một chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. 1.4.2. Định lý (Conmogorov). Không gian lồi địa phương E là không gian định chuẩn nếu và chỉ nếu nó có một o – lân cận bị chặn. 1.4.3. Định lý (Riesz). Không gian lồi địa phương E là hữu hạn chiều nếu nó có một o – lân cận hoàn toàn bị chặn. 1.5. Không gian Hilbert. 1.5.1. Giả sử E là không gian véctơ phức. Một hàm ( ). . : E E´ ® £ gọi là nửa tích vô hướng nếu. ( ) ( ) ( )1)H x y z x z y za b a b+ = + , với mọi ,a b Î £ và , ,x y z EÎ . ( ) ( )2)H x y y x= với mọi ,x y EÎ . 8 ( )3) 0H x x ³ với mọi x EÎ . Nếu ( ) 0 0x x x= Þ = thì (. .) gọi là tích vô hướng. Nếu (. .) là tích vô hướng trên E thì công thức ( ) 1 2( ) | ,Up x x x x E= Î xác định một chuẩn trên E gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 1.5.2. Không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 1.5.3. Định lý (Riesz). Nếu E là không gian Hilbert thì với mọi f E ¢Î tồn tại duy nhất y EÎ sao cho ( ), ,x f x y x E= Î . 1.5.4. Hai vectơ ,x y EÎ gọi là trực giao và viết là x y^ nếu ( ) 0.x y = Một họ các phần tử { }i i Ie Î (viết là [ ],ie I ) gọi là hệ trực chuẩn nếu ( ) 1, 0,i j ij i j e e i j d ì =ïï= = í ¹ïïî Nếu [ ],ie I là hệ trực chuẩn thì ta có bất đẳng thức sau 2 2, ,i I e x x x E£ Îå . (bất đẳng thức Bessel) Hệ trực chuẩn [ ],ie I gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu ,ix e^ với mọi i Þ 0x = . Mệnh đề. Hệ trực chuẩn [ ],ie I là đầy đủ nếu và chỉ nếu ( )| , .i i i I x x e e x E Î = Îå 1.6. Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương. 1.6.1. Giả sử E và F là không gian lồi địa phương. Ánh xạ :T E F® gọi là tuyến tính liên tục nếu T là ánh xạ tuyến tính, nghĩa là ( )T x y T x T ya b a b+ = + , với mọi ,a b Î K , ,x y EÎ , và T là ánh xạ liên tục. 1.6.2. Cho :T E F® ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó công thức , ,x T b T x b¢ = , với mọi ,x E b F ¢Î Î , 9 xác định ánh xạ :T F E¢ ¢ ¢® gọi là ánh xạ đối ngẫu của T . Nếu E và F là các không gian Hilbert, thì thay cho :T F E¢ ¢ ¢® ta xét ánh xạ liên hợp * :T F E® xác định bởi ( ) ( )*x T y T x y= , x EÎ , y FÎ . 1.6.3. Đối với hai không gian lồi địa phương E và F ta ký hiệu ( , )E FL là không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . 1.6.4. Trên ( , )E FL thường xét tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn và ký hiệu là ( , )E FbL . Tôpô này xác định các họ nửa chuẩn { }( , )( ) ( ) : , ( ), ( )A V Vp T sup p T x x A A E V F= Î Î ÎB U ở đây ( )EB ký hiệu là họ tất cả các tập lồi cân bị chặn trong E còn ( )FU là họ tất cả các o- lân cận lồi cân trong F . Khi E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị U và V thì ( , )E FbL là không gian định chuẩn với chuẩn. { }( ) ( ) :VT sup p T x x Ub = Î { }0 : ( )inf T U Vd d= > Ì . Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn còn F là không gian Banach thì ( , )E FbL là không gian Banach. 1.6.5. Ánh xạ ( , )T E FÎ L , trong đó E và F là hai không gian định chuẩn được gọi là a) Hữu hạn chiều nếu ImT là không gian con hữu hạn chiều của F . b) Compact nếu ( )T U hoàn toàn bị chặn, với { }: 1U x E x= Î £ . 1.7. Không gian định chuẩn kết hợp với không gian lồi địa phương. 1.7.1. Cho U là o- lân cận tùy ý trong không gian lồi địa phương E . Khi đó { }( ) : ( ) 0UN U x E p x= Î = là không gian con vectơ của E . Đặt ( ) ( ) EE U N U= . Dễ thấy rằng công thức ( ( )) ( )Up x U p x= với mọi ( ) ( ) ( ) Ex U x N U N U= + Î xác định một chuẩn trên ( ).E U 10 Giả sử A là một tập lồi, cân, đóng, bị chặn trong E . Ký hiệu ( )E A là không gian con sinh bởi A . Ta có { }( ) :E A x E x Ad= Î Î với 0d > nào đó và công thức { }( ) 0 :Ap x inf x Ad d= > Î xác định một chuẩn trên ( )E A . Không gian này gọi là không gian định chuẩn kết hợp với A . 1.7.2. Cho ( )U EÎ U và 0( )f E U¢Î . Khi đó đẳng thức ˆ( ), , ,x U f x f x E= Î xác định ˆ ( )f E U ¢Î thỏa mãn { } 0ˆ ˆ( ) ( ), : ( ( )) 1 ( ).Up f sup x U f p x U p f¢ = £ = Ngược lại, nếu ( ( ))g E U ¢Î thì đẳng thức ( ) ( ( )), .f x g x U x E= Î Xác định 0( )f E U¢Î với ˆ .f g= Như vậy 0( ( )) ( ).E U E U¢ ¢= 1.7.3. Cho ( )A EÎ B . Khi đó mọi f E ¢Î công thức ˆ , , ( )x f x f x E A= Î xác định ˆ ( )f E A ¢Î với { } 0 0ˆ( ) , : ( ) ( ( )).Ap f sup x f x A p f p f A¢ = Î = = Như vậy 0( )E A¢ có thể xét như không gian con của ( )( ) .E A b ¢ 1.7.4. Nếu , ( )U V EÎ U thì các công thức ( ) ( )U x x N Up = + , x EÎ và ( , )( ( )) ( )V U x U x Vp = , x EÎ xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục ( ) : ( )U E E Up ® và ( , ) : ( ) ( )U V E V E Up ® thỏa mãn 11 ( ) ( , ) ( ).U V U Vp p p= o Tương tự nếu , ( ),A B E A BÎ ÌB thì các ánh xạ đồng nhất ( ) , ( )e A x x x E A= Î và ( , ) , ( )e A B x x x E A= Î xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục từ ( )E A vào E và từ ( )E A vào ( )E B thỏa mãn ( ) ( ) ( , ).e A e B e A B= o 1.8. Độ đo Radon 1.8.1. Giả sử M là không gian compact và ( )MC ký hiệu là không gian Banach các hàm thực hoặc phức liên tục trên M với chuẩn supremum, nghĩa là nếu ( )Mj Î C thì { }( ) : .sup x x Mj j= Î 1.8.2. Phiếm hàm tuyến tính liên tục m trên ( )MC gọi là độ đo Radon trên M . Độ đo Radon m gọi là dương nếu , 0,j m ³ với mọi ( )Mj Î C , 0.j ³ Với mọi độ đo Radon 0m ³ ta có , ,j m j m£ với mọi ( )Mj Î C , 0.j ³ Nếu chuẩn của m ký hiệu là ( )Mm , thì ( ) 1,Mm j= , ở đây 1 là hàm đồng nhất trên M . 1.8.3. Giả sử m là độ đo Radon tuỳ ý trên M . Khi đó công thức { }, , : ( ), ( ) ( )sup M x xj m y m y y j= Î £C xác định một hàm giá trị thực m trên { }( ) ( ) : 0 .M Mj j+ = Î ³C C Hàm m có hai tính chất sau , , ,j y m j m y m+ = + với mọi , ( )Mj y +Î C 12 , ,a j m a j m= với mọi ( )Mj +Î C và 0a ³ . Hàm này có thể mở rộng tới độ đo Radon dương trên M . Độ đo này cũng ký hiệu là m . Ta có , , ,j m j m£ với mọi ( )Mj Î C . 1.8.4. Giả sử m là độ đo Radon dương trên M . Khi đó tồn tại duy nhất độ đo (cũng ký hiệu là m) trên s - đại số må sao cho , M dj m j m= ò với mọi ( )Mj Î C . Ngoài ra s - đại số må bao hàm s - đại số Borel sinh bởi các tập con đóng của M. 1.8.5. Đối với mỗi độ đo Radon dương m trên M , xác định nửa tích vô hướng(..) trên ( )MC ( ) ( ) ( ) M f g f x g x dm= ò và nửa chuẩn kết hợp 1 2 2 ( ) ( ) M f f x dal m ì üï ïï ï= í ý ï ïï ïî þ ò . Như vậy ta có không gian định chuẩn ( )C M Z với { }( ) : ( ) 0Z f M fal= Î =C . Kí hiệu 2 ( )L Mm bao đầy của ( )C M Z . Đó là không gian các hàm bình phương khả tích theo độ đo m với đồng nhất. 0 ( ) 0.f fal= Û = 1.8.6. Hàm fA(x) = 1 với x  A và fA(x) = 0 với x  A gọi là hàm đặc trưng của A. Hàm có dạng 1 ( ) ( ) i n i A i f x f xa = = å . Với iA mÎ å rời nhau gọi là hàm m- bậc thang. Tập hợp các hàm m- bậc thang là trù mật trong 2 ( )L Mm . 13 Chương 2 ÁNH XẠ KHẢ TỔNG TUYỆT ĐỐI Lý thuyết 12 tiết Thảo luận 04 tiết Kiểm tra 2 tiết Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về ánh xạ khả tổng tuyệt đối, ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt, mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên. 2.1. Các họ khả tổng 2.1.1. Họ số khả tổng Cho I là tập chỉ số tuỳ ý. Họ số [ ],i Ix đó là tập hợp các số thực hoặc phức ix , với i IÎ . Ký hiệu ( )IF là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của tập hợp I với quan hệ thứ tự theo bao hàm: 1 2s s£ khi và chỉ khi 1 2 1 2; , ( )Is s s sÌ Î F . Khi đó với mỗi ( )Is Î F đặt i i ss s x Î = å ta nhận được một dãy suy rộng { } ( )I ss s Î F . 2.1.1.1. Định nghĩa. Nếu dãy suy rộng { } ( )I ss s Î F có giới hạn hữu hạn s , thì họ số [ ],i Ix được gọi là khả tổng và có tổng là s và ký hiệu là i i I s x Î = å . 2.1.1.2. Bổ đề. Nếu với mỗi họ số [ ],i Ix tồn tại số dương r sao cho i s x r£å với mọi ( )Is Î F , thì 4i s x r£å với mọi ( )Is Î F . Chứng minh. Giả sử [ ],i Ix là họ số thực. Khi đó mỗi tập hợp ( )Is Î F có thể tách thành hai tập hợp { }: 0iis s x+ = Î ³ và { }: 0iis s x- = Î < . Vì 14 i i s s x x r + + = £å å và i i s s x x r - - = - £å å , nên 2i i i s s s x x x r + - = + £å å å Nếu [ ],i Ix là họ các số phức, thì với các họ số thực [ ]Re ,i Ix và [ ]Im ,i Ix ta có Re( )i iR e s s x x r= £å å và Im Im( )i i vs x x r= £å å theo trên ta có Re 2i s x r£å và Im 2i s x r£å . Từ đó 4i s x r£å . 2.1.1.3. Định lý. Họ số [ ],i Ix là khả tổng khi và chỉ khi tồn tại số dương r sao cho i s x r£å với mọi ( )Is Î F . Chứng minh. Giả sử s là tổng của họ khả tổng [ ],i Ix . Khi đó tồn tại tập hợp 0 ( )Is Î F sao cho 1s ss - £ với mọi ( )Is Î F , 0.s s³ Khi đó với mọi ( )Is Î F ta có đánh giá sau 0 0 0\ 1 .i i i is s s s s s s s s x x x x È £ - + - £ + +å å å å Do đó theo bổ đề 2.1.1.2 với mọi ( )Is Î F ta có 0 4(1 )i is s s x x£ + +å å Ngược lại, giả sử với họ số [ ],i Ix tồn tại số dương r sao cho i s x r£å với mọi ( )Is Î F . 15 Khi đó 0 sup : ( )i I s r x s r ì üï ïï ï= Î £ < + ¥í ý ï ïï ïî þ å F . (1) Do đó tồn tại dãy đơn điệu tăng 1 2 ... ...ns s s< < < < các tập hợp thuộc ( )IF sao cho 0 1 n i ns x r£ -å (2) Từ (1) và(2) ta có 1 i ns x £å với mọi ( )Is Î F , .ns sÇ = Æ . (3) Giả sử . n n is s x= å Do (3) với mọi số tự nhiên , ;m n m n³ ta có \ 1 . m n m n is s ns s x- £ £å Từ đó { }ns là dãy Côsi nên hội tụ đến s . Vì thế với mỗi 0d > , tồn tại số tự nhiên n sao cho 2 n d ³ và 2 ns s d - £ . Nhưng khi đó với mọi tập hợp ( )Is Î F , ns s³ ,ta có \ 1 . 2 n i ns s s s n s s s d x d- = + - £ + £å Vậy họ [ ],i Ix khả tổng và có tổng là s . 2.1.1.4. Mệnh đề. Mỗi họ khả tổng có không quá đếm được các số khác không. Chứng minh. Cho họ số [ ],i Ix khả tổng. Ký hiệu như trong 2.1.1.3 và đặt 16 0 1 n n s s ¥ = = U . Khi đó 0s hữu hạn hoặc đếm được và nếu 0i sÏ , thì 1 i n x £ với mọi số tự nhiên n . Vậy 0ix = với mọi 0i sÏ . 2.1.1.5. Định nghĩa. Họ số [ ],i Ia được gọi là hội tụ đến 0, nếu