Bài giảng Giải tích 2 - Bài 2: Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ

§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0) n (1) hoặc un(x)=anx n (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). 0 0 0 ( ) hay n nn n n n a x x a x ¥ ¥ å å = = - a0, a1, a2, .. là hằng số Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2) §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Miền HT của chuỗi lũy thừa 1 n n n a x ¥ å = là tập D nếu 0x x D" = Î chuỗi số 0 1 n n n a x ¥ å = HT Ví dụ: Chuỗi 0 n n x ¥ å = Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1 Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1) Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi 2 1 1 1 nn x ¥ å = + §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ 2 1 ( ) 1 n n u x x = + xác định với mọi x Khi |x|<1: Cho n ® ¥ 2 0nx ®ta được Khi |x|=1: chuỗi PK theo đkcsshtlim 1n n u ® ¥ Þ = 2 11, , 2 n n x n u n= " Þ = " Chuỗi PK Khi |x|>1: Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞) n ® ¥Cho 2 2 2 1 1 1 1 ( ) | | n n n n u x x x æ ö ÷ç= = ÷ç ÷ç+ è ø : §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa 1 n n n a x ¥ = å HT tại x=x0, 0lim 0 n n n a x ® ¥ = 0 0 : ,n n M a x M nÞ $ > < " Nếu |x|<|x0| thì chuỗi 1 n n v ¥ = å HT Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh. Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây. tức là chuỗi số 0 1 n n n a x ¥ = å HT. Theo đkccsht ta được Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n x x x a x a x a x M x x x æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ç ç ç= = <÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø , n v n= " §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : Nếu chuỗi lũy thừa 1 n n n a x ¥ = å HT tại 0 0x ¹ thì nó HTTĐ tại mọi điểm 0 0 ( | |,| |)x x xÎ - thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): 1 n n n a x ¥ = å HT với mọi x: |x|0 sao cho chuỗi Hệ quả: Nếu chuỗi 1 n n n a x ¥ = å PK tại x1 PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa Đặt: Thì BKHT là 1 R r = Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận 1 lim | | | | lim | | n nn n n n a a a r ® ¥ + ® ¥ é ê ê= ê ê êë §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau 2 1 1 1. ( ) 2. 2 . n n n n n x nx n ¥ ¥ = = å å 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n n: lim lim| |n n n n a nr ® ¥ ® ¥ = = = + ¥ 0RÞ = BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 2. 2 1 2 . n n a n = 2RÞ = Khi x=2: 2 1 1 n n ¥ = å là chuỗi số dương HT Khi x=-2: 2 1 ( 1)n n n ¥ = å - là chuỗi HTTĐ Vậy MHT [-2,2] 2lim lim 1 1 | | 22 . n n n n n n a n® ¥ ® ¥ Þ = = §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: 1. Chuỗi lũy thừa với 1 3 5 n n n a = + → R=5 Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht 1 ( 5) 3 5 n n n n ¥ = å ± + BKHT R=5, MHT là (-5,5) Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht 2 1 1 1 1 1 1. 2. ( 1) 2 13 5 ( 1)! ! 3. 4. 5 nn n n n n n n n n n n n x n x n n x n n x ¥ ¥ = = ¥ ¥ = = å å å å æ ö+ ÷ç -÷ç ÷è ø-+ - lim lim 1 1 | | 53 5 n n n n n n n a ® ¥ ® ¥ Þ = = + §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 2. Chuỗi lũy thừa với → R=2 Ta chỉ xét X=2: 1 1 2 2 1 n n n n n ¥ = å æ ö+ ÷ç ÷ç ÷è ø- Chuỗi PK theo đkccsht vì 3 2 1 2 1 33 22 2 31 0 2 1 2 1 nn nn n n u n e n n - -æ ö÷çæ ö æ ö+ ÷ç÷ ÷ ÷ç ç= = + ® ¥ ¹ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷è ø è ø- -ç ÷çè ø uuuuuur Suy ra, chuỗi đã cho HT khi Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2) 1 1 lim | | lim 2 1 2 n n n n n n n a n® ¥ ® ¥ æ ö+ ÷ç= =÷ç ÷è ø- 21 , ( 1) 0 2 1 n n n a X x n æ ö+ ÷ç= = - ³÷ç ÷è ø- 20 2 0 ( 1) 2 1 2 1 2X x x£ < « £ - < « - < < + §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 3. Chuỗi lũy thừa với → R=0 Vậy BKHT R=0, MHT là {0} ( 1)! 5 n n n a - = 1 1 | | ! 5 lim lim . lim | | ( 1)! 55 n n nn n nn a n n a n + +® ¥ ® ¥ ® ¥ Þ = = = + ¥ - §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 4. Chuỗi lũy thừa với ! 1 ,n n n a X xn = = → R=e Khi X=e: 1 ! n n n n e n ¥ = å 1 ! | | ( 1)! 1 lim lim . lim | | ! 1( 1) nn n nn n nn a n n n a n n en + +® ¥ ® ¥ ® ¥ æ ö+ ÷ç= = =÷ç ÷è ø++ ( ) 1 1 1 ( 1)! . 1 ( 1) ! 11 n n n n n n n n u n e n e D n u n n e n + + + + Þ = = = ® ¥ + + uuuuuur Tuy nhiên, vì 1 1 1 1 1 , n n e n n n +æ ö æ ö ÷ ÷ç ç+ < < + "÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 4. Chuỗi lũy thừa với ! 1 ,n n n a X xn = = , R=e Khi X=-e: 1 1 ! ! ( ) ( 1)n n n n n n n n n e e n n ¥ ¥ = = å å- = - Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó cũng PK Suy ra, chuỗi đã cho HT khi Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U( 1/e,+ ∞) 1 1 1 1 x e X e e x x e x e é >ê < « < « < « ê ê < -êë §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Tính chất của chuỗi lũy thừa: Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1 (1)nn n a x ¥ = å 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R 1 1 1 1 ( ) ( ) , ( , )n n nn n n n n n S x a x a x a nx x R R ¥ ¥ ¥ - = = = å å å ¢æ ö ÷¢ ¢ç= = = " Î -÷çè ø 1 1 1 10 0 0 ( ) , ( , ) 1 nx x x n n n n n n n n x S t dt a t dt a t dt a x R R n +¥ ¥ ¥ = = = å å åò ò ò= = = " Î - + §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau 1. Chuỗi có 1 na n = Dễ dàng suy ra R=1. Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt 1 ( ) n n x S x n ¥ = å= 1 1 1 1 ( ) , ( 1,1) 1 n n n n x S x x x n x ¥ ¥ - = = å å ¢æ ö ÷ç¢ ÷Þ = = = " Î -ç ÷ç ÷ -è ø 0 1 ( ) ln(1 ), ( 1,1) 1 x S x dt x x t ò= = - - " Î - - Vậy: 1 1 2 1 2 1 1 1. 2. 3. ( 1) 2 4. n n n n n n n n n x nx n x nx n n ¥ ¥ = = ¥ ¥- = = å å å å- + §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x" Î - ta đặt 1 1 1 ( ) n n n n S x nx x nx ¥ ¥ - = = å å= = 1 ( ) n n S x x x ¥ = å ¢æ ö ÷ç= ÷çè ø 1 1 x x x ¢æ ö ÷ç= ÷ç ÷è ø- 2 (1 ) ( 1) (1 ) x x x x - - - = - 2 ( ) , ( 1,1) (1 ) x S x x x = " Î - - §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 3. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x" Î - ta đặt 2 1 1 ( ) ( 1) 2n n n S x nx ¥ - = å= - 2 1 ( 1)n n n x ¥ = å ¢æ ö ÷ç= - ÷çè ø 2 1 ( )n n x ¥ = å ¢æ ö ÷ç= - ÷çè ø 2 2 1 ( ) 1 ( ) x x ¢æ ö ÷ç= - ÷ç ÷çè ø- - 2 2 2 2 2 (1 ) .2 (1 ) x x x x x - + + = + Vậy: 2 2 2 ( ) , ( 1,1) (1 ) x S x x x = - " Î - + §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x" Î - ta đặt 1 1 1 ( ) 1 n n n n x x x S x n x n ¥ ¥ = = å å æ ö ÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷è ø Sử dụng kết quả câu 1. Vậy : ( ) 1 ( ) ln(1 ) ln(1 )S x x x x x = - - - - - - This image cannot currently be displayed. 1 ( ) ln(1 ) 1 1, ( 1,1)S x x x x æ ö ÷ç= - - + " Î -÷ç ÷è ø 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 n n n n n n n n x x x S x x n n n nn n ¥ ¥ ¥ ¥ = = = = å å å å æ ö ÷ç= = - = -÷ç ÷è ø+ ++ 1 1 1 1 ( ) 1 n n n n x x S x n x n +¥ ¥ = = å å= - + §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n ¥ = å - Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm ( ) 0 (0) ! n n n f x n ¥ = å Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể bằng f(x). §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n thì ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( , ) ! n n n f x f x x x x x R x R n ¥ = å= - " Î - + Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Một số chuỗi Maclaurint cơ bản  1,1D   0 1 2 / , 1 n n x x      0 1 ( 1) , 1 n n n x x         1 ( 1)...( 1) 3 / 1 1 ! n n n x x n                   , 1,1 , 0 1,1 , 1 0 1,1 , 1 R N D                   0 1/ , ! n x n x e n     D RMHT:  §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 4 / ln(1 ) ( 1) , n n n x x n        1,1D   2 1 0 2 0 5 / sin ( 1) (2 1)! cos ( 1) (2 )! n n n n n n x x n x x n             D R   2 1 0 6 / arctan ( 1) , 2 1 1,1 n n n D x x n         §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm: 2 2 1. ( ) 2. ( ) ln(2 - 3 ) 5 6 x f x f x x x x x = = + - + 1. 2 1 1 ( ) 3 25 6 x f x x x xx x æ ö ÷ç= = - ÷ç ÷è ø- -- + 1 1 1 1 3 21 1 3 2 x x x æ ö ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - +ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷çè ø 0 0 1 1 3 3 2 2 n n n n x x x ¥ ¥ = = å å æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= - +ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷çè ø Vậy: Chuỗi HT nếu 1 1 và 1 1 3 2 x x - < < - < < ↔ -2<x<2 MHT: (-2,2)1 1 1 0 1 1 ( ) 2 3 n n n n f x x ¥ + + + = å æ ö ÷ç= - ÷ç ÷è ø §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2. f(x)=ln(2-3x+x2)= ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x) ( ) ln(1 ( )) ln2 ln(1 ( )) 2 x f x x= + - + + + - MHT: (-1,1) 1 1 1 1 1 1 2 x xx ì - < - <ïïï Û - < <í -ï - < <ïïî Chuỗi HT nếu 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ln2 ( ) 2 nn n n n n x f x x n n - -¥ ¥ = = å å æ ö- - ÷ç= + - + - ÷ç ÷è ø 1 1 1 ( ) ln2 1 2 n n n f x x n ¥ = å æ ö ÷ç= - + ÷ç ÷è ø §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: ( )2( ) ln 1f x x x= + + Ta tính Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x): 2 4 2 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 2 2! 1 1 1 1 1 2 2 2 ! n f x x x n x n                                        1 2 2 2 2 2 1 11( ) 1 1 1 x xf x x x x x           21 1.3.5...(2 1) ( ) 1 ( 1) 2 ! n n n n n f x x n        §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Hàm khai triển được nếu 20 1 1 1x x      0 ( ) ( ) (0) x f x f t dt f Suy ra: 1 1x  MHT :  2 2 1 1 1.3.5...(2 1) ln 1 ( 1) 2 !(2 1) n n n n n x x x x n n            §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm 1 ( ) 1 f x x = - Đặt X=x-3 1 1 2 ( ) 32 ( 3) 21 2 f x xx = = -+ - + MHT: (1,5) 0 1 3 ( 1) 2 2 n n n x¥ = å æ ö- ÷ç= - ÷ç ÷è ø 1 0 ( 1) ( ) ( 3) 2 n n n n f x x ¥ + = å - = - §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa 0 ( ) , ( 1,1) ( 1) n n x x n n ¥ = å - Î - + Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với ( 1) ( 1) n na n n - = + Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt 0 ( ) ( ) ( 1) n n x S x n n ¥ = å - = + §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 0 0 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 n n n n n n x x n x n -¥ ¥ + = = å å - - - = - + + 1 1 0 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 n n n n n x x n x n -¥ + = å æ ö- - ÷ç ÷= - +ç ÷ç ÷+è ø 0 1 1 ( ) ( 1) 1 n n n S x x n n ¥ = å æ ö ÷ç= - - ÷ç ÷è ø+ 1 0 1 ( 1) ( 1)ln(1 ) 1 n n n x x x n -¥ = å æ ö- - ÷ç ÷= - + + -ç ÷ç ÷è ø ( ) 1 ( 1)ln(1 ) ln(1 ) 1x x x = - + - + - 0 ( ) 1 1 1 1 ln , x (-1,1) ( 1) 1 n n x n n x x x ¥ = å æ ö- ÷ç= + + " Î÷ç ÷è ø+ + Vậy: §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 1 1 1 (2 )!! n n n x n ¥ + = å - 1 1 1 1 1 . (2 )!! 2.4.6...(2 ) n n n n n n x x x n n ¥ ¥+ = = å å - - = 1 . 2 . ! n n n n n x x x n ¥ = å - = 1 1 1 ! 2 ! 2 n n n n n x x x n n ¥ ¥ = = å å æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= -ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷çè ø 1 1 1 1 1 2 ( 1)! 2 ! 2 n n n n x x x x n n - ¥ ¥ = = å å æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= -ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷-çè ø 2 0 0 1 1 1 2 ! 2 ! 2 n n n n x x x x n n ¥ ¥ = = å å æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç= - -ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷çè ø è ø ÷çè ø §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 1 (2 )!! n n n x n ¥ + = å - 2 2 2( 1) 2 x xx e x e= - - 2 2 , x 2 xx x e x æ ö ÷ç ÷= - + "ç ÷ç ÷è ø §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu tích phân bằng chuỗi, tính tích phân 1 0 1 ln 1 I dx x ò æ ö ÷ç= ÷ç ÷è ø- 1 1 1 ( ) ln ln(1 ) ( 1) 1 n n n x x x n ¥ - = å æ ö -÷ç = - - = - -÷ç ÷è ø- 1 10 ( ) ( 1) n n n x I dx n ¥ = åò - = - 1 1 0 ( 1) ( ) n n n x dx n ¥ = å ò - = - 1 1 1 1n n n ¥ = å - = + Ta có: Thay vào tích phân trên Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa Tổng riêng : Sn = u1+u2++un và tổng S §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1n S n n é ùæ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= - - + - + - + + -ê ú÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øê ú+ë û 1 1 -1 1n S n n é ù = - - ® ¥ê ú ê ú+ë û uuuuuur 1 0 1 ln 1 1 I dx x ò æ ö ÷ç= = -÷ç ÷è ø- Vậy §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau 1. 5e= 2. 2 1 2 1 1 2 2.2 (2 )!! 2.4.6...(2 ) n n n nn n +¥ ¥ = = å å= 2 1 2.2 2 ! n n n n ¥ = å= 1 2 2 ! n n n ¥ = å= 0 2 2 1 ! n n n ¥ = å æ ö ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷è ø 22( 1)e= - 1 0 1 2 1 1 3 1 1 1 .5 ( 2) 1. 3. ! ( 2)7 2 ( 1) .2.5.8...(3 4) 2. 4. (2 )!! 2 . ! n n n n n n n n n n n n n n n n n ¥ ¥ + = = + -¥ ¥ - = = å å å å - + - - 1 0 1 .5 5 0 5 ! ( 1)! n n n n n n n -¥ ¥ = = å å= + - 0 5 5 ! n n n ¥ = å= §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 3. 1 1 1 ( 2) ( 1) 2 1 1 1 2 2( 2).7 7.7 n n n n n n n n nn n ¥ ¥ + = = å å æ ö- - ÷ç= - ÷ç ÷è ø++ 1 1 2 1 1 ( 1) 14 7 2 n n n n n ¥ = å æ ö æ ö ÷ ÷ç ç= - -÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø+ 2 21 1 1 1 1 ( 1) 2 1 ( 1)( 1) 2 7 14 7 14 2 7 2 n nn n n nn n +- +¥ ¥ = = å å æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç= -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø+ 21 1 1 2 1 49 ( 1) 2 2 1 2 ln(1 ) 14 7 14 4 7 7 2 7 nn n n -¥ = å æ öæ ö æ ö- - ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= + + - +ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷çè ø 1 1 ( 2) 45 9 3 ln 56 7 14( 2).7 n n n n n ¥ + = å - = - + §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 4. 1 3 1 1 ( 1) .2.5.8...(3 4) 2 . ! n n n n n -¥ - = å - - 1 3 1 1 1 1 1 .( 1)( 2)...( ( 1)).3 3 3 3 3 2 .2 . ! n n n n n ¥ - = å - - - - = 1 1 1 1 1 .( 1)( 2)...( ( 1)) 33 3 3 32 ! 8 n n n n ¥ = å - - - - æ ö ÷ç= ÷ç ÷è ø 1 3 33 3 11 2 1 1 2 2 11 2 8 8 æ ö ÷çæ ö ÷ç ÷ ÷ç= + - = - = -ç ÷ ÷ç ÷ç ÷è øç ÷çè ø