Slide bài giảng toán A2 Đại Học

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 1 TOÁN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo 1. Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ðHCN TP.HCM. 3. Toán cao cấp A2 – ðỗ Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Toán cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục. 5. Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðông – NXB Giáo dục. 6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục. 7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục. 8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. MA TRẬN 1.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận A cấp m n× trên ℝ là 1 hệ thống gồm m.n số ( ) 1, ; 1,ija i m j n∈ = =ℝ và ñược sắp xếp thành bảng: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a       =       (gồm m dòng và n cột). • aij là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j. • Cặp số (m, n) là kích thước của A. • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma trận dòng; n = 1, 11 1 ... m a A a     =       là ma trận cột; m = n = 1, A = (a11) (1 phần tử). • Tập hợp các ma trận A là , ( ) m n M ℝ , ñể cho gọn ta viết ( )ij m nA a ×= . b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và aij = bij. VD 1. 1 1 0 1 0; 1; 2; 2; 3 2 2 3 x y x y z u t z t u −    = ⇔ = = − = = =        . c) Ma trận (0 )ij m n×Ο = gồm tất cả các phần tử ñều bằng 0 là ma trận không. d) Khi m = n: A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu ( )ij nA a= . Các ma trận vuông ñặc biệt: • ðường chéo chứa a11, a22, …, ann là ñường chéo chính của A, ñường chéo còn lại là ñường chéo phụ. • Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ñường chéo chính ñều bằng 0 là ma trận chéo. • Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 1 là ma trận ñơn vị cấp n, ký hiệu In. VD 2. 2 1 0 0 1 I  =     , 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I     =       . • Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần tử nằm phía dưới (trên) ñường chéo chính ñều bằng 0. VD 3. 1 0 2 0 1 1 0 0 0 A −    = −      là ma trận tam giác trên; 3 0 0 4 1 0 1 5 2 B     =     −  là ma trận tam giác dưới. • Ma trận ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng qua ñường chéo chính bằng nhau (aij = aji). • Ma trận phản ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng qua ñường chéo chính ñối nhau (aij = –aji) và tất cả các phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 0. VD 4. 3 4 1 4 1 0 1 0 2 A −    =     −  là ma trận ñối xứng; 0 4 1 4 0 0 1 0 0 B −    =     −  là ma trận phản ñối xứng. 1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ Cho ( )ij m nA a ×= , ( )ij m nB b ×= ta có: ( )ij ij m nA B a b ×± = ± . VD 5. 1 0 2 2 0 2 1 0 4 2 3 4 5 3 1 7 0 3 −      + =      − − −      ; 1 0 2 2 0 2 3 0 0 2 3 4 5 3 1 3 6 5 − −      − =      − − − −      . • Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. b) Nhân vô hướng Cho ( )ij m nA a ×= , λ ∈ℝ ta có: ( )ij m nA aλ λ ×= . VD 6. 1 1 0 3 3 0 3 2 0 4 6 0 12 − −    − =    − −    ; 2 6 4 1 3 2 2 4 0 8 2 0 4     =    − −    . • Phép nhân vô hướng có tính phân phối ñối với phép cộng ma trận. • Ma trận –A là ma trận ñối của A. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 2 c) Nhân hai ma trận • Cho ( )ij m nA a ×= , ( )jk n pB b ×= ta có: ( ) 1 ( ) , 1, ; 1, n ik m p ik ij jk j AB c c a b i m k p× = = = = =∑ . VD 7. Tính a) ( ) 1 1 2 3 2 5 −        −  ; b) 1 0 0 0 4 0 3 2       −   ; c) 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 3 1 3 2   −    −    −    − −  . • Phép nhân ma trận có các tính chất: 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); 5) n m AI A I A= = , với , ( ) m n A M∈ ℝ . VD 8. Tính a) 1 1 2 0 1 3 2 1 2 1 2 3 0 1 2 1 1 0 2 1 1 1 4 2 1 3 3 1 0 2 − − −                − − − −                − − − −        ; b) 1 0 1 1 2 1 2 2 0 0 3 1 3 0 3 2 1 0 − − −      − −      − −   và 1 2 1 1 0 1 0 3 1 2 2 0 2 1 0 3 0 3 − − −        − −        − −    . • Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. • ðặc biệt, khi ( )ij nA a= và *p ∈ℕ ta có: A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy thừa ma trận). VD 9. a) Cho 1 1 0 1 A −  =     , tính A2009; b) Cho 2 0 1 2 B  =     , tính (I2 – B)2009. VD 10. Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp 100 có các phần tử ở dòng thứ i là (–1)i. Tìm phần tử a36 của A2. d) Phép chuyển vị • Cho ( )ij m nA a ×= , ma trận chuyển vị của A là: ( )T ji n mA a ×= (chuyển tất cả dòng thành cột). • Tính chất: 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT; 3) (AT)T = A; 4) (AB)T = BTAT; 5) TA A= ⇔ A ñối xứng; 6) TA A= − ⇔ A phản xứng. 1.3. Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận a) ðịnh nghĩa • Cho ( )ij m nA a ×= ( 2)m ≥ . Các phép biến ñổi sơ cấp dòng e trên A là: – (e1): Hoán vị hai dòng cho nhau i kd dA A↔ ′→ . – (e2): Nhân 1 dòng với số 0λ ≠ , i id dA Aλ→ ′′→ . – (e3): Thay 1 dòng bởi tổng của dòng ñó với tích λ dòng khác i i kd d dA Aλ→ + ′′′→ . Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d dA Bµ λ→ +→ . 2) Sau 1 số hữu hạn các PBðSC dòng ta ñược ma trận B tương ñương với A, ký hiệu B A∼ . 3) Tương tự, ta cũng có các phép biến ñổi sơ cấp trên cột của ma trận. VD 11. Cho 1 2 3 2 1 1 3 1 2 A −    = −    −  và 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 B −    = −      . Chứng tỏ A B∼ . b) Ma trận sơ cấp • Ma trận thu ñược từ In bởi ñúng 1 phép biến ñổi sơ cấp dòng (cột) là ma trận sơ cấp. VD 12. 0 0 1 0 1 0 1 0 0           , 1 0 0 0 5 0 0 0 1     −      và 1 0 0 2 1 0 0 0 1           là các ma trận sơ cấp. 1.4. Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn a) Ma trận bậc thang • Hàng có tất cả các phần tử ñều bằng 0 ñược gọi là hàng bằng 0. • Phần tử khác 0 ñầu tiên tính từ trái sang của 1 hàng ñược gọi là phần tử cơ sở của hàng ñó. • Ma trận bậc thang là ma trận khác 0 cấp m n× ( , 2)m n ≥ thỏa: 1) Các hàng bằng 0 ở dưới các hàng khác 0; 2) Phần tử cơ sở của 1 hàng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên nó. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 3 VD 13. + 1 0 2 0 0 3 0 0 0           , 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 1           và In là các ma trận bậc thang; + 0 2 7 0 3 4 0 0 5           và 2 3 5 0 0 0 0 1 3           không là ma trận bậc thang. ðịnh lý • Mọi ma trận ñều có thể ñưa về bậc thang bằng hữu hạn phép biến ñổi sơ cấp trên dòng. b) Ma trận bậc thang rút gọn • Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ ñều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa nó. VD 14. In, 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1           và 0 1 0 3 0 0 1 2 0 0 0 0           là các ma trận bậc thang rút gọn. 1.5. Ma trận khả nghịch a) ðịnh nghĩa • Ma trận ( ) n A M∈ ℝ ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại ( ) n B M∈ ℝ sao cho AB = BA = In. Ma trận B là duy nhất và ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của A, ký hiệu A–1. Khi ñó: A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. • Nếu B là ma trận nghịch ñảo của A thì A cũng là ma trận nghịch ñảo của B. VD 15. 2 5 1 3 A  =     và 3 5 1 2 B −  =   −  là nghịch ñảo của nhau vì AB = BA = I2. Nhận xét 1) Nếu ma trận vuông A có 1 dòng (hoặc 1 cột) bằng 0 thì không khả nghịch. 2) Mọi ma trận sơ cấp ñều khả nghịch và ma trận nghịch ñảo cũng là ma trận sơ cấp. 3) (AB)–1 = B–1A–1. b) Tìm ma trận nghịch ñảo bằng phép biến ñổi sơ cấp dòng • Cho ( ) n A M∈ ℝ , ta tìm A–1 như sau: Bước 1. Lập ma trận ( )nA I (ma trận chia khối) bằng cách ghép In vào bên phải A. Bước 2. Dùng phép biến ñổi sơ cấp dòng ñể ñưa ( )nA I về dạng ( )A B′ ( A′ là ma trận bậc thang dòng rút gọn). 1) Nếu A′ có 1 dòng (cột) bằng 0 hoặc n A I′ ≠ thì A không khả nghịch. 2) Nếu n A I′ = thì A khả nghịch và A–1 = B. VD 16. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 A −    −  =       và 1 1 1 1 0 1 2 1 0 B −    =       . §2. ðỊNH THỨC 2.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận con cấp k • Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ . Ma trận vuông cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận Mij cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử aij. b) ðịnh thức • ðịnh thức cấp n của ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ký hiệu detA hay A , là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa: 1) A cấp 1: 11 11( ) detA a A a= ⇒ = ; 2) A cấp 2: 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a A A a a a a a a   = ⇒ = −    ; 3) A cấp n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là phần bù ñại số của phần tử aij. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 4 Chú ý • 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 31 22 13 12 21 33 23 32 11a a a a a a a a a− − − (quy tắc 6 ñường chéo). ðặc biệt. det In = 1, det 0n = 0. VD 1. Tính các ñịnh thức của: 3 2 1 4 A −  =     , 1 2 1 3 2 1 2 1 1 B −    = −      và 1 0 2 0 4 1 2 1 3 1 0 2 2 3 3 5 C     −  =       . 2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức • Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ta có các tính chất cơ bản sau: Tính chất 1 ( )det detTA A= . VD 2. 1 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 − − = − − ; 1 3 2 1 0 0 0 2 1 3 2 0 0 0 1 2 1 1 − = − . Tính chất 2. Hoán vị hai dòng (cột) cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu. VD 3. 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 − − − = − − = − − . Hệ quả • ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0. VD 4. 3 3 1 2 2 1 0 1 1 7 = ; 2 3 2 5 2 5 1 0 1 x x x y y y y = ; 2 5 2 5 2 5 1 1 0 1 y y y y y y = . Tính chất 3. Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức tăng lên λ lần. VD 5. 3 0 3 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 7 3 1 7 − − − = − ; 3 3 3 3 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x y y x y y z z x z z + + = + + . Hệ quả 1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0. 2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức bằng 0. Tính chất 4 • Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của 2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức. VD 6. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x y y x y y y y x z z x z z z z + + = + − − . Tính chất 5 • ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ lần dòng (cột) khác. VD 7. Tính các ñịnh thức: 1 2 3 1 2 1 2 3 4 − − ; 1 1 1 1 1 1 x x x . Chú ý • Phép biến ñổi 1 2 121 5 0 7 2 3 1 3 d d d→ − − = là sai do dòng 1 ñã nhân với số –2. 2.3. ðịnh lý Laplace • Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ta có các khai triển det A sau: a) Khai triển theo dòng thứ i 1 1 2 2 1 det ... , ( 1) det( ) i i i i in in n i j ij ij ij ij j A a A a A a A a A A M+ = = + + + = = −∑ . b) Khai triển theo cột thứ j 1 1 2 2 1 det ... , ( 1) det( ) j j j j nj nj n i j ij ij ij ij i A a A a A a A a A A M+ = = + + + = = −∑ . VD 8. Tính ñịnh thức 1 0 0 2 2 1 1 2 1 2 2 3 3 0 2 1 bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2. VD 9. Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức: 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 3 3 2 1 − − . Các kết quả ñặc biệt: 1) 11 12 1 11 22 2 21 22 11 22 1 2 ... 0 ... 0 0 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... n n nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a = = (dạng tam giác). ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 5 2) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận). 3) det .det 0 n A B A C C = , với , , ( ) n A B C M∈ ℝ (ñịnh thức chia khối). VD 10. a) 1 2 3 4 0 2 7 19 1 2 3 0 0 0 3 0 0 2 0 1 0 0 0 1 − = − − − ; b) 1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 − −        =        − −    ; c) 1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 T − −            =            −      1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 − − = − . 2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo a) ðịnh lý • Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0. b) Thuật toán tìm A–1 • Bước 1 Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch, ngược lại làm tiếp bước 2. • Bước 2 Lập ma trận ( ) ( )TTij ijn nA A A⇒ = (ma trận phụ hợp của A). • Bước 3. Ma trận nghịch ñảo là: 1 1 . det T A A A − = . VD 11. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của: 1 2 1 1 1 2 3 5 4 A     =       và 1 2 1 0 1 1 1 2 3 B     =       . Nhận xét • Nếu 0ac bd− ≠ thì: 1 1a b c b d c d aac bd − −    =    −−    . 2.5. Hạng của ma trận a) ðịnh thức con cấp k • Cho ma trận ( )ij m nA a ×= . ðịnh thức của ma trận con cấp k của A ñược gọi là ñịnh thức con cấp k của A. ðịnh lý • Nếu trong ma trận A tất cả các ñịnh thức con cấp k ñều bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0. b) Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta có: 1 ( ) min{ , }r A m n≤ ≤ . • Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r(A) = 0. c) Phương pháp tìm hạng của ma trận ðịnh lý • Hạng của ma trận bậc thang (dòng) bằng số dòng khác 0 của ma trận ñó. • Cho A là ma vuông cấp n, ( ) det 0r A n A= ⇔ ≠ . Phương pháp • Bước 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma trận A về bậc thang. • Bước 2. Số dòng khác 0 của A sau biến ñổi là r(A). VD 12. Tìm hạng của ma trận 2 1 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 4 A −    −  =     − −  . VD 13. Tìm hạng của ma trận 1 3 4 2 2 5 1 4 3 8 5 6 A −    = −    −  . VD 14. Tùy theo giá trị m, tìm hạng của ma trận 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 m A m − −    − − −  =     −  . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 6 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. ðịnh nghĩa • Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình có dạng: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ................................................. ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = (1). ðặt ( ) 11 1 1 ... ... ... ... ... n ij m n m mn a a A a a a ×     = =      (ma trận hệ số), ( ) 1 1... ... T m m b B b b b     = =      (ma trận cột tự do) và ( ) 1 1... ... T n n x X x x x     = =      là ma trận cột ẩn. Khi ñó, hệ (1) trở thành AX B= . • Bộ số ( )1 ... Tnα α α= ñược gọi là nghiệm của (1) nếu A Bα = . VD 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 3 2 7 5 x x x x x x x x x − + + =  + + = −  − = ðưa hệ về dạng ma trận: 1 2 3 4 1 1 2 4 4 2 1 4 0 3 0 2 7 0 5 x x x x   −          = −        −        . Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghiệm của hệ. 3.2. ðịnh lý Crocneker – Capelli • Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Xét ma trận mở rộng ( ) 11 12 1 1 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n m m mn m a a a b A A B a a a b     = =       . Hệ có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )r A r A r= = . Khi ñó: 1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất; 2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số. 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận nghịch ñảo • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có 1AX B X A B−= ⇔ = . VD 2. Giải hệ phương trình 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =  + =  + + = − . b) Phương pháp ñịnh thức (Cramer) • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n. ðặt 11 1 1 1 ... ... det ... ... ... ... ... ... ... j n n nj nn a a a A a a a ∆ = = , 11 1 1 ... ... ... ... ... ... ... , 1, ... ... j n j n j nn a b a j n a b a ∆ = = (thay cột j trong A bởi cột tự do). Khi ñó, ta có các trường hợp: 1) Nếu 0∆ ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất , 1,jjx j n ∆ = ∀ = ∆ . 2) Nếu 0, 1,j j n∆ = ∆ = ∀ = thì hệ có vô số nghiệm (thay tham số vào hệ và tính trực tiếp). 3) Nếu 0∆ = và 0, 1,j j n∃∆ ≠ = thì hệ vô nghiệm. VD 3. Giải hệ phương trình sau bằng ñịnh thức: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =  + =  + + = − . VD 4. Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương trình: 2 1mx y z x my z m x y mz m  + + =  + + =  + + = . c) Phương pháp Gauss • Bước 1. ðưa ma trận mở rộng ( )A B về dạng bậc thang bởi PBðSC trên dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 1) Có 2 dòng tỉ lệ thì xóa ñi 1 dòng; 2) Có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng ñó; 3) Có 1 dòng dạng ( )0 ... 0 , 0b b ≠ thì kết luận hệ vô nghiệm. 4) Gặp hệ giải ngay ñược thì không cần phải ñưa ( )A B về bậc thang. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 7 VD 5. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x + + − − = −  + + − − = −  + + − − = − . VD 6. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x − + − =  + + − =  + − − . 3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a) ðịnh nghĩa • Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt có dạng: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ............................................. ... 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x AX a x a x a x θ + + + =  + + + = ⇔ =   + + + = (2). Nhận xét • Do ( ) ( )r A r A= nên hệ pttt thuần nhất luôn có nghiệm. Nghiệm (0; 0;…; 0) ñược gọi là nghiệm tầm thường. b) ðịnh lý • Hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường ( ) det 0r A n A⇔ = ⇔ ≠ . c) Liên hệ với hệ pttt tổng quát ðịnh lý • Xét hệ pttt tổng quát AX = B (1) và hệ pttt thuần nhất AX θ= (2). Khi ñó: 1) Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (1) là nghiệm của (2); 2) Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (1) và 1 nghiệm bất kỳ của (2) là nghiệm của (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR 1.1. ðịnh nghĩa • Không gian vector V trên ℝ là cặp (V, ℝ ) trang bị hai phép toán ( , ) ( , ) V V V V V x y x y y xλ λ × → × → + ℝ ֏ ֏ thỏa 8 tính chất sau: 1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 3) ! :V x x xθ θ θ∃ ∈ + = + = ; 4) ( ) : ( ) ( )x V x x x x θ∃ − ∈ − + = + − = ; 5) 1 2 1 2( ) ( )x xλ λ λ λ= ; 6) ( )x y x yλ λ λ+ = + ; 7) 1 2 1 2( )x x xλ λ λ λ+ = + ; 8) 1.x = x. VD 1. Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là không gian vector. Tập { }( )nV A M= ∈ ℝ các ma trận vuông cấp n là kgvt. { }1 2( , ,..., ) , 1,n iV u x x x x i n= = ∈ ∀ ∈ℝ là kgvt Euclide nℝ . 1.2. Không gian con của kgvt • Cho kgvt V, tập W V⊂ là kgvt con của V nếu (W, ℝ ) cũng là một kgvt. • Cho kgvt V, tập W V⊂ là kgvt con của V nếu: ( ) , , , x y W x y Wλ λ+ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ . VD 2. Tập { }W θ= là kgvt con của mọi kgvt V.