Điện điện tử - Các phương pháp tính truyền nhiệt

§¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh PGS, TS. NguyÔn Bèn C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh truyÒn nhiÖt - §µ N½ng - 2001 - 2 3 Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt 1.1. §Þnh luËt Fourier 1.1.1. ThiÕt lËp TÝnh nhiÖt l−îng δQ dÉn qua mÆt dS ë c¸ch 2 líp ph©n tö khÝ cã nhiÖt ®é T1 > T2 mét ®o¹n b»ng qu·ng ®−êng tù do trung b×nh λ . * V× T1 vµ T2 sai kh¸c bÐ, nªn coi mËt ®é ph©n tö no vµ vËn tèc trung b×nh ωr c¸c ph©n tö trong hai líp nh− nhau. Do ®ã, trong thêi gian dτ, sè ph©n tö ë T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng: z x T2T1 λλ y O H1. §Ó chøng minh ®Þnh luËt Fourier d2n = 6 1 no ω dS dτ * L−îng ®éng n¨ng qua dS tõ T1 vµ T2 lµ: d2E1 = E 1 d 2n = 6 1 no ω dS dτ 2 i kT1 d2E2 = E 2 d 2n = 6 1 no ω dS dτ 2 i kT2 Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, ta ®−îc: δ2Q = ( E 1 - E 2)d2n = 6 1 no ω dSdτ 2 ik (T1 - T2) V× T1 - T2 = - ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ dx dT . 2 λ nªn δ2Q = - 6 i no k ϖ λ dx dT dS dτ Do 6 i no k = 6 i no N R = 3 1 (no N µ ) ( µ2 iR ) = 3 1 ρco nªn 4 δ2Q = - ( 3 1 ρco ω λ ) dx dT dS dτ = - λ dx dT dS dτ hay τ δ dSd Q2 = q = - λ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ x T * Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ qr = - λ dTagrr 1.1.2. Ph¸t biÓu: Vect¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi gradient nhiÖt ®é: BiÓu thøc vect¬: q r = - λ dTagrr D¹ng v« h−íng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W] 1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt HÖ sè dÉn nhiÖt lµ hÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier: λ = |q/gradT| [W/mK] Theo chøng minh trªn ta cã: λ = 3 1 ρ ω λ cv = 3 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ RT p ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ πm kT8 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π pd.2 kT 2 Cv = 3 2 m Tk d c 3 3 2 v π cho thÊy: λ kh«ng phô thuéc p, vµ λ↑ khi T↑ hoÆc cv↑ hoÆc ®−êng kÝnh d cïng khèi l−îng ph©n tö m gi¶m. §Þnh luËt Fourier ®óng cho mäi chÊt r¾n, láng, khÝ. 1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 1.2.1. §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét ph©n tè dv bªn trong vËt. 1.2.2. ThiÕt lËp LuËt c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ V lµ: H2. CBN cho dV z x y qλ qω qω λ ρ C dV V O 5 [L−îng nhiÖt ph¸t sinh trong dV] - [Th«ng l−îng nhiÖt qua dV]= [BiÕn thiªn entanpy cña dV] Cho tr−íc (qv, ρ, cp, λ) ∈ dV, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: qvdVdτ - divqr dVdτ = ρdV.cp τ∂ ∂t dτ hay τ∂ ∂t = p v c q ρ - pc 1 ρ div q r , trong ®ã dßng nhiÖt qua dV lµ: qr = qr λ + q r ω = - λ dtagrr + ρωr cpt, do ®ã: divqr = div (ρcp ωr t- λ dtagrr ), coi (ρ, cp) = const ta cã : divqr = ρcp div (tωr ) - div (λ dtagrr ) = ρcp (tdiv ωr + ωr dtagrr ) - λdiv ( dtagrr )- dtagrr . λdagrr = ρcp (tdiv ωr + ωr dtagrr ) - λ∇2t - dtagrr . λdagrr VËy ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: τ∂ ∂t = pc qv ρ - tdiv ω r - ωr . dtagrr + ρ λ pc ∇2t + ( dtagrr dagrr λ)/ρcp do τ∂ ∂t + ωr . dtagrr = τ∂ ∂t + dx dt . τd dx + dy dt . τd dy + dz dt . τd dz = τd dt nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt sau khi ®Æt a = Cpρ λ , sÏ lµ: τd dt = a∇2t + p v c q ρ + pc 1 ρ dtagr r dtagr r λ) - tdivωr , víi: lµ tÝch v« h−íng cña 2 vect¬ vµ ∇2t = ∆t lµ to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, cã d¹ng: ∇2t = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂⋅+∂ ∂⋅+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ),,( sinsin cos2 ),,(11 ),,( 222 2 222 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ϕθϕθθθ θ θ ϕϕ rtrong r tt rr t r t rr t zrtrong z tt rr t rr t zyxtäatrong z t y t x t 1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt * Víi vËt r¾n, ωr = 0, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: dtagrr . λdagrr dtagrr dagrr λ, (trong täa ®é vu«ng gãc (xyz)) (trong täa ®é trô (rϕz)) (trong täa ®é cÇu (rθϕ)) 6 τ∂ ∂t = a∇2t + p v c q ρ + pc 1 ρ dtagr r . λdagrr * VËt r¾n cã λ = const ∀xyz ph−¬ng tr×nh lµ: τ∂ ∂t = a∇2t + p v c q ρ * VËt r¾n cã λ = const , æn ®Þnh nhiÖt τ∂ ∂t = 0, ph−¬ng tr×nh lµ: a∇2t + λ vq = 0. NÕu kh«ng cã nguån nhiÖt, qv = 0, th× ∇2t = 0. 1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) 1.3.1. §Þnh nghÜa: §K§T lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cho tr−íc nh»m x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh. 1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T: Theo néi dung, c¸c §K§T ®−îc ph©n ra 4 lo¹i sau: 1. §iÒu kiÖn h×nh häc: Cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh h×nh d¹ng, kÝch th−íc, vÞ trÝ cña hÖ. 2. §iÒu kiÖn vËt lý: Cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t t¹i ∀M∈ hÖ; tøc cho luËt x¸c ®Þnh (ρ, cp, λ, a...) = f(t, M∈V). 3. §iÒu kiÖn ban ®Çu: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é lóc τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M ∈ hÖ, tøc cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V. 4. §iÒu kiÖn biªn: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm trªn biªn W, ë mäi thêi ®iÓm τ, tøc cho biÕt: t = t(M, τ) hoÆc dtagrr = f(M, τ, t) ∀M (x, y, z) ∈ V ∀τ ∈ ∆τ xÐt 1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) T¹i mçi miÒn Wi cña mÆt biªn kÝn W = ∑Wi, tuú theo c¸ch ph©n bè t hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt, ta cã thÓ cho biÕt c¸c lo¹i §KB sau ®©y: 1. §KB lo¹i 1: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë mäi thêi ®iÓm: 7 t = t (M1, τ), ∀M1∈ W1, ∀τ 2. §KB lo¹i 2: Cho biÕt dßng nhiÖt dÉn qua biªn: q (M2,τ) = -λ n t ∂ ∂ , tøc cho biÕt n t ∂ ∂ = λ −1 q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ. Khi n t ∂ ∂ = q = 0 tøc biªn W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ biªn ®èi xøng, lóc nµy t ®¹t cùc trÞ t¹i W2, vµ ®−êng cong t(M) cã tiÕp tuyÕn n»m ngang. 3. §KB lo¹i 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α vµ to¶ nhiÖt ra chÊt láng theo luËt: -λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ. 4. §KB lo¹i 4: Cho biÕt luËt CBN khi biªn W4 tiÕp xóc vËt r¾n kh¸c, cã nhiÖt ®é t4 vµ λ4, t¹i M4 ∈ W4, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cã d¹ng : -λ n )M(t 4 ∂ ∂ = λ4 n )M(t 44 ∂ ∂ vµ t(M4) = t4 (M4) 5. §KB lo¹i 5: Cho biÕt luËt c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 di ®éng, t x H3. CBN trªn biªn W5 do cã sù chuyÓn pha, trao ®æi chÊt (khèi l−îng thay ®æi) hoÆc ®ang biÕn d¹ng: -λ n )M(t 5 ∂ ∂ = rcρ τd dx 5 - λ' n 't ∂ ∂ (M5), víi rc = nhiÖt chuyÓn pha; τd dx5 = vËn tèc biªn W5; ρ: khèi l−îng riªng pha míi. 1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB D¹ng ®−êng cong ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) t¹i l©n cËn biªn W, -λ t x ∂ ∂ -λ t ' n ∂ ∂ -rcρ 5dxdτ 5dx dτ x 0 x5 8 tuú theo c¸ch cho §KB, sÏ cã c¸c ®Æc ®iÓm h×nh häc sau ®©y: W C¸ch cho §KB §−êng cong t(M,τ) ý nghÜa h×nh häc 1 tw = const x w M V t o t(M) ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Mo ∈W 2 n t w ∂ ∂ = 0 x q = 0 V t = 0β t(M) ®¹t cùc trÞ trªn W c¸ch nhiÖt n t w ∂ ∂ = const x β V C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i W song song, gãc β = const 3 n t w ∂ ∂ = αλ − / tt wf xV tf R λα C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i W3 qua ®iÓm R( α λ , tf) 4 n t w ∂ ∂ = λ λ 4 x t ow ∂ ∂ tW = t4W xV Voγ t(M) liªn tôc, kh«ng kh¶ vi t¹i W4 vµ γ = const 5 -λ n t w ∂ ∂ = re ρ τd dx5 - λ n 't w δ δ xV W5 di chuyÓn víi tèc ®é ω = τd dx5 H4. Minh ho¹ ý nghÜa h×nh häc c¸c §KB 1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt M« h×nh to¸n häc cña mét bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ mét hÖ ph−¬ng W = const W W 5dx dτ 9 tr×nh vi ph©n (t), gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T nh− sau: (t) = τ∂ ∂t = a∇2t + c vq ρ vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T. Môc ®Ých chÝnh cña truyÒn nhiÖt lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ (t) ®Ó t×m hµm ph©n bè t(x,y,z,τ) tho¶ m·n hÖ (t). ρ, λ,c, qv −λo to n −λ t n W4 W3 W2 W1 W5t (M, )w1 τ −λ t' n' cf dx τdr −λ t n w x-1q(M, )τ 2 t = a t +∇2 qvρc α [tw - tf] 2 −λ t x w M ∂ ∂ ∂∂τ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H5. M« h×nh 1 bµi to¸n DN 10 Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch 2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm: 2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ý t−ëng cña Fourier lµ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh thµnh mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng, b»ng c¸ch t¸ch biÕn, t×m nghiÖm riªng æn ®Þnh vµ biÕn thiªn h»ng sè. C¸c c¸ch trªn ®−îc sö dông tuú thuéc tÝnh thuÇn nhÊt hay kh«ng thuÇn nhÊt cña ph−¬ng tr×nh dÉn nhiÖt vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. 2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN - §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(t, tx, txx) = 0 ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt khi: nÕu t lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× ct, ∀c =const, còng lµ nghiÖm cña F(t, tx, txx) = 0. - VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - λ α t(0,τ) lµ TN tτ = a∇2t + c vq ρ , tx (L, τ) = −α λ [t(L, τ) - tf] lµ kh«ng TN NhËn xÐt: Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng chøa sè h¹ng tù do, nh− qv vµ tf, lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm NÕu c¸c ti,∀i = 1÷n, lµ nghiÖm riªng cña bµi to¸n biªn thuÇn nhÊt (tøc ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸c §KB thuÇn nhÊt), th× t = ∑ = n 1i ii tC còng lµ nghiÖm cña bµi to¸n TN ®ã, ∀Ci = const 2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ - §Þnh nghÜa: PhÐp chuÈn ho¸ mét hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸ch ®æi c¸c biÕn vµ th«ng sè cã thø nguyªn thµnh c¸c biÕn vµ th«ng sè kh«ng thø nguyªn. - Lîi Ých cña phÐp chuÈn ho¸ lµ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vµ c¸ch 11 gi¶i, khiÕn cho nghiÖm cã tÝnh tæng qu¸t, kh«ng phô thuéc c¸c ®¹i l−îng cã thø nguyªn, vµ trong vµi tr−êng hîp, cã thÓ thuÇn nh¸t ho¸ c¸c ®iÒu kiÖn biªn kh«ng thuÇn nhÊt. - VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng víi 2 biªn Wo/W3 cã m« h×nh: (t) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −τδλ α−=τδ =τ = ∂ ∂=τ∂ ∂ )W()TN0(]t),(t[),(t )W()TN(0),0(t )DKD(t)0,x(t )FT()TN( x tat 3fx ox o 2 2 §æi biÕn ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δ τ= δ= − −=θ 2 fo f aF xX tt tt vµ ®Æt B = λ αδ th× do τ∂ ∂t = θ∂ ∂t . F∂ θ∂ . τ∂ ∂F = (to - tf) 2 a δ . F∂ θ∂ x t ∂ ∂ = θ∂ ∂t . X∂ ∂θ . x X ∂ ∂ = δ − fo tt . X∂ θ∂ 2 2 x t ∂ ∂ = x∂ ∂ ( x t ∂ ∂ ) = X∂ ∂ . ( δ − fo tt . X∂ θ∂ ) x X ∂ ∂ = 2 fo tt δ − 2 2 X∂ ∂ θ tx (δ, τ) = δ − fo tt θx (1, F) = λ α− [t (δ, τ) - tf] cã d¹ng TN lµ θx (l, F) = λ αδ− θ [1, F] = Bθ(1,F) τ∂ ∂t = (to- tf) 2 a δ F∂ θ∂ = a 2 2 x t ∂ ∂ = a 2 fo tt δ − . 2 2 X∂ ∂ θ cã d¹ng ®¬n gi¶n h¬n lµ F∂ ∂θ = 2 2 X∂ ∂ θ . Khi ®ã bµi to¸n (t) ®−îc chuyÓn ®æi thµnh bµi to¸n kh«ng thø nguyªn (θ) t−¬ng ®−¬ng, cã d¹ng chuÈn ho¸ lµ: 12 (θ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= = = ∂ ∂=∂ ∂ )(),1(),1( )(0),0( 1)0,( 2 2 TNFBF TNF X XF x x θθ θ θ θθ Bµi to¸n (θ) cã hai ®iÒu kiÖn biªn ë d¹ng thuÇn nhÊt. 2.2. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier 2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p Fourier Lµ t×m nghiÖm ë d¹ng t¸ch biÕn, nh− lµ tÝch cña mét hµm cña täa ®é víi mét hµm cña thêi gian. Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt C¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier theo c¸c b−íc: t¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN t×m nghiÖm tæng qu¸t, x¸c ®Þnh c¸c nghiÖm riªng theo c¸c §K§T, hîp nghiÖm. §ã lµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn. 2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3) 1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, to = t(x,0) c¸ch nhiÖt t¹i x = 0, to¶ nhiÖt t¹i x = δ ra m«i tr−êng tf, α. T×m tr−êng t (x, τ) 2. M« h×nh TH: (t) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −τδλ α−=τδ =τ = =τ ]t),(t[),(t 0),0(t t)0,x(t att fx x o xx B»ng c¸ch ®æi biÕn: O t x a t(x, ) λ τq = 0 W2 δ W3 α tf to H6. Bµi to¸n (2.2.2) 13 θ = fo f tt tt − − , X = δ x , F = 2 a δ τ , B = λ αδ sÏ thu ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh (θ) t−¬ng ®−¬ng, ë d¹ng chuÈn ho¸: (θ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= = = = ),1(),1( 0),0( 1)0,( FBF F x x x xxF θθ θ θ θθ 3. T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F). Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay )X(X )X("X = )F(F )F("F = -k2 (do 2 hµm ®éc lËp), chuyÓn thµnh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =→=+ +=→=+ − Fk2 21 2 2 e)F(F0)F(Fk)F('F kXcosckXsinc)X(X0)X(Xk)X("X NghiÖm tæng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX) F2ke− 4. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T θx(0,F) = 0 → (kc1cos0 + (-kc2sin0) F2ke− = 0 → c1 = 0 vµ θ (X,F) = c2 coskX F2ke− θx(1,F) = (-kc2sin0) F2ke− = -Bθ (1,F)= -Bc2 cosk F2ke− → ksin kcos = cotgk = B k , ph−¬ng tr×nh nµy cã v« sè nghiÖm ki, i = 1 ÷ n. C¸c nghiÖm riªng tho¶ m·n §KB cã d¹ng: θi(X,F) = c2coskiX. F2ike− , O cotgk k k k k k k1 2 3 4 5 π 2π 3π 4π k B H7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k = B k nghiÖm hîp lµ θ(X,F) = ∑∞ = − 1i F2ik ii Xekcosc - §iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1 → ∑cicoskiX=1 → coski X∑∞ 1 ii Xkcosc = coskiX → ∫1 0 iXdXkcos = i i k ksin = ∫ ∑1 0 iii dXXkcoscXkcos = 14 ci ∫ 1 0 i 2 XdXkcos = ci i ii k kk 4 2sin2 + → ci = ii i k2sink2 ksin4 + VËy nghiÖm bµi to¸n lµ: θ(X,F) = 4 ∑∞ = +1i ii i k2sink2 ksin cos(kiX) F2ike− * §å thÞ θ(X,F) vµ t(x, τ) cã d¹ng: O xF =∞ 6 5 4 3 2 1 1 F=0 1 O t x tf δ to 5 4 3 2 = 0τ =τ ∞ R H8. Ph©n bè θ(X,F) H9. Ph©n bè t(x, τ) 2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh 2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh«ng thuÇn nhÊt cã nghiÖm riªng khi æn ®Þnh, tøc lµ khi tτ = θF = 0 2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ Gåm c¸c b−íc sau: 1. T×m nghiÖm riªng æn ®Þnh θ (x) cña bµi to¸n (θ), øng víi lóc æn ®Þnh, theo ph−¬ng tr×nh θ F = 0 = θxx 2. Thay (v = θ - θ ) vµo bµi to¸n (θ) ®Ó lËp bµi to¸n (v), sÏ ®−îc bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt. 3. T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau ®ã lËp nghiÖm cña bµi to¸n (θ) ®· cho lµ θ = θ + v 2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) 1. Ph¸t biÓu BT: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ F = 0 θ 15 t(0, τ) = 2to. T×m t(x, τ) * M« h×nh TH: (t) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =τδ =τ = =τ o o o xx t),(t t2),0(t t)0,x(t att ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δ τ= δ= −=θ 2 o o aF xX t tt O t x a, t(x, ) λ τ to δ W1 2to W'1 H10. Bµi to¸n (2.3.3) bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau: (θ) F xx (X,0) 0 (0,F) 1 (1,F) 0 (0TN) θ = θ⎧⎪θ =⎪⎨θ =⎪⎪θ =⎩ . Ta sÏ gi¶i bµi to¸n (θ) kh«ng thuÇn nhÊt nµy b»ng ph−¬ng ph¸p NRO§ 2. T×m nghiÖm riªng θ cña bµi to¸n æn ®Þnh: ( θ ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ==θ +==θ +=θ→θ==θ 2 21 21xx c1)0( cc0)1( cXc0 → θ X1 −= 3. Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = θ(X,F) + X - 1 vµo (θ): bµi to¸n (θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau: (v) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−=θ−θ= =−=θ−θ= −=θ−θ= =θ−=θ=θ= )TN(011)0()F,0()F,0(v 000)1()F,1()F,1(v 1X)X()0,X()0,x(v vvv xxxxxxxxFF 4. T×m nghiÖm bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t−¬ng tù nh− bµi to¸n 2.2.2: - T¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vF = vxx cã nghiÖm tæng qu¸t lµ: 16 v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx) F2k e − - Theo §KB: v(0,F) = 0 → c2 F 2k e − = 0 → c2 = 0 → v(X,F) = c1sinkX F 2k e − Theo v(1,F) = 0 ⇒ c1sink F 2k e − = 0 → sin k = 0 → k = nπ → v(X,F) = ∑ π∞ =1n n )Xnsin(c F 2)n(e π - Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - 1 = ∑ π∞ =1x n )Xnsin(c → ∫ π− 1 0 dX)Xnsin()1X( = ∫ π 1 0 )Xnsin( dX)Xnsin(c 1n n π∑ ∞ = → - πn 1 = 2 cn → cn = π − n 2 → nghiÖm ph−¬ng tr×nh (v) lµ: v(X,F) = - π 2 ∑ π n )Xnsin( F2)n(e π . Do ®ã, nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F) θ(X,F) = (1-X) - π 2 ∑ π∞ =1n n )Xnsin( exp (-n2π2F) * Ph©n bè nhiÖt ®é θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: O 1 x θ θ = 1- x F = ∞ F = 0 1 1 2 O t x δ t t = 2t - t = 0 o τ 2to o o 1 2 δ x/ H11. Ph©n bè θ(X,F) H12. Ph©n bè t(x, τ) 2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè 2.4.1. Ph¹m vi sö dông: Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F) ®−îc sö dông khi: - Bµi to¸n (θ) kh«ng tån t¹i nghiÖm riªng æn ®Þnh - hoÆc cã nghiÖm riªng æn ®Þnh θ nh−ng kh«ng t×m ®−îc - Bµi to¸n víi vËt cã nguån nhiÖt trong, hoÆc ®−îc gia nhiÖt b»ng ®iÖn. 17 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS Gåm c¸c b−íc sau: 1. LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c §KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ). 2. T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K biªn thuÇn nhÊt, sÏ ®−îc c¸c nghiÖm riªng d¹ng Xn(X) = cφn(X), trong ®ã φn(X) = f(n,X) lµ hµm sè riªng, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao: ∫ φφ 1 0 mn dX)X()X( = ⎩⎨ ⎧ = ≠ nmkhic nmkhi0 3. BiÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ φ∞ =1n nn )X()F(A vµ biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F), tøc t×m biÓu thøc x¸c ®Þnh An(F) nhê ®iÒu kiÖn trùc giao cña φn(X): ∫ φθ 1 0 m dX)X()F,X( = ∑∞=1n n )F(A ∫ φφ 1 0 mn dX)X()X( = cAn(F) tøc cã quan hÖ An(F) = c 1 ∫ φθ 1 0 n dX)X()F,x( 4. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh th−êng cña An(F) b»ng c¸ch tÝnh dF d An(F), t×m nghiÖm An(F) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu. 5. ViÕt nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = )F(A)X( n 1n n∑φ ∞ = 2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) 1. Ph¸t biÓu: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = 0 vµ tx (0, τ) = - δ ot . T×m t(x, τ) O t xa, t( ,0) λ q = t =o δ q = 0t toλ δ (t = - )toδx x = 0 x t 18 * M« h×nh TH: (t) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =τδ δ−=τ = =τ 0),(t t),0(t t)0,x(t att x o x o xx chuÈn ho¸ víi θ = o o t tt − , X = δ x , F = 2 a δ τ , sÏ cã: (θ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −== = = 0)0,( )0(1),0(),0( )(0),1( X TNt t F TNF x o x x xxF θ τδθ θ θθ 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0TN (θ) b»ng ph−¬ng ph¸p BTHS: 1) LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt tõ (θ): (v) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = = = 0)0,X(v 0)F,0(v 0)F,1(v vv x x xxF (TN) 2) T×m nghiÖm riªng bµi to¸n biªn, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX ⎩⎨ ⎧ π=→−==→= =→==→= nkksinkc0)1(X0)F,1(v kXcosc)x(Xc0)0(X0)F,0(v 2xx 21xx Do ®ã cã X(X) = cncos (nπX) vµ hµm sè riªng lµ φn(X) = cos(nπX). 3) §Ó θ(X,F) = )X()F(A n 1n n φ∑ ∞ = = )Xncos()F(A 1n n π∑ ∞ = lµ nghiÖm bµi to¸n (θ) th× h»ng thêi gian An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn trùc giao cña hµm riªng φn(X)= cos (nπX), b»ng c¸ch nh©n ph−¬ng tr×nh víi cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]: 19 dX)Xncos()F,X( 1 0 ∫ πθ = An(F) dX)Xn(cos 1 0 2∫ π = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ = 0n),F(A 2 1 0nkhi),F(A n o Do ®ã, An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo θ(X,F) bëi quan hÖ: (An) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀∫ πθ= ∫θ= 0n,dX)Xncos()F,X(2)F(A dX)F,X()F(A 1 0 n 1 0 o 4. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh dF d An(F) theo hÖ (An): - Khi n=0, dF )F(dAo = dX 1 0 F∫ θ = dX 1 0 xx∫θ =θx 10 = θx(1,F) - θx(0,F) = 0 - (-1) = 1 → Ao(F) = F + c1 §iÒu kiÖn ®Çu cho Ao(0) = dX)0,X( 1 0 ∫ θ = 0 = c1 ⇒ Ao(F) = F - khi ∀n ≠ 0, cã: dF )F(dAn = 2 dX)Xncos( 1 0 F π∫θ = 2 dX)Xncos( 1 0 xx π∫θ , (ph©n ®o¹n tÝch ph©n) = 2 { 10x |)]Xncos([ πθ + nπ ∫1 0 )sin( dXXnx πθ }= 2{1+2π 10|)Xnsin([ πθ - nπ ∫ πθ1 0 ]}dX)Xncos( = 2{1-n2π2 2 )F(An } → ph−¬ng tr×nh vi ph©n cho An(F) lµ: A'n = 2 - n 2π2An →A'n +(n2π2)An = 2 cã nghiÖm tæng qu¸t An(F) = 2)n( 2 π + c1 F2)n(e π− . §iÒu kiÖn ban ®Çu cho An(0) = 2 dX)Xncos()0,X( 1 0 ∫ πθ → 2)n( 2 π + c1 = 0 → c1 = - 22n 2 π , do ®ã: An(F) = 22n 2 π - 22n 2 π F2)n(e π− 5. VËy nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = Ao(F) + ∑ π∞ =1n n )Xncos()F(A , tøc: θ(X,F) = F + 22π ∑ π∞ =1n 2n )Xncos( - 2 2 π ∑ π∞ =1n 2n )Xncos( . 20 exp(-n2π2F) hay, do tæng ∑ π π∞ =1n 22n )Xncos(2 = 2 1 X2 - X + 3 1 , cã: θ(X,F) = F + ( 2 1 X2 - X + 3 1 ) - 2 2 π ∑ π∞ =1n 2n )Xncos( exp(-n2π2F) * Ph©n bè θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: O 1 x θ q=0 F=0 1 2 31 O 1 x q=0 =0 1 2 3 to τ t H14. Ph©n bè θ(X,F) H15. Ph©n bè t(x,τ) Tr−êng nhiÖt ®é trong v¸ch t¨ng v« h¹n, cã d¹ng: t(x,τ) = to( 22 1 δ x 2- δ 1 x+ 4 3 ) + to[ 2 a δ τ - 22π ∑ ∞ = δπ 1n 2n )/xncos( exp (- 2 22 an δ π τ)] 2.5. Ph−