Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Bài 6: Ước lượng tham số - Nguyễn Mạnh Thế

BÀI 6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ TS N ễ M h Thế. guy n ạn v1.0012107210 1 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình huống Để ước lượng phế phẩm của một dây chuyền sản xuất mới mua lại, ể ẫ ẩcông ty Thiên An ki m tra ng u nhiên 100 sản ph m do một nhà máy sản xuất thấy có 12 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm của nhà máy đó. Nếu muốn độ chính xác là 0.03 thì phải lấy tối thiểu bao nhiêu sản phẩm? Câu hỏi gợi mở Câu 1: Nhà sản xuất cần phải xem chất lượng của dây chuyền sản xuất. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nhà quản lý có thể ước lượng được tỷ lệ phế phẩm bình quân của dây chuyền? Câu 2: Khoảng ước lượng cho tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là bao nhiêu nếu giám đốc muốn độ tin cậy cho ước lượng đó là 95%? Câu 3: Để khoảng ước lượng có độ chính xác cao (cỡ 0.03) thì cần v1.0012107210 2 phải tốn bao nhiêu tiền? Biết chi phí điều tra 01 mẫu mất 10.000 VNĐ. TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) Kết luận f(1 f) f(1 f)  Khoảng ước lượng hai phía của p là: /2 /2p f u ;f un n         /2uTrong đó phân vị tìm từ bảng phân phối chuẩn 2   0 Nếu cho trước độ chính xác là 0 0 f(1 f) n u 1/2         Khi đó cỡ mẫu tối thiểu cần có là: v1.0012107210 3 MỤC TIÊU Ư ể• ớc lượng đi m; • Ước lượng khoảng . Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X với tham số θ chưa biết, dựa vào thông tin mẫu (X1, X2, , Xn) hãy ước lượng th ố θam s . v1.0012107210 4 1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Khái niệm: Thống kê dùng làm ước lượng cho tham số θ được* 1 2 nG(X , X ,..., X )  gọi là ước lượng điểm cho θ. Với ẫ thể iá t ị ủ là ó thể* * G( )( )m u cụ , g r c a c lấy tương ứng cho θ.  1 2 nx , x ,...x 1 2 nx , x ,..., x Ví dụ: Thống kê ước lượng n1 X X  điểm cho E(X)    i i 1n  Giá trị của ước lượng điểm là: x v1.0012107210 5 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Khái niệm:    L U L(X X X ) U(X X X ) được gọi là ước lượng khoảng (hai phía) cho tham số θ với độ tin cậy 1– α nếu 1 2 n 1 2 n; , ,... ; , ,...  1 2 1 2P L(X X X ) U(X X X ) 1     Chú ý: Độ tin cậy 1 - α thường lớn hơn 90% n n, ,..., , ,..., Khoảng ước lượng hai phía  1 2 n 1 2 n(l;u) L(x , x ,..., x );U(x , x ,..., x )  Khoảng ước lượng trái Khoảng ước lượng phải  1 2 n(l; ) L(x , x ,..., x );     1 2 n( ;u) ;U(x , x ,..., x )    v1.0012107210 8 Xác định cỡ mẫu 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Cho biến ngẫu nhiên và mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 ,...X n ) có giá trị (x 1 , x 2 ,...x n ). Tham số chưa biết. T ườ hợ đã biết 2X ~ N( , )   2r ng p : 2 XX ~ N( , /n) n ~ N(0,1)       với độ tin cậy 1 - a ta tìm được điểm sao cho /2u 0 / 2 1 (u ) 2 2    Ta được các khoảng: • Ước lượng hai phía: / 2 / 2(x u ; x u )n n       • Ước lượng trái: (x u ; ) n     • Ước lượng phải: Trong đó: ( ;x u ) n     v1.0012107210 90 (u ) 1    Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: normsinv(1-α/2). Tham khảo phần phụ lục. 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm của 25 hộ gia đình trong vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 12 1 Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình trong vùng với độ tin cậy2 giá trị tối t iểu và iá trị tối đa của mức thu hập trung bình , , , , , Số hộ 5 8 4 6 1 1 . 95%, và σ=0,2.trong ùng với độ tin cậy 99% và σ=0,2. Giải: Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình trong vùng, T ó 2X ~ N( : 0,2 ) Giải: Gọi X là thu nhập của ột hộ gia đình trong vùng, Ta có:a c x 11,672 0 / 2 0,025(u ) 1 0.975 u 1,962       tra bảng ta rút ra Kh ả i ậ hải 1 99% 0,01      0,01u u 2,33   0,2 (11 672 2 33 ) (11 579 ) 0,2 0,2 (11,672 1,96;11,672 1,96) (11,594; 11,75) 25 25     o ng t n c y p Khoảng ước lượng trái , , ; , ; 25      0,2 ( ;11,672 2,33) ( ;11,765) 25      v1.0012107210 10 Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv (1-0,01) 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Trường hợp chưa biết Thố kê 2 X T T( 1)  ng Ta tìm được phân vị sao cho: ' n ~ nS   n 1 / 2t   n 1 n 1 /2 / 2 s ' s ' (x t ;x t ) n n        được tìm từ bảng phân phối student.n 1/ 2t   • Ước lượng giá trị tối thiểu: n 1 s ' (x t ; ) n      • Ước lượng giá trị tối đa: n 1 s ' ( ;x t ) n     v1.0012107210 12 Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: tinv(α,n-1). Tham khảo phần phụ lục. Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm của 25 hộ gia đình trong vùng 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) ta có bảng số liệu: Thu nhập 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 12 Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình trong vùng với độ tin cậy 95% biết , , , , , Số hộ 5 8 4 6 1 1 , rằng thu nhập là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Giải: Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình trong vùng. T ó 2a c : tra bảng ra rút ra Vậy khoảng ước lượng cho thu nhập trung bình: X ~ N( ; )  2x 11,672, s' 0,0188, s' 0,137   n 1 24/ 2 0,025t t 2,06   Khoảng tin cậy phải Khoảng ước lượng trái với (1,625; )  ( ;11,719)  n 1 240 05t t 1,71.   v1.0012107210 13 , Chú ý: Hoặc dùng lệnh tinv(0.05,24) 2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Xác định cỡ mẫu: Cho khoảng ước lượng /2 /2(x u ; x u )n n      • Nếu σ đã được biết trước: Nếu cho trước độ chính xác của ước lượng là thì cỡ mẫu tối thiểu là 0 ký hiệu [ ] là phần nguyên 2 0 / 2 0 n u          • Nếu σ chưa được biết: Cỡ mẫu tối thiểu với độ chính xác của ước lượng là 0 2 n 1 0 /2 s ' n t          v1.0012107210 15 0  2.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Cho biến ngẫu nhiên T ó thố kê 2X :N( ; )  '2 2 (n 1)Sa c ng có phân phối khi bình phương với n-1 bậc tự do 2x   '2 2 2 2(n 1)S  1 /2,n 1 /2,n 12 '2 '2 2 P x x x 1 (n 1)S (n 1)S P 1                    • Ước lượng hai phía: '2 '2 2 2 2 (n 1)s (n 1)s ; x x         2 2 /2,n 1 1 /2,n 1x x         • Ước lượng giá trị tối thiểu: '2 2 2 1 (n 1)s ;        / 2,n 1 1 /2,n 1    • Ước lượng giá trị tối đa: ,n  '2 2 2 1 n 1 (n 1)s 0; x         v1.0012107210 17 , Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: chiinv(p,n-1). Tham khảo phần phụ lục. 2.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo do một may đóng bao tự động đóng ta có phương sai hiệu chỉnh . Hãy tìm ước lượng khoảng tối ộ í á ủ á ớ ộ ậ ế 2 2s ' 0,0153(kg) đa cho đ ch nh x c c a trọng lượng c c bao gạo v i đ tin c y 95%. Bi t rằng trọng lượng các bao gạo do máy tự động đóng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Giải: Gọi X là trọng lượng một bao gạo 2X ~ N( ; )  Ta có: 2s ' 0,0153, 1 0,95 0,05      Tra bảng phân phối khi bình phương ta có 20,95,19x 10,117 2 2 (20 1)s ' 19.0,0153    2 0,95,19 2 0; 0; 10,117x (0; 0,17)            v1.0012107210 18Chú ý: Hoặc dùng lệnh chiinv(0.95,19) Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên A với xác suất p chưa biết 2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT Thực hiện n lần thử về biến cố A, m là số lần A xuất hiện. Xác định khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy 1-α. Ta có tần suất biến cố A: mf n  f pTa có thống kê Vậ t ó kh ả ướ lượ h i hí ủ U n ~ N(0;1) f(1 f)   y a c o ng c ng a p a c a p /2 /2 f(1 f) f(1 f) p f u ; f u n n          Tương tự ta có khoảng ước lượng một phía của p f(1 f)  • Ước lượng giá trị tối thiểu: p f u ; n        f(1 f)  v1.0012107210 19 • Ước lượng giá trị tối đa: p ; f u n        í ể ẫ ê ả ẩ ộ à á ả ấ ấ 2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT (tiếp theo) V dụ: Ki m tra ng u nhi n 100 s n ph m do m t nh m y s n xu t th y có 12 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm của nhà máy đó. Giải: Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy ta có n 100; m 12;, = = f = m/n = 12/100 = 0,12. Tra bảng phân phối chuẩn ta có 0 025u 1,96 1 0.95 /2 0,025      , 0,12.0,88 0,12.0,88 p (0,12 1,96; 0,12 1,96) 100 100    p (0,056; 0,184)  v1.0012107210 20Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv(0.975) 2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT (tiếp theo) Xác định cỡ mẫu Ta có: / 2 f(1-f) | p f | u    Nếu cho trước độ chính xác là khi đó cỡ mẫu tối thiểu cần có là: n 0 2 0 / 2 f(1 f) n u         0  v1.0012107210 22 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các nội dung chính: 1. Ước lượng điểm 2. Ước lượng khoảng Bài toán 1: Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Bài t á 2 Ướ lượ hươ i ủ biế ẫ hiêo n : c ng p ng sa c a n ng u n n phân phối chuẩn. Bài toán 3: Ước lượng khoảng cho xác suất. v1.0012107210 23 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide