Đề kiểm tra học kì I Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM TRƯỜNG THCS – THPT KHAI MINH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I Năm học 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 32 6 1y x x   . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng   : 4 11d y x   . Câu 2 (2,0 điểm). Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 4.9 6 18.4 0x x x   b)   3 3 3 2log 5 1 4log log 3 x x x    c) 23 6 3 7 1 1 7 49 x x x               d)      3 1 3 27 log 1 3log 13 2 1 log 5 1x x x      Câu 3 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:    2 2 7 . xf x x x e   trên đoạn  0;3 . Câu 4 (1,0 điểm). Tính: a)   3 1 2I x x dx   b)   25sin sin 2 cosJ x x x dx   Câu 5 (1,0 điểm). Cho hàm số 2 3 2 x y x    , có đồ thị  H . Tìm m để đường thẳng   : y x m   cắt đồ thị  H tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn điều kiện  1 2 1 22 15x x x x   . Câu 6 (1,5 điểm). Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2AB a AD a  , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy  ABCD , góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  ABCD bằng 060 . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a . b) Khi tam giác SBA quay xung quanh cạnh SA tạo thành hình nón. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón theo a . Câu 7 (1,5 điểm). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 2a và ' 3A A a . Hình chiếu vuông góc của điểm 'A trên mặt phẳng  ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ' 'ABB A . ------- HẾT ------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I TOÁN 12 -----hoc247.vn----- Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM TRƯỜNG THCS – THPT KHAI MINH Đáp án gồm 6 trang ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 12 KIỂM TRA HỌC KỲ I Năm học 2015 – 2016 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 32 6 1y x x   . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho. + Tập xác định: D  . + Sự biến thiên:  Giới hạn: lim x y    , lim x y     Ta có 2' 6 6y x  . 2 1 ' 0 6 6 0 1 x y x x          Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1  ,  1; và nghịch biến trên khoảng  1;1 . Hàm số đạt cực đại tại 1x   ,  5 CÑ y và đạt cực tiểu tại 1x  , 3CTy   .  Đồ thị: Điểm uốn: " 12y x ; " 0 12 0 0y x x     1y  . Suy ra  0;1I là điểm uốn của đồ thị. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của đồ thị  C với đường 0,25 0,25 0,25 0,25 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu Đáp án Điểm thẳng   : 4 11d y x   . Phương trình hoành độ giao điểm: 3 32 6 1 4 11 2 2 12 0 2x x x x x x            . Gọi  0 0;M x y là tiếp điểm. Ta có 0 2x   0 3y   .       2 0' ' 2 6. 2 6 18y x y      . Phương trình tiếp tuyến:   0 0 0' 18 33y y x x x y y x      . Câu 2 (2,0 điểm) a) 4.9 6 18.4 0x x x   2 3 9 2 43 3 4. 18 0 2 2 3 2 2 x x x x                             . + 3 9 2 2 4 x x         ; + 3 2 2 x        (vô nghiệm) Vậy phương trình có 1 nghiệm 2x  . b)   3 3 3 2log 5 1 4log log 3 x x x    . Điều kiện: 0 1 3 x x     . 3 3 3 2log 5 1 4log 1 log x x x      . Đặt 3logt x . Suy ra: 2 5 1 4 1 t t t     ,  1t   .   2 5 1 1 4t t t     (nhận). + 3 44 3 3 3 log 3 27 4 4 t x x      . + 2 3 1 2 log 2 3 9 t x x         . Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có 2 nghiệm 4 1 27, 9 x x  . c)     2 2 3 6 3 7 3 6 3 7 1 21 1 7 7 7 49 x x x x x x                     23 6 6 14 2 57 7 3 7 20 0 4 3 x x x x x x               d)      3 1 3 27 log 1 3log 13 2 1 log 5 1x x x      Điều kiện: 1 13 5 2 x  . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu Đáp án Điểm Phương trình đã cho tương đương:      3 3 3 3log 1 log 13 2 log 3 log 5 1x x x          3 3log 1 13 2 log 3 5 1x x x               1 13 2 3 5 1x x x     2 4 2 4 16 0 2 x x x x           . Kết hợp với điều kiện, suy ra 13 2; 2 x       . Câu 3 (1,0 điểm) Tìm GTLN và GTNN của hàm số    2 2 7 . xf x x x e   trên đoạn  0;3 . Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  0;3 . Ta có          2 2 2' 2 7 '. 2 7 . ' 4 5 .x x xf x x x e x x e x x e                 2 1 0;3 ' 0 4 5 . 0 5 0;3 x x f x x x e x             . Tính:  0 7f   ,   33 8f e ,  1 4f e  . Vậy       3 0;3 max 3 8f x f e  ;       0;3 min 1 4f x f e   . Câu 4 (1,0 điểm) a)   3 1 2I x x dx   Ta có   2 2 3 53 5 2 2 2 x I x x dx x x C       . b)  25sin sin 2 cosJ x x x dx   Đặt sin cost x dt xdx   . Khi đó:   3 2 3 2 2 5 5sin sin5 2 2 2sin 3 2 3 2 t t x x J t t dt t C x C           Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số 2 3 2 x y x    , có đồ thị  H . Tìm m để đường thẳng   : y x m   cắt đồ thị  H tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn điều kiện  1 2 1 22 15x x x x   . Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 2 x x m x     ,  2x   .    22 3 2 2 3 0x x m x x mx m          . Đặt   2 2 3 0g x x mx m     . 0,25 2x 0,25 2x 0,25 0,25 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu Đáp án Điểm Đường thẳng   cắt đồ thị  H tại hai điểm phân biệt khi phương trình   0g x  có 2 nghiệm phân biệt khác 2 . Ta có:         2 2 1 00 0 4. 2 3 0 2 0 2 . 2 2 3 0 g a m m g m m                       2 2 8 12 0 6 m m m m         (*). Theo Vi-ét ta có: 1 2x x m   ; 1 2. 2 3x x m  . Do đó      1 2 1 22 15 2. 2 3 15 3x x x x m m m           . Kết hợp với điều kiện (*), ta nhận 3m   . Câu 6 (1,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2AB a AD a  , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy  ABCD , góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  ABCD bằng 060 . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a . Ta có  SA ABCD SA là chiều cao của hình chóp .S ABCD . Diện tích hình chữ nhật ABCD : 2. 2ABCDS AB AD a  . Góc giữa SC và  ABCD là 060SDA  . Trong SAD vuông tại A ta có 0.tan60 2 3SA AD a  . Thể tích khối chóp .S ABCD là: 3 . 1 4 3 . 3 3 S ABCD ABCD a V S SA  . b) Khi tam giác SBA quay xung quanh cạnh SA tạo thành hình nón. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón theo a . Xét SAB vuông tại A . Ta có 2 2 13SB SA AB a   . Hình nón có: 2 3h SA a  , 13l SB a  , r AB a  . Diện tích xung quanh hình nón: 2. . 13 13xqS rl a a a     . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu Đáp án Điểm Thể tích khối nón: 3 2 21 1 2 3. .2 3 3 3 3 a V r h a a      . Câu 7 (1,5 điểm) Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 2a và ' 3A A a . Hình chiếu vuông góc của điểm 'A trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ' 'ABB A . + Tính . ' ' 'ABC A B CV . Ta có  ' 'A G ABC A G  là chiều cao của lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . Diện tích tam giác đều ABC là: 2 2 3 . 2 3 4 ABCS AB a  . Gọi M là trung điểm của BC , ta có: 3 3 . 2 2. 6 2 2 AM BC a a   2 2 6 3 3 a AG AM  Trong 'A GA vuông tại G , ta có 2 2 2 28 3' ' 3 3 3 a A G A A AG a a     . Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là: 3 . ' ' ' . ' 2ABC A B C ABCV S A G a  + Tính   , ' 'd C ABB A Gọi N là trung điểm của AB . Trong 'A GN , kẻ 'GH A N . Chứng minh được  ' 'GH ABB A tại H . Suy ra   , ' 'd G ABB A GH . Ta có 6CN AM a  , 1 6 3 3 a GN CN  . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu Đáp án Điểm 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 9 9 ' 6 2GH A G GN a a a      2 3 a GH  . Do đó    2 , ' ' 3 a d G ABB A GH  . Vậy      , ' ' 3 , ' ' 2d C ABB A d G ABB A a  . ------- HẾT -------