Bài giảng Cơ học kết cấu - Chương 1: Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi

Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi 1.1. Ứng suất và phương trình cân bằng 1.1.1. Khái niệm về nội lực, ứng suất, trạng thái ứng suất Khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể xuất hiện nội lực để chống lại sự biến dạng đó. Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực. Biểu diễn nội lực trên một mặt cắt bất kỳ thuộc vật thể, và là lực phân bố bề mặt. Có thể hiểu rằng ứng suất là cường độ nội lực và ứng suất tại một điểm là cường độ nội lực tại điểm đang xét. Như vậy ứng suất toàn phần tại một điểm K(x, y, z) trên một mặt cắt có vec tơ pháp tuyến n được định nghĩa bởi: 0 limn A P p A       (1.1) Hình 1.1. Phương pháp mặt cắt xác định nội lực Ứng suất toàn phần phân tích thành ứng suất pháp và ứng suất tiếp Qui ước chiều dương của ứng suất khi:  Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng  Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng Tập hợp tất cả các thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đang xét gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó. Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm, ta tách ra phân tố lập phương vô cùng bé chứa điểm đó, biểu diễn các thành phần ứng suất trên các mặtt của phân tố (hình 1.2.) Chín thành phần ứng suất trên ba mặt vuông góc với ba trục lập thành ten xơ ứng suất – đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại một điểm.                      xx xy xz yx yy yz zx zy zz T (1.2) Hình 1.2. Các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố 1.1.2. Phương trình cân bằng Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:  Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ *F với hình chiếu lên 3 trục toạ độ , ,x y z : *F ( * * *, ,x y zF F F )  Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ , ,x y z là , ,x y zF F F . Hifnh 1.3. Lực thể tích và lực bề mặt tác dụng lên vật thể Khi vật thể ở trạng thái cân bằng  Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng => Phương trình cân bằng Navier-Cauchy:                   2 2 0 yxxx zx x d u F x y z dt                     2 2 0 xy yy zy y d v F x y z dt (1.3)                   2 2 0 zyzx zz z d w F x y z dt Trong trường hợp cân bằng động thì vế phải trong (1.3) là lực quán tính (trong ngoặc -  là khối lượng riêng) 1.2. Lý thuyết về biến dạng và chuyển vị Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn thay đổi hình dạng kích thước – vật rắn biến dạng. Ví dụ thanh công – xôn bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực như hình vẽ 1.1. Quan sát lưới trên bề mặt thanh có thể nhận thấy mỗi phân tố vừa có biến dạng dài, vừa có biến dạng góc. Một vật thể bị biến dạng thì khoảng cách tương đối giữ hai điểm bất kỳ trong vật thể thay đổi. Hình 1.4. Biến dạng của thanh công – xôn 1.2.1. Chuyển vị Sự thay đổi vị trí của điểm vật chất trong vật thể biến dạng gọi là chuyển vị. Xét vật thể hình dạng bất kỳ, trước biến dạng hai điểm vật chất P và P0 lân cận nhau xác định bởi vec tơ r như hình 1.2, sau biến dạng hai điểm này có vị trí mới P’ và P0’ xác định bởi vec tơ r’. Như vậy 0 0 0 'P P u   là chuyển vị của điểm P0 và 'PP u   là chuyển vị của điểm P. Theo lý thuyết biến dạng hữu hạn hay biến dạng lớn, có hai cách mô tả các chuyển vị này theo Lagrange hay theo Euler. Tuy nhiên, khi chấp nhận giả thiết biến dạng bé thì hai cách mô tả này là như nhau. Trong hệ tọa độ vuông góc, do P và P’ lân cận nhau nên có thể khai triển Taylor quanh P0 để biểu diễn các thành phần của vec tơ chuyển vị u(u, v, w) dưới dạng: (1.4) 1.2.2. Biến dạng bé Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi). Phân tố hình hộp có các cạnh , ,dx dy dz và các mặt song song với các mặt phẳng toạ độ. Dưới tác dụng của ngoại lực, vật thể biến dạng. Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ độ Oxy, giả sử phân tố chỉ bị biến dạng thuần túy (không có chuyển động quay quanh các trục - hình 1.2). Theo định nghĩa, biến dạng dài tỉ đối theo các phương x: ' ' xx A B AB AB    , và biến dạng góc trong mặt phẳng xy: xy    . Với giả thiết biến dạng bé, ta nhận được phương trình hình học mô tả quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng. Hình 1.5. Biến dạng của phân tố lập phương xx u x     ; 2xy yx xy v u x y            y v y     ; 2yz zy yz w v y z            (1.5) zz w z     ; 2xz zx xz w u x z            Khi xét biến dạng hữu hạn, quan hệ chuyển vị biến dạng có dạng sau: 2 2 2 1 2 xx u u v w x x x x                                 2 2 2 1 2 yy v u v w y y y y                                 2 2 2 1 2 zz w u v w z z z z                                 (1.6) 2xy xy u v u u v v w w y x x y x y x y                            2xz xz u w u u v v w w z x x z x z x z                            2yz xy v w u u v v w w z y y z y z y z                            Ten xơ biến dạng đặc trưng cho trạng thái biến dạng tại một điểm của vật thể 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 xx xy xz x xy xz yx yy yz yx yy yz zx zy zz zx zy zz T                                            (1.7) 1.2.2. Hệ phương trình tương thích Từ hệ phương trình hình học (1.5) ta thấy, nếu biết các thành phần biến dạng thì 3 thành phần chuyển vị của điểm bất kỳ được xác định từ 6 phương trình vi phân. Vì vậy muốn hệ phương trình này có nghiệm thì các thành phần biến dạng không thể chọn tùy ý mà giữa chúng phải có ràng buộc nhất định. Về phương diện hình học các phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở vì vật thể là liên tục. Khi vật thể biến dạng thì các phân tố cũng biến dạng, phải có sự ràng buộc giữa các biến dạng này để đảm bảo giữa các phân tố không có khe hở. Các ràng buộc này gọi là điều kiện tương thích hoặc các điều kiện liên tục của biến dạng. Hình 1.6. Ý nghĩa hình học của hệ phương trình tương thích Hệ phương trình tương thích: 2 2 22 2 2 2 yy xy xyxx y x x y x y                2 2 22 2 2 2xx xz xzzz z x x z x z               (1.8) 2 2 22 2 2 2 yy yz yzzz z y y z y z               2 yz xyxx zx y z x x y z                   2 yy xy yzzx z x y y z x                   2 xy yz zxzz x y z z x y                    1.3. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Hệ phương trình vật lý Với vật liệu đàn hồi tuyến tính, đẳng hướng, quan hệ ứng suất – biến dạng biểu diễn bởi định luật Hooke: Biểu diễn biến dạng qua ứng suất   1 xx xx yy zz E            1 yy yy xx zz E            1 zz zz xx yy E          (1.9) 1 1 xy xy xy xy E           ` 1 1 xz xz xz xz E           1 1 yz yz yz yz E           (trong đó:   1 ; 2 1 2 E        )  Biến dạng thể tích:  1 1 2 xx yy zz xx yy zz dV dV dV E                  (1.10) Biểu diễn ứng suất qua biến dạng 2xx xx    2yy yy    2zz zz    2xy xy  (1.11) 2xz xz  2yz yz  Trong các biểu thức trên: E – mô đun đàn hồi kéo (nén);  – mô đun đàn hồi trượt  - hệ số Poisson ;  - hằng số Lame (   1 1 2 E       ;  2 1 E     ) (1.12) 1.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng Cho vật thể đàn hồi tuyến tính có thể tích V, mật độ vật chất  bề mặt giới hạn S, nằm cân bằng dưới tác động của ngoại lực thể tích có cường độ F trong toàn bộ hay một phần thể tích V, của ngoại lực bề mặt có cường độ F* trên phần S1 của mặt giới hạn, và của các chuyển vị cưỡng bức cho trước u0 trên phần S2 của mặt giới hạn (hình 1.7).  Bài toán LTĐH: Xác định ứng suất, chuyển vị và biến dạng của vật thể đàn hồi  Bài toán tĩnh: gia tốc các chuyển vị bằng không.  Bài toán động: gia tốc các chuyển vị khác không – Chỉ xét bài toán tĩnh Hình 1.7. Vật thể đàn hồi tuyến tính chịu lực thể tích và bề mặt Hệ gồm 15 phương trình vi phân và đại số: (1.3), (1.5) hoặc (1.8) và (1.9) hoặc (1.11) chứa 15 hàm ẩn: 6 ứng suất + 6 biến dạng + 3 chuyển vị. Khi giải, để xác định các hằng số tích phân ta phải dựa vào các điều kiện biên (theo ứng suất hoặc chuyển vị). 1.4.1. Điều kiện biên a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học) V S 1 S 2 Trên bề mặt S1 (co sin chỉ phương của vec tơ pháp tuyến bề mặt là lx, ly, lz) của vật thể chịu lực bề mặt cường độ * iF , các thành phần ứng suất phải thoả mãn điều kiện: * xx x yx y zx z xl l l F     * xy x yy y zy z yl l l F     (1.13) * xz x yz y zz z zl l l F     b. Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học) Trên phần bề mặt S2 chịu các chuyển vị hoặc các đạo hàm của chuyển vị cưỡng bức usi = u0i ; vsi = v0i (hoặc các đạo hàm của chuyển vị) với u0, v0 là các thành phần chuyển vị đã biết trên bề mặt. Chú ý: Với các bài toán động phải có thêm điều kiện ban đầu. Hình 1.8. Các dạng điều kiện biên c. Nguyên lý Saint-Venant Khi giải các bài toán biên, để giảm bớt khó khănkhi tính toán người ta thường sử dụng một nguyên lý nổi tiếng là nguyên lý Saint-Venant: Nếu trên một miền nhỏ của vật thể đàn hồi có tác dụng một hệ lực trong trạng thái cân bằng , thì ở những nơi đủ xa miền đặt lực đó, trạng thái ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào hợp lực đặt vào, mà không phụ thuộc vào hình thức phân bố của các lực đó. Áp dụng nguyên lý này, ta có thể thay thế các điều kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng các điều kiện biên tích phân viết theo hợp lực. 1.4.2. Các phương pháp giải bài toán lý thuyết đàn hồi Nếu giải cùng lúc 15 phương trình trên để nhận được 15 ẩn số: công kềnh về mặt toán học => Thu gọn về một số phương trình để tìm một số hàm ẩn chính: gọi là các phương trình để giải của bài toán. Các ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi đã xác định được các ẩn số chính. Có nhiều cách khác nhau để lựa chọn các ẩn số chính của bài toán, việc lựa chọn cách nào là tùy thuộc vào lớp bài toán cụ thể.  Cách giải theo chuyển vị: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần chuyển vị iu  Cách giải theo ứng suất: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần ứng suất i  Cách giải hỗn hợp: Chọn một phần ẩn chuyển vị, một phần ẩn ứng suất a. Cách giải theo chuyển vị Ẩn số là các thành phần chuyển vị , ,u v w , để xác định chúng cần 3 phương trình. Từ 3 phương trình cân bằng, biểu diễn ứng suất qua biến dạng, rồi biến dạng qua chuyển vị ta nhận được hệ phương trình Lamê. 2 ( ) 0xG u F x           2 ( ) 0yG v F y           (1.14a) 2 ( ) 0zG w F z           với u v w x y z           là biến dạng thể tích ; 2 2 2 2 2 2 2x y z           là Nabla kép là phương trình chứa 3 ẩn chuyển vị , ,u v w . Sau khi giải (1.14), tìm được , ,u v w , biến dạng tìm theo (1.6), ứng suất tính theo (1.11). Các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên. b. Cách giải theo ứng suất Sáu ẩn ứng suất cần 6 phương trình. Sau khi xác định dược ứng suất, tìm biến dạng theo định luật Hooke, tìm chuyển vị bằng cách tính phân phương trình động hình học Cauchy => biến dạng phải thỏa mãn phương trình tương thích. Từ các pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ các pt định luật Hooke, chú ý đến 3 pt cân bằng ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel 2 2 11 2 1 (1 ) 0 S v x        2 2 22 2 2 (1 ) 0 S v x        2 2 33 2 3 (1 ) 0 S v x        (1.14b) 2 2 12 1 2 (1 ) 0 S v x x         2 2 13 1 3 (1 ) 0 S v x x         trong đó 11 22 33S      là hàm tổng ứng suất 1.5. Bài toán phẳng Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ không gian ba chiều. Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai trong ba biến số toạ độ. Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên chiều dày tấm và song song với mặt trung bình. Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp bài toán này. Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông góc với mặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z. 1.5.1. Bài toán ứng suất phẳng Xét tấm phẳng, chịu lực trong phẳng tấm, chiều dày tấm là bé so với các kích thước còn lại => hàm ứng suất, biến dạng, chuyển vị chỉ phụ thuộc vào hai biến (x, y), không phụ thuộc vào biến chiều dày z. Mặt trung bình của tấm Oxy, phương chiều dày Oz. a) Đặc điểm:  Giả thiết: 0zx zy zz     (mặt trên và dưới không có tải trọng)=> 0  zx zy (1.15)  Các ẩn số ứng suất: ; ; xx yy xy   Hình 1.9  Các ẩn số biến dạng: ; ; xx yy xy   (   1 0 1                     zz xx yy xx yy E ) b) Phương trình cân bằng: 0yxxx xf x y        0xy yy yf x y         (1.16) c) Phương trình động hình học Cauchy xx u x     ; yy v y     ; 1 ( ) 2 xy u v y x        (1.17) z p y x y y z x zx zy zz xx xy xz yy yx yz Phương trình tương thích: yxxy xyyyxx          2 2 2 2 2 2 (1.18) d) Phương trình định luật Hooke: 1 xx xx yy E       1 yy yy xx E       (1.19) 1 1 2 xy xy xy E           1 1 zz xx yy xx yy E                    e) Phương trình điều hoà Levy Từ phương trình tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất, ta có:       22 2 2 2 2 1 xy xx yy yy xx y x x y                  (*) Từ hệ phương trình cân bằng, đạo hàm phương trình đầu theo x, phương trình thứ hai theo y rồi cộng với nhau ta thu được: 2 22 2 2 2 xy yy yxx x ff x y x y x y                 (**) Thay (**) vào (*), ta nhận được:     2 2 2 2 1 yx xx yy ff x y x y                        (1.20) khi lực thể tích là hằng số ta nhận được phương trình điều hoà (Levy):  2 0xx yy    (1.21) Với 2 2 2 2 2x y        là ký hiệu của toán tử Laplace (đọc là nabla kép) Kết luận:  Các ẩn số độc lập: ; ; xx yy xy   ; ; ; xx yy xy    Các hằng số đàn hồi: E,   Phương trình điều hoà (Levy):  2 0xx yy    1.5.2. Bài toán biến dạng phẳng Xét tường chắn dài như hình vẽ, kích thước tường theo phương z lớn hơn nhiều so với hai phương x, y, nếu tải trọng không đổi theo phương z, thì những đoạn xa hai đầu tường có thể coi biến dạng theo phương z bằng không => chỉ cần xét đoạn tường có bề dày 1 đ.v. Hình 5.2 a) Đặc điểm: 1 d.v x z y  Giả thiết: 0zx zy zz     => 0zx zy   ( 0zz  ) (1.22)  Các ẩn số biến dạng: ; ; xx yy xy    Các ẩn số ứng suất: ; ; xx yy xy   ( zz phụ thuộc vào ; xx yy  ) b) Phương trình cân bằng: (như bài toán ứng suất phẳng) c) Phương trình hình học Cauchy – Phương trình tương thích: (như bài toán ứng suất phẳng) d) Phương trình định luật Hooke: Vì:   1 0zz zz xx yy E           =>  zz xx yy     , do đó:   21 1 1 xx xx yy zz xx yy E E                       , đặt 1 21 E E    ; 1 1      xx = 1 1 E [xx - 1yy] yy = 1 1 E [yy - 1xx] (1.23) xy = 1 1 1 E  xy e) Phương trình điều hoà Levy (biến đổi tương tự bài toán ứng suất phẳng)  2 0xx yy    Kết luận:  Các ẩn số độc lập xx, yy, xy ; xx, yy, xy.  Các hằng số đàn hồi E1, 1.  Phương trình điều hoà (Levy):  2 0xx yy    1.5.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy a Nhận xét chung về các bài toán phẳng:  Các phương trình cơ bản của trạng thái biến dạng phẳng và ứng suất phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở phương trình vật lý (E và E1,  và 1) => Phương pháp giải giống nhau.  Bài toán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị). Ta có 8 phương trình cân bằng để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động hình học và 3 pt vật lý)  Phải xác định đúng dạng bài toán ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng.  Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân: xxl + yxm = fx* xyl + yym =fy* (1.24)  Có cùng phương trình tương thích  2 0xx yy    (khi lực thể tích là hằng). Phương trình tương thích không chứa các hằng số đàn hồi của vật liệu => cơ sở của phương pháp quang đàn hồi (vật liệu như thép được thay thế bằng vật liệu trong suốt để dễ quan sát bằng ánh sáng phân cực khi xây dựng mô hình nghiên cứu,...); Bổ sung lượng bậc nhất Ax+By+C sẽ không làm ảnh hưởng đến giá trị các ứng suất => bỏ qua lượng bậc nhất khi tính toán. 1.5.4. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm ứng suất Airy (x, y) thỏa mãn: - Là hàm hai biến độc lập (x, y) - Khi bỏ qua lực thể tích: 2 2 y xx      ; 2 2 x yy      ; yx xy      2 (1.25) Thay (1.23) vào phương trình cân bằng => Thỏa mãn. Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích => Pt điều hoà Levy có dạng: 4 = 2(2) = 22 = 0 - Pt điều hoà kép (1.26) với 4 4 4 4 4 2 2 4 2               x x y y - toán tử bi điều hoà. Kết luận: Giải bài toán phẳng theo ứng suất đưa về việc tích phân phương trình đạo hàm riêng cấp 4 (7.12). Sau khi tìm được hàm , tính ứng suất theo (7.11), biến dạng theo các phương trình vật lý, và chuyển vị theo các phương trình động hình học. Khi giải các phương trình vi phân, các hằng số tích phân xác định theo điều kiện biên. 1.5.5. Đường lối giải bài toán LTĐH Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác (khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục). a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó khăn khi muốn có lời giải chính xác. b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm , từ đó tìm ngược lại tải trọng từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản. 2 2 2 (1 ) 0xx S x         : 2 2(1 ) 0xy S x y          2 2 2 (1 ) 0yy S y         ; 2 2(1 ) 0xz S x z          (1.27) 2 2 2 (1 ) 0zz S z         ; 2 2(1 ) 0yz S y z          trong đó xx yy zzS      là hàm tổng ứng suất