Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm

Chuyên đề 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT TÔ VĨNH HOÀI THPT Thủ Khoa Nghĩa TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x) Lí thuyết: P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0) ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau có nghiệm ( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm ) Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M() Phương pháp : Áp dụng công thức Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) (giao của (C ) và trục tung là cho) Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 (giao của (C ) và trục hoành là cho) Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số : (C ) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 tại: a; Điểm M có hoành độ xM = 0 b; Giao điểm của ( C ) với trục hoành Giải :a; xM = 0 yM = 2 y’ = f’(x) = 3x2 – 3 f’(0) = – 3 Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 ) y = – 3x + 2 b; Phương trình trục Ox : y = 0 . Ta có x3 – 3x + 2 = 0 x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1) x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2) Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k . Giải phương trình tìm x0 Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 ) Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C ) có nghiệm . Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu : (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a (d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = (hay a.k = – 1 ) Ví dụ Cho ( C ) : y = f(x) = x3 – 2x + 2. lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết 1; Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1 2; Tiếp tuyến vuông góc với (d) GIẢI 1; Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1 x0 = 1 y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x x0 = – 1 y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4 2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 . Gọi (d1) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C ) có nghiệm . Từ (2) với . Phương trình tiếp tuyến Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A() Phương pháp Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A() nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải p trình tìm x0 thay vào (1). Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k . Ta có (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1) Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 ) Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm . Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 và f’(x0) = 3x02 – 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) nên – 4 = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 2 x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2 x0 = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 . (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm Từ (1) và (2) ta có x3 – 3x + 2 = (3x2 – 3) (x – 2) – 4 x = 0 . Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2 x = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường Phương pháp : Áp dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau có nghiệm. Từ đó suy ra giá trị tham số Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = x4 – x2 + 1 và (D) : y = g(x) = x2 + m Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau GIẢI : (C) và (D) tiếp xúc với nhau có nghiệm x = 0 từ (2) ta có m = 1 x = từ (2) ta có m = 0 BÀI TẬP 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 2) Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x = . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua M 3) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua A(3; 0) 4) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua A(-1; 3) 5) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm cực đại của 6) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung 7) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm có tung độ bằng 8) Viết phương trình tiếp tuyến của biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9). Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x + 2006 10). Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ 11) Cho . Tìm m để (C) tiếp xúc với đường thẳng . 12) Cho . Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ đi qua điểm A(1; 2). 13) Cho : Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của (C) tại điểm . 14) Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 15) Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox. 16) Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13). 17) Cho và d là đường thẳng đi qua A(0; b). Tìm b để d là tiếp tuyến của (C) 18) Cho . Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cân.Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 19) Cho . Tìm các điểm M trên (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 trục Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 20) Cho . Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại các điểm đó với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C) 21) Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến cắt 2 trục Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB cân tại O. 22) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = – x3 + ( 2m + 1) x2 – m – 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx – m – 1. 23) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua 24) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua 25) Cho . Tìm m để tiếp xúc với trục Ox 26) Cho (C) : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 27) Cho hàm số y = Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại . Từ điều kiện này suy ra giá trị của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0. Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0) . Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng để thử lại : 1; Hs đạt cực trị tại x0 2; Hs đạt cực đại tại x0 3; Hàm số đạt cực tiểu tại x0 Nếu f”(x0) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’ Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3. Tìm m để hàm số : a; Đạt cực trị tại x = 1 b; Đạt cực đại tại x = 0 GIẢI : Tập xác định D = Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m a; Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0 3 – 4 + m = 0 . Khi m = –1 ta có y’ = 3x2 – 4x + 1 x 1/3 1 y’ + 0 – 0 + y CĐ CT Vậy khi m = – 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 b; Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi f’(0) = 0 m = 0. Khi m = 0 ta có y’ = 3x2 – 4x x 0 y’ + 0 – 0 + y CĐ CT Vậy khi m = 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0 Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số có cực trị Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x0 (hoặc không tồn tại tại ) và y’ đổi dấu khi x đi qua x0 .Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số có bấy nhiêu cực trị Ví dụ Cho hàm số y = . Tìm m để : 1; Hàm số có cực trị 2; Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu GIẢI : 1; Tập xác định D = \ Đạo hàm : y’ = . Hàm số có cực trị y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó có 2 nghiệm phân biệt 2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y1 = 2x1 – 1 ; y2 = 2x2 – 1 . y1 ; y2 cùng dấu y1.y2 > 0 (*) Vì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – m – 2 = 0 nên ta có (*) Vậy hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi Vấn đề 4 Phương trình đường đi qua các điểm cực trị Phương pháp Cố gắng phân tích y qua y’ . Có thể chia y cho y’ ta có y = y’(x).A(x) + B(x) vì hoành độ điểm cực trị là nghiệm của y’ = 0 nên phương trình đường đi qua các điểm cực trị là y = B(x) I/- Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Tọa độ điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị II/- Hàm số , Tọa độ điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình Nên là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị BÀI TẬP Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (0; 2). Cho . Tìm m sao cho hsố nghịch biến trên Cho . Tìm m để có 2 giá trị cực trị cùng dấu. Cho . Tìm m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương. Cho .Tìm m để (C) có 2 điểm cực đại và cực tiểu cách đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O. Cho . Tìm m để (C) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. Cho . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, với giá trị nào của m khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10. Cho . Tìm m sao cho (C) có 2 điểm cực đại, cực tiểu tạo với gốc tọa độ O thành một tam giác vuông tại O. Cho . Tìm m sao cho hsố đạt cực đại tại x = 2 Cho .Tìm m để (C) có 2 điểm cực đại và cực tiểu cách đều gốc tọa độ O. Cho .Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung. Cho hàm số : y = (*) (m là tham số). Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. Cho hàm số (1), m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 3.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [ a;b ] Phương pháp Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1… . Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1),…… là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên. là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn GIẢI : Ta có Ta có Vậy : BÀI TẬP 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 3) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số HD: đặt 4) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 5) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 6) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 7) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 8) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn