Bài giảng chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

11 Baøøi giaûûng moân hoâ ïïc Ñieààu Khieåån Töïï Ñoääng GV: Nguyeãn Theá Huøng 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 201/2009 Chương 4 4.1_ Khái niệm tính ổn định 4.2_ Tiêu chuẩn ổn định đại số (Routh, Hurwitz) 4.3_ Tiêu chuẩn ổn định tần số (Nyquist, Bode) 4.4_ Phương pháp quỹ đạo nghiệm Khảo sát tính ổn định của hệ thống 2GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 301/2009 4.1 Khái niệm tính ổn định n Ổn định là yêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ. n Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào ch ặn ra chặn) Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn thì tín hiệu ra cũng hữu hạn. Tức là nếu |r(t)|<¥ thì |y(t)|< ¥. Ví dụ: hệ ổn định BIBO Û với r(t) = 1(t) thì y(¥) = const. Hệ thống r(t) y(t) Hệ ổn định không ổn định giới hạn ổn định GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 401/2009 4.1 Khái niệm tính ổn định n Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệ ổn định tiệm cận nếu như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạng thái cân bằng ban đầu. ổn định giới hạn ổn địnhkhông ổn định n Với hệ tuyến tính thì hai khái niệm ổn định nêu trên là tương đương. Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thì cũng sẽ ổn định tiệm cận và ngược lại. 3GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 501/2009 4.1 Khái niệm tính ổn định n Xét hệ thống tuyến tính có PTVP: y0(t)_ là nghiệm riêng của PTVP. yqđ(t)_ Là nghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0. y(t) = y0(t) + yqđ (t) 1 1 1 0 1 01 1 n n n nn n m m m mm m d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt - - - -- -+ + + = + + + Đáp ứng của hệ cũng là nghiệm PTVP: Nếu tín hiệu vào là hữu hạn thì y0(t) cũng hữu hạn. Vì vậy: Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t). Ví dụ, xét hệ có PTVP: 5 ( ) ( ) ( )y t y t r t+ =& Với r=1(t) thì y(t)= 1-e-t/5 trong đó y0(t)=1 ; yqđ(t)=-e-t/5 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 601/2009 4.1 Khái niệm tính ổn định Từ nhận xét nêu trên ta có thể định nghĩa cách khác về ổn định: Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao động với biên độ không đổi . Tổng quát: Ci _là hằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu. si _là nghiệm của phương trình đặc tính: si cũng gọi là cực của hệ thống. si có thể là số thực (= ai) hay số phức (= ai ± jwi) 1 1 0... 0 n n n na s a s a - -+ + + = Hệ ổn định Û 1 0i n s t it t i lim (t) lim C e ®¥ ®¥ = = =åqñy 1 ( ) i n s t i i y t C e = = åqñ 4GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 701/2009 4.1 Khái niệm tính ổn định Hệ ổn định Không ổn định Giới hạn ổn định - Hệ ổn định Û Mọi ai = Re{si} <0 Û Mọi si đều là nghiệm trái. - Hệ không ổn định Û $ si có ai>0 Û $ si là nghiệm phải. - Hệ ở giới hạn ổn định Û $ ai = 0, các nghiệm còn lại có ai <0. Û $ si nằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại là nghiệm trái. Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm si của PTĐT. Xét các trường hợp cụ thể, ta có: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 801/2009 4.1 Khái niệm tính ổn định Ví dụ, xét hệ có hàm truyền: 2(s 8)(s 6s 13) 0+ + + =Phương trình đặc tính: 2 2s 5G(s) (s 8)(s 6s 13) + = + + + PTĐT có 3 nghiệm: s1= -8 và s2,3= -3 ±2j Cả 3 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định. Để tránh phải giải PTĐT, ta có các phương pháp xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn. Đó là: - Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz. - Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode. - Phương pháp quỹ đạo nghiệm. - … 5GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 901/2009 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số - Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định. - Áp dụng được cho cả hệ hở và hệ kín. Ví dụ, xét hệ có PTĐT: 3 2s 4s 5s 7 0- + + = 4 2s 5s 6s 2 0+ + + = 4 3 2s 4s 5s 6s 2 0+ + + + = ® Không ổn định vì hệ số a2<0 ® Không ổn định vì hệ số a3=0 ® Chưa kết luận được, mới thoả ĐK cần 4.2.1 Điều kiện cần ĐK cần để hệ ổn định là Tất cả các hệ số của PTĐT đều >0. PTĐT: ansn + an-1sn-1 +…+a0=0 ® ĐK cần: a0,a1,…,an >0 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1001/2009 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4.2.2 Tiêu chuẩn Routh Xét hệ có phương trình đặc tính: 11 0... 0 n n n na s a s a - -+ + + = Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng: 6GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1101/2009 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số Phát biểu tiêu chuẩn Routh: - Cần và đủ để hệ thống ổn định là các hệ số ở cột một bảng Routh đều dương. - Số lần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương (=số nghiệm phải). Ví dụ 1. Xét ổn định hệ thống có PTĐT: 4 3 2s 2s 7s 4s 3 0+ + + + = Ví dụ 2. Xét ổn định hệ thống có PTĐT: 4 3 22s 5s s 10s 3 0+ + + + = Ví dụ 3. Xét hệ thống có sơ đồ khối: Hãy tìm khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định. 2 1G(s) s(3s 2)(s 4s 1) = + + + r G(s) y K GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1201/2009 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 1 K.G(s) 0+ = K 0 K74/7 0214 K113 Giải. Phương trình đặc tính của hệ: 3 2s(3s 14s 11s 2) K 0Û + + + + = 2 K1 0 s(3s 2)(s 4s 1) Û + = + + + 4 3 23s 14s 11s 2s K 0Û + + + + = 74 49K 37 - Điều kiện để hệ ổn định: 74 49K 0 K 0 - >ì í >î 740 K 49 Û < < Bảng Routh: 7GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1301/2009 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số Ví dụ 4. Xét hệ thống có sơ đồ khối: a) Cho KD=2; KP= 38. Tìm khoảng giá trị của KI để hệ thống luôn ổn định. r I P D KK + +K s s y 2 16 s 12s 20+ + b) Cho KD=2. Tìm biểu thức quan hệ giữa KP và KI để hệ thống luôn ổn định. I P0 K 44K 55Û < < + Đáp số: a) b) I0 K 1727Û < < I I (44)(628) 16K 0 K 0 - >ì í >î P I I 44(20 16K ) 16K 0 K 0 + - >ì í >î GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1401/2009 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.3.1 Nguyên lý góc quay Xét PTĐT bậc n có các nghiệm si ( i=1,2,…,n) : n n 1 n n 1 0A(s) a s a s ... a 0 - -= + + + = Đa thức đặc tính: n 1 2 nA(s) a (s s )(s s )...(s s )= - - - Thay s=jw ta được đa thức đặc tính tần số: n 1 2 nA(j ) a ( j s )( j s )...( j s )w = w - w - w - Biểu diễn trên mặt phẳng phức: 8GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1501/2009 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số m i i 1 arg ( j -s ) -m -¥<w<¥= D w = på n m i i 1 arg ( j -s ) (n-m) - -¥<w<¥= D w = på 4.3.1 Nguyên lý góc quay (tt) Dùng ký hiệu Darg để chỉ góc quay, ta có: i - arg ( j -s )= 0¥<w<¥ +pì ïD w -pí ï î Nếu si là nghiệm trái Nếu si là nghiệm phải Nếu si ở trên trục ảo n i i 1 arg A( j ) arg ( j -s ) (n-2m) -¥<w<¥ -¥<w<¥= D w = D w = på Nếu PTĐT có m nghiệm phải và (n-m) nghiệm trái thì: Góc quay của A(jw) = tổng góc quay của các véctơ (jw-si). GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1601/2009 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số Trong thực tế ta chỉ cần xét w thay đổi từ 0 đến +¥. Khi đó: m i 0i 1 arg ( j -s ) -m 2<w<¥= p D w =å n m i 0i 1 arg ( j -s ) (n-m) 2 - <w<¥= p D w =å 0 arg A( j ) (n-2m) 2<w<¥ p D w = Suy ra: 9GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1701/2009 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist n Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín (hình a) dựa vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b). n Tiện dụng vì đáp ứng tần số có thể thu được từ thực nghiệm. n Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ e-ts . R G(s) Y H(s) R G(s) Y H(s)Y1 a) Hệ kín b) Hệ hở (vòng hở) k h G GG 1 GH 1 G = = + + h G GH= 4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1801/2009 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Phát biểu tiêu chuẩn: n Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn định hay ở giới hạn ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0). n Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1,j0) một góc bằng mp theo chiều ngược kim đồng hồ khi w thay đổi từ 0 đến ¥; trong đó m là số nghiệm của PTĐT có phần thực dương (nghiệm phải). n Hệ kín ở giới hạn ổn định nếu đường Nyquist hệ hở đi qua điểm (-1,j0) . Chứng minh: Ứng dụng nguyên lý góc quay. (xem GT. ĐKTĐ trang 116-117) 10 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1901/2009 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist - Đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0) Û Tổng góc quay của vectơ 1+G(jw) bằng 0. - Góc bao điểm (-1,j0) của đường Nyquist cũng chính là tổng góc quay của vectơ 1+G(jw). Chú ý: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2001/2009 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Ví dụ 4.9. (trang 118) Cho hệ hở có hàm truyền: 5 10G(s) (s 3)(s 1,24) = + + và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên cạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín tương ứng. Giải. PTĐT của hệ hở: 5(s 3)(s 1,24) 0+ + = - PTĐT có một nghiệm s=-3 và năm nghiệm s= -1,24 - Các nghiệm này đều là nghiệm thực, âm nên hệ hở ổn định. - Hệ hở ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0) nên hệ kín tương ứng cũng ổn định. 11 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2101/2009 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Ví dụ 4.10. Cho hệ hở có hàm truyền: 3 4G(s) (0,8s 1)(s 1) = + - Giải. PTĐT của hệ hở: 3(0,8s 1)(s 1) 0+ - = - PTĐT có ba nghiệm thực dương s=1 nên hệ hở không ổn định. - Hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1,j0) một góc là p ( ¹3p) ngược kđh nên hệ kín không ổn định. và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên cạnh. Xét tính ổn định của hệ kín tương ứng. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2201/2009 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist n Đối với các hệ thống có khâu tích phân thì PTĐT hệ hở có nghiệm =0 (nằm trên trục ảo). Để áp dụng tiêu chuẩn Nyquist, ta vẽ thêm một cung tròn (-g.p/2) có bán kính vô cùng lớn, với g là số khâu tích phân có trong hàm truyền hệ hở. Ví dụ. Cho hệ hở có hàm truyền: 1 2 KG(s) s(T s 1)(T s 1) = + + Tùy theo giá trị của tham số K mà đường Nyquist có thể là một trong 3 dạng như hình bên cạnh. Đường 1: Hệ kín ổn định Đường 2: Hệ kín ở giới hạn ổn định Đường 3: Hệ kín không ổn định 12 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2301/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode Mục đích: Đánh giá mức độ ổn định của hệ thống. n Tần số cắt biên wc là tần số tại đó A(w)=1, tức L(w)= 0 dB. n Tần số cắt pha w-p là tần số tại đó Æ(w)= -p =-180°. n Độ dự trữ biên độ GM (Gain Margin) đặc trưng cho mức độ tiếp cận giới hạn ổn định về phương diện biên độ. GM /A( )-p= w1 : không đơn vị, dùng với biểu đồ Nyquist. GM L( )-p= - w : đơn vị dB, dùng với biểu đồ Bode. n Độ dự trữ pha PM (Phase Margin) đặc trưng cho mức độ tiếp cận giới hạn ổn định về phương diện góc pha. PM =180°+Æ (wc) - Giá trị GM=1(không đơn vị) hoặc GM=0dB Û giới hạn ổn định. - Do A(w)= y0/r0 nên GM cũng thể hiện mức cho phép tăng hệ số khuếch đại K mà hệ thống vẫn ổn định. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2401/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Xác định GM và PM từ biểu đồ Nyquist v Từ giao điểm giữa đường Nyquist và trục thực âm ta xác định được A(w-p)=1/GM. v Từ giao điểm giữa đường Nyquist và đường tròn đơn vị ta xác định được góc g = PM. v Hệ bậc 1, bậc 2 có đường Nyquist không cắt trục thực âm nên GM=1/0=¥ 13 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2501/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Xác định GM và PM từ biểu đồ Bode GM L( )-p= - w PM = 180°+Æ (wc) -20 -80° -230° 26 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2601/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Tiêu chuẩn Bode Hệ kín ổn định nếu hệ hở có dự trữ biên và dự trữ pha đều >0. Hệ kín ổn định Û hệ hở có GM>0 [dB] và PM >0 [°]. n Trường hợp đặc biệt Hệ kín ổn định Û hệ hở ổn định và PM=180°+Æ(wc) >0 Hệ kín không ổn định Û hệ hở có GM<0 [dB] hoặc PM <0 [°]. 14 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2701/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode ; K=500 n Ví dụ 1. Xét tính ổn định của hệ kín có hàm truyền vòng hở : Giải. Viết lại hàm truyền hệ hở: 2 K(s 10)G(s) 1 1(s 5)(s 100) s s 1 400 20 + = æ ö+ + + +ç ÷ è ø 2 1 s 1 10G(s) 1 1 1 1s 1 s 1 s s 1 5 100 400 0 0 1 2 æ ö+ç ÷ è ø= æ öæ öæ ö+ + + +ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 10 1 1 s+1 5 1 s+1 10 1 1 s+1 100 2 1 1 1s + s+1 400 20 P PT1VPB1 PT2 wg=5wg=10 wg=20wg=100 PT1 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2801/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Hệ số khuếch đại chung: K S=10 Þ Biên độ 20lgKS = 20dB n Các tần số gãy: w = 5, 10, 20, 100 [rad/s] n Gọi Lw5 , Lw10 ,…là giá trị L tại các tần số w = 5, 10, …[rad/s] 10L 20 20 lg(10 / 5) 14dBw = - = 20 10; L L 14dBw w= = 100L 14 40 lg(100 / 20) 14dBw = - = - 15 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2901/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Tính góc pha tại tần số cắt biên c 20 c c L L 14 -40 lg( 20) lg( 20) [dB/dec] / / w w- -= = w w c 14lg( /20) 0,35 40 - Þ w = = - 0,35 c (20)(10 ) 44,8 45 [rad/s]w = = »Tần số cắt biên: ( ) 2 11 1 1 20arctg arctg arctg arctg 110 5 100 1 400 æ öwæ ö æ ö æ ö ç ÷Æ w = w - w - w -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø - wè ø ( ) ( ) ( ) ( )c( ) arctg 4,5 arctg 9 arctg 0,45 arctg 0,55Æ w = - - - - 77,5 83,7 24,2 151,2 181,6= ° - ° - ° - ° = - ° n Xét ổn định hệ kín Độ dự trữ pha: PM= 180° + Æ (wc) = -1,6° <0 nên hệ kín không ổn định GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3001/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode ( )2 6400(s 25)G(s) (s 4)(s 100) s 12s 100 + = + + + + n Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ kín có hàm truyền vòng hở : Giải. Viết lại hàm truyền hệ hở: 2 14 s 1 25G(s) 1 1 1 12s 1 s 1 s s 1 4 100 100 100 æ ö+ç ÷ è ø= æ öæ öæ ö+ + + +ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø v Hệ số khuếch đại chung: K =4 Þ 20lgK = 12dB v Các tần số gãy: w = 4, 10, 25, 100 [rad/s] v Gọi Lw4 , Lw10 ,…là giá trị L tại các tần số w = 4, 10, …[rad/s] 16 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3101/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode 25 10L L 60lg(25 /10) 4 60 lg(2,5) 20dBw w= - = - = - 100 25L L 40lg(100 / 25) 20 40 lg 4 44dBw w= - = - - = - 10 4L L 20lg(10 / 4) 12 20 lg(2,5) 4dBw w= - = - = GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3201/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Tính góc pha tại tần số cắt biên c 10 c L L 60 lg( 10) w w- = - w [dB/dec] / c 4lg( /10) 0,067 60 - Þ w = = - 0,067 c (10)(10 ) 11,7 [rad/s]w = =Tần số cắt biên: ( ) æ öwæ ö æ ö æ ö ç ÷Æ w = w - w - w -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø - wè ø 2 121 1 1 100arctg arctg arctg arctg 125 4 100 1 100 Độ dự trữ pha: PM= 180° + Æ (wc) = 22,6° 25,1 71,1 6,7 104,7 157,4= ° - ° - ° - ° = - ° ( ) ( ) ( )c( ) arctg 0,469 arctg 2,925 arctg 0,117 arctg( 3,805)Æ w = - - - - 17 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3301/2009 4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Xét tính ổn định của hệ kín Phương trình đặc tính hệ hở: ( )( )( )2s 4 s 100 s 12s 100 0+ + + + = Phương trình đặc tính có 4 nghiệm: 2 nghiệm thực s= -4 và s = -100 2 nghiệm phức s=-6±8j Cả 4 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ hở ổn định Hệ hở ổn định và độ dự trữ pha PM > 0 nên hệ kín ổn định. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3401/2009 4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm n Định nghĩa: QĐN là đồ thị biểu diễn tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính khi có một thông số nào đó của hệ thống thay đổi từ 0 ®¥. 4.4.1 Giới thiệu v Khảo sát tính ổn định của hệ thống khi hệ số khuếch đại K (hay thời hằng T,…) thay đổi từ 0 ®¥. v Thiết kế hệ thống trong miền thời gian. n Ứng dụng: 18 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3501/2009 4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm Hàm truyền hệ hở (vòng hở): PTĐT hệ kín: 0G (s) G(s)H(s)= 01 G (s) 0+ = 0G (s) 1Û = - 0 0 G (s) 1 arg[G (s)] i ì = Û í = ± pî : Điều kiện biên độ (i=1,3,5,…) : Điều kiện góc pha n Để áp dụng các quy tắc vẽ QĐN, trước tiên phải biến đổi PTĐT về dạng tuyến tính theo K : 0 M(s)1 G (s) 0 1 K 0 N(s) + = Û + = N(s) K.M(s) 0Û + = Trong đó: M(s) là đa thức bậc m; N(s) là đa thức bậc n (m£n). G0(s) có m zero là nghiệm của M(s) và n cực là nghiệm của N(s). Xét hệ kín hồi tiếp âm: r yG(s) H(s) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3601/2009 4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm 4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm 1. Số nhánh của quỹ đạo nghiệm = số cực của G0(s) = bậc của phương trình đặc tính = n. 2. Điểm xuất phát: Khi K=0, các nhánh của QĐN xuất phát từ các cực của G0(s). 3. Điểm kết thúc: Khi K®¥ có m nhánh tiến tới m zero của G0(s), còn lại (n-m) nhánh tiến tới ¥ theo các tiệm cận. 4. Góc của các tiệm cận với trục thực xác định bởi: i (2i 1) n m - p a = - pi : cực của G0(s). zi : zero của G0(s). 5. Các tiệm cận giao nhau tại một điểm trên trục thực có hoành độ: n m i i i 1 i 1 0 p zzero R n m n m = = - - = = - - å åå åcöïc với i=1,2,..., n-m 19 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3701/2009 4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm 4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt) 6. QĐN đối xứng qua trục thực vì các nghiệm phức nếu có thì luôn có từng cặp liên hợp. 7. Điểm tách là điểm tại đó hai nhánh QĐN gặp nhau và sau đó lại tách ra khi K tăng. Điểm tách luôn nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình dK/ds = 0 (tại đó PTĐT có nghiệm bội). 8. Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số lượng cực và zero của G0(s) nằm bên phải nó là một số lẻ. 9. Giao điểm của QĐN với trục ảo xác định bởi: - Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để tìm K giới hạn (Kgh) rồi thay Kgh vào phương trình đặc tính và giải tìm nghiệm ảo. - Cách 2: Thay s=jw vào phương trình đặc tính rồi cho phần thực và phần ảo bằng 0, sau đó giải ra tìm w và K. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3801/2009 4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm 4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt) 10. Góc xuất phát và góc đến của các nhánh được xác định từ điều kiện pha: m n i i i 1 i 1 arg(s z ) arg(s p ) i = = - - - = ± på å m n pj j i j i i 1 i 1,i j 180 arg(p z ) arg(p p ) = = ¹ q = ° + - - -å å Þ - Góc xuất phát từ cực s=pj khi K=0 : = 180° + (tổng các góc từ các zero đến cực pj) – (tổng các góc từ các cực còn lại đến cực pj ). m n zj j i j i i 1 i 1,i j 180 arg(z z ) arg(z p ) = = ¹ q = ° - - + -å å - Góc đến tại zero s=zj khi K=¥ : 20 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3901/2009 Ví dụ 4.13 (tr.124) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ¥ 1G(s) s(s 1)(s 3) = + + K1 KG(s) 0 1 0 s(s 1)(s 3) + = Û + = + + Giải. Phương trình đặc tính của hệ thống: - Cực: Hệ có ba cực là p1= 0 ; p2= -1 ; p3= -3 - Zero: không có Do đó QĐN gồm ba nhánh xuất phát từ các cực khi K=0. Khi K®¥, ba nhánh tiến tới ¥ theo các tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực: i (2i 1) (2i 1) n m 3 0 - p - p a = = - - 1,2,3 / 3 ; ; 5 / 3Þ a = p p p GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4001/2009 Ví dụ 4.13 (tr.124) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ¥ - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ: 0 zero [0 ( 1) ( 3)] 4R n m 3 0 3 - + - + - = = = - - - å åcöïc - Xác định điểm tách: Viết lại PTĐT: s(s 1)(s 3) K 0+ + + = 3 2(s 4s 3s) K 0Û + + + = 3 2K (s 4s 3s)= - + + 2dK / ds (3s 8s 3)Þ = - + + 2dK / ds 0 (3s 8s 3) 0= Û - + + = Giải ra ta được hai nghiệm s1=-0,451 ; s2= -2,215 Ta chỉ nhận giá trị phù hợp s1= -0,451 là điểm tách. Điểm giá trị s2= -2,215 không thuộc về QĐN (kiểm tra tổng số cực và zero của G0(s) bên phải điểm này bằng 2, là số chẵn) nên không phải là điểm tách. 21 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4101/2009 Ví dụ 4.13 (tr.124) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ¥ - Giao điểm giữa QĐN và trục ảo: Thay s=jw vào PTĐT ta được: 3 2( j ) 4( j ) 3( j ) K 0w + w + w + = 3 2j 4 3j K 0Û - w - w + w + = 2 3 4 K 0 3 0 ì- w + =ïÛ í -w + w =ïî 0; K 0 3 ; K 12 w = =ì Û í w = ± =î Xét tính ổn định: - Hệ thống ổn định khi K <12 - Hệ thống không ổn định khi K >12 - Hệ thống ở giới hạn ổn định khi K=12. (phần thực =0) (phần ảo =0) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4201/2009 Ví dụ 4.14 (tr.126) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ¥ 2 1G(s) s 6s 13 = + + 2 K K1 G(s) 0 1 0 s s(s 6s 13) + = Û + = + + Giải. Phương trình đặc tính của hệ thống: - Cực: Hệ có ba cực là p1= 0 ; p2,3= -3 ± 2j - Zero: không có Do đó QĐN gồm ba nhánh xuất phát từ các cực khi K=0. Khi K®¥, ba nhánh tiến tới ¥ theo các tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực: i (2i 1) (2i 1) n m 3 0 - p - p a = = - - / 3 ; ; 5 / 3Þ a = p p p 22 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4301/2009 Ví dụ 4.14 (tr.126) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ¥ - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ: 0 zero [0 ( 3 2j) ( 3 2j)]R 2 n m 3 0 - + - + + - - = = = - - - å åcöïc - Xác định Điểm tách: Viết lại PTĐT: 2s(s 6s 13) K 0+ + + = 3 2K (s 6s 13s)Û = - + + 2dK / d