Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung 1.Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2.Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP . .v v vx yz xf f y    Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: . . ,u ux y uz x f yf      u vdz z du z dv   ( ) ( ) x y x u v y u v dz f dx f dy f x du x dv f y du y dv             Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) Trường hợp riêng 1 u vdz z du z dv   ( ) ( )( )u vdz f x dx f x x du x dv     ( ) ,u uf xz x  ( )v vxfz x  Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) ( ) . ( ) . ( )x yz t x tf y tf     . ( ) . ( )x y x ydz f dx f dy f x t dt f y t dt         ( )dz z t dt z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) Trường hợp riêng 3: Löu yù: khi tính ñaïo haøm haøm hôïp, luoân baét ñaàu töø ñaïo haøm cuûa f theo bieán chính. Sau ñoù, tuøy thuoäc vaøo yeâu caàu, nhaân theâm ñaïo haøm cuûa bieán chính vaøo caïnh ñaïo haøm cuûa f. ( ) . ( )x yf fz x y x    ( )dz z x dx VÍ DỤ 2( , ) , ,xyz f x y e x u y u v     vz  (u, v)= (1, 1)  (x, y) = (1, 2) 1/ Cho: tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v uz  .2u xyxe .1 xyye .0 xyxe .1 xyye 2 2 2 2 (1,1) 2. .2 1. .1 5 (1,1) u v z e e e z e          2 2(1,1) (1,1) (1,1) 5u vdz z du z dv e du e dv     2/ Cho: 2( ) sin( ), arctan u z f x x x x v          Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v 2(1 2 )cos( )u x x xz    2(1 2 )cos( )v x x xz    x(0, 1) = 0 (0,1) 1 (0,1) 0 u v z z      2 2 1 1 1 v u v    2 2 2 1 1 u v u v     3/ Cho:   ( , ) sin( ), arctan , t z f x y xy x t y e     Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), ( )z t  (0)dz dt  dz = z’(t)dt, 2 1 1 t cos( )x xy tecos( )y xy 0 0, 1t x y    Cách 2: cos( ) cos( )dz y xy dx x xy dy  . ( ) . ( )x yx ydz f f x t dt f y t dy tdx f d          ( , ) sin( ), arctan , t z f x y xy x t y e     2 cos( ) cos( ) 1 tdty xy x xy e dt t    (0)dz dt  4/ Cho: 2 2 ln( 1) ( , ) . y z f x y x    a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) 2 3 ln( 1) 2 y x    2 3 ln( 1) / 2x x z y a z f x x         ln(1) (1,0) 2 0 1x z   2 2 2 ( 1) y y x  xe 2 2 2 1 2 (0) 2ln( 1) 1 x y e e z e e          2 3 ln ' ) 1) 2( (y z x x   2 2 2 ( 1) y y x  xe 5/ Cho: ( , ),z f x y xy  Tính z’x, z’y với f là hàm khả vi Đặt: u = x – y , v = xy  z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) .1u vf f y   .( 1)u vf f x    . .x x xu vz uf f v    . .y y yu vz uf f v    6/ Cho: 2 x z xf y        Chứng minh đẳng thức: với f là hàm khả vi 2 2x yxz yz z   Đặt : 2 x u y   z = x.f(u) ( ) . ( ). xf u x f u u   2 1 ( ) . ( ).f u x f u y    ( ) . ( )x xz f u x f u    32 ( ). . ( ).y x xf u u x f u y      2 x yxz yz  2z  . ( )y yz x f u   2 1 2 ( ) . ( ).x f u x f u y        3 2 . ( ). x yx f u y   2 ( )xf u 2 x z xf y        7/ Cho:  2 2,z f x y xy  Tính dz theo dx, dy. với f là hàm khả vi Đặt: u = x2 – y , v = xy2  z = f(u, v) •Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với . .x x xu vz uf f v    . .y y yu vz uf f v    2.2 .u vf x f y   .( 1) .2u vf f xy       2.2 . .2u v u vdz f x f y dx f f xy dy        • Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y 2dx + 2xydy) = (2xf’u + y 2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)       . . . . . . uu u u u x u x uu y u y uuu x u yz x y f x f x f y f f f y                                . . . . . . uv u u v x u x uv y u y uvv x v yz x y f x f x f y f f f y                          Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp.       . . . . . . vv v v v x u x uv y u y vvv x v yz x y f x f x f y f f f y                          Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv 2 2 22uu uv vvd z z du z dudv z dv     Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)  2 ( )x y x ydz f dx f dy d z d dz d f dx f dy         Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng    2 22 x y yxd z dx fd f d x d ddy ff y    Lưu ý: • d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp. • d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường. Vi phân cấp 2 tính theo hàm hợp VÍ DỤ 22u u uz xy x x y       22uu uz xy x     z”uu(1, 1) = 8 ,x u v y u v   1/ Cho: 2( , ) ,z f x y x y  Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0) 2 22 1 1 2xy x xy x       2 2u u ux y xy xx     2( ) 2 4 2y x x x y      22uv vz xy x    22uz xy x   z”uv (1, 1) = 0  2 2v v vx y xy xx     2( ) 2 2y x x y    ,x u v y u v    VÍ DỤ 22 1 2xy x u    22u u uz xy x x y       22 .uu u z xy u x     z”uu(1, 1) = 26 2,x u v y u  1/ Cho: 2( , ) ,z f x y x y  Tính z”uutại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 1)  2 u ux y xy   22 ( .2 ) 2 .1y x u x ux      2(x .2 . )uu x x 2, lnx t y t 2/ Cho: 2( , ) ,z f x y x y  Tính d2z theo dt tại t = 1 với 2 2( )d z z t dt (t là biến độc lập) ( ) . ( ) . ( )x yz t f x t f y t      2 12 .2 .xy t x t   3 34 .lnt t t  2 2 2( ) 12 .ln 4 3z t t t t t    2 2(1) 7d z dt 3/ Cho: 2( )z f x y  Tính z”xx, z”xy, z”yy với f là hàm khả vi cấp 2. Đặt u = x2 - y  z = f(u) ( ) ( ).2 ,x xz f u u f u x        ( ).2xx x x xz z f u x       2 ( ) ( ). xf u xf u u    ( ).( 1) yz f u    2 ( ) ( ) xf u x f u       22 ( ) 2 ( )f u x f u        ( ).2xy x y yz z f u x      2 ( ). yxf u u  2 ( )xf u  2 ( ) yx f u  ( ) yf u u     ( )yy y yyz z f u       ( )f u ( ).( 1)yz f u   ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1). Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo hàm của F. Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến G = F(x, y) = 0, với y = y(x)  G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0 ( ) x y F y x F      Xem x, y là 2 biến độc lập khi lấy đh của F. Đạo hàm của hàm ẩn 1 biến y = y(x) Xét hàm ẩn 2 biến z = z(x, y) xác định từ phương trình: F(x, y, z) = 0 (1). , yxx y z z FF z z F F         x, y, z là các biến độc lập khi tính F’x, F’y, F’z. Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x: 0 .1 .0 . 0x x y z xG G F F F z          x x z F z F      0 .0 .1 . 0y x y z yG G F F F z          y y z F z F      Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn dz tìm bằng giải pt hoặc từ dz = z’xdx + z’ydy 0 . . . 0x y zG dG dF F dx F dy F dz          Giải pt tìm dz Cách tìm vi phân cấp 1: Đạo hàm và vi phân cấp 2 của hàm ẩn: Cách 1: tính z”xx, z”xy, z”yy và d 2z từ z’x, z’y và dz Cách 2: giải các pt (a) G”xx = 0 tìm z”xx (b) G”xy = 0 tìm z”xy (c) G”xy = 0 tìm z”yy (d) d2G = d2F = 0 tìm d2z VÍ DỤ 0ye xy e   0yy e y xy    (0) 1 0 0y e    Cách 1: học kỳ 1 Lấy đạo hàm pt đã cho: x = 0, (1)  y = 1, Cho y = y(x) xác định từ pt: Tìm y’(0). (1) (2) (2)  1(0)y e   Cách 2: F(x, y) = ey + xy – e (1)  F(x, y) = 0 ( ) x y F y x F      y y e x    11(0) 0 y e e       1/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: /( , , ) 0x zF x y z z ye   Tìm z’x, z’y tại (x, y) = (0, 1). (1) từ (1) ta có: (x, y) = (0, 1)  z = 1 / / 2 1 x z x x x zz y eF zz yxF e z         1 (0,1) 1 1 0x z       Ví dụ // 2 1 x z y y x zz F e z yxF e z          1 (0,1) 1 1 0 yz       /( , , ) 0x zF x y z z ye   2/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: ( , , ) ( ) 0F x y z xy sh x y z     Tìm z’’xx, z’’xy tại (x, y) = (1, 0). (1) ( ) ( ) x x z F y ch x y z z F ch x y z             ( ) ( ) y y z F x ch x y z z F ch x y z             Ví dụ ( , ) (1,0) 1x y z   (1,0) 1, (1,0) 0 x y z z         ( ) ( ) xx x x x y ch x y z z z ch x y z             2 (1 ) (.) (.) (.) (1 ) (.) ( ) x xz sh ch y ch z sh ch x y z           ( ) ( ) x x z F y ch x y z z F ch x y z                   2 c (.) . (.) (.) . (.) (.) x x y h ch ch y ch ch         2 (1 ) (.) (.) (.) (1 ) (.) ( ) x x xx z sh ch y ch z sh z ch x y z            (1 1).0.1 (0 1)(1 1).0 (1,0) 0 1xx z          (1,0) 1, (1,0) 0 x y z z        ( ) ( ) xy x y y y ch x y z z z ch x y z             2 1 (1 ) (.) (.) (.) (1 ) (.) ( ) y yz sh ch y ch z sh ch x y z             1 (1 0).0 .1 (0 1)(1 0).0 (1,0) 1 1 xyz           ( ) ( ) x x z F y ch x y z z F ch x y z             (1,0) 1, (1,0) 0 x y z z      3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: 3 2( , , ) 4 4 0F x y z z xz y     Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) nếu z(1, -2) = 2 (1)  Lấy vi phân pt (1): 23 4 4 2 0dF z dz zdx xdz ydy     (2) Thay x = 1, y = - 2, z = 2 vào (2): 12 (1, 2) 8 4 (1, 2) 4 0dz dx dz dy      1 (1, 2) 2 dz dx dy    Ví dụ  Lấy vi phân pt (2):  2 23 4 4 2 0d F d z dz zdx xdz ydy      2 2 2 23 2d F zdz z d z  (Vì x, y là biến độc lập nên dx = dy = hằng) (3) Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy vào (3) 2 2 21 5(1, 2) 2 8 d z dx dxdy dy     4dzdx  24 dxdz xd z  22dy 0 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: ( , ) 0F f x z y   Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy (1) với f là hàm khả vi cấp 2. Đặt u = x+ z, v = y  F(x, y, z) = f(u, v) = 0 . . ,x u x v x uF f u f v f       . .y u y v y vF f u f v f        . .z u z v z uF f u f v f        1, u vx y u u f f z z f f            Ví dụ 0xxz  v y u f z f      u = x+ z, v = y v yy u y f z f             2 . . . . . .vu y vv y u uu y uv y vy y u f u f v f f u f v f f                      2 . . . .vu y vv u uu y uv v u f z f f f z f f f               2 . . . .v vvu vv u uu uv v u u yy u f f f f f f f f f f z f                                   v y u f z f           2 . . . .vu y vv u uu y uv v yy u f z f f f z f f z f              