Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 8: Kiểm định giả thiết thống kê

CHƯƠNG 8 Kiểm định giả thiết thống kê (3LT + 3BT) 1. Khái niệm Giả thiết thống kê (giả thiết) là các phát biểu liên quan đến các số đặc trưng của ĐLNN, quy luật phân phối của ĐLNN, tính độc lập của các ĐLNN Kiểm định là dựa vào một mẫu cụ thể, thực hiện một số thủ tục để đưa ra quyết định chấp nhận hoặc bác bỏ giả thiết thống kê. Giả thiết cần kiểm định ký hiệu Ho. Giả thiết phải chấp nhận nếu bác bỏ Ho ký hiệu là H1. Vì quyết định đưa ra chỉ dựa trên một mẫu cụ thể nên quyết định có thể bị sai. Ta gọi sai lầm loại I là quyết định bác bỏ Ho trong khi Ho đúng, sai lầm loại II là quyết định chấp nhận Ho trong khi Ho sai. Xác suất mắc sai lầm loại I gọi là mức ý nghĩa, ký hiệu α. Để tiến hành thủ tục kiểm định, trước tiên người ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định như sau: Xét ĐLNN X và các giả thiết Ho, H1. Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2, , Xn. Tiêu chuẩn kiểm định là một thống kê G = G(X1, X2, , Xn) được chọn sao cho khi Ho đúng thì quy luật phân phối xác suất của ĐLNN G được xác định. Với mức ý nghĩa α, chọn miền bác bỏ Ho là Wα sao cho: P(G∈Wα /Ho) = α Sau khi lấy mẫu cụ thể, hàm G có giá trị kiểm định g. Quy tắc quyết định như sau: * g∈Wα : bác bỏ Ho. * g∉Wα : chấp nhận Ho. 2. Kiểm định số đặc trưng tổng thể 2.1 Kiểm định trung bình tổng thể 2.1.1 Kiểm định hai phía (H1 : µ ≠ µo) Cho trước một mẫu cụ thể kích thước n, xét phát biểu cho rằng giá trị µo là trung bình tổng thể µ với mức ý nghĩa α. Để xem phát biểu trên có chấp nhận được hay không, ta cần kiểm định giả thiết: Ho: µ = µo với H1: µ ≠ µo TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Khi một trong các trường hợp trên xảy ra thì với mẫu ngẫu nhiên kích thước n, X / n − µ σ có phân phối Chuẩn Chính Tắc hay được xấp xỉ với phân phối Chuẩn Chính Tắc. Trường hợp chưa biết σ thì thay bởi S. Phân tích vấn đề theo cách I Giả định Ho đúng, tức là µ = µo. Lúc này ĐLNN − µ σ oX / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc, vì vậy biến cố − µ σ oX / n ≤ zα/2 xảy ra với xác suất 1–α. Với α từ 5% trở xuống, ta cho rằng biến cố − µ σ oX / n ≤ zα/2 chắc chắn xảy ra trong thực tế, tức là với mẫu cụ thể kích thước n nào cũng phải có − µ σ ox / n ≤ zα/2. Nếu với một mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy − µ σ ox / n > zα/2 thì đây là điều vô lý, chứng tỏ giả định µ = µo sai. Vậy nếu dấu hiệu này xảy ra ta quyết định bác bỏ giả thiết Ho. Khi − µ σ oX / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc thì biến cố − µ σ oX / n > zα/2 vẫn có thể xảy ra với xác suất α. Vậy lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có thể bị sai với xác suất α, tức là quyết định bác bỏ giả thiết Ho có thể gặp sai lầm với xác suất α. Phân tích vấn đề theo cách II Kết quả của việc ước lượng µ với độ tin cậy 1–α cho thấy biến cố µ∈[X – ε, X+ ε], viết cách khác là X– µ≤ ε, xảy ra với xác suất 1–α. Giả định Ho đúng, tức là µ = µo, thì biến cố X– µo≤ ε phải xảy ra với xác suất 1–α. Với α từ 5% trở xuống, ta cho rằng biến cố X– µo≤ ε chắc chắn xảy ra trong thực tế, tức là với mẫu cụ thể kích thước n nào ta cũng phải có x– µo≤ ε. Nếu với một mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy x– µo> ε thì đây là điều vô lý, chứng tỏ giả định µ = µo sai. Vậy nếu dấu hiệu này xảy ra ta quyết định bác bỏ giả thiết Ho. Ta có: x – µo > ε = zα/2 n σ ⇔ − µ σ ox / n > zα/2 Vì độ tin cậy là 1–α nên ngay khi Ho đúng, biến cố X– µo > ε vẫn có thể xảy ra với xác suất α. Vậy lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có thể bị sai với xác suất α, tức là quyết định bác bỏ giả thiết Ho có thể gặp sai lầm với xác suất α. Các phân tích trên gợi ý cho ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − µ σ oX / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi S) Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –zα/2)∩(zα/2, +∞) TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể σ2, tổng thể có phân phối Chuẩn Lúc này − µX S / n có phân phối Student n–1 bậc tự do. Tất cả lập luận bên trên đều áp dụng được, miễn là thay zα/2 bởi t(n–1)α/2. Vậy ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − µoX S / n Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –tα/2)∩(tα/2, +∞) Tóm tắt – Kiểm định hai phía trung bình tổng thể (H1: µ ≠ µo) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Tính giá trị kiểm định (KĐ) và tra giá trị tới hạn (TH). Nếu giá trị kiểm định có trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tới hạn thì bác bỏ Ho (KĐ > TH). Công thức tính giá trị kiểm định: − µ σ ox / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi s) Giá trị tới hạn được tra theo hai trường hợp: n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Giá trị tới hạn: zα/2 n ≤ 30, chưa biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn Giá trị tới hạn: t(n–1)α/2 Ví dụ (1) Trọng lượng ghi trên bao bì của một loại sản phẩm 6Kg. Lấy ngẫu nhiên 121 sản phẩm và cân thử thì tính được trọng lượng trung bình là 5,975Kg và phương sai là 5,7596. Với mức ý nghĩa 5% thì trọng lượng ghi trên bao bì có chấp nhận được không? Ta cần kiểm định giả thiết: Ho: µ = µo "Trọng lượng ghi trên bao bì chấp nhận được" H1: µ ≠ µo "Trọng lượng ghi trên bao bì không chấp nhận được" Ta có: n = 121 x = 5,975 µo = 6 s 2 = 5,7596 ⇒ s = 2,399 Giá trị kiểm định: KĐ = − µox s / n = –0,1146 Giá trị tới hạn: α = 5% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH không thoả, quyết định chấp nhận giả thiết Ho. Trọng lượng ghi trên bao bì chấp nhận được (với mức ý nghĩa 5%). (2) Đường kính của một chi tiết máy được sản xuất theo chuẩn là 3,02cm. Lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết và đo thử thì tính được đường kính trung bình là 3,14cm với độ lệch chuẩn là 0,275cm. Với độ tin cậy 95% hãy cho biết các chi tiết sản xuất có đúng chuẩn không ? Ta cần kiểm định giả thiết: Ho: µ = µo "Các chi tiết sản xuất đúng chuẩn" H1: µ ≠ µo "Các chi tiết sản xuất không đúng chuẩn" Ta có: n = 25 x= 3,14 µo = 3,02 s = 0,275 Giá trị kiểm định: KĐ = − µox s / n = 2,1818 Giá trị tới hạn: 1–α = 95% ⇒ TH = t(n–1)α/2 = t(24)0,025 = 2,0639 =TINV(0,025*2; 24) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết định bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1. Các chi tiết sản xuất không đúng chuẩn (với độ tin cậy 95%). 2.1.2 Kiểm định phải (H1 : µ > µo) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghĩa α cho trước, ta cần kiểm định: Ho: µ = µo với H1: µ > µo TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Khi một trong các trường hợp trên xảy ra thì với mẫu ngẫu nhiên kích thước n, X / n − µ σ có phân phối Chuẩn Chính Tắc hay được xấp xỉ với phân phối Chuẩn Chính Tắc. Trường hợp chưa biết σ thì thay bởi S. Giả định Ho đúng, tức là µ = µo. Do − µ σ oX / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc nên biến cố − µ σ oX / n ≤ zα xảy ra với xác suất 1–α. Vì vậy nếu với một mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy − µ σ ox / n > zα thì đây là điều vô lý, chứng tỏ giả định µ = µo sai. Vậy nếu dấu hiệu này xảy ra ta quyết định bác bỏ giả thiết Ho. Khi − µ σ ox / n > zα xảy ra, tức là khi bác bỏ Ho, thì ta vẫn có − µ σ x / n ≤ zα, do đó − µ σ ox / n > − µ σ x / n . Điều này chứng tỏ khi bác bỏ giả thiết Ho thì µ > µo. Vậy ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − µ σ oX / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi S) Miền bác bỏ Ho: Wα = (zα, +∞) TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể σ2, tổng thể có phân phối Chuẩn Phân tích tương tự trên với phân phối Student, ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − µoX S / n Miền bác bỏ Ho: Wα = (tα, +∞) Tóm tắt – Kiểm định phải trung bình tổng thể (H1: µ > µo) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Ta tính giá trị kiểm định (KĐ) và tra giá trị tới hạn (TH). Nếu giá trị kiểm định lớn hơn giá trị tới hạn thì bác bỏ Ho (KĐ > TH). Công thức tính giá trị kiểm định: − µ σ ox / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi s) Giá trị tới hạn được tra theo hai trường hợp: n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Giá trị tới hạn: zα n ≤ 30, chưa biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn Giá trị tới hạn: t(n–1)α Ví dụ Trọng lượng của một con gà khi xuất chuồng được chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn. Trước đây, trọng lượng trung bình là 1,7Kg. Người ta áp dụng phương pháp chăn nuôi mới và cân thử 25 con gà xuất chuồng thì tính được trọng lượng trung bình là 1,87Kg và phương sai là 0,25. Hãy cho nhận xét về phương pháp chăn nuôi mới với mức ý nghĩa 5%. Do gà tăng trọng nên ta kiểm định giả thiết: Ho: µ = µo "Phương pháp chăn nuôi mới không làm gà tăng trọng" H1: µ > µo "Phương pháp chăn nuôi mới làm gà tăng trọng" Ta có: n = 25 x= 1,87 µo = 1,7 s 2 = 0,25 ⇒ s = 0,5 Giá trị kiểm định: KĐ = −x 1,7 s / n = 1,7 Giá trị tới hạn: α = 5% ⇒ TH = t(n–1)α = t(24)0,05 = 1,711 =TINV(0,05*2; 24) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH không thoả, quyết định chấp nhận giả thiết Ho. Phương pháp chăn nuôi mới không làm gà tăng trọng (với mức ý nghĩa 5%). 2.1.3 Kiểm định trái (H1 : µ < µo) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghĩa α cho trước, ta cần kiểm định: Ho: µ = µo với H1: µ < µo Phân tích tương tự trên, ta đi đến kết luận: TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Tiêu chuẩn kiểm định: G = − µ σ oX / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi S) Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –zα) TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể σ2, tổng thể có phân phối Chuẩn Tiêu chuẩn kiểm định: G = − µoX S / n Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –tα) Tóm tắt – Kiểm định trái trung bình tổng thể (H1: µ < µo) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Ta tính giá trị kiểm định (KĐ) và tra giá trị tới hạn (TH). Nếu giá trị kiểm định nhỏ hơn giá trị tới hạn thì bác bỏ Ho (KĐ < TH). Công thức tính giá trị kiểm định: − µ σ ox / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi s) Giá trị tới hạn được tra theo hai trường hợp: n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Giá trị tới hạn: –zα n ≤ 30, chưa biết σ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn Giá trị tới hạn: –t(n–1)α Ví dụ Mức tiêu hao nguyên liệu để sản xuất một sản phẩm là ĐLNN có phân phối chuẩn. Mức tiêu hao trung bình là 1,2Kg với độ lệch chuẩn 3,1Kg. Sau một thời gian sản xuất, người ta kiểm tra mức sử dụng nguyên liệu của 25 sản phẩm thì thu được bảng sau: Mức NL (Kg) 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số sản phẩm 4 5 6 7 3 Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho nhận xét về mức tiêu hao nguyên liệu trung bình. Do lượng tiêu hao nguyên liệu trung bình giảm nên ta kiểm định giả thiết: Ho: µ = µo "Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình không thay đổi" H1: µ < µo "Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình có giảm" Ta có: n = 25 x = 1,1 µo = 1,2 σ = 3,1 Giá trị kiểm định: KĐ = − µ σ ox / n = –0,16 Giá trị tới hạn: α = 5% ⇒ TH = –zα = –z0,05 = –1,645 =–NORMSINV(1–0,05) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ < TH không thoả, quyết định chấp nhận giả thiết Ho. Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình không thay đổi (với mức ý nghĩa 5%). 2.2 Kiểm định tỷ lệ tổng thể Ta chỉ xét trường hợp khi n đủ lớn (npo ≥ 10 và n(1–po) ≥ 10). 2.2.1 Kiểm định hai phía (H1 : p ≠ po) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghĩa α cho trước, ta cần kiểm định: Ho: p = po với H1: p ≠ po Theo giả thiết n đủ lớn, − − F p p(1 p) / n được xấp xỉ bởi phân phối Chuẩn Chính Tắc. Giả định Ho đúng, tức là p = po, − − o o o F p p (1 p ) / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc. Vì vậy, với mẫu cụ thể kích thước n, nếu − − o o o F p p (1 p ) / n > zα/2 thì ta quyết định bác bỏ giả thiết Ho. Vậy ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − − o o o F p p (1 p ) / n Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –zα/2)∩(zα/2, +∞). Tóm tắt – Kiểm định hai phía tỷ lệ tổng thể (H1: p ≠ po) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Tính giá trị kiểm định (KĐ) và tra giá trị tới hạn (TH). Nếu giá trị kiểm định có trị tuyết đối lớn hơn giá trị tới hạn thì bác bỏ Ho (KĐ > TH). Công thức tính giá trị kiểm định: − − o o o f p p (1 p ) / n Giá trị tới hạn: zα/2 Ví dụ Người ta cho rằng tỷ lệ sinh viên trên 35 tuổi là 2%. Điều tra về tuổi của 800 sinh viên thì thấy có 24 sinh viên trên 35 tuổi. Với độ tin cậy 95%, hãy cho biết ý kiến về tỷ lệ trên. Ta cần kiểm định giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ sinh viên trên 35 tuổi là 2%" H1: p ≠ po "Tỷ lệ sinh viên trên 35 tuổi không phải là 2%" Ta có: n = 800 f = 24/800 po = 2% Giá trị kiểm định: KĐ = − − o o o f p p (1 p ) / n = 2,0203 Giá trị tới hạn: 1–α = 95% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết định bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1. Tỷ lệ sinh viên trên 35 tuổi không phải là 2% (với độ tin cậy 95%). 2.2.2 Kiểm định phải (H1 : p > po) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghĩa α cho trước, ta cần kiểm định: Ho: p = po với H1: p > po Lập luận tương tự trên, ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − − o o o F p p (1 p ) / n Miền bác bỏ Ho: Wα = (zα, +∞) Tóm tắt – Kiểm định phải tỷ lệ tổng thể (H1: p > po) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Tính giá trị kiểm định (KĐ) và tra giá trị tới hạn (TH). Nếu giá trị kiểm định lớn hơn giá trị tới hạn thì bác bỏ Ho (KĐ > TH). Công thức tính giá trị kiểm định: − − o o o f p p (1 p ) / n Giá trị tới hạn: zα Ví dụ Tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao tại một nhà máy là 45%. Sau khi cải tiến sản xuất, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 lượt sản phẩm thì thấy có 215 sản phẩm có chất lượng cao. Vậy việc cải tiến sản xuất có làm tăng tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao không? Hãy cho khẳng định về điều này với mức ý nghĩa 5%. Ta cần kiểm định giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao không đổi" H1: p > po "Tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao có tăng sau khi cải tiến sản xuất" Ta có: n = 400 f = 215/400 po = 45% Giá trị kiểm định: KĐ = − − o o o f p p (1 p ) / n = 3,5176 Giá trị tới hạn: α = 5% ⇒ TH = zα = z0,05 = 1,6449 =NORMSINV(1–0,05) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết định bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1. Tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao có tăng sau khi cải tiến sản xuất (với mức ý nghĩa 5%). 2.2.3 Kiểm định trái (H1 : p < po) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghĩa α cho trước, ta cần kiểm định: Ho: p = po với H1: p < po Lập luận tương tự trên, ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − − o o o F p p (1 p ) / n Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –zα) Tóm tắt – Kiểm định trái tỷ lệ tổng thể (H1: p < po) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Tính giá trị kiểm định (KĐ) và tra giá trị tới hạn (TH). Nếu giá trị kiểm định nhỏ hơn giá trị tới hạn thì bác bỏ giả thiết Ho (KĐ < TH). Công thức tính giá trị kiểm định: − − o o o f p p (1 p ) / n Giá trị tới hạn: –zα Ví dụ Tỷ lệ người hút thuốt trong một khu dân cư trước đây là 5%. Sau khi vận động tuyên truyền, người ta gặp ngẫu nhiên 800 lượt người thì thấy có 24 người vẫn còn hút thuốt. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết: a) Việc vận động tuyên truyền có làm giảm tỷ lệ người hút thuốt không? b) Nếu tuyên bố tỷ lệ người hút thuốt trong khu dân cư này chỉ còn 2% thì có chấp nhận được không? a) Ta cần kiểm định giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ người hút thuốt không đổi" H1: p < po "Tỷ lệ người hút thuốt có giảm" Ta có: n = 800 f = 24/800 po = 5% Giá trị kiểm định: KĐ = − − o o o f p p (1 p ) / n = –2,5955 Giá trị tới hạn: α = 5% ⇒ TH = –zα = –z0,05 = –1,6449 =–NORMSINV(1–0,05) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ < TH thoả, quyết định bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1. Tỷ lệ người hút thuốt có giảm sau khi vận động tuyên truyền (với mức ý nghĩa 5%). b) Ta cần kiểm định giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ người hút thuốt chỉ còn 2%" H1: p ≠ po "Tỷ lệ người hút thuốt không phải chỉ còn 2%" Ta có: n = 800 f = 24/800 po = 2% Giá trị kiểm định: KĐ = − − o o o f p p (1 p ) / n = 2,0203 Giá trị tới hạn: α = 5% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết định bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1. Tỷ lệ người hút thuốt không phải chỉ còn 2% (với mức ý nghĩa 5%). 2.3 Kiểm định phương sai tổng thể Ta chỉ xét trường hợp tổng thể là ĐLNN có phân phối Chuẩn. 2.3.1 Kiểm định hai phía (H1 : σ 2 ≠ σo2) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghĩa α cho trước, ta cần kiểm định: Ho: σ 2 = σo 2 với H1: σ 2 ≠ σo 2 ĐLNN − σ 2 2 (n 1)S có phân phối Chi Bình n–1 bậc tự do. Giả định Ho đúng, tức là σ 2 = σo 2 thì 2 2 o (n 1)S− σ có phân phối Chi Bình n–1 bậc tự do. Ta có: P(χ21–α/2 < 2 2 o (n 1)S− σ < χ2α/2) = 1–α Vậy nếu với một mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy − σ 2 2 o (n 1)s > χ2α/2 hay − σ 2 2 o (n 1)s < χ21–α/2 thì giả thiết Ho bị bác bỏ. Theo phân tích trên, ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm định: G = − σ 2 2 o (n 1)S Miền bác bỏ Ho: Wα = (0, χ 2 1–α/2)∩(χ 2 α/2, +∞) Tóm tắt – Kiểm định hai phía phương sai tổng thể (H1 : σ 2 ≠ σo2) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghĩa α. Tính giá trị kiểm định và tra giá trị tới hạn nhỏ (THN) và giá trị tới hạn lớn (THL). Nếu giá trị kiểm định lớn hơn giá trị tới hạn lớn hoặc nhỏ hơn giá trị tới hạn nhỏ thì bác bỏ Ho (KĐ > THL hoặc KĐ < THN). Công thức tính giá trị kiểm định: 2 2 o (n 1)s− σ Giá trị tới hạn lớn, nhỏ là χ2(n–1)α/2, χ 2 (n–1)1–α/2. Ví dụ Đường kính của một trục máy chọn ngẫu nhiên là một ĐLNN co