Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu

TRẦN CÔNG NGHỊ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI VÀ CƠ HỌC KẾT CẤU (TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI) THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009 ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH 3 Trang này để trống 4 Chương 1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Tóm tắt Phương trình cân bằng: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 0 Z yxz Y zxy X zyx yzzxz yzyxy xzxyx ττσ ττσ ττσ (1.1) trong đó X, Y, Z – lực khối. Phương trình biến dạng: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += = = = x w z u y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε (1.2) Điều kiện tương hợp (liên tục): ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ zxzx zyyz yxxy xzxz yzzy xyyx γεε γεε γεε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 và ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂=∂∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂=∂∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂=∂∂ ∂ zyxzyx zyxyzx zyxxzy xyxzyzz xyxzyzy xyxzyzx γγγε γγγε γγγε 2 2 2 2 2 2 (1.3) Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là [c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ∗] tính theo công thức: [ ] [ ][ ][ ]Tcc σσ =* (1.4) 5 với [ ] [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = zyzxz yzyxy xzxyx zzzyzx yzyyyx xzxyxx ccc ccc ccc c σττ τστ ττσ σ; *** *** *** Ứng suất chính xác định từ phương trình: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =−++ =+−+ =++− 0)( 0)( 0)( mlk mlk mlk zyzxz zyyxy zxyxx σσττ τσστ ττσσ (1.5) hoặc dưới dạng ma trận: }0{= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − m l k zzyzx yzyyx xzxyx σσττ τσστ ττσσ (1.6) trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k2 + l 2 + m2 = 1. Lời giải hệ phương trình: σ3 - σ2J1 + σJ2 – J3 = 0. (1.7) trong đó J1 = σx + σy + σz J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2 (1.8) J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy (1.9) Các đại lượng J1, J2, J3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của tenso ứng suất. Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức: 22 4 1 2,1 )(2 xyyx yx τσσσσσ +−±+= (1.10) Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức: yx xy ntg σσ τθ −= 2 2 (1.11) Ứng suất cắt lớn nhất: 2 21 minmax, σστ −±= (1.12) xy yx stg τ σσθ −= 22 (1.13) Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình: 6 2 2 2 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− yxyx σστσσσ (1.14) Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ +−= +−= +−= yxzz zxyy zyxx E E E σσνσε σσνσε σσνσε 1 1 1 và ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = zxzx yzyz xyxy G G G τγ τγ τγ 1 1 1 (1.15) trong đó )1(2 ν+= EG (1.16) Nếu ký hiệu: zyxe εεε ++= có thể viết: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ++−+= ++−+= ++−+= zz yy xx EeE EeE EeE εννν νσ εννν νσ εννν νσ 1211 1211 1211 (1.17) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ += += += zz yy xx Ge Ge Ge ελσ ελσ ελσ 2 2 2 (1.18) trong đó ( )( )νν νλ 211 −+= E mang tên gọi hằng số Lamé. Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0. ;;; 2 2 2 2 2 yxyx xyyx ∂∂ Φ∂−=∂ Φ∂=∂ Φ∂= τσσ Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c, chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const. Điều kiện biên như sau: a) Tại x = 0: σx = 0; τxy = 0. b) Tại x = L: q Hình 1.1 7 ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = ∫ ∫ ∫ − − − 2 2 1 0 qLybdy bdy qLbdy c c x c c x c c xy σ σ τ c) Tại y = c: 0; =−= xyy b q τσ d) Tại y = -c: σy = 0; τxy = 0. Những nhận xét ban đầu: - Điều kiện đầu tiên của a) trong trường hợp cụ thể không thể thỏa mãn. - Từ tính chất đối xứng của mặt cắt ngang và b q y −=σ tại y = c và σy = 0 tại y = -c, có thể rút ra σy sẽ là hàm lẻ của y. - Hàm σx cũng là hàm lẻ của y. Hàm Airy nên viết dưới dạng: Φ = Axy +Bx2 + Cx2y + Dy3 +Exy3 +Fx2y3 +Gy5 Có thể thấy rằng: ∇4Φ(x,y) = 24Fy + 120Gy = 0. Từ phương trình cuối suy ra F = -5G. Ứng suất tính theo công thức sau: 32 2 2 203066 GyyGxExyDy xx +−+=∂ Φ∂=σ 3 2 2 1022 GyCyB yy ++=∂ Φ∂=σ )3032( 22 2 GxyEyCxA yxxy −++−=∂∂ Φ∂−=τ Từ công thức tính τxy có thể viết: Thỏa mãn điều kiện τxy = 0 tại x = 0: A + 3Ey2 = 0, từ đó A = E = 0. Thoả mãn τxy = 0 tại y = ±c có thể thấy: 0 = -(2Cx - 30Gc2x), hay là C = 15Gc2. Giải phương trình xác định σy, thỏa mãn điều kiện biên cho phép xác định B, G: 8 333 20210302 GcBGcGcB b q +=−+=− 333 202103020 GcBGcGcB −=+−= Từ đó có thể nhận được: 340 ; 4 bc qG b qB −=−= Biết rằng momen quán tính mặt cắt ngang tính bằng 332 bcI = , biểu thức của B và G sẽ có dạng: I qG I qcB 60 ; 6 3 −=−= Hằng C tính theo G sẽ là: C = 15Gc2 = - (qc2)/(4I) Từ phương trình xác định σx có thể viết: 3232 32 6203066 y I qyx I qDyGyyGxExyDyx −+=+−+=σ Thay biểu thức cuối vào điều kiện biên tại x = L có thể thấy: 232 2 1 32 6 qLybdyy I qyx I qDy c c =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+∫ + − Từ đó có thể viết: D = I qc 30 2 Trường ứng suất có dạng sau: ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −= −+−= −+= 22 323 322 2 32 6 3 25 10 ycx I q yycc I q y I qycx I q xy y x τ σ σ Ví dụ 2: Phương trình chuyển vị dầm trình bày tại hình 1.2 có dạng: ( ) ( )[ ]⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ −−−−= −−= xLyxLx EJ Pyx yxLx EJ Pyyxu 222 22 33 6 ),( 36 6 ),( υ υ v 9 Y X Hình 1.2 Xác định chuyển vị điểm tại trục y = 0 và xác định trường ứng suất. Chuyển vị theo phương thẳng đứng tại y = 0: ( ) ( )xL EJ PxxLx EJ Px −−=−−= 3 6 3 6 )0,( 2 32v Góc xoay dầm tính theo công thức ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= y u xxy v 2 1θ , mang dạng sau: ( ) ( ) ( )222222 336 6 336 6 336 62 1 yxLx EJ PyxLx EJ PyxLx EJ P xy υυυθ −−−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−−−= Tại y = 0 góc xoay sẽ là: ( )236 6 )0,( xLx EJ Pxxy −−=θ Biến dạng trong dầm tính theo: ( ) ( )yxL EJ P y yxL EJ P x u yx −−=∂ ∂=−=∂ ∂= υεε v; ( ) ( ) 0336 6 336 6 2222 =−−+−−− =∂ ∂+∂ ∂= yxLx EJ PyxLx EJ P y u xxy υυ γ v Trường ứng suất tính theo cách sau: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−−−= −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−= 0 0)()( 1 )()()( 1 2 2 2 xy y x yxL EJ PyxL EJ PE yxL J PyxL EJ PyxL EJ PE τ υυ υσ υ υσ 10 Ví dụ 3: Sử dụng phương trình cân bằng trong “lý thuyết đàn hồi” thành lập hàm ứng suất σy , τxy dầm, tiết diện dầm hình chữ nhật 2c x b, trong đó b – chiều rộng dầm, 2c – chiều cao dầm, chịu tải trọng phân bố đều cường độ q(x) = const. Ứng suất σx tính tại mặt cắt bất kỳ của dầm, tại vị trí x, tính theo công thức: y J xM x )(=σ (a) trong đó M = 221 qx− (b) Hình 1.3 Hình 1.3 Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân, lực khối dầm sẽ không được nhắc tới. Từ phương trình cân bằng đầy đủ: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 By yxy Bx xyx f yx f yx στ τσ có thể viết: (c) xy J q y xy −=∂ ∂τ (d) Tiến hành tích phân phương trình đạo hàm riêng này sẽ nhận được: )( 2 '2 xfxy J q xy =−=τ (e) Để ý rằng, trường hợp không có ứng suất cắt tại mép trên và mép dưới của dầm, τxy = 0 tại y = c và y = -c, hàm f(x) sẽ phải là: x J qcxf 2 )( 2 = (f) Từ đây có thể viết: )( 2 '22 ycx J q xy −−=τ (g) Từ phương trình thứ hai của (c ) vớ FBy = 0 có thể viết: )( 2 22 yc J q y y −−=∂ ∂σ Sau tích phân có thể nhận được: )()3( 6 22 xFycy J q y +−−=σ (h) Điều kiện biên tại y = c: b q y −=σ . Momen quán tính qua trục trung hòa mang giá trị J = 12 )2( 3cb . Từ đây xác định F(x) = J qc 3 3 − q 11 Hàm σy giờ có thể viết: ( )323 32 6 yycc J q y −+−=σ Ví dụ 4: Dùng phương trình từ điều kiện tương hợp (liên tục) xác định chuyển vị trong mặt phẳng xOy dầm công xôn nêu tại ví dụ 2. Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, dày, độ cứng EJ, hệ số Poisson ν. Y X Hình 1.4 Momen uốn dầm tính theo công thức: M = -P(L – x) 0 < x < L (a) Các hàm ứng suất tính theo công thức quen thuộc sau: )( xLy J Py J M x −=−=σ (b) σy = 0; τxy = 0. Từ định luật Hooke có thể viết các phương trình biến dạng: ( ) )(1 xLy EJ P E yxx −=−= νσσε ( ) )(1 xLy EJ P E xyy −−=−= ννσσε 0)1(2 =+= xyxy E τ νγ (c) Quan hệ biến dạng - chuyển vị cho phép viết: )( xLy EJ P x u x −==∂ ∂ ε )( xLy EJ P y y −−==∂ ∂ νεv (d) 12 Tiến hành tích phân hai phương trình đạo hàm riêng dạng (d) có thể nhận được: )()2( 2 yfxLxy EJ Pu +−= )()( 2 2 xFxLy EJ P +−−= νv Hàm f(y) là hàm chỉ của y, hàm F(x) chỉ của x. Sau tích phân, tiến hành thay vào hàm biến dạng góc y u xxy ∂ ∂+∂ ∂= vγ chúng ta có thể viết: y yfxLx EJ P x xFy EJ P y u xxy ∂ ∂+−+∂ ∂+=∂ ∂+∂ ∂= )()2( 2 )( 2 2νγ v Thay biểu thức cuối vào (c ) sẽ nhận được phương trình: 2 2 )()2( 2 )( y EJ P y yfxLx EJ P x xF ν−∂ ∂=−+∂ ∂ (e) Phương trình (e) chỉ thỏa mãn khi cả hai vế là const, vídụ cả hai bằng C1. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −=−∂ ∂ =−+∂ ∂ 1 2 1 2 )( )2( 2 )( Cy EJ P y yf CxLx EJ P x xF ν Giải hệ phương trình này có thể viết: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ +−−= ++−−= 31 3 21 2 6 )( )3( 6 )( CyC EJ Pyyf CxCxLx EJ PxF ν (f) Hàm u và v giờ đây có dạng: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ++−−−−= +−−−= 21 2 2 31 3 )3( 6 )( 6 6 )2( 2 CxCxLx EJ PxL EJ Py CyCy EJ PxLxy EJ Pu ν ν v (g) Thỏa mãn điều kiện biên sau đây: tại x = y = 0: u = v = θxy = 0, các hằng số phải là C1 = C2 = C3 = 0. Từ đó có thể viết: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ −−−= −−= )3( 6 )( )2( 2 22 3 xLx EJ PxLy y eEJ PxLxy EJ Pu 2EJ P -v ν ν 13 Ví dụ 5: Cho trước thép tròn đường kính φ16mm, chịu lực kéo dọc trục P = 40kN. Lực P gây ứng suất cắt τ tại mặt cắt ab, giá trị của τ bằng 60% ứng suất pháp σ tại mặt ab đó. Xác định góc nghiêng mặt ab. Lời giải: Hình 1.5 Ứng suất pháp tính tại tiết diện trục thép tròn: MPa d P 200 4/16. 40000 4/ 220 === ππσ Ứng suất tính tại mặt cắt xiên ab: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = αστ ασσ 2sin 2 cos 0 2 0 Từ điều kiện đề ra τ = 0,6σ hay là σ0sinαcosα = 0,6 σ0 cos2α có thể viết: 6,0 cos sin == αα α tg Từ đó có thể xác định α = 31°. Ví dụ 6: Trạng thái ứng suất tại điểm P biểu diễn bằng tensor ứng suất: MPaij ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3507 0107 7714 σ . Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt qua điểm, song song với mặt miêu tả bằng phương trình 2x - y +3z = 9. Lời giải: Cosin pháp tuyến mặt 2x - y +3z - 9 = 0 tính như sau: 14 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = +−+ = −= +−+ −= = +−+ = 14 3 3)1(2 3 14 1 3)1(2 )1( 14 2 3)1(2 2 222 222 222 m l k (a) Ứng suất pháp tính theo công thức: mklmklmlk zxyzxyzyx τττσσσσ 222222 +++++= (b) trong đó, từ tensor ứng suất đọc được σx = 14, σy = 10, σz = 35; τxy = 7, τzx = -7, τyz = 0. Kết quả ứng suất pháp, tính theo (b) sẽ là σ = 19,21 MPa. Ứng suất tiếp tính theo công thức: ( ) ( ) ( ) 22222 σστττστττστ −++++++++= mlkmlkmlk zyzzxzxyxyzxxyx (c) Sau khi thay các giá trị ứng suất và k, l, m vào vế phải phương trình (c), ứng suất tiếp được tính như sau: τ = 14,95MPa. Ví dụ 7: Trạng thái ứng suất tại điểm P, ghi trong hệ tọa độ Oxyz như sau: MPaij ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− = 522 246 268 σ Tính trạng thái ứng suất này trong hệ tọa độ Ox’y’z’, qua hai bước:lần đầu trục Oz xoay góc θ = 45°, sau đó hệ trục vừa hình thành xoay quay trục Ox góc φ = 30°. Lời giải: Sau lần xoay quanh trục Oz, hệ tọa độ mới có mối liên hệ với hệ tọa độ Oxyz theo quan hệ: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ z y x z y x 100 0cossin 0sincos " " " θθ θθ , với θ = 45° Lần xoay hệ trục sau thể hiện bằng quan hệ: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ " " " cossin0 sincos0 001 ' ' ' z y x z y x φφ φφ , với φ = 30° Từ đó: 15 [ ]{ }XC z y x z y x x=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ φφφφφ φφφφφ θφ cossincossinsin sincoscoscossin 0sincos ' ' ' , Công thức tính chuyển ứng suất từ hệ tọa độ Oxyz sang hệ tọa độ O’x’y’z’ có dạng: [ ] Txijxij CC ][' σσ = Sau khi thay θ = 45°, φ = 30° các thành phần ma trận [Cx] tính như sau: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 2 3 4 2 4 2 2 1 4 6 4 6 2 2 2 2 0 xC Các thành phần ứng suất điểm đang xét trong hệ tọa độ O’x’y’z’ sẽ là: MPa x 4 2 20)2(2 0 2 222 2 2 2 26205 2 2.4 2 2.8 22 ' =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛××−×+ +×⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×+×−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=σ MPaxx xxyx 20,5 4 60 2 1 2 22 4 60 2 1 2 22 4 6 2 2 4 6 2 26 2 10)5( 4 6 2 24 4 6 2 28'' = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=τ MPaxx xxxz 3 4 20 2 3 2 22 4 20 2 3 2 22 4 2 2 2 4 2 2 26 2 30)5( 4 2 2 24 4 2 2 28'' −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=τ MPa y 8,4 2 1 4 6)2(2 2 1 4 6)2(2 4 6 4 662 2 15 4 6.4 4 6.8 222 ' −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−×−×+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×−×+ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−×+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=σ 16 MPa xzy 71,2 4 2 2 1 4 6 2 32 4 2 2 1 2 3 4 62 4 6 4 2 4 6 4 26 2 3 2 1)5( 4 6 2 24 4 6 4 28'' = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+×−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=τ MPa z 2,8 4 3 4 2)2(2 4 3 4 222 4 2 4 262 2 3 2 35 4 2.4 4 2.8 22 ' −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×−×+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−××+ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=σ Kết quả tính như sau: MPaij ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 2,87,23 7,28,42,5 32,54 'σ Ví dụ 8: Xác định trục chính và ứng suất chính phần tử chiïu tác động ứng suất sau: σx = 500 kG/cm2, σy = 300 kG/cm2, τxy = 100 kG/cm2. Lời giải: Công thức tính ứng suất chính: 2 2 2,1 22 xy yxyx τσσσσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±+= Thay các giá trị đã cho vào biểu thức trên sẽ nhận được: 4,5414,141400100 2 300500 2 300500 2 2 1 =+=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++=σ kG/cm2; 6,2584,141400100 2 300500 2 300500 2 2 1 =−=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+=σ kG/cm2; Góc nghiêng trục chính so với trục Ox, Oy tính theo công thức: yx xytg σσ τθ −−= 2 2 Trường hợp này tg2θ = -1 và do vậy 2θ = -45°; θ = -22 ½ ° Ví dụ 9: Biết trước giá trị biến dạng điểm trong mặt phẳng 2D sau đây: εx = 0,002; εy = -0,001; γxy = 0,003. Xác định hướng chính và biến dạng chính. Lời giải: 17 Góc xoay hướng chính tính theo công thức: 2 )001,0()002,0( )003,0(222 =−=−= yx xytg εε γθ Từ đó: 2θ = 63,4° và 243,4° θ = 31,7° và (31,7 + 90)° Biến dạng chính: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −−−+= +−++= θγθεεεεε θγθεεεεε 2sin2cos 22 2sin2cos 22 ' ' xy yxyx y xy yxyx x Sau thay thế bằng số công thức cuối có dạng: εx’= 0,00385 và εy’= -0,00285. Ví dụ 9: Bộ cảm biến dạng rectangular rosette, ba cảm biến bố trí trong nhánh ¼ vòng tròn, góc giữa chúng 45°, hình 1.6, ghi nhận biến dạng điểm đo như sau: εx = 200μ; ε45 = 900μ; εy = 1000μ Xác định giá trị và hướng ứng suất chính, giá trị ứng suất cắt lớn nhất tại điểm đo. Biết rằng E = 200 GPa, ν = 0,285. x A B C x 45 45 Hình 1.6 Lời giải: Biến dạng góc tính từ công thức: μεεεγ 600100020090022 45 =−−×=−−= yxxy Ứng suất tại điểm tính từ quan hệ biến dạng – ứng suất: ( ) [ ] 266292 /10.6,10510.1000285,0200)285,0(1 10.2001 mNE yxx =×+−=+−= −νεενσ ( ) [ ] 266292 /10.1,23010.200285,01000)285,0(1 10.2001 mNE xyy =×+−=+−= −νεενσ 18 Ứng suất tiếp: 266 9 /10.7,4610.600 )285,01(2 10.200 )1(2 mNExy =+=+= − ντ Góc xoay hướng chính tính theo công thức: 5,1 )10.1000()10.200( )10.600(222 66 6 −=−=−= −− − yx xytg εε γθ Từ đó: θ = -18,4° và 71,6° Ứng suất pháp tính theo công thức: Với θ = -18,4° MPasìnxy yxyx 0,902cos 22 =+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++= θτθσσσσσ Có thể viết: σ2 = 90,0 MPa. Trường hợp θ = 71,6° tính được σ1 = 245,7 MPa. Ứng suất tiếp lớn nhất, tính cho trường hợp trạng thái ứng suất phẳng, σ3 = 0: MPa8,122 2 07,245 2 31 max =−=−= σστ Ví dụ 10: Tấm đua-ra dày t = 2mm được nẹp bằng 4 nẹp cứng tại bốn mép. Các nẹp nối với nhau bằng khớp xoay. Tại vị trí C đặt lực P = 25 kN, hình 1.7 Xác định: • Thay đổi góc γ các góc tấm, • Chuyển vị Δc theo chiều đứng, • Ứng suất chính trong tấm, • Thay đổi chiều dài AC và BD. Biết rằng E = 7.104 MPa; ν = 0,34. Lời giải: Tải trọng P phải cân bằng lực cắt cạnh BC, bắt tấm chịu cắt thuần túy. P = τ.A = τ.t.l Từ đó có thể tính: MPaPa 5010.5 25,0.10.2 10.5,2 7 3 4 === −τ 19 Hình 1.7 G ( ) MPaPa 410 10 10.6,210.6,2 34,012 10.7 ==+= Biến dạng góc tính bằng công thức rad G 310.92,1 −== τγ mmmlC 48,010.8,4. 4 ===Δ −γ Ứng suất chính: σ1 = τ = 50 MPa; σ2 = -τ = -50 MPa; Thay đổi chiều dài đoạn AB và BD: ( ) mm E l ll ACACAC 338,0211 =−==Δ νσσε mmlBD 338,0−=Δ 20 Bài tập 1. Xác định biến dạng trong lòng vật thể thỏa mãn phương trình chuyển vị: u = A1x2 + B1y2 +C1z2 v = A2x2 + B2y2 +C2z2 w = A3x2 + B3y2 +C3z2 Ai, Bi, Ci, i= 1, 2, 3 là const Biến dạng này có thỏa mãn điều kiện tương thích hay không? 2. Biến dạng đo được biểu diễn bằng các hàm sau: εx = A(x2 + z2); εy = 0; εz = Az2 γyz = 0; γzx = 2Axz; γxy = 0; Xác định chuyển vị tương ứng. 3. Trong ví dụ 3 chúng ta đã không xét đến ảnh hưởng lực cắt. Bài toán đang nêu tại hình 1.2 này được xem xét đầy đủ hơn, tính đến ảnh hưởng lực cắt. Mặt cắt ngang dầm hình chữ nhật, cạnh đứng 2c. Chuyển vị dầm được miêu tả bằng hàm u và v dạng sau: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ++−−−×−= +++−−×= xcxLxxLy EJ Pyx yycxLxy EJ Pyyxu 222 32 1333 6 ),( 21323 6 ),( νν νν v Xác định σx σy τxy của dầm. Xây dựng hàm v(x, 0) và θ(x, 0). 4. Dầm ngắn chịu nén, chịu ứng suất pháp –100MPa, ứng suất tiếp 40 MPa. Xác định góc nghiêng mặt tính toán, so với trục dầm. Tính ứng suất pháp và ứng suất cắt lớn nhất. 5. Biết rằng tấm thép hình vuông chịu ứng suất như sau: σx = 150MPa, σy = 50MPa. Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ab nghiêng góc -α so với Ox. 6. Tấm hình chữ nhật kích thước 300x100 mm dày t = 10mm, chịu tác động ứng suất: σx = 120MPa, σy = 60MPa. Tính thay đổi kích thước tấmdo biến dạng. Mô đun đàn hồi vật liệu 2.105 MPa, hệ số Poisson ν = 0,25. 7. Phần tử hình vuông chịu ứng suất: σx = -200MPa, σy = 100MPa,τxy = -120 MPa. Xác định hướng trục chính, ứng suất chính. 8. Trạng thái ứng suất phẳng tại điểm biểu thị trong hệ tọa độ xOy như sau: MPa 94 43 − − Xác định giá trị các thành phần ứng suất của điểm trong hệ tọa độ x’Oy’ xoay theo chiều kim đồng hồ 45°. Giải bằng hai cách: (1) sử dụng công thức chuyển và (2) sử dụng vòng tròn Mohr. 9. Trạng thái ứng suất xác định như sau: σx = 14 MPa, σy= - 10MPa, τxy = 5MPa. Xác định ứng suất chính, trục chính. 21 10. Trạng thái ứng suất xác định như sau: σx = 14 MPa, σy= - 10MPa, τxy = - 5MPa. Xác định ứng suất chính, trục chính. 11. Trạ