Hàm số và ứng dụng của hàm số

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Chương I ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM Nhóm Đạo hàm của các hàm số hợp (u = u(x)) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đa thức Lượng giác (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = - u’.sinu (tgu)’ = (cotgu)’ = - (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (tgx)’ = (cotgx)’ = - Mũ (eu)’ = u’.eu (au)’ = u’.au.lna (ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna Lôgarit (ln|u|)’ = (ln|x|)’ = II. VI PHÂN: Định nghĩa: df(x) = f ’(x).dx Qui tắc: · d(u ± v) = du ± dv · d(uv) = udv + vdu · Chương II ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong (a ; b) thì tồn tại điểm c (a ; b) sao cho: f ’(c) = II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Hàm số không đổi: f ’(x) = 0 Û f(x) = c Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) Þ f ’(x) ³ 0 " x (a ; b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) Þ f ’(x) £ 0 " x (a ; b) Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) Nếu f ’(x) > 0 "x (a ; b) Þ f(x) tăng trong (a ; b) Nếu f ’(x) < 0 "x (a ; b) Þ f(x) giảm trong (a ; b) · Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng. III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x) Qui tắc 1: Tính đạo hàm y’ = f’(x) Tìm các điểm tới hạn xi : Là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc tại các điểm đó f ’(x) không xác định Lập bảng xét dấu của f’(x) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu: a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó Qui tắc 2: Tính f ’(x), f ’’(x) Tìm các điểm xi tại đó f ’(x) = 0 (nghiệm của phương trình này) Tính f ’’(xi): a) Nếu f ’’(xi) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) Nếu f ’’(xi) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó CHÚ Ý: · Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1 và x2 , f’(x) luôn giữ nguyên một dấu · Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số: - Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) là số vô tỉ thì: 1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ thì 2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) Ta chia f(x) cho f ’(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có: f(x) = f’(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x0) = (mx0 + n) (vì f’(x0) = 0) VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau: 1) 2) f(x) = IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b) - Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý: + Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x0 thì f(x0) = Min y + Nếu chỉ có một điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y + Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp. 2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b] - Giải phương trình f ’(x) = 0, tìm các nghiệm x1, x2, …, xn (Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b]) - Tính f(a),f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) - So sánh f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: M = Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: m = CHÚ Ý: · Nếu giải phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm Þ f(x) đơn điệu trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và số nhỏ là Min y. · Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau: Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số (xem chuyên đề bất đẳng thức) Giải phương trình f(x) = y với x Î [a ; b] và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b] V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG 1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’(x) < 0 với mọi x (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên khoảng đó b) Nếu f ’’(x) > 0 với mọi x (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên khoảng đó 2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì M0(x0 ; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị b) Nếu f ’’(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì điểm M0(x0 ; f(x0)) không phải là điểm uốn của đồ thị. VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) 1. Tiệm cận đứng · Nếu thì đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của (C) 2. Tiệm cận ngang · Nếu yo thì đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của (C) 3. Tiệm cận xiên · Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) Û [f(x) – (ax +b)] = 0 · Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công thức: a = , b = [f(x) – ax ] 4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x): - Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó - Tính giới hạn của hàm số tại các mút + Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang. + Nếu thì ta tính a = : • Nếu a ≠ 0, thì ta tính b = [f(x) – ax ]. Nếu b ≠ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b. VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Các bước khảo sát 1 hàm số: B1: Tìm TXĐ B2: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) B3: · Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ) · Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ B4: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức) B5: Lập bảng biến thiên B6: Đồ thị: + Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được) + Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…) + Vẽ đồ thị + Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị. 2. Khảo sát một số hàm số thường gặp a) Hàm đa thức · y = ax2 + bx + c (a 0) · y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) · y = ax4 + bx2 + c (a 0) b) Hàm phân thức hữu tỉ · y = (c0, D = ad – bc 0) B. CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐIỂM 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) y = 5) y = 6) y = VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: 1) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (ĐH KA – 2006) 2) y = -x3 + 3x2 - 4 (ĐH KB – 2007) Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương sau: 1) y = x4 - 8x2 + 10 (ĐH KB – 2002) 2) (ĐH DB KA – 2006) Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau: 1) (ĐH KD – 2002) 2) (ĐH KB – 2007) VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP: Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì: · Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. · Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. · Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này. Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|) ¨ Hàm số dạng: y = |f(x)| - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox - Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox. Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C’) của y = |f(x)| ¨ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy) - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ³ 0) ta có (C0) - Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1) Hợp hai phần (C0) và (C1) trên lại ta có đồ thị (C’) của y = f(|x|) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) y = b) y = c) y = d) y = 3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng) CHỦ ĐIỂM 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A. Phương pháp: Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn: 1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0,y0) thuộc (C) có phương trình là: y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): là hệ số góc) ¨ Các dạng khác nhau của đề bài: · Cho x0: Tính y0 = f(x0) và f’(x0) · Cho y0: Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0) · Cho hệ số góc k của tiếp tuyến: Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0) 2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x1,y1) bất kỳ ( M(x1,y1) có thể thuộc hay không thuộc (C) ) ¨ Cách 1: · Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x1,y1) và có hệ số góc k: y – y1 = k(x – x1)y = k(x – x1) + y1 (1) · (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 x0 và k là nghiệm của hệ pt: (I) Þ k rồi thay vào (1). ¨ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0) · Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là: y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1) · Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1): y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2) · Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x1; y1) kẻ được n tiếp tuyến Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) có n nghiệm Û f(x) = f ’(x)(x – x1) + y1 có n nghiệm 4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = (H) Cho M Î (H), I là giao của hai tiệm cận của (H): · Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì: + M là trung điểm của AB + Tam giác AIB có diện tích không đổi · Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số · IA.IB = const B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho (C): y = x4 – 2x2 – 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS: Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 1 (C), và điểm A(0, -1). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A. Bài 3: Cho hàm số y = (H). Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4 biết tiếp tuyến qua P(1;0). Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2. a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A( b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 6: Cho (Cm): y = Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ. Bài 7: Cho hàm số y = 2x + (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) 2) Chứng minh rằng: a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi. b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số. c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên. Bài 8: Cho hàm số y = (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng: 1) M là trung điểm của PQ 2) Tam giác AIB có diện tích không đổi 3) IQ.IP không đổi. VẤN ĐỀ 2 TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; 2). ĐS : Bài 2: Tìm m để hàm số trên khoảng Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS : Bài 4: Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn m. (ĐS : m < -2) Bài 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x > m. Bài 6: Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1) Bài 7: Định m để hàm số có ba điểm cực trị. ĐS : Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên  ? Bài 9: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. (ĐS: m = 1) Bài 10: Định m để hàm số có các điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (ĐS: m > 0). Bài 11: Định m để hàm số có độ dài khoảng nghịch biến bằng . ĐS: . Bài 12: Định m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. Bài 13: Cho hàm số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2 Bài 14: Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn: Bài 15: Tìm m để hàm số có hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3). DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5 a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó HD: a) . b) y = 2(3-m2)x + 6m – 5, Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó HD: a) m b) y = -8x + m - 3 Bài 3: Cho hàm số a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT. b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0 (ĐS: ) c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. (ĐS : y=2x+m+1) Bài 4: Cho hàm số . Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: |yCĐ – yCT| > 8 (ĐS: ) Bài 5: Cho hàm số a) Tìm m để hàm số có cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số c) Tìm m để ymax + ymin = 2 ĐS: VẤN ĐỀ 3 TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC) Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C(,0)) Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3(m - 1)x2 + 3x – 5 a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5 ĐS: a) m3, b) -1 < m < 4 Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0): Thì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác. Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn. ĐS: a = Bài 5: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1. VẤN ĐỀ 4 TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng A. Phương pháp: + Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Û f(x) = f(-x) (Hàm số chẵn đối với x) + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng Û f(x) = - f(x) (Hàm số chẵn đối với y) B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho (C): y = 2x3 + 3mx2 - 3m + 1 Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O. ĐS: m 1/3 Bài 2: Cho (C): Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O. ĐS: Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1) (ĐH A.N HN K.D) Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x3 – 3x2 - (m-2)x + m + 1 đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4. DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM Cho (C): y = f(x) 2) Chứng tỏ (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng (1) 1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2) A. Phương pháp: - Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X) + Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng Þ (1) + Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x0, y0. Þ (2) B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1)) Bài 2: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(-2, 2)) Bài 3: Cho (Cm): Tìm m để (Cm) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng. (ĐS: m = 1) DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC Cho (C): y = f(x). 1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng (1’) 2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương Oy (2’) A. Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x0, y0 chưa được cho trước + Ta đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X) + Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng Þ (1’) + Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x0 Þ (2’) B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x4 – 4x3 + 4x2 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng. Bài 2: Cho (Cm): 1) Với m = 4, Chứng tỏ (C4) có trục đối xứng (ĐS: x = -1) 2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có trục đối xứng // Oy ĐS : m = 4, x = -1 Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (Ca) Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy. ĐS : a = 0, x = 0 ; a = , x = VẤN ĐỀ 5 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN) VẤN ĐỀ 6 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH A. Phương pháp: · Cho hai đường: · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là: f(x) = g(x) (1) · Nhận xét: - Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và (C’). - Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C) và (C’). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hay y0 = g(x0). · Biện luận: ¨ (1) có n nghiệm đơn Û (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm. ¨ (1) có nghiệm bội k ³ 2 Û (C) và (C’) tiếp xúc nhau ¨ (1) vô nghiệm Û (C) và (C’) không có điểm chung. · CHÚ Ý: ¨ Điều kiện tiếp xúc: (C) tiếp xúc (C’) Û Hệ có nghiệm ¨ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy): Cho x = 0 Þ y ¨ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox): Cho y = 0 Þ x ¨ Với (Cm): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm) và vị trí của (Cm) đối với hệ trục. Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox: Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm Û (C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm) Û (C) cắt trục hoành tại 1 điểm Û Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox: Bài giảng Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm” Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây: · Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x). · Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường thẳng (d): y = g(m). B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường: (C): y = x3 + 9x và (C’): y = 6x2 + 4 Bài 2: Cho (C): y = và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1 Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của: (C): y = x3 - 6x2 + 9x - 6 và (C’): y = mx – 2m – 4 Bài 4: Tìm m để (Cm) tiếp xúc với hoành, biết: a) (Cm): y = x3 - mx + m – 1 b) (Cm): y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8 c) (Cm): y = 2x3 + 3mx2 - 2m + 1 Bài 5: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + 6 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau Bài 6: Cho (Cm): Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương Bài 7: Cho (Cm): y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m +1 Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. Bài 8: Cho (C): và (P): y = x2 + a Tìm a để (C) tiếp xúc với (P) Bài 9: Cho các đường (C): (Δ1): y = - x + m và (Δ2): y = x + 3 Tìm m để (Δ1) cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ2) Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành. Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x – 6 (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 sao cho 2x2 = x1 + x3. Tìm 3 nghiệm đó Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0 ĐS: -1< m < 1 Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m Bài 14: Cho phương trình: a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để PT có nghiệm Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m Bài 16: Cho phương trình: a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để PT có nghiệm Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3 (Đại học Khối A – 2007) Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 19: Tìm m để PT sau có nghiệm: m( (ĐH K B – 2004) Bài 20: CMR với m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt: x2 + 2x - 8 = (ĐH K B – 2007) Bài 21: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: (ĐH K B – 2006) Bài