Xác suất và thống kê - Đoàn Vương Nguyên

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 1 XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (ðại học và Cao ñẳng) Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Nguyễn Phú Vinh – NXB Thống kê. 2. Ngân hàng câu hỏi Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – ðHCN TP.HCM. 3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục. 4. Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán – Nguyễn Thanh Sơn, Lê Khánh Luận – NXBTKê. 5. Xác suất – Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – ðậu Thế Cấp – NXB Giáo dục. 6. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục. 7. Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục. 8. Xác suất và Thống kê – ðặng Hấn – NXB Giáo dục. 9. Giáo trình Xác suất và Thống kê – Phạm Xuân Kiều – NXB Giáo dục. 10. Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê Toán–Nguyễn Cao Văn–NXB Ktế Quốc dân. PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BỔ TÚC ðẠI SỐ TỔ HỢP 1. Tính chất các phép toán ∩ , ∪ a) Tính giao hoán: A B B A=∩ ∩ , A B B A=∪ ∪ . b) Tính kết hợp: (A B) C A (B C)=∩ ∩ ∩ ∩ , (A B) C A (B C)=∪ ∪ ∪ ∪ . c) Tính phân phối: A (B C) (A B) (A C)=∩ ∪ ∩ ∪ ∩ , A (B C) (A B) (A C)=∪ ∩ ∪ ∩ ∪ . d) Tính ñối ngẫu (De–Morgan): A B A B=∩ ∪ , A B A B=∪ ∩ . 2. Quy tắc nhân Giả sử một công việc nào ñó ñược chia thành k giai ñoạn. Có n1 cách thực hiện giai ñoạn thứ 1, có n2 cách thực hiện giai ñoạn thứ 2,..., có nk cách thực hiện giai ñoạn thứ k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách thực hiện toàn bộ công việc. 3. Quy tắc cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết quả. Khi ñó việc thực hiện công việc trên cho m = m1 + m2 + … + mk kết quả. 4. Mẫu lặp, mẫu không lặp − Mẫu không lặp: các phần tử của mẫu chỉ có mặt một lần (các phần tử khác nhau từng ñôi một). − Mẫu có lặp: các phần tử của mẫu có thể lặp lại nhiều lần trong mẫu. − Mẫu không thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác nhau của mẫu ta không nhận ñược mẫu mới. − Mẫu có thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác nhau của mẫu ta nhận ñược mẫu mới. 5. Các công thức thường dùng 5.1. Hoán vị ðịnh nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm ñủ mặt n phần tử ñã cho. Số hoán vị của n phần tử ñược ký hiệu là nP , nP n!= . 5.2. Chỉnh hợp lặp (có thứ tự) ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp lặp k của n phần tử (k n)≤ là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử không nhất thiết khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. Số các chỉnh hợp lặp k của n phần tử là nk. 5.3. Chỉnh hợp (mẫu không lặp, có thứ tự) ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k n)≤ là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là knA . k n n! A n(n 1)...(n k 1) (n k)! = − − + = − . 5.4. Tổ hợp (mẫu không lặp, không có thứ tự) ðịnh nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử (k n)≤ là một nhóm (bộ) không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là knC và ( ) k n n! C k! n k ! = − . Quy ước: 0! = 1. Tính chất: k n k n nC C −= ; k k 1 kn n 1 n 1C C C − − −= + . ---------------------------------------------- ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 2 Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT §1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1. Phép thử và biến cố • Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào ñó ñể xem có xảy ra hay không. Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử ñược gọi là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên thường ñược ký hiệu A, B, C… VD 1. + Tung ñồng tiền lên là một phép thử, biến cố là “mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”. + Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lô hàng ñể kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn ñược sản phẩm tốt” hay “chọn ñược phế phẩm”. + Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảy mầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”. 1.2. Các loại biến cố a) Không gian mẫu và biến cố sơ cấp • Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra ñược gọi là không gian mẫu ký hiệu là Ω . • Mỗi phần tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến cố ñược gọi là biến cố sơ cấp. VD 2. Xét phép thử gieo 3 hạt lúa. Gọi Ai là biến cố “có i hạt nảy mầm” (i = 0, 1, 2, 3). Khi ñó các Ai là các biến cố sơ cấp và Ω = {A0, A1, A2, A3}. Gọi B là “có ít nhất 1 hạt nảy mầm” thì B không là biến cố sơ cấp. b) Biến cố chắc chắn và biến cố không thể • Trong một phép thử, biến cố nhất ñịnh xảy ra là chắc chắn, ký hiệu là Ω . • Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu ∅ . VD 3. Từ một nhóm có 6 nam và 4 nữ chọn ra 5 người. Khi ñó, biến cố “chọn ñược 5 người nữ” là không thể, biến cố “chọn ñược ít nhất 1 nam” là chắc chắn. c) Số trường hợp ñồng khả năng • Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau ñược gọi là ñồng khả năng. • Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp ñều ñồng khả năng thì số phần tử của không gian mẫu ñược gọi là số trường hợp ñồng khả năng của phép thử. VD 4. Gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp ñể kiểm tra thì mỗi học sinh trong lớp ñều có khả năng bị gọi như nhau. d) Các phép toán • Tổng của A và B là C, ký hiệu C A B= ∪ hay C = A + B, xảy ra khi ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra. VD 5. Bắn hai viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi A1: “viên thứ nhất trúng bia”, A2: “viên thứ hai trúng bia” và C: “bia bị trúng ñạn” thì 1 2C A A= ∪ . • Tích của A và B là C, ký hiệu C AB A B= = ∩ , xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. VD 6. Một người chọn mua áo. Gọi A: “chọn ñược áo màu xanh”, B: “chọn ñược áo sơ–mi” và C: “chọn ñược áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB. VD 7. Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong 1 lô ra kiểm tra. Gọi Ai: “chọn ñược linh kiện thứ i tốt” và C: “chọn ñược 10 linh kiện tốt” thì 10 1 2 10 i i 1 C A A ... A A = = =∩ ∩ ∩ ∩ . • Phần bù của A, ký hiệu: { }A \ A A= Ω = ω ∈ Ω ω ∉ . VD 8. Bắn lần lượt 2 viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi Ai: “có i viên ñạn trúng bia” (i = 0, 1, 2), B: “có không quá 1 viên ñạn trúng bia”. Khi ñó 2B A= , 0 2A A≠ và 1 2A A≠ . 1.3. Quan hệ giữa các biến cố a) Biến cố xung khắc • Hai biến cố và B ñược gọi là xung khắc nếu chúng không ñồng thời xảy ra trong một phép thử. • Họ các biến cố A1, A2,…, An ñược gọi là xung khắc (hay ñôi một xung khắc) khi một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. Nghĩa là i jA A , i j= ∅ ∀ ≠∩ . VD 9. Một hộp có 3 viên phấn màu ñỏ, xanh và trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 viên. Gọi A: “chọn ñược viên màu ñỏ”, B: “chọn ñược viên màu trắng” và C: “chọn ñược viên màu xanh” thì A, B, C là xung khắc. b) Biến cố ñối lập • Hai biến cố A và B ñược gọi là ñối lập nhau nếu chúng thỏa mãn 2 ñiều sau: 1) A và B xung khắc với nhau. 2) Phải có ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra. VD 10. Trồng 1 cây bạch ñàn. Gọi A: “cây bạch ñàn sống”, B: “cây bạch ñàn chết” thì A và B là ñối lập. • Họ các biến cố {Ai} (i = 1,…, n) ñược gọi là hệ ñầy ñủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 ñiều sau: 1) Họ xung khắc, nghĩa là i jA A , i j= ∅ ∀ ≠∩ . 2) Phải có ít nhất 1 biến cố trong họ xảy ra, nghĩa là 1 2 nA A ... A = Ω∪ ∪ ∪ . VD 11. Họ {A, B, C} trong VD 9 là ñầy ñủ. Chú ý. Họ { }A, A là ñầy ñủ với biến cố A tùy ý. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 3 §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1. ðịnh nghĩa xác suất dạng cổ ñiển • Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp ñồng khả năng, trong ñó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xác suất của A là: m P(A) n = = Soá bieán coá thuaän lôïi cho A Soá taát caû caùc bieán coá coù theå . VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong ñó có 3 phế phẩm. Tính xác suất: a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp ñược phế phẩm. b) Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm ñược 2 phế phẩm. VD 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong ñó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ñó ra 3 sản phẩm (lấy 1 lần), tính xác suất ñể: a) Cả 3 sản phẩm ñều tốt; b) Có ñúng 2 phế phẩm. VD 3. Một lớp có 60 học sinh trong ñó có 28 em giỏi toán, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừa giỏi toán vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại ngữ, 12 em vừa giỏi toán vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏi cả 3 môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất: a) Chọn ñược em giỏi ít nhất 1 môn. b) Chọn ñược em chỉ giỏi toán. c) Chọn ñược em giỏi ñúng 2 môn. Ưu ñiểm và hạn chế của ñịnh nghĩa dạng cổ ñiển • Ưu ñiểm: Tính ñược chính xác giá trị của xác suất mà không cần thực hiện phép thử. • Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn các biến cố và biến cố không ñồng khả năng. 2.3. ðịnh nghĩa theo hình học Cho miền Ω . Gọi ñộ ño của Ω là ñộ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω là ñường cong, miền phẳng, khối). Gọi A là biến cố ñiểm M S∈ ⊂ Ω . Ta có P(A) = Ω ñoä ño S ñoä ño . VD 6. Tìm xác suất của ñiểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác ñều cạnh 2 cm. VD 7. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 ñịa ñiểm theo quy ước như sau: – Mỗi người ñộc lập ñi ñến ñiểm hẹn trong khoảng từ 7 ñến 8 giờ. – Mỗi người ñến ñiểm hẹn nếu không gặp người kia thì ñợi 30 phút hoặc ñến 8 giờ thì không ñợi nữa. Tìm xác suất ñể hai người gặp nhau. 2.4. Tính chất của xác suất 1) 0 P(A) 1≤ ≤ , với mọi biến cố A; 2) P( ) 0∅ = ; 3) P( ) 1Ω = . 2.5. Ý nghĩa của xác suất • Xác suất là số ño mức ñộ tin chắc, thường xuyên xảy ra của 1 biến cố trong phép thử. Chú ý. Xác suất phụ thuộc vào ñiều kiện của phép thử. §3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Công thức cộng xác suất a) Biến cố xung khắc • A và B xung khắc thì: P(A B) P(A) P(B)= +∪ . • Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì: ( )1 2 n 1 2 nP A A ... A =P(A )+P(A )+...+P(A )∪ ∪ ∪ . b) Biến cố tùy ý • A và B là hai biến cố tùy ý thì: P(A B) P(A) P(B) P(AB)= + −∪ . • Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) các biến cố tùy ý thì: nn i i i j i 1 i 1 i j n 1 i j k 1 2 n i j k P A P(A ) P(A A ) P(A A A )+...+( 1) P(A A ...A ) = = < − < <    = −    + − ∑ ∑ ∑ ∪ . c) Biến cố ñối lập ( )P A 1 P(A)= − . VD 1. Một hộp phấn có 10 viên trong ñó có 3 viên màu ñỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất ñể lấy ñược ít nhất 1 viên phấn màu ñỏ. VD 2. Có 33 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi gồm 2 vòng thi. Biết rằng có 17 học sinh thi ñỗ vòng 1; 14 học sinh thi ñỗ vòng 2 và 11 học sinh trượt cả hai vòng thi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách dự thi. Tìm xác suất ñể học sinh ñó chỉ thi ñỗ duy nhất 1 trong 2 vòng thi. 3.2. Công thức nhân xác suất a) Xác suất có ñiều kiện • Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A, B với P(B) 0> . Xác suất có ñiều kiện của A với ñiều kiện B ñã xảy ra ñược ký hiệu và ñịnh nghĩa: ( ) P(AB)P A B P(B) = . • Xác suất có ñiều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xảy ra của 1 biến cố ñể dự báo xác suất xảy ra biến cố khác. • Tính chất: 1) ( )0 P A B 1≤ ≤ ; 2) ( )P B B 1= ; 3) ( ) ( )P A B 1 P A B= − ; 4) nếu A1 và A2 xung khắc thì: ( ) ( ) ( )1 2 1 2P A A B P A B P A B= +∪ . VD 3. Một hộp có 10 vé, trong ñó có 3 vé trúng thưởng. Người thứ nhất ñã bốc 1 vé không trúng thưởng. Tính xác suất ñể người thứ 2 bốc ñược vé trúng thưởng (mỗi người chỉ bốc 1 vé). b) Công thức nhân • A và B là 2 biến cố ñộc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng ñến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là ( )P A B P(A)= và ( )P B A P(B)= . Khi ñó ta có P(AB) P(A).P(B)= . • Với A, B không ñộc lập (phụ thuộc) thì: ( ) ( )P(AB) P(B)P A B P(A)P B A= = . ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 4 VD 4. Một lô hàng có 100 sản phẩm trong ñó có 10 phế phẩm. Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm, nếu có ít nhất 1 phế phẩm thì không nhận lô hàng ñó. Tính xác suất ñể nhận lô hàng. VD 5. Một lô hàng gồm 12 sản phẩm trong ñó có 8 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng và không ñể ý tới sản phẩm ñó, sau ñó rút tiếp sản phẩm thứ 2. Tính xác suất ñể sản phẩm thứ hai là tốt. VD 6. Một cầu thủ bóng rổ có 4 quả bóng ñang ném từng quả vào rổ. Nếu bóng vào rổ hoặc hết bóng thì cầu thủ ngừng ném. Biết xác suất vào rổ của quả bóng thứ 1, 2, 3 và 4 lần lượt là 90%, 80%, 85% và 70%. Tính xác suất cầu thủ ném ñược bóng vào rổ. 3.3. Công thức xác suất ñầy ñủ và Bayes. a) Công thức xác suất ñầy ñủ • Cho họ các biến cố {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có: ( ) ( ) ( ) n i i i 1 1 1 n n P(B) P(A ) B A P(A )P B A ... P(A )P B A = = = + + ∑ . VD 7. Một ñám ñông có số ñàn ông bằng nửa số ñàn bà. Xác suất ñể ñàn ông bị bịnh tim là 0,06 và ñàn bà là 0,0036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ ñám ñông, tính xác suất ñể người này bị bịnh tim. b) Công thức Bayes • Cho họ các biến cố {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử. Xác suất ñể xuất hiện Ak sau khi ñã xuất hiện B là: ( ) ( ) ( ) k k k n i i i 1 P(A )P B A P A B P(A )P B A = = ∑ . VD 8. Tỷ số ôtô tải và ôtô con ñi qua ñường có trạm bơm dầu là 5/2. Xác suất ñể 1 ôtô tải ñi qua ñường này vào bơm dầu là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua ñường ñể bơm dầu, tính xác suất ñể ñó là ôtô tải. VD 9. Có 3 bao lúa cùng loại. Bao 1 nặng 20kg chứa 1% hạt lép, bao 2 nặng 30kg chứa 1,2% hạt lép và bao 3 nặng 50kg chứa 1,5% hạt lép. Trộn cả 3 bao lại rồi bốc ngẫu nhiên 1 hạt thì ñược hạt lép. Tính xác suất ñể hạt lép này là của bao thứ ba. VD 10. Ba kiện hàng ñều có 20 sản phẩm với số sản phẩm tốt tương ứng là 12, 15, 18. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng (giả sử 3 kiện hàng có cùng khả năng) rồi từ kiện ñó lấy tùy ý ra 1 sản phẩm. a) Tính xác suất ñể sản phẩm chọn ra là tốt. b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt, tính xác suất ñể sản phẩm ñó thuộc kiện hàng thứ hai. Chương II. BIẾN (ðẠI LƯỢNG) NGẪU NHIÊN §1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.1. Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên a) Khái niệm • Một biến số ñược gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác ñộng của các nhân tố ngẫu nhiên. • Các biến ngẫu nhiên ñược ký hiệu: X, Y, Z, …còn các giá trị của chúng là x, y, z,… VD 1. Khi tiến hành gieo n hạt ñậu ta chưa thể biết có bao nhiêu hạt sẽ nảy mầm, số hạt nảy mầm có thể là 0, 1, …, n. Kết thúc phép thử gieo hạt thì ta biết chắc chắn có bao nhiêu hạt nảy mầm. Gọi X là số hạt nảy mầm thì là X biến ngẫu nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}. b) Phân loại biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên (bnn) ñược gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên 1 tập hợp hữu hạn hoặc ñếm ñược. • Biến ngẫu nhiên ñược gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp ñầy 1 khoảng trên trục số. VD 2. + Biến X trong VD 1 là bnn rời rạc (tập hữu hạn). + Gọi Y là số người ñi qua 1 ngã tư trên ñường phố thì Y là bnn rời rạc (tập ñếm ñược). VD 3. + Bắn 1 viên ñạn vào bia, gọi X là “khoảng cách từ ñiểm chạm của viên ñạn ñến tâm của bia” thì X là biến ngẫu nhiên liên tục. + Gọi Y là “sai số khi ño 1 ñại lượng vật lý” thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục. 1.2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên • Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị ñó. 1.2.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên a) Trường hợp rời rạc • Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có 1 2 nX {x ,x ,..., x }= với xác suất tương ứng là i ip P(X x )= = . Ta có phân phối xác suất (dạng bảng) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Trong ñó: ip 0≥ ; n i i 1 p 1 = =∑ ; i i 1 p 1 ∞ = =∑ (vô hạn); i i a x b P(a X b) p < < < < = ∑ . VD 4. Một lô hàng có 12 sản phẩm tốt và 8 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 8 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 8 sản phẩm lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X và chứng minh: 0 8 1 7 7 1 8 0 8 8 12 8 12 8 12 8 12 20C C C C ... C C C C C+ + + + = . ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 5 VD 5. Xác suất ñể 1 người thi ñạt mỗi khi thi lấy bằng lái xe là 0,3. Người ñó thi cho ñến khi ñạt mới thôi. Gọi X là số lần người ñó dự thi. Tìm phân phối xác suất của X và tính xác suất ñể người ñó phải thi không ít hơn 2 lần. b) Trường hợp liên tục • Cho biến ngẫu nhiên liên tục X. Hàm f(x), x ∈ ℝ ñược gọi là hàm mật ñộ xác suất của X nếu thỏa: 1) f(x) 0, x≥ ∀ ∈ ℝ ; 2) f(x)dx 1 +∞ −∞ =∫ ; 3) b a P(a X b) f(x)dx< < = ∫ (a < b). Chú ý 1) Nhiều khi người ta dùng ký hiệu fX(x) ñể chỉ hàm mật ñộ xác suất của X. 2) Do a a P(X a) f(x)dx 0= = =∫ nên ta không quan tâm ñến xác suất ñể X nhận giá trị cụ thể. Suy ra b a P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) f(x)dx ≤ < = < ≤ = ≤ ≤ = < < = ∫ . 3) Về mặt hình học, xác suất biến ngẫu nhiên (bnn) X nhận giá trị trong (a; b) bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi x = a, x = b, y = f(x) và trục Ox. 4) Nếu f(x) thỏa f(x) 0, x≥ ∀ ∈ ℝ và f(x)dx 1 +∞ −∞ =∫ thì f(x) là hàm mật ñộ xác suất của 1 bnn nào ñó. VD 6. Chứng tỏ 34x , x (0; 1)f (x) 0, x (0; 1)  ∈ =  ∉ là hàm mật ñộ xác suất của biến ngẫu nhiên X. VD 7. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất: 2 0, x 1 f (x) k , x 1 x <  =  ≥ . Tìm k và tính P( 1 X 2)− < ≤ . 1.2.2. Hàm phân phối xác suất • Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x) hoặc FX(x), là xác suất ñể X nhận giá trị nhỏ hơn x (với x là số thực bất kỳ). F(x) = P(X < x), x∀ ∈ ℝ . – Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của số x. – Với biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1, x2, …, xn}: i i i i x x x x F(x) P(X x ) p < < = = =∑ ∑ . – Với biến ngẫu nhiên liên tục X: x F(x) f(t)dt −∞ = ∫ . • Giả sử 1 2 nx x ... x< < < , ta có hàm phân phối xác suất của X: 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 n 1 n 1 0 x x p x x x p p x x x F(x) ........................................................... p p ... p x x x− − ≤ < ≤ + < ≤ = + + + < ≤ neáu neáu neáu neáu n n1 x x  > neáu • Tính chất: 1) 0 F(x) 1, x≤ ≤ ∀ ∈ ℝ ; 2) F(x) không giảm. 3) F( ) 0; F( ) 1−∞ = +∞ = ; 4) P(a X b) F(b) F(a)≤ < = − . • Liên hệ với phân phối xác suất 1) X rời rạc: pi = F(xi+1) – F(xi); 2) X liên tục: F(x) liên tục tại x và F (x) f(x)′ = . VD 8. Một phân xưởng có 2 máy hoạt ñộng ñộc lập. Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy ñó hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc. Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ ñồ thị của F(x). VD 9. Tuổi thọ X(giờ) của 1 thiết bị có hàm mật ñộ xác suất 2 0, x 100 f (x) 100 , x 100 x <  =  ≥ . a) Tìm hàm phân phối xác suất của X. b) Thiết bị ñược gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất là 400 giờ. Tính tỉ lệ (xác suất) loại A. VD 10. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ xác suất: a cos x, x ; 2 2 f(x) 0, x ; 2 2   π π  ∈ −    =    π π  ∉ −     . Tìm a và hàm phân phối xác suất F(x). VD 11. Thời gian chờ phục vụ của khách hàng là bnn X(phút) liên tục có hàm ppxs 4 0, x 0 F(x) ax , x (0; 3] 1, x 3 ≤  = ∈  > . a) Tìm a và hàm mật ñộ xác suất f(x) của X. b) Tính ( )P 2 Y 5< ≤ với 2Y X 1= + . c) Vẽ ñồ thị của F(x). ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 6 1.3. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên • Trong thực tế, ñôi khi ta xét bnn phụ thuộc vào 1 hay nhiều bnn khác ñã biết luật phân phối. Bài toán. Cho hàm (x)ϕ và bnn rời rạc X có phân phối xác suất cho trước. Tìm phân phối xác suất của (x)ϕ . a) Trường hợp 1 biến VD 12. Lập bảng phân phối xác suất của 2Y (X)