Slide bài giảng toán A 3 Đại học

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 1 TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục. 7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật. 8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục. Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. ðịnh nghĩa • Cho 2D ⊂ ℝ . Tương ứng :f D → ℝ , ( , ) ( , )x y z f x y=֏ duy nhất, ñược gọi là hàm số 2 biến x và y. • Tập D ñược gọi là MXð của hàm số và { }( ) ( , ), ( , )f D z z f x y x y D= ∈ = ∀ ∈ℝ là miền giá trị. – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp ñiểm M trong 2ℝ sao cho f(M) có nghĩa, thường là tập liên thông. (Tập liên thông D là tồn tại ñường cong nối 2 ñiểm bất kỳ trong D nằm hoàn toàn trong D). Hình a Hình b – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp ñiểm M trong 2ℝ sao cho f(M) có nghĩa, thường là miền liên thông (nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 ñường nối M với N nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông-Hình a)). – Trừ trường hợp 2D = ℝ , D thường ñược giới hạn bởi 1 ñường cong kín D∂ (biên) hoặc không. Miền liên thông D là ñơn liên nếu D ñược giới hạn bởi 1 ñường cong kín (Hình a); ña liên nếu ñược giới hạn bởi nhiều ñường cong kín rời nhau từng ñôi một (Hình b). – D là miền ñóng nếu M D M D∈∂ ⇒ ∈ , miền mở nếu M D M D∈∂ ⇒ ∉ . Chú ý • Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXð D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. • Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) ñược ñịnh nghĩa tương tự. VD 1. Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñịnh trên 2ℝ . VD 2. Hàm số 2 2( , ) 4z f x y x y= = − − có MXð là hình tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 3. Hàm số 2 2( , ) ln(4 )z f x y x y= = − − có MXð là hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 4. Hàm số ( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + − có MXð là nửa mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0). 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Dãy ñiểm Mn(xn; yn) dần ñến ñiểm M0(x0; y0) trong 2ℝ , ký hiệu 0nM M→ hay 0 0( ; ) ( ; )n nx y x y→ , khi n → +∞ nếu ( ) 2 20 0 0lim , lim ( ) ( ) 0n n n n n d M M x x y y →∞ →∞ = − + − = . • Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trong miền D (có thể không chứa M0), ta nói L là giới hạn của f(x, y) khi ñiểm M(x, y) dần ñến M0 nếu mọi dãy ñiểm Mn (Mn khác M0) thuộc D dần ñến M0 thì lim ( , )n n n f x y L →∞ = . Ký hiệu: 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( ) x y x y M M f x y f M L → → = = . Nhận xét • Nếu khi 0nM M→ trên 2 ñường khác nhau mà dãy {f(xn, yn)} có hai giới hạn khác nhau thì 0 lim ( ) M M f M → ∃ . VD 5. Cho 2 2 2 3 1( , ) 3 x y xf x y xy − − = + , tính ( , ) (1, 1) lim ( , ) x y f x y → − . VD 6. Cho 2 2 ( , ) xyf x y x y = + , tính ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → . VD 7. Cho hàm số 2 2 3( , ) xyf x y x y = + . Chứng tỏ ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → không tồn tại. • Hàm số f(x, y) xác ñịnh trong D chứa M0, ta nói f(x, y) liên tục tại M0 nếu tồn tại 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y → và 0 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = . • Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi ñiểm M thuộc D. Hàm số f(x, y) liên tục trong miền ñóng giới nội D thì ñạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D. VD 8. Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 , ( , ) (0,0)( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y x yf x y x y  ≠ +=   = . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 2 §2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ðạo hàm riêng a) ðạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M0(x0, y0). Nếu hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) có ñạo hàm tại x = x0 thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x, y) tại (x0, y0). Ký hiệu: 0 0( , )xf x y hay / 0 0( , )xf x y hay 0 0( , ) f x y x ∂ ∂ . Vậy / 0 0 0 00 0 0 ( , ) ( , )( , ) limx x f x x y f x yf x y x∆ → + ∆ − = ∆ . • Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x0, y0) là: / 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )( , ) limy y f x y y f x yf x y y∆ → + ∆ − = ∆ . VD 1. Tính các ñạo hàm riêng của z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2). VD 2. Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = xy (x > 0). VD 3. Tính các ñạo hàm riêng của cos xz y = tại ( ; 4)pi . • Với hàm n biến ta có ñịnh nghĩa tương tự. VD 4. Tính các ñạo hàm riêng của 2( , , ) sinx yf x y z e z= . b) ðạo hàm riêng cấp cao • Các hàm số fx, fy có các ñạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x ñược gọi là các ñạo hàm riêng cấp hai của f. Ký hiệu: ( ) 2 2 / / 2x xxx x f ff f f x x x ∂ ∂ ∂  = = = = ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 2// 2y yy yy f ff f f y y y  ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 // x xy xyy f ff f f y x y x ∂ ∂ ∂  = = = = ∂ ∂ ∂ ∂  , ( ) 2/ /y yx yxx f ff f f x y x y  ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂  . VD 5. Tính các ñạo hàm riêng cấp hai của 3 2 3 4yz x e x y y= + − tại ( 1; 1)− . VD 6. Tính các ñạo hàm riêng cấp hai của 2( , ) x yf x y xe −= . • Các ñạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và ñạo hàm riêng cấp cao hơn ñược ñịnh nghĩa tương tự. ðịnh lý (Schwarz) • Nếu hàm số f(x, y) có các ñạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền D thì fxy = fyx. 2.2. Vi phân a) Vi phân cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trong 2D ⊂ ℝ và 0 0 0( , )M x y D∈ , 0 0( , )M x x y y D+ ∆ + ∆ ∈ . Nếu số gia 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − có thể biểu diễn dưới dạng: 0 0( , ) . .f x y A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , trong ñó A, B là những số không phụ thuộc , x y∆ ∆ và , 0α β → khi ( , ) (0,0)x y∆ ∆ → , ta nói f khả vi tại M0. • Biểu thức . .A x B y∆ + ∆ ñược gọi là vi phân cấp 1 (toàn phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với , x y∆ ∆ . Ký hiệu df(x0, y0). • Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi (x, y) thuộc D. Nhận xét • Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0. • Từ 0 0( , ) . .f x y A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , ta suy ra: 0 0 0 0( , ) ( , ) .f x x y f x y A x xα+ ∆ − = ∆ + ∆ 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )lim x f x x y f x y A x∆ → + ∆ − ⇒ = ∆ , tương tự 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )lim y f x y y f x y B y∆ → + ∆ − = ∆ . Vậy / /0 0 0 0 0 0( , ) ( , ). ( , ).x ydf x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ hay / / 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy= + . Tổng quát: / /( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) x ydf x y f x y dx f x y dy x y D= + ∈ . VD 7. Tính vi phân cấp 1 của 2 3 5x yz x e xy y−= + − tại (–1; 1). VD 8. Tính vi phân cấp 1 của 2 2( , ) sin( )x yf x y e xy−= . ðịnh lý • Nếu hàm số f(x, y) có các ñạo hàm riêng liên tục tại M0 trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0. b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: ( ) 2 2 2 / / 2 / / / / 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) xyx y d f x y d df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy = = + + . • Vi phân cấp n: ( )1 ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , )k n k n n n k n k n k n x y k d f x y d df x y C f x y dx dy − − − = = =∑ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 3 VD 9. Tính vi phân cấp 2 của 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y= + − tại (2; –1). VD 10. Tính vi phân cấp 2 của 2( , ) ln( )f x y xy= . c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm số 0 0 / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ). ( , ). x y f x x y y f x y f x y x f x y y + ∆ + ∆ ≈ ≈ + ∆ + ∆ . VD 11. Tính gần ñúng 1,02 0,97 arctg . 2.3. ðạo hàm của hàm số hợp • Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả vi của x thì / /. .u v df du dvf f dx dx dx = + . Với , , df du dv dx dx dx là các ñạo hàm toàn phần theo x. • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số khả vi của x thì / / .x y df dyf f dx dx = + . VD 12. Cho 2 22 , , sinxz u uv v u e v x−= − + = = . Tính dz dx . VD 13. Cho 2 2 2( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + = . Tính df dx . 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*). Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x) là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*). VD 14. Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. • ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược: / / / / / ( , )( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0( , ) x x y y y F x yF x y F x y y y F x y F x y ′ ′+ = ⇒ = − ≠ . VD 15. Cho 0x yxy e e− + = . Tính y′ . VD 16. Cho 3 2 4( 1) 0y x y x+ + + = . Tính y′ . VD 17. Cho 2 2ln yx y arctg x + = . Tính y′ . • Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi F(x, y, z)) = 0, với / ( , , ) 0zF x y z ≠ ta có: / / / / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 ( , , ) ( , ) ,( , , ) ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 ( , , ) ( , ) .( , , ) x z x x x z y z y y y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z • + = ⇒ = − • + = ⇒ = − VD 18. Cho cos( )xyz x y z= + + . Tính / /, x yz z . §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. ðịnh nghĩa • Hàm số z = f(x, y) ñạt cực trị (ñịa phương) tại ñiểm M0(x0; y0) nếu với mọi ñiểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0) có dấu không ñổi. • Nếu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là ñiểm cực tiểu; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực ñại và M0 là ñiểm cực ñại. Cực ñại và cực tiểu gọi chung là cực trị. VD 1. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy ñạt cực tiểu tại O(0; 0). 3.2. ðịnh lý a) ðiều kiện cần • Nếu hàm số z = f(x, y) ñạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại ñó hàm số có ñạo hàm riêng thì: / / 0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y= = . Chú ý. ðiểm M0 thỏa / /0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y= = ñược gọi là ñiểm dừng, có thể không là ñiểm cực trị của z. b) ðiều kiện ñủ. Giả sử f(x, y) có ñiểm dừng là M0 và có ñạo hàm riêng cấp hai tại lân cận ñiểm M0. ðặt 2 2 / / / / / / 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , )xyx yA f x y B f x y C f x y= = = . Khi ñó: + Nếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm M0; AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm M0. + Nếu AC – B2 < 0 thì hàm số không có cực trị (ñiểm M0 ñược gọi là ñiểm yên ngựa). + Nếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số có cực trị hay không (dùng ñịnh nghĩa ñể xét). 3.3. Cực trị tự do Cho hàm số z = f(x, y). ðể tìm cực trị của f(x, y) trên MXð D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm ñiểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y  =  = . Bước 2. Tính 2/ / / /0 0 0 0( , ), ( , )xyxA f x y B f x y= = , 2 / / 2 0 0( , )yC f x y AC B= ⇒ ∆ = − . Bước 3. + Nếu ∆ > 0 và A > 0 thì kết luận hàm số ñạt cực tiểu tại M0 và cực tiểu là f(M0); + Nếu ∆ > 0 và A < 0 thì kết luận hàm số ñạt cực ñại tại M0 và cực ñại là f(M0). + Nếu ∆ < 0 thì kết luận hàm số không ñạt cực trị. + Nếu ∆ = 0 thì không thể kết luận (trong chương trình hạn chế loại này). VD 2. Tìm ñiểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y). VD 3. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2. VD 5. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 4 3.4. Cực trị có ñiều kiện • Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên lân cận của ñiểm M0(x0; y0) thuộc ñường cong ( , ) 0x yϕ = . Nếu tại ñiểm M0 hàm số f(x, y) ñạt cực trị thì ta nói ñiểm M0 là ñiểm cực trị của f(x, y) với ñiều kiện ( , ) 0x yϕ = . • ðể tìm cực trị có ñiều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. Phương pháp khử Từ phương trình ( , ) 0x yϕ = , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y) và tìm cực trị hàm 1 biến. VD 6. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y với ñiều kiện x + y + 3 = 0. VD 7. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = xy với ñiều kiện: 2x + 3y – 5 = 0. Phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1. Lập hàm Lagrange: ( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y x yλ λϕ= + , λ là nhân tử Lagrange. Bước 2. Giải hệ: ' ' ' 0 0 0 x y L L Lλ  =  = ⇒  = ñiểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0. Bước 3 Tính 2 0 0( , )d L x y 2 2 '' 2 '' '' 2 0 0 0 0 0 0( , ) 2 ( , ) ( , )xyx yL x y dx L x y dxdy L x y dy= + + . ðiều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0( , ) 0 ( , ) ( , ) 0x yd x y x y dx x y dyϕ ϕ ϕ= ⇒ + = (1) và (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). Bước 4 Từ ñiều kiện (1) và (2), ta có: + Nếu 2 0 0( , ) 0d L x y > thì hàm số ñạt cực tiểu tại M0. + Nếu 2 0 0( , ) 0d L x y < thì hàm số ñạt cực ñại tại M0. + Nếu 2 0 0( , ) 0d L x y = thì ñiểm M0 không là ñiểm cực trị. VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = 2x + y với ñiều kiện x2 + y2 = 5. VD 10. Tìm cực trị của hàm số z = xy với ñiều kiện 2 2 1 8 2 x y + = . Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f(x, y) liên tục, không âm và một mặt trụ có các ñường sinh song song Oz, ñáy là miền phẳng ñóng D trong Oxy. ðể tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Như vậy khối trụ cong ñược chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi ∆Si ta lấy ñiểm Mi(xi; yi) tùy ý. Ta có thể tích ∆Vi của khối trụ nhỏ là: 1 ( ; ) ( , ) n i i i i i i i i V f x y S V f x y S = ∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆∑ . Gọi { }max ( , ) ,i id d A B A B S= ∈ ∆ là ñường kính của iS∆ . Ta có: max 0 1 lim ( , ) i n i i id i V f x y S → = = ∆∑ . 1.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên miền ñóng giới nội, ño ñược D trong Oxy. Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy ñiểm Mi(xi; yi) tùy ý. Khi ñó 1 ( , ) n n i i i i I f x y S = = ∆∑ ñược gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các ñiểm Mi). Nếu max 0 1 lim ( , ) i n i i id i I f x y S → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn ñiểm Mi thì số I ñược gọi là tích phân bội hai của f(x, y) trên D. Ký hiệu ( , ) D I f x y dS= ∫∫ . ðịnh lý. Hàm f(x, y) liên tục trong miền bị chặn, ñóng D thì khả tích trong D. • Nếu tồn tại tích phân, ta nói f(x, y) khả tích; f(x, y) là hàm dưới dấu tích phân; x, y là các biến tích phân. Chú ý 1) Nếu chia D bởi các ñường thẳng song song với các trục tọa ñộ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. Vậy ( , ) ( , ) D D I f x y dS f x y dxdy= =∫∫ ∫∫ . 2) ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f u v dudv=∫∫ ∫∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 5 Nhận xét 1) ( ) D dxdy S D=∫∫ (diện tích miền D). 2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ( , ) D f x y dxdy∫∫ là thể tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính chất của tích phân kép • Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D. • Tính chất 2. Tính tuyến tính: [ ( , ) ( , )] D D D f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±∫∫ ∫∫ ∫∫ ; ( , ) ( , ) , D D kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈∫∫ ∫∫ ℝ . • Tính chất 3 Nếu chia D thành D1 và D2 bởi ñường cong có diện tích bằng 0 thì: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ . 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. ðưa về tích phân lặp ðịnh lý (Fubini) • Giả sử tích phân ( , ) D f x y dxdy∫∫ tồn tại, với 1 2{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và với mỗi [ , ]x a b∈ cố ñịnh 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x y x f x y dy∫ tồn tại thì: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) y x y xb b D a y x a y x f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy = =      ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Tương tự, 1 2{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x yd d D c x y c x y f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx = =      ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Chú ý 1) Khi {( , ) : , } [ , ] [ , ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = × (hình chữ nhật) thì: ( , ) ( , ) ( , ) b d d b D a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (hoán vị cận). 2) 1 2{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và f(x, y) = u(x).v(y) thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) y xb D a y x f x y dxdy u x dx v y dy=∫∫ ∫ ∫ . Tương tự, 1 2{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) x yd D c x y f x y dxdy v y dy u x dx=∫∫ ∫ ∫ . 3) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền ñơn giản như trên. VD 1. Xác ñịnh cận ở tích phân lặp khi tính tích phân ( , ) D I f x y dxdy= ∫∫ trong các trường hợp sau: 1) D giới hạn bởi các ñường y = 0, y = x và x = a. 2) D giới hạn bởi các ñường y = 0, y = x2 và x + y = 2. VD 2. Tính D I xydxdy= ∫∫ với D giới hạn bởi y = x – 4, y 2 = 2x. ðổi thứ tự lấy tích phân 2 1 ( ) ( ) ( , ) y xb a y x I dx f x y dy= ∫ ∫ 2 1 ( ) ( ) ( , ) x yd c x y I dy f x y dx= ∫ ∫ ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 6 VD 3. ðổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1) 21 2 0 ( , ) x x I dx f x y dy − = ∫ ∫ ; 2) 23 1 0 ( , ) y I dy f x y dx= ∫ ∫ ; 3) 2 2 1 3 1 0 1 9 9 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy= +∫ ∫ ∫ ∫ . 1.4.2. Phương pháp ñổi biến a) Công thức ñổi biến tổng quát ðịnh lý. Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các ñạo hàm riêng liên tục trên miền ñóng giới nội Duv trong mp Ouv. Gọi {( , ) : ( , ), ( , ), ( , ) } xy uvD x y x x u v y y u v u v D= = = ∈ . Nếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và ñịnh thức Jacobi ( , ) 0( , ) x yJ u v ∂ = ≠ ∂ trong Duv thì: ( , ) ( ( , ), ( , )) xy uvD D f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫ . Trong ñó: / / / // / / / ( , ) 1 1 ( , )( , ) ( , ) u v x yu v x y x xx yJ u vu v u uy y x y v v ∂ = = = =∂∂ ∂ . VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v). Tính tích phân của hàm 1( , ) 1 4 4 f x y x y = + + trên miền biến hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình tròn ñơn vị trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân của hàm 2 2 1( , )f x y x y = + trên miền biến hình Dxy. VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn Parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. b) ðổi biến trong tọa ñộ cực • ðổi biến: cos sin x r y r ϕ ϕ =  = , với 0, 0 2r ϕ pi≥ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Khi ñó, miền Dxy trở thành: 1 2 1 2{( , ) : , ( ) ( )}rD r r r rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= ≤ ≤ ≤ ≤ và / / / / cos sin( , ) sin cos( , ) r r x x rx yJ r y y rr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ −∂ = = = = ∂ . Vậy ta có: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) xy rD D r r f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ . Chú ý 1) ðổi biến trong tọa ñộ cực thường dùng khi biên D là ñường tròn hoặc elip. 2) ðể tìm 1 2( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos sin x r y r ϕ ϕ =  = vào phương trình của biên D. 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O cắt biên D không quá 1 ñiểm thì: ( )2 0 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕpi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ . 4) Nếu cực O nằm trên biên D thì: 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ . 5) Nếu biên D l