Trường điện từ biến thiên

61 Chương III TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIØ Ä Ø E ÁN THIÊNÁ  III.1 Khái nie ämù ä Như ở các chương trước ta đã biết trường từ biến thiên sinh ra trường điện và trường điện biến thiên sinh ra trường từ. Khi đó trường điện và trường từ liên hệ chặt chẽ với nhau. Trường điện từ biến thiên có thể lan truyền trong không gian hoặc trong môi trường chất dưới dạng sóng. Sóng điện từ, bao gồm ánh sáng, tia X, tia hồng ngoại, tia gamma (g), sóng radio đóng vai trò rất quan trong trong vật lý và được sử dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và đời sống. Để khảo sát trường điện từ biến thiên ta dùng hệ phương trình Maxwell tổng quát như đã mô tả ở chương I. Dạng tích phân: ịịị += SSC dSD dt d dSJdH rr l r ; ịị -= BC dSB dt d dE r l r ; ịị r= VS dVdSD r ; 0dSB S M ==F ị r Dạng vi phân: t D JHrot ¶ ¶ += r rr ; t B Erot ¶ ¶ -= r r ; r=Ddiv r ; 0Bdiv = r . kết hợp với các phương trình chất ( ) Ss JEEEJ;HB;ED rrrrrrrrr +s=+s=m=e= (đối với môi trường đẳng hướng), trong đó SE r là trường “ngoài”, SJ r là mật độ dòng điện “ngoài”. Ở vùng ngoài nguồn EJ;0ES rrr s== ; và với phương trình liên tục t Jdiv ¶ r¶ -= r . Người ta chứng minh được rằng các nghiệm H,E rr của các phương trình Maxwell đối với các điều kiện ban đầu ( ( ) ( ) 0t0t t,z,y,xH;t,z,y,xE == rr trong thể tích V và điều kiện bờ xác định ( ( ) ( ) SS t,z,y,xH,t,z,y,xE rr ) là duy nhất. III.2 Khái nie äm ve à the á vo â hươ ùng ù ä à á â ù j va ø the á vector ø á A r Cũng tương tự như trường điện từ không biến thiên theo thời gian (trường tĩnh và trường dừng), để phân tích toán học trường điện từ biến thiên người ta đưa ra khái niệm thế vô hướng và thế vector của trường điện từ biến thiên. Về phương diện toán học ta có thể chứng minh được rằng 0Frotdiv = r với một vector F r bất kỳ. Theo phương trình Maxwell thứ ba thì 0Bdiv = r (định luật Gauss đối với trường từ), do đó ta có thể đặt ArotB rr = . Ta gọi vector A r là thế vector của trường điện từ biến thiên. 62 Theo phương trình Maxwell thứ hai (định luật cảm ứng điện từ Faraday đối với trường điện từ biến thiên): t B Erot ¶ ¶ -= r r , suy ra ( ) ÷÷ ø ư çç è ỉ ¶ ¶ -= ¶ ¶ -= t A rotArot t Erot r rr Þ 0 t A rotErot =÷÷ ø ư çç è ỉ ¶ ¶ + r r Þ 0 t A Erot =÷÷ ø ư çç è ỉ ¶ ¶ + r r . Mặt khác ta có thể chứng minh được bằng các phép toán rằng 0gradfrot = với f là đại lượng vô hướng bất kỳ. Vậy ta có thể đặt j-=÷÷ ø ư çç è ỉ ¶ ¶ + gradrot t A Erot r r . Ta gọi j là thế vô hướng của trường điện từ biến thiên. Ta có mối liên hệ giữa E r và j,A r như sau: j-= ¶ ¶ + grad t A E r r Þ t A gradE ¶ ¶ -j-= r r . Ở đây 0 t A ¹ ¶ ¶ r Þ công thực hiện để di chuyển một điện tích giữa hai điểm trong trường phụ thuộc vào đường đi. Vậy trường điện từ biến thiên không phải trường thế. Ta có thể chứng minh được rằng với một trường điện từ biến thiên cho trước ( B,E rr cho trước), các giá trị j,A r không đơn trị. Thật vậy, nếu gọi f là một hàm vô hướng liên tục bất kỳ phụ thuộc vào không gian và thời gian. Đặt gradfAA +=¢ rr , khi đó ArotgradfrotArotArot rrr =+=¢ . Theo định nghĩa ta có ArotArotB ¢== rrr . Mặt khác, đặt t f ¶ ¶ -j=j¢ , khi đó ( ) E t A grad gradf tt A t f gradgrad t A t f grad t A gradE r r r rr r ¢= ¶ ¢¶ -j¢-= ¶ ¶ + ¶ ¢¶ - ¶ ¶ -j¢-= ¶ ¶ -÷ ø ư ç è ỉ ¶ ¶ +j¢-= ¶ ¶ -j-= , tức EE rr =¢ . Vậy ta thấy tồn tại vô số các giá trị j,A r thỏa các điều kiện định nghĩa. Do đó để j,A r xác định hoàn toàn ta cần đưa thêm điều kiện phụ cho chúng. Trong điện động lực học người ta đưa vào điều kiện phụ Lorentz: 0 t Adiv = ¶ j¶ em+ r Ta có thể giải thích sự lựa chọn này như sau. Theo phương trình chất HB rr m= , ta có: 63 Brot1Hrot rr m = mà ArotB rr = , suy ra t grad t A J t A grad t J t E J t D J Arotrot 1 Brot 1 Hrot 2 2 ¶ j¶ e- ¶ ¶ e-=÷÷ ø ư çç è ỉ ¶ ¶ -j- ¶ ¶ e+= ¶ ¶ e+= ¶ ¶ += m = m = r r r r r r r r rrr Mặt khác về mặt toán học có thể chứng minh được: AgraddivAdivgradArotrot rrr -= Þ t grad t A JAgraddivAdivgrad 2 2 ¶ j¶ em- ¶ ¶ em-m=- r rrr Þ J t A Agraddiv t Adivgrad 2 2 r r rr m= ¶ ¶ em+-÷ ø ư ç è ỉ ¶ j¶ em+ Vậy điều kiện Lorentz 0 t Adiv = ¶ j¶ em+ r thể hiện tính liên tục của dòng điện toàn phần. Hiện tại ta chọn như vậy để được một phương trình đơn giản hơn. III.3 Sự lan truyền của trường điện từ biến thiên. Phương trình d’Aï à û ø ä ø á â lembert. Theo phương trình cuối cùng ta suy ra: J t A Agraddiv 2 2 r r r m-= ¶ ¶ em- , tức J t A A 2 2 r r r m-= ¶ ¶ em-D . Vậy ta có: ỵ í ì m- = ¶ ¶ em-D môi điện trong dẫnvật trong 0 J t A A 2 2 rrr v Trong trường hợp toàn không gian không có điện tích tự do thì không có khái niệm thế vô hướng, tức 0=j . Vậy t A EJ ¶ ¶ ×s-=s= r rr . Khi đó: 0 t A t A A 2 2 = ¶ ¶ ms- ¶ ¶ em-D rr r . v Trong điện môi lý tưởng 0J;0 ==s r , ta đặt 2v 1 =me , tức me = 1 v ta có: ( ) 0 vt A A t A v 1 A t A A 2 2 2 2 22 2 = ¶ ¶ -D= ¶ ¶ -D= ¶ ¶ em-D r r r r r r hay viết gọn lại như sau: ( ) 0 vt A A 2 2 = ¶ ¶ -D r r . Phương trình này được gọi là phương trình d’Alembert về truyền sóng của trường điện từ biến thiên trong điện môi. 64 Ta có thể viết phương trình d’Alembert tổng quát như sau: ( ) ỵ í ì m- = ¶ ¶ -D môi điện trong dẫnvật trong 0 J vt A A 2 2 rrr Vậy ta nhận được phương trình xác định thế vector A r . Để trường hoàn toàn xác định ta còn phải tính thế vô hướng j. Ta có r=Ddiv r Þ e r =Ediv r , suy ra: e r =÷÷ ø ư çç è ỉ ¶ ¶ -j- t A graddiv r Þ e r = ¶ ¶ -jD- Adiv t r hay e r -= ¶ ¶ +jD Adiv t r . Mặt khác theo điều kiện phụ Lorentz 0 t Adiv = ¶ j¶ em+ r ta có t Adiv ¶ j¶ em-= r , ta nhận được phương trình cho j : e r -= ¶ j¶ em-jD 2 2 t Từ các điều kiện ban đầu và điều kiện bờ cho các vector cường độ điện trường và từ trường H,E rr ta có thể suy ra được điều kiện bờ cho các thế A r và j . Tìm được A r và j ta có thể suy ra H,E rr . Giải các phương trình vi phân tìm A r và j người ta chứng minh được chúng diễn tả hiện tượng lan truyền sóng: các nghiệm A r và j lan truyền từ nguồn (tức vùng có chứa các điện tích r ) vào không gian xung quanh với vận tốc me = 1 v . Chiều truyền sóng chính là chiều truyền năng lượng. Ngoài ra ta cần chú ý rằng tốc độ lan truyền của sóng điện từ trong một môi trường là như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Trong chân không sóng điện từ lan truyền với vận tốc s/m103c 8×= . Sóng điện từ có khả năng xuyên thấu mọi chất và chân không. dVV ( )rP r R r r r 0 x y z Hình 3.2 Trong môi trường đồng nhất vô hạn const;const =m=e , các phương trình trên có nghiệm như sau: ( ) ( ) ị ị ÷ ø ư ç è ỉ -r pe =j ÷ ø ư ç è ỉ - p m = V V R dV v R t,r 4 1 t,r R dV v R t,rJ 4 t,rA r r rr rr 65 trong đó V là vùng nguồn có chứa các điện tích tự do (hình 3.2). Vậy sự thay đổi thế A r và j diễn ra trễ hơn sự thay đổi J r và r một khoảng thời gian vR , do đó A r và j gọi là thế trễ. Các phương trình truyền: ( ) J vt A A 2 2 r r r m-= ¶ ¶ -D ; ArotB rr = e r -= ¶ j¶ em-jD 2 2 t ; t A gradE ¶ ¶ -j-= r r . có ý nghĩa như sau: – Mô tả sự lan truyền của trường và mối quan hệ giữa trường-chất ( em« ,,JA rr ; em«j ,,J r ); – Mô tả tính chất lan truyền của trường trong các môi trường khác nhau với sem ,, khác nhau. Sau đây ta sẽ xét đặc điểm khảo sát trường điện từ biến thiên trong từng loại môi trường. III.4 Trươ øng đie än tư ø bie án thie ân trong đie än môi ly ù tươ ûngø ä ø á â ä â ù û Trong một số trường hợp khi khảo sát trường điện từ biến thiên trong điện môi lý tưởng để đơn giản ta có thể coi gần đúng trường điện từ biến thiên như trường thế (mô hình trường thế), khi đó thay vì giải phương trình d’Alembert ta chỉ cần giải phương trình Laplace-Poisson. Bài toán khi đó trở nên đơn giản hơn nhiều. Ví dụ các trường hợp đặc biệt có thể sử dụng mô hình trường thế: trường biến thiên giữa hai bản tụ điện rộng và đặt gần nhau, trường biến thiên ở lớp không khí bao quanh các đường dây dẫn điện, v.v… III.4.1 Phương trình tra ïng tha ùi cu ûa đie än môiï ù û ä â Đối với trường biến thiên không phải lúc nào ta cũng có mối quan hệ tuyến tính đơn giản EkP E0 rr e= hay ( ) EEk1D E0 rrr e=+e= , mà các mối quan hệ này thường được biểu hiện dưới dạng vi phân. Người ta chia điện môi lý tưởng thành hai loại như sau: v Điện môi lý tưởng không nhớt (hay không trễ): vector P r biến thiên kịp so với E r do quán tính dipole đủ nhỏ so với tốc độ biến thiên của trường E r hoặc khi trường biến thiên tương đối chậm. Khi đó EkP E0 rr e= , suy ra ( ) EEk1D E0 rrr e=+e= . Phương trình Laplace-Poisson có dạng: ( ) ỵ í ì er- =jD tích điện có khôngvùngở tích điện có vùngở 0 t,z,y,x 66 v Điện môi lý tưởng nhớt: vector P r không biến thiên kịp so với E r , tức sự phân cực của các phân tử điện môi biến thiên chậm so với sự biến thiên của trường. Khi đó P r và E r liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc I: EkP dt Pd E0 rr r e=+t , t gọi là hằng số thời gian, hoặc ở một số điện môi P r và E r liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc cao hơn: ( ) 0,...P,P,P,Ef ''' =rrrr . III.4.2 Phương trình Laplace-Poisson đối với ảnh Laplace của hàm thế á ù û û ø á vo â hươ ùngâ ù Để làm đơn giản bài toán ta dùng phương pháp toán tử Laplace. Ta nhắc lại phép biến đổi Laplace như sau: Biến đổi xuôi ( ) ( )pFtf ® : ( ) ( ) ( )[ ]tfLdtetfpF 0 pt =×= ị ¥ - Biến đổi ngược ( ) ( )tfpF ® : ( ) ( ) ( )[ ]pFLdpepFtf 1pt - ¥ ¥- =×= ị . F(p) gọi là ảnh Laplace của hàm f(t). Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace: – ( )[ ] ( )[ ] ( )paFtfaLtafL == ; – ( ) ( )[ ] ( )ppFtfpL dt tdf L ==úû ù êë é ; – ( )[ ] ( )[ ] ( )pF p 1 tfL p 1 dttfL ==ị ; – ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )pFpFtfLtfLtftfL 212121 ±=±=± . Ta thay mỗi thông số biến thiên của trường và môi trường bằng ảnh Laplace: ( ) ( )pt j®j ( ) ( )pEtE rr ® ( ) ( )pPtP rr ® Trong trường hợp P r và E r liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc I, tức EkP dt Pd E0 rr r e=+t , ta có: ( ) ( ) ( )pEkpPpPp E0 rrr e=+t Suy ra: ( ) ( )( ) 1p k pE pP pk ~ E 0 +t = e = r r ; 67 ( ) ( )[ ]pk~1p~ 0 +e=e 1p 1kp 1p k 1 E0 E 0 +t ++t ×e=ú û ù ê ë é +t +e= . Trong môi trường điện môi không nhớt, quán tính của lưỡng cực có thể bỏ qua, tức 0=t , ta có ( ) Ekpk ~ = ; ( ) ( )1kp~ E0 +e=e . Vậy hệ phương trình của mô hình trường thế được viết thành: ( ) ( ) ( )pgradpE0pErot j-=Þ= rr ( ) ( )ppDdiv r= r ( ) ( ) ( )pEp~pD rr e= Vậy phương trình Laplace-Poisson đối với ảnh được viết như sau: ( ) ( ) ( ) ỵ í ì er- =jD tích điện có khôngnơiở tích điện có nơiở 0 p~p p Trong trường hợp điện trường biến thiên điều hòa thì phép biến đổi Laplace được thay bằng biến đổi Fourier. w® jp ( ) ( )wj®j jp ( ) ( )w® jEpE rr ( ) ( )w® jPpP rr ( ) ( )we®e j~p~ Hệ phương trình của mô hình trường thế: ( ) ( )wj-=w jgradjE r ( ) ( )wr=w jjDdiv r ( ) ( ) ( )wwe=w jEj~jD rr Phương trình Laplace-Poisson khi đó có dạng: ( ) ( ) ( ) ỵ í ì wewr- =wjD tích điện có khôngnơiở tích điện có nơiở 0 j~j j III.4.3 Đie àu kie än bơ øà ä ø Để nghiệm của các phương trình trên hoàn toàn xác định ta cần có các điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt tiếp giáp hai môi trường. v Mặt tiếp giáp điện môi – điện môi: ( ) ( )pEpE 21 tt = ( ) ( )pDpD n2n1 = hay ( ) ( ) ( ) ( )pEp~pEp~ n22n11 e=e Trường hợp trường điều hòa: ( ) ( )w=w tt jEjE 21 ( ) ( )w=w jDjD n2n1 hay ( ) ( ) ( ) ( )wwe=wwe jEj~jEj~ n22n11 v Mặt tiếp giáp vật dẫn – điện môi: ( ) ( ) 0pEpE 21 == tt ( ) ( )ppD Sn2 s= 68 Trường hợp trường điều hòa: ( ) ( ) 0jEjE 21 =w=w tt ( ) ( )ws=w jjD Sn2 III.4.4 Toán tư û đie än môi phư ùc. ù û ä â ù Đa ëc tính ta àn so á cu ûa đie än môi.ë à á û ä â Trong kỹ thuật ta thường gặp loại trường biến thiên điều hòa. Để phân tích trường trong trường hợp này ta dùng các toán tử Fourier ( ) ( )wwe jk~,j~ . Xét môi trường điện môi nhớt bậc I, ta có: ( ) 1j 1kj j~ E0 +wt ++wt ×e=we ; ( ) 1j k jk ~ E +wt =w ; suy ra ( ) ( )( ) 1 kjk1 1 j11kj j~ 22 E 22 E 022 E 0 +tw wt-tw++ e= +tw wt-++wt e=we . Đặt ( ) ( ) ( )we-we=we 21 jj~ , trong đó ( ) 1 k1 22 22 E 01 +tw tw++ e=we ; ( ) 1 k 22 E 02 +tw wt e=we . Viết đại lượng phức ( )we j~ dưới dạng module và argument, ta có: ( ) ( ) ( )wd-×we=we tgjej~ , trong đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1k 22 2 E 22 0 2 2 2 1 +tw ++tw ×e=we+we=we ; ( ) ( ) ( )( ) 1k k tg E 22 E 1 2 ++tw wt = we we =wd»wd . Khảo sát các hàm số ( ) ( ) ( )wdwewe tg,, 21 ta vẽ được các đồ thị hình 3.3. 0e e dtg dtg t3 1 t 1 1e 2e w Hình 3.3 Ta sẽ phân tích ý nghĩa của các hàm tần số trên: ( )we1 đặc trưng cho khả năng tích lũy, còn ( )we2 và ( )wdtg đặc trưng cho khả năng tiêu tán năng lượng trường trong môi trường. Thật vậy, mật độ công suất, tức độ biến đổi năng lượng trường trong một đơn vị thể tích điện môi là: t D EEJp d ¶ ¶ == r rrr ; trong đó t D Jd ¶ ¶ = r r là mật độ dòng điện dịch. 69 Nếu trường biến thiên điều hòa, ta xét phương trình trên bằng các đại lượng phức: ( )EjjE~jDjJ 21d & r&r&r&r e-ew=ew=w= 2d1d12 JJEjE &r&r&r&r +=we+we= EJ 21d &r&r we= là thành phần mật độ dòng điện dịch cùng pha với E& ; EjJ 12d &r&r we= là thành phần mật độ dòng điện dịch vuông pha với E& . Khi đó mật độ công suất tức thời là 212d1d2d1dd ppJEJEJEJEEJp +=×+×=×+×== rrrrrr . Thành phần 1d1 JEp ×= bằng tích hai hàm điều hòa cùng pha, do đó không âm và có giá trị trung bình bằng tích các giá trị hiệu dụng 2 hd2hd1dhd EJE we= . Vậy đó là công suất tiêu tán trong điện môi, công suất này tỉ lệ với 2e . Thành phần 2d2 JEp ×= bằng tích hai hàm điều hòa vuông pha nhau, nên trung bình triệt tiêu. Vậy đó là công suất trao đổi, dao động năng lượng trường với điện môi, biên độ dao động bằng 2hd1hd2cdhd EJE we= , tỉ lệ với 1e . Góc tiêu tán 2 hd1 2 hd2 1 2 E E tg we we = e e =d bằng tỉ số công suất tiêu tán trung bình với biên độ công suất tích phóng năng lượng, vậy cũng đặc trưng cho khả năng tiêu tán năng lượng trường trong điện môi. v Đối với điện môi không nhớt t = 0, suy ra 0tg;02 =d=e , tức không có hiện tượng tiêu tán năng lượng điện từ. v Trong điện môi nhớt, có tồn tại sự tiêu tán năng lượng điện từ. Ví dụ như một tụ điện có điện môi nhớt giữa hai bản có mạch tương đương như trên hình 3.4a) và 3.4b). )(g1 w )(C1 w )(r 2 w )(C2 w a) b) Hình 3.4 Ví dụ Cho tụ điện có 2 lớp điện môi 11, ~ te và 22 , ~ te giữa hai bản tụ (hình 3.5). Tụ được nối với nguồn biến thiên e(t). Tìm vector cường độ điện trường giữa 70 hai bản tụ trong từng điện môi. Cho s10 81 -=t ; 02 =t ; 4kE = ; 4,32 =e ; m10dd 421 -== ; 21m10S -= ; W= 20r ; V10e = . 11, ~ te 22 , ~ te 1d 2d r)t(i ỵ í ì < > = 0t nếu 0 0t nếu e )t(e x Hình 3.5 ¨ Thế các hàm thời gian bằng ảnh Laplace: ( ) ( )pt j®j ; ( ) ( )pete ® ; ( ) ( )pEtE 11 rr ® ; ( ) ( )pIti ® ; ( ) ( )pEtE 22 rr ® ; ( ) ( )pUtu ® (phân bố thế trong tụ). Ta có ( ) 1p 1kp p~ 1 E1 01 +t ++t e=e ; ( ) 1p 1kp p~ 1 E1 01 +t ++t e=e . Ta sẽ giải phương trình Laplace cho ảnh ( )pj : ( ) 0p =jD . Giả sử các bản tụ điện đủ rộng để có thể coi trường trên mỗi mặt phẳng ngang là đều. Vậy hàm j chỉ phụ thuộc tọa độ x: ( ) 0 dx pd 2 2 = j . Nghiệm của phương trình này có dạng: Trong lớp điện môi thứ nhất: ( ) BAxp1 +=j ; Trong lớp điện môi thứ hai: ( ) DCxp2 +=j . Điều kiện bờ: – Trên bản thứ nhất của tụ điện x = 0: 00x1 =j = ; – Trên bản thứ hai của tụ điện x = d: ( ) ( )prIpedx2 -=j = ; – Tại bờ giữa hai điện môi 1dx = : ( ) ( )1211 dd j=j ; 11 dx 2 2 dx 1 1 x ~ x ~ == ¶ j¶ e= ¶ j¶ e . Theo Maxwell, mật độ dòng điện dịch là: t D Jd ¶ ¶ = r r . Vậy dòng điện dịch qua tụ là: 71 ( ) ( ) t tE~ S t D Sti 11 ¶ e¶ ×= ¶ ¶ ×= , suy ra phương trình đối với ảnh Laplace có dạng: ( ) ( ) SpE~ppI 11 ×e×= . Theo điều kiện đề bài, e(t) có dạng là một phân bố Dirac. Hàm này có ảnh Laplace là: ( ) pepe = . Từ các điều kiện bờ suy ra: ( ) ï ï ï ỵ ïï ï í ì e=e +=+ ×e-=+ = C~A~ DCdBAd SpE~rp p e DCd 0B 21 11 11 Giải hệ phương trình trên ta tìm được các hằng số A, B, C, D. [ ]122121 2 ~d~d~~prSp e~ A e+e+ee ×e = ; B = 0; [ ]122121 1 ~d~d~~prSp e~ C e+e+ee ×e = ; [ ]122121 12 ~d~d~~prSp de~ D e+e+ee ××e = . Vậy các hàm thế trong môi trường điện môi giữa hai bản tụ điện có dạng: ( ) [ ] x~d~d~~prSp e~ x,p 122121 2 1 ×e+e+ee ×e =j ; ( ) [ ] ( )x ~x~~d~d~~prSp e x,p 21 122121 2 e+e×e+e+ee =j . Nếu ta chọn chiều trục x ngược chiều với vector E r thì: ( ) A x x,pE 11 =¶ j¶ = ; ( ) C x x,pE 22 =¶ j¶ = . Vậy cường độ điện trường giữa hai bản tụ điện là: ( ) [ ]122121 2 1 ~d~d~~prSp e~ x,pE e+e+ee ×e = ( )( ) ( )( ) 1p 1kp d 1p 1kp d 1p1p 1kp1kp prSp 1p 1kp e 1 E1 2 2 E2 1 12 E1E2 0 2 E2 +t ++t + +t ++t +ú û ù ê ë é +t+t ++t++t e× +t ++t × = . Tương tự ta suy ra công thức cho ( )x,pE2 . Thế các giá trị số vào các công thức này ta được: 72 ( ) ( )cbppp 1p NpE 2 1 11 ++ +t = ; ( ) ( )cbppp 1kp NpE 2 E1 22 ++ ++t = . Trong đó ( ) ( ) 8 120 10221E20 1007,5 rS ddk1rS b ×= tee te+e++ee = ; ( ) 16 120 E0221 1014,0 rS 1kdd c ×= tee +e+e = ; 18 01 1 105,56rS e N ×= et = ; 18 21 2 106,16rS e N ×= et = . Sau đó dùng phép biến đổi Laplace ngược ta sẽ nhận được các giá trị cường độ điện trường trong miền thời gian ( ) ( )tE,tE 21 . ¨