Bài giảng chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển

11 Baøøi giaûûng moân hoâ ïïc Ñieààu Khieåån Töïï Ñoääng GV: Nguyeãn Theá Huøng 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 201/2009 Chương 5 5.1_ Các chỉ tiêu chất lượng 5.2_ Phân tích sai số xác lập 5.3_ Phân tích đáp ứng quá độ 5.4_ Các tiêu chuẩn tối ưu hoá Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển 2GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 301/2009 5.1 Các chỉ tiêu chất lượng v ts: Thời gian quá độ v POT: Độ vọt lố (độ quá điều chỉnh) v e(¥) : Sai số xác lập GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 401/2009 5.1 Các chỉ tiêu chất lượng n Thời gian quá độ ts (settling time): là thời gian cần thiết để tín hiệu ra đạt và tiếp tục duy trì giá trị xác lập y(¥) với sai số cho phép, thông thường là ± 2% hoặc ± 5%. n Độ vọt lố POT hay s % (Percent Overshoot): là sai lệch giữa giá trị cực đại và giá trị xác lập của đáp ứng, tính theo phần trăm: maxy y( )POT % 100% y( ) - ¥ = s = ¥ Thông thường, POT nhỏ thì ts sẽ lớn và ngược lại. n Sai số xác lập e(¥) hay ess (steady-state error): là sai lệch giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp ở trạng thái xác lập. Sai số xác lập đặc trưng cho độ chính xác của hệ thống điều khiển. 3GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 501/2009 5.1 Các chỉ tiêu chất lượng v Tổng quát: t s 0 e( ) lim e(t) lim s.E(s) ®¥ ® ¥ = = v Với hệ hồi tiếp âm đơn vị và tín hiệu vào r=1(t) thì : ks 0 e( ) 1 y( ) 1 lim G (s) ® ¥ = - ¥ = - Ngoài ra, người ta còn xét đến các thông số phụ: § Thời gian tăng trưởng tr (rise time) : Là thời gian cần thiết để đáp ứng tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập y(¥) § Thời gian lên đỉnh tp hay tpeak : Là thời gian cần để đáp ứng đạt giá trị cực đại. § Số chu kỳ dao động trước khi đáp ứng đạt giá trị xác lập. r y G(s) ekt s 0 y( ) lim h(t) lim G (s) ®¥ ® ¥ = = GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 601/2009 5.2 Phân tích sai số xác lập n Sai số xác lập phụ thuộc cấu trúc, thông số của hệ thống và loại tín hiệu vào. r y G(s) H(s) e E(s) R(s) Y(s)H(s)= - R(s)G(s)H(s) R(s)R(s) 1 G(s)H(s) 1 G(s)H(s) = - = + + 1. Tín hiệu vào bậc thang đơn vị P 1e( ) 1 K ¥ = + P s 0 K lim [G(s)H(s)] ® = _gọi là Hệ số sai số vị trí Thế vào (*) Þ r=1(t) Þ R(s)=1/s s 0 s 0 s.R(s)e( ) lim s.E(s) lim 1 G(s)H(s)® ® Þ ¥ = = + (*) 4GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 701/2009 5.2 Phân tích sai số xác lập 2. Tín hiệu vào dốc r=t ; R(s)=1/s2 s 0 v 1 1e( ) lim [s sG(s)H(s)] K® ¥ = = + v s 0 K lim [sG(s)H(s)] ® = _Hệ số sai số vận tốc 3. Tín hiệu vào parabol Þ Þ s 0 2 2 a 1 1e( ) lim K[s s G(s)H(s)]® ¥ = = + 2 s 0a K lim [s G(s)H(s)] ® = _Hệ số sai số gia tốc ; ( ) /= =2 31r t R s 1 s 2 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 801/2009 5.3 Phân tích đáp ứng quá độ 1. Độ vọt lố : 2/ 1 POT e .100% æ öç ÷ è ø - px -x = 2. Thời gian quá độ theo chuẩn 2%: n s 4t = xw 3. Thời gian tăng trưởng : ( )3 2r n 1t 1,589 0,1562 0,924 1,0141= x - x + x + w n Hệ bậc hai: n Hệ bậc cao: Tìm y(t) và xác định POT, ts, tr từ đồ thị của y(t). Hoặc xấp xỉ về hệ bậc hai có cặp cực nằm gần trục ảo nhất (gọi là cặp cực trội – pair of dominant poles). 5GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 901/2009 5.3 Phân tích đáp ứng quá độ GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1001/2009 5.3 Phân tích đáp ứng quá độ Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa x và POT 6GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1101/2009 Ví dụ 5.4. Khảo sát đáp ứng quá độ (tr.141) a) Chọn KP= 12, KI=36, KD=1. Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ với tín hiệu vào r=1(t). b) Giữ nguyên giá trị KP , KD và cho KI thay đổi. Tìm điều kiện của KI để hệ luôn ổn định. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1201/2009 Ví dụ 5.4. Khảo sát đáp ứng quá độ Giải. a) 2 2 I D P I PID P D K K s K s K s 12s 36G (s) K K s s s s + + + += + + = = Hàm truyền mạch chính (hệ hở): 2 PID 2h s 12s 36 20G (s) G (s).G(s) s s 8s 12 æ ö+ + æ ö= = ç ÷ç ÷ + +è øè ø 2(s 6) 20 20(s 6) s (s 2)(s 6) s(s 2) æ ö+ +æ ö= =ç ÷ç ÷ + + +è øè ø Hàm truyền của hệ thống: PID 2 PID k G (s).G(s)Y(s) 20(s 6)G (s) R(s) 1 G (s).G(s) s 22s 120 + = = = + + + Hàm truyền bộ PID: 7GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1301/2009 Ví dụ 5.4. Khảo sát đáp ứng quá độ Hàm quá độ: k 2 G (s) 20(s 6)H(s) s s(s 22s 120) + = = + + Mẫu số của H(s) có 3 nghiệm s= 0 ; s= –10 ; s= –12 Do đó có thể phân tích: 31 2 AA A20(s 6)H(s) s(s 10)(s 12) s s 10 s 12 + = = + + + + + + [ ]1 s 0 s 0 20(s 6)A lim sH(s) lim 1 (s 10)(s 12)® ® + = = = + + [ ]2 s 10 s 10 20(s 6) 80A lim (s 10)H(s) lim 4 s(s 12) 20®- ®- + - = + = = = + - [ ]3 s 12 s 12 20(s 6) 120A lim (s 12)H(s) lim 5 s(s 10) 24®- ®- + - = + = = = - + Ảnh Laplace : r(t) 1(t)h(t) y(t) == GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1401/2009 Ví dụ 5.4. Khảo sát đáp ứng quá độ Đáp ứng quá độ: 1 4 5H(s) s s 10 s 12 Þ = + - + + t t1 10 12h(t) L [H(s)] 1 4e 5e- - -= = + - Sai số xác lập: e( ) r( ) h( ) 1 h( )¥ = ¥ - ¥ = - ¥ t h( ) lim h(t) 1 ®¥ ¥ = = s 0 k h( ) limG (s) 1 ® ¥ = =Hoặc: e( ) 1 1 0Þ ¥ = - = b) Chọn KP =12, KD =1.Tìm điều kiện của KI để hệ luôn ổn định : 2 PID I 3 2 PID I k G (s).G(s) 20(s 12s K )G (s) 1 G (s).G(s) s 28s 252s 20K + + = = + + + + Hàm truyền của hệ thống: 8GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1501/2009 Ví dụ 5.4. Khảo sát đáp ứng quá độ Phương trình đặc tính: 20KI 0 20KI28 2521 Điều kiện để hệ ổn định: I I (28)(252) 20K 0 20K 0 - >ì í >î I0 K 352,8Û < < Bảng Routh: 3 2 Is 28s 252s 20K 0+ + + = I(28)(252) 20K 28 - GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1601/2009 Ví dụ 5.5. Khảo sát đáp ứng quá độ a) Chọn KP= 12, KI=32, KD=1. Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ. b) Chọn KP= 12, KD=1 và cho KI thay đổi tuỳ ý. Tìm khoảng giá trị của KI để hệ luôn ổn định. Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối: 2 6 s 13s 40+ + r=1(t) yPIDe G(s) 9GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1701/2009 Nhận xét (cách giải) t e( ) r( ) y( ) 1 lim y(t) ®¥ ¥ = ¥ - ¥ = - 1y(t) L [Y(s)]-= k k G (s)Y(s) R(s).G (s) s = = PID PID k G (s).G(s)Y(s)G (s) R(s) 1 G (s).G(s) = = + I PID P D KG (s) K K .s s = + + G(s) : Hàm truyền của đối tượng, đã cho GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1801/2009 Ví dụ 5.5. Khảo sát đáp ứng quá độ Giải. a) 2 2 I D P I PID P D K K s K s K s 12s 32G (s) K K s s s s + + + += + + = = Hàm truyền mạch chính (hệ hở): 2 PID 2h s 12s 32 6G (s) G (s).G(s) s s 13s 40 æ ö+ + æ ö= = ç ÷ç ÷ + +è øè ø (s 4)(s 8) 6 6(s 4). s (s 5)(s 8) s(s 5) + + += = + + + Hàm truyền của hệ thống: PID PID k G (s).G(s)Y(s)G (s) R(s) 1 G (s).G(s) = = = + Hàm truyền bộ PID: 2 6(s 4) s 11s 24 + + + 10 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1901/2009 Ví dụ 5.5. Khảo sát đáp ứng quá độ Ảnh Laplace của đáp ứng quá độ: k k 2 G (s) 6(s 4)Y(s) R(s).G (s) s s(s 11s 24) + = = = + + Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn: Do đó có thể phân tích: 31 2 AA A6(s 4)Y(s) s(s 3)(s 8) s s 3 s 8 + = = + + + + + + [ ]1 s 0 s 0 6(s 4)A lim sY(s) lim (s 3)(s 8)® ® + = = = + + [ ]2 s 3A lim (s 3)Y(s)®-= + = s 8 6(s 4) 3lim s(s 3) 5®- + = - + s 3 6(s 4) 2lim s(s 8) 5®- + = - + [ ]3 s 8A lim (s 8)Y(s)®-= + = 1 s= 0 ; s= –3 ; s= –8 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2001/2009 Ví dụ 5.5. Khảo sát đáp ứng quá độ Đáp ứng quá độ: 1 2 3Y(s) s 5(s 3) 5(s 8) Þ = - - + + 1y(t) L [Y(s)]-= = Sai số xác lập: e( ) r( ) y( ) 1 y( )¥ = ¥ - ¥ = - ¥ t y( ) lim y(t) 1 ®¥ ¥ = = s 0 k y( ) limG (s) 1 ® ¥ = =Hoặc: e( ) 1 1 0Þ ¥ = - = b) Chọn KP =12, KD =1. Tìm điều kiện của KI để hệ luôn ổn định : PID1 G (s).G(s) 0+ = Phương trình đặc tính của hệ : t t3 82 31 e e 5 5 - -- - 11 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2101/2009 Ví dụ 5.5. Khảo sát đáp ứng quá độ 6KI 0 6KI19 1121 Điều kiện để hệ ổn định: I I (19)(112) 6K 0 6K 0 - >ì í >î I 10640 K 3 Û < < Bảng Routh: 3 2 Is 19s 112s 6K 0+ + + = I(19)(112) 6K 19 - 2 D P I 2 K s K s K 61 0 s s 13s 40 æ ö+ + æ öÛ + =ç ÷ç ÷+ +è øè ø 2 2 D P Is(s 13s 40) 6(K s K s K ) 0Û + + + + + = Thay KD=1; KP=12 Þ 3 2 D P Is (13 6K )s (40 6K )s 6K 0Û + + + + + = GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2201/2009 Ví dụ 5.6. Khảo sát đáp ứng quá độ a) Chọn KP= 20, KI=75, KD=1. Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ. b) Chọn KP= 20, KD=1, 0<KI£400. Chứng minh hệ luôn ổn định và có sai số xác lập bằng 0. 2 15 s 8s 15+ + 12 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2301/2009 Ví dụ 5.6. Khảo sát đáp ứng quá độ Giải. a) Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập 2 2 I D P I PID P D K K s K s K s 20s 75G (s) K K s s s s + + + += + + = = Hàm truyền mạch chính (mạch hở): 2 PID 2h s 20s 75 15G (s) G (s).G(s) s s 8s 15 æ ö+ + æ ö= = ç ÷ç ÷ + +è øè ø 15(s 15) s(s 3) += + Hàm truyền của hệ thống: PID 2 PID k G (s).G(s)Y(s) 15s 225G (s) R(s) 1 G (s).G(s) s 18s 225 + = = = + + + Hàm truyền bộ PID: Ảnh Laplace của đáp ứng quá độ: k k 2 G (s) 15s 225Y(s) R(s).G (s) s s(s 18s 225) + = = = + + (*) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2401/2009 Ví dụ 5.6. Khảo sát đáp ứng quá độ Từ (*) và (**) ta được : 1 1 2 225A 225 A C 0 9A 18C 12C 15 =ì ï + =í ï + + =î 2 2 2 2 2 1 1(s 9)1 1 (s 9)2 2Y(s) s ss 18s 225 (s 9) 12 (s 9) (12 1 12 2 ) ( )- + + + = + = - + + + + + + + 1 2 A 1 C 1 C 1/ 2 =ì ïÞ = -í ï =î Do đó có thể phân tích: ( ) ( ) 2 1 1 21 2 2 2 (A C )s 18A 9C 12C s 225AC (s 9) 12CAY(s) s s 18s 225 s s 18s 225 + + + + ++ + = + = + + + + (**) Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm s1= 0 ; s2,3 = -9 ±12j 13 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2501/2009 Ví dụ 5.6. Khảo sát đáp ứng quá độ 1y(t) L [Y(s)]-= = arccos (1/ 5) arcsin (2 / 5)j = =Với : Sai số xác lập: t e( ) 1 y( ) 1 lim y(t) 1 1 0 ®¥ ¥ = - ¥ = - = - = 9t51 e sin(12t ) 2 -= - + j9t 5 2 11 e sin12t cos12t 2 5 5 - æ ö= - -ç ÷ è ø b) Chọn KP= 20, KD=1, 0<KI£400. Chứng minh hệ ổn định và có sai số xác lập bằng 0. 9t 9t11 e cos12t e sin12t 2 - -- - Đáp ứng quá độ: 2 PID D P I 3 2 2 PID D P I k G (s).G(s) 15(K s K s K )G (s) 1 G (s).G(s) s 8s 15s 15(K s K s K ) + + = = + + + + + + Hàm truyền của hệ thống: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2601/2009 Ví dụ 5.5. Khảo sát đáp ứng quá độ 15KI 0 15KI23 3151 Điều kiện để hệ ổn định: I I (23)(315) 15K 0 15K 0 - >ì í >î I0 K 483Û < < Bảng Routh: I(23)(315) 15K 15 - Thay KD=1; KP=20 Þ Theo đề bài: I0 K 400< £ Nên hệ thống luôn ổn định. Theo định lý giá trị cuối: 2 I 3 2 I k 15(s 20s K )G (s) s 23s 315s 15K + + = + + + Phương trình đặc tính: 3 2 Is 23s 315s 15K 0+ + + = k I It s 0 y( ) lim y(t) lim G (s) 15K /15K 1 ®¥ ® ¥ = = = = e( ) 1 y( ) 0Þ ¥ = - ¥ = 14 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2701/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ a) Chọn KP= 33, KI=58, KD=2. Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ. b) Chọn KP= 2, KI=0, KD=0. Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ. 2 25 s 6s 8+ + GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2801/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ Giải. a) Tìm đáp ứng và sai số xác lập với KP =33; KI =58; KD =2 2 2 I D P I PID P D K K s K s K 2s 33s 58G (s) K K s s s s + + + += + + = = Hàm truyền mạch chính (mạch hở): 2 PID 2h 2s 33s 58 25G (s) G (s).G(s) s s 6s 8 æ ö+ + æ ö= = ç ÷ç ÷ + +è øè ø 2(s 2)(s 14,5) 25 50s 725. s (s 2)(s 4) s(s 4) + + += = + + + Hàm truyền của hệ thống: PID 2 PID k G (s).G(s)Y(s) 50s 725G (s) R(s) 1 G (s).G(s) s 54s 725 + = = = + + + Hàm truyền bộ PID: 15 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2901/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ Ảnh Laplace của đáp ứng quá độ: k k 2 G (s) 50s 725Y(s) R(s).G (s) s s(s 54s 725) + = = = + + Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm s1= 0 ; s2 = -25 ; s3 =-29 Do đó có thể phân tích: 31 2 AA A50s 725Y(s) s(s 25)(s 29) s s 25 s 29 + = = + + + + + + [ ]1 s 0 s 0 50s 725A lim sY(s) lim 1 (s 25)(s 29)® ® + = = = + + [ ]2 s 25 s 25 50s 725A lim (s 25)Y(s) lim s(s 29)®- ®- + = + = = + [ ]3 s 29 s 29 50s 725A lim (s 29)Y(s) lim s(s 25)®- ®- + = + = = + 21 4 25 4 - GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3001/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ Đáp ứng quá độ: 1 21 25Y(s) s 4(s 25) 4(s 29) Þ = + - + + t t25 2921 251 e e 4 4 - -+ - Sai số xác lập: e( ) 1 y( ) 1 1 0¥ = - ¥ = - = b) Tìm đáp ứng và sai số xác lập với KP =2, KI = KD =0 P 2 P k K .G(s) 50G (s) 1 K .G(s) s 6s 58 = = + + + Hàm truyền của hệ thống: Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm s1= 0 ; s2,3 = -3 ±7j Ảnh Laplace của đáp ứng quá độ: k k 2 G (s) 50Y(s) R(s).G (s) s s(s 6s 58) = = = + + 1y(t) L [Y(s)]-= = (*) 16 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3101/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ Đáp ứng quá độ: 1 21 25Y(s) s 4(s 25) 4(s 29) Þ = + - + + t t25 2921 251 e e 4 4 - -+ - Sai số xác lập: e( ) 1 y( ) 1 1 0¥ = - ¥ = - = b) Tìm đáp ứng và sai số xác lập với KP =2, KI = KD =0 P 2 P k K .G(s) 50G (s) 1 K .G(s) s 6s 58 = = + + + Hàm truyền của hệ thống: Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm s1= 0 ; s2,3 = -3 ±7j Ảnh Laplace của đáp ứng quá độ: k k 2 G (s) 50Y(s) R(s).G (s) s s(s 6s 58) = = = + + 1y(t) L [Y(s)]-= = (*) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3201/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ Do đó có thể phân tích: ( ) ( ) 2 1 1 21 2 2 2 (A C )s 6A 3C 7C s 58AC (s 3) 7CAY(s) s s 6s 58 s s 6s 58 + + + + ++ + = + = + + + + Từ (*) và (**) ta được : 1 1 2 58A 50 A C 0 6A 3C 7C 0 =ì ï + =í ï + + =î 2 2 2 3 3(s 3) (s 3)25 1 25 17 7Y(s) 29 s 29 ss 6s 58 (s (7) ( 3) 7) 7 æ ö æ ö+ + + +ç ÷ ç ÷ = - = -ç ÷ ç ÷+ + + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 2 A 25 / 29 C 25 / 29 C (3 / 7)(25 / 29) =ì ïÞ = -í ï = -î 75 / 203= - (**) 17 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3301/2009 Ví dụ 5.7. Khảo sát đáp ứng quá độ 1 3t 3t25 3y(t) L [Y(s)] 1 e cos7t e sin 7t 29 7 - - -æ ö= = - -ç ÷ è ø 3t25 25 58 e sin(7t ) 29 203 -= - + j 3 7arccos arcsin 66,8 58 58 j = = = °Với : Sai số xác lập: 25 4e( ) 1 y( ) 1 29 29 ¥ = - ¥ = - = GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3401/2009 5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hoá đáp ứng quá độ Các tiêu chuẩn này tìm điều kiện để đáp ứng của hệ đạt được sự dung hoà tốt nhất giữa thời gian quá độ và độ vọt lố. Hệ thống đạt chất lượng tốt nhất nếu các tích phân dưới đây là cực tiểu. 1) Tiêu chuẩn IAE (tích phân trị tuyệt đối của sai số): 1 0 S e(t) dt min ¥ = ®ò 2) Tiêu chuẩn ISA (tích phân của bình phương sai số): 3) Tiêu chuẩn ITAE (tích phân của tích thời gian và trị tuyệt đối sai số): 2 2 0 S e (t) dt min ¥ = ®ò 3 0 S t. e(t) dt min ¥ = ®ò Hệ bậc hai có S1®min khi x=0,707 Hệ bậc hai có S2®min khi x=0,5 Hệ bậc hai có S3®min khi x=0,707 Tiêu chuẩn ITAE được sử dụng nhiều nhất. 18 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3501/2009 5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hoá đáp ứng quá độ Để đáp ứng của hệ kín bậc n là tối ưu theo chuẩn ITAE và hệ kín có e(¥)=0 thì hàm truyền của hệ kín phải có tử số là wnn và đa thức ở mẫu số phải có dạng như bảng sau.