Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Hệ các đại lượng ngẫu nhiên - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.1 Khái niệm • Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số (>1) đại lượng ngẫu nhiên • Khi đó ta nói có một “hệ các đại lượng ngẫu nhiên” • Các tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được mô tả hết bởi những tính chất của các đại lượng ngẫu nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan hệ tương hỗ giữa các đại lượng ngẫu nhiên của hệ • Giả sử xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, khi đó mỗi cặp giá trị có thể của X và Y được xem như các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.1 Khái niệm • Tương tự, nếu có ba đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z khi đó mỗi bộ ba giá trị có thể của X, Y, Z sẽ là các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều • Nếu có đồng thời n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,,Xn thì bộ n giá trị có thể (x1, x2,, xn) của X1, X2,,Xn là tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều • Vì vậy, có thể xem hệ các đại lượng ngẫu nhiên như là biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu nhiên • Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần là rời rạc ta có hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại ta có hệ các đại lượng ngẫu nhiên liên tục CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất • Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với X={xi, i=1,2,, n,}, Y={yj, j=1, 2,, m,} • Ký hiệu pi=P(X=xi), qj=P(Y=yj), pij=P(X=xi, Y=yj) ... pnmpn2pn1 p2mp22p21 p1mp12p11 xn x2 x1 ymy2y1Y X Bảng phân bố xác suất của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất • Nhận thấy: Các sự kiện (X=xi) xung khắc, (Y=yj) xung khắc • Î Các sự kiện (X=xi)(Y=yj) là nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc nên Σpij = 1 • (X=xi)=Σj (X=xi)(Y=yj) Î P(X=xi)=P(Σj (X=xi)(Y=yj))=pi≡pi• • (Y=yj)=Σi (X=xi)(Y=yj) Î P(Y=yj)=P(Σi (X=xi)(Y=yj))=qj≡p•j 1p•mp•2p•1∑ ... pnmpn2pn1 p2mp22p21 p1mp12p11 pn• p2• p1• ∑ xn x2 x1 ymy2y1Y X1=∑∑ i j ijp •≡=∑ ii j ij ppp jj i ij pqp •≡=∑ CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất • Ví dụ 1: Gieo đồng thời một đồng tiền và một con xúc xắc. Gọi X và Y lần lượt là kết quả nhận được của việc gieo đó; X={S, N}, Y={1,2,3,4,5,6}. Hãy lập bảng phân bố xác suất của hệ (X,Y). • Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)==P(Y=6)=1/6 • P(X=xi, Y=yj)=(1/2)*(1/6)=1/12 1/6 1/12 1/12 5 1/6 1/12 1/12 6 11/61/61/61/6∑ 1/21/121/121/121/12N 1/21/121/121/121/12S ∑4321Y X CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất • Ví dụ 2: Tìm luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên X, Y khi biết phân bố đồng thời của chúng được cho bởi • Giải: • q1=P(Y=y1)=0.10+0.06=0.16 • q2=P(Y=y2)=0.30+0.18=0.48 • q3=P(Y=y3)=0.20+0.16=0.36 • p1=P(X=x1)=0.10+0.30+0.20=0.60 • p2=P(X=x2)=0.06+0.18+0.16=0.40 0.160.180.06x2 0.200.300.10x1 y3y2y1Y X 0.360.480.16q y3y2y1Y 0.400.60p x2x1X pi=pi • qj=p•j CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất • Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. • Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) là hàm của hai đối số (x,y) được xác định bởi F(x,y)=P(X<x, Y<y) • Ý nghĩa hình học của hàm phân bố: x y M(X,Y) X Y F(x,y) là xác suất để điểm ngẫu nhiên M(X,Y) rơi và hình chữ nhật vô hạn có đỉnh trên bên phải tại điểm có tọa độ (x,y) (x,y) CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Tính chất: )(),(),(lim 1 xFxFyxFy =+∞=+∞→ )(),(),(lim 2 yFyFyxFx =+∞=+∞→ 1),(),(lim =+∞+∞= +∞→+∞→ FyxF y x 0),(lim 0),(),(lim 0),(),(lim =−∞−∞ =−∞= =−∞= −∞→−∞→ −∞→ −∞→ F xFyxF yFyxF y x y x ),(),( ),(),( 212 212 yxFyxFiy yxFyxFix ≤< ≤< th y NÕu th x NÕu 1 1 1) 2) 3) 4) ),(),(),(),(),( δαδβγαγβγδβα FFFFYXP +−−=<≤<≤5) CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: )(),(),(lim 1 xFxFyxFy =+∞=+∞→ )(),(),(lim 2 yFyFyxFx =+∞=+∞→ 1) • Sự kiện (X<x, Y<+∞) = (X<x)(Y<+∞) = (X<x) • Î F(x,+∞) = P(X<x,Y<+∞) = P(X<x) = F1(x) • Tương tự: • Sự kiện (X<+∞, Y<y) = (X<+∞)(Y<y) = (Y<y) • Î F(+∞,y) = P(X<+∞,Y<y) = P(Y<y) = F2(y) CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: • Sự kiện (X<+∞, Y<+∞) = U • Î F(+∞,+∞) = P(U) = 1 • Sự kiện (X<-∞ , Y<y)=(X<x, Y<-∞)=(X<-∞, Y<-∞)=V • Î F(-∞,y) = F(x, -∞) = F(-∞, -∞) =P(V) = 0 1),(),(lim =+∞+∞= +∞→+∞→ FyxF y x2) 0),(lim 0),(),(lim 0),(),(lim =−∞−∞ =−∞= =−∞= −∞→−∞→ −∞→ −∞→ F xFyxF yFyxF y x y x 3) CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: • Vì (x1<x2) nên (X<x2)=(X<x1)+(x1≤ X<x2) (tổng hai sự kiện xung khắc) • Î (X<x2, Y<y)=(X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y) • F(x2,y)=P(X<x2,Y<y)=P((X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)) = P(X<x1,Y<y) + P(x1≤ X<x2,Y<y) = F(x1,y)+ P(x1≤ X<x2,Y<y) ≥ F(x1,y) • Tương tự đối với trường hợp 2 ),(),( ),(),( 212 212 yxFyxFiy yxFyxFix ≤< ≤< th y NÕu th x NÕu 1 1 4) CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: • (X<β)=(X<α)+(α≤X<β), (Y<γ)=(Y<δ)+(δ≤Y<δ), • (X<β,Y<γ)=(X<β)(Y<γ)= =[(X<α)+(α≤X<β)][(Y<δ)+(δ≤Y< γ)]= =(X<α, Y<δ)+(X<α, δ≤Y< γ)+ +(α≤X<β, Y<δ)+(α≤X<β, δ≤Y< γ) • (X<α, δ≤Y< γ)=(X<α,Y<γ)–(X<α,Y<δ) • (α≤X<β, Y<δ)=(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ • (X<β,Y<γ)=(X<α, Y<δ)+(X<α,Y<γ)– –(X<α,Y<δ)+(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ)+ +(α≤X<β, δ≤Y< γ) • F(β,γ)=F(α,δ)+F(α,γ)+F(β,δ) –F(α,δ) –F(α,δ)+P(α≤X<β, δ≤Y< γ) • P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ) ),(),(),(),(),( δαδβγαγβγδβα FFFFYXP +−−=<≤<≤5) α β δ γ CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. • Định nghĩa: Hàm mật độ phân bố xác suất của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) là đạo hàm riêng cấp hai của hàm phân bố xác suất đồng thời F(x,y), ký hiệu là f(x,y) yx yxFyxf ∂∂ ∂= ),(),( 2 x x+Δx y y+Δy CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất Ý nghĩa: Từ hệ thức P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ) • Thay α, β, δ, γ lần lượt bởi x, x+Δx, y, y+Δy ta được: • P(x≤X<x+Δx, y≤Y<y+Δy)=F(x+Δx,y+Δy)–F(x+Δx,y)–F(x,y+Δy)+F(x,y) • Chia hai vế cho diện tích miền chữ nhật và lấy giới hạn khi Δx→0, Δy→0 =ΔΔ Δ+<<Δ+<< →Δ →Δ yx yyYyxxXxP y x ),(lim 0 0 ),(),( ),(),(),(),(lim 2 0 0 yxf yx yxF yx yxFyxxFyyxFyyxxF y x =∂∂ ∂= =ΔΔ +Δ+−Δ+−Δ+Δ+= →Δ →Δ Từ đó ta có công thức gần đúng để tính xác suất: P(x<X<x+Δx, y<Y<y+Δy) ≈ f(x,y).Δx.Δy Một cách tổng quát, xác suất của điểm ngẫu nhiên (X,Y) rơi vào một miền D nào đó sẽ được xác định bởi ∫∫=∈ D dxdyyxfDYXP ),()),(( CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Tính chất: 0),( ≥yxf1) Tính chất này suy ra từ ý nghĩa của hàm mật độ 1),( =∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− dxdyyxf2) Ta có ∫∫=∈ D dxdyyxfDYXP ),()),(( ∫ ∫ ∞− ∞− =⇒ x y dxdyyxfyxF ),(),( Lấy giới hạn khi x→+∞, y→+∞ và để ý đến tính chất 2) của hàm phân bố ta được 1),(),( ==+∞+∞ ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− dxdyyxfF ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞− ∞− +∞ ∞− =+∞= =+∞= y x dxdyyxfyFyF dxdyyxfxFxF ),(),()( ),(),()( 2 1 3) ∫ ∫ ∞+ ∞− +∞ ∞− ==′ ==′ dxyxfyfyF dyyxfxfxF ),()()( ),()()( 22 11 Đạo hàm hai vế ta được: CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Các ví dụ: • Ví dụ 1: Hệ đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phân bố xác suất Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào miền chữ nhật ABCD, với tọa độ của các đỉnh • Giải: )1,1(),1,3(),0,3(),0,1( DCBA )1)(1( 1),( 222 yx yxf ++= π =++=∈ ∫∫ABCD dxdyyxABCDYXP )1)(1( 1))(),(( 222π ∫∫ ++= 3 1 2 1 0 22 11 1 x dx y dy π dyy dy ) 43 ( 1 1 1 0 22 ππ π −+= ∫ 48 1 412 .12 == πππ )01)( 43 (12 arctgarctg −−= πππ CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Các ví dụ: • Ví dụ 2: Hệ (X,Y) có mật độ phân bố xác suất được cho bởi • Tính các mật độ phân bố riêng f1(x) và f2(y) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >+ ≤+ = 1 49 0 1 496 1 ),( 22 22 yxkhi yxkhi yxf π CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Các ví dụ: • Giải: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >+ ≤+ = 1 49 0 1 496 1 ),( 22 22 yxkhi yxkhi yxf π ∫ +∞ ∞− = dyyxfxf ),()(1 149 22 ≤+ yx )91(4 2 2 xy −≤⇒ ) 9 1(2 2xy −≤⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > ≤−== ∫ −+ −− 30 39 9 2 6 1 )( 2 9 12 9 12 1 2 2 xkhi xkhixdy xf x x ππ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤−= 30 39 9 2 )( 2 1 xkhi xkhix xf π ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤−= 20 24 2 1 )( 2 2 ykhi ykhiy yf πTương tự CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên • Trong thực tế có thể xét đồng thời nhiều hơn hai đại lượng ngẫu nhiên, chẳng hạn 3, 4, đại lượng ngẫu nhiên • Để tiện trình bày ta gọi đó là hệ n đại lượng ngẫu nhiên (n≥2) • Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,, Xn) • Hệ này có thể được xem như một vector ngẫu nhiên n chiều • Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) là hàm của n đối số (x1, x2,..., xn) được xác định bởi F(x1, x2,..., xn)=P(X1<x1, X2<x2,..., Xn<xn) • Định nghĩa: Nếu hàm F(x1, x2,..., xn) tồn tại đạo hàm bậc n thì hệ (X1, X2, , Xn) có hàm mật độ xác suất được xác định bởi n n n n xxx xxxFxxxf ∂∂∂ ∂= ... ),...,,(),...,,( 21 21 21 CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên • Có thể suy ra rằng • F(+∞,..., xi,...,+∞)=P(X1<+∞,..., Xi<xi,..., Xn<+∞)=Fi(xi), i=1,2,..,n được gọi là hàm phân bố riêng của Xi • Hàm mật độ riêng của Xi cũng có thể nhận được bằng cách đạo hàm Fi(xi) theo xi hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời: niinii dxdxdxdxxxxfxf ......),...,,(...)( 11121 +− +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− ∫ ∫ ∫= • Đối với một hệ đại lượng ngẫu nhiên, từ phân bố đồng thời ta có thể xác định được các phân bố riêng của từng đại lượng ngẫu nhiên thành phần • Từ các phân bố riêng ta có thể xác định được các đặc trưng riêng của chúng, như kỳ vọng, phương sai, CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên • Mỗi bộ gồm m (m<n) đại lượng ngẫu nhiên lấy từ hệ n đại lượng ngẫu nhiên ban đầu được gọi là một hệ con của hệ ban đầu • Hàm phân bố và hàm mật độ xác suất của hệ con này có thể nhận được từ phân bố và mật độ đồng thời của hệ ban đầu • Ví dụ: Phân bố của hệ con (X1, X2,,Xm): • F1,2,...,m(x1,..., xm)=F(x1,..., xm,+∞,...,+∞)= = P(X1<x1,..., Xm<xm, Xm+1<+∞, ..., Xn<+∞) m mm m mm xx xxxF xxf ∂∂ ∂= ... ),...,,( ),...,( 1 21,...,2,1 1,...,2,1 nmnmm dxdxxxxfxxf ...),...,,(...),...,( 1211,...,2,1 + +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− ∫ ∫ ∫= CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên • Đối với mỗi hệ con gồm hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần khác nhau bất kỳ ta có phân bố đồng thời được xác định bởi • F(+∞,..., xj,...,xk,..., +∞)=P(X1<+∞,..., Xj<xj,...,Xk<xk,..., Xn<+∞)= =Fjk(xj,xk), j≠k, j,k=1,2,...,n • Hàm mật độ đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên Xi, Xj cũng có thể nhận được bằng cách đạo hàm Fjk(xj,xk) theo xj, xk hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời: ),...,2,1,,( .........),...,,(...),( 1111121 nkjkj dxdxdxdxdxdxxxxfxxf nkkjjnkjjk =≠ = +−+− +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− ∫ ∫ ∫ CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,, Xn) • Ký hiệu hệ này như một vector ngẫu nhiên n chiều X=(X1, X2,, Xn) Khi đó: • mx=M[X]=(M[X1], M[X2], ..., M[Xn])=(mx1, mx2,..., mxn) được gọi là vector kỳ vọng của X, trong đó các thành phần của vector này tương ứng là kỳ vọng của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần của vector ngẫu nhiên X • Dx=D[X]=(D[X1], D[X2], ..., D[Xn])=(Dx1, Dx2,..., Dxn) được gọi là vector phương sai của X, trong đó các thành phần của vector này tương ứng là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần của vector ngẫu nhiên X CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Trong đó njdxxfxXMm jjjjjx j ,...,2,1,)(][ === ∫ +∞ ∞−( ) ),...,2,1( ,)()(][][ 22 nj dxxfmxmXMXDD jjjxjxjjx jjj = −=−== ∫ +∞ ∞− • Ngoài các đặc trưng riêng, khi xét hệ các đại lượng ngẫu nhiên vấn đề quan trọng hơn là xét mối quan hệ giữa chúng • Mối quan hệ này được đặc trưng bởi mômen tương quan giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên thành phần CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Định nghĩa: Mômen tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là đại lượng được ký hiệu bởi μxy và được xác định bởi ])[])([[( YMYXMXMxy −−=μ )),(( ))(( jiij i j ijyjxixy yYxXPp pmymx === −−= ∑∑μ ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− −−= dxdyyxfmymx yxxy ),())((μ Hệ rời rạc Hệ liên tục Ta có yx xy XMXYMYM YMYXMXM μ μ =−−= =−−= ]))[]([[( ])[])([[( CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Đối với mỗi cặp hai đại lượng (Xj, Xk) của hệ (X1, X2,, Xn) ta có nkjXMXXMXM kkjjxxjk kj ,...,2,1,])],[])([[( =−−=≡ μμ nkjdxdxxxfmxmx kjkjjkxkxjjk kj ,...,2,1,,),())(( =−−= ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− μ Hay Tập hợp các mômen tương quan μjk lập thành một ma trận gọi là ma trận tương quan CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Ma trận tương quan ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ==∑ nnnn n n jk μμμ μμμ μμμ μ ... ............ ... ... 21 22221 11211 kjjjkk kkjjjk XMXXMXM XMXXMXM μ μ =−−= =−−= ])][])([[( ])][])([[( 22 ][]])[[( ])][])([[( jj xxjjj jjjjjj DXDXMXM XMXXMXM σ μ ===−= =−−= Nhận thấy ÎMa trận tương quan là ma trận thực, đối xứng Khi j≡k: Î Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Hệ số tương quan: Từ định nghĩa mômen tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) ta thấy: • Thứ nguyên của μxy bằng tích thứ nguyên của X và thứ nguyên của Y. Do đó không thể so sánh mối quan hệ giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên khác nhau Î Vô thứ nguyên hóa ?? • Định nghĩa: Hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) là số vô thứ nguyên ρxy được xác định bởi yx xy yx xy yx xy DDDD YMYXMXM σσ μμρ ==−−= ])][])([[( Khi X≡Y: 1])][])([[( ==⇒=−−= xx x xyxxx DD DDXMXXMXM ρμ yxxyyxxy ρρμμ == nnª Do CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,, Xn), hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ (Xj,Xk) được xác định bởi ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == nnnn n n jkP ρρρ ρρρ ρρρ ρ ... ............ ... ... 21 22221 11211Tập hợp các hệ số tương quan này lập thành ma trận tương quan chuNn hóa nkj XDXD XMXXMXM kj jk kj kkjj jk ,...,2,1,,][][ ])][])([[( ==−−= σσ μρ Ta có: nj D D nkj j j jj jj jj jk jk kj kj jk jk ,...,2,1,1 ,...,2,1,, ==== ==== σσ μρ ρσσ μ σσ μρ Ma trận tương quan chuNn hóa là ma trận đối xứng có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Với hệ hai đại lượng ngẫu nhiên: X1≡X, X2≡Y Ta có: ])][])([[( 221112 XMXXMXM −−=μ Ma trận tương quan ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛==∑ 2 221 12 2 1 2221 1211 σμ μσ μμ μμμ jk Ma trận tương quan chuẩn hóa ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== 1 1 21 12 2221 1211 ρ ρ ρρ ρρρ jkP ( ) ( ) 01 11 1det 22 2 2 1 2112 2 2 2 1 21 21 21 122 2 2 1 2 2 2 1 21122 2 2 12112 2 2 2 12 221 12 2 1 ≥−= =−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=−==∑ ρσσ ρρσσσσ μ σσ μσσ σσ μμσσμμσσσμ μσ 11 ≤≤−⇒ ρ CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên Ý nghĩa của hệ số tương quan: • Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên • Trị tuyệt đối của hệ số tương quan càng lớn thì mối quan hệ đó càng chặt chẽ • Hệ số tương quan bằng 0 khi hai biến không tương quan với nhau • Hệ số tương quan dương khi hai biến có quan hệ đồng biến • Hệ số tương quan âm khi hai biến có quan hệ nghịch biến 11 ≤≤− xyρ CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Tóm tắt: Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,, Xn: nkjXMXXMXM kjkkjjjk ,...,2,1,,])][])([[( ==−−= μμ Ma trận tương quan ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ==∑ 2 21 2 2 221 112 2 1 21 22221 11211 ... ............ ... ... ... ............ ... ... nnn n n nnnn n n jk σμμ μσμ μμσ μμμ μμμ μμμ μ Ma trận tương quan chuẩn hóa nkjkj kj jk jk ,...,2,1,, === ρσσ μρ njjj ,...,2,1,1 ==ρ ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == 1... ............ ...1 ...1 21 221 112 nn n n jkP ρρ ρρ ρρ ρ CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y). Giả sử X và Y là những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Î (X,Y) là hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • X = {x1, x2, , xn,}, Y = {y1, y2, , ym,} • Định nghĩa: Xác suất của sự kiện X=xj khi cho trước (hoặc đã biết trước) sự kiện Y=yk đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và ký hiệu là p(xj/yk)=P(X=xj/Y=yk) • Tương tự, xác suất của sự kiện Y=yk khi cho trước (hoặc đã biết trước) sự kiện X=xj đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và ký hiệu là p(yk/xj)=P(Y=yk/X=xj) CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • Từ công thức nhân xác suất • Ta có pjk=P(X=xj,Y=yk)≡p(xj,yk) là xác suất đồng thời của các sự kiện X=xj và Y=yk, tức (X=xj,Y=yk) = (X=xj)(Y=yk) • pj=P(X=xj)≡p(xj), pk=P(Y=yk)≡p(yk) • P((X=xj)(Y=yk))=P(X=xj)P(Y=yk/X=xj)=P(Y=yk)P(X=xj/Y=yk) • Hay p(xj,yk)=p(xj)p(yk/xj)=p(yk)p(xj/yk) • Vì p(xj)=Σkp(xj,yk)≡pj•, p(yk)=Σjp(xj,yk)≡p•k nên )/()()/()()( BAPBPABPAPABP == ∑∑ ∑∑ ≡== ≡== k jk jk k kj kj j kj jj j jk jk j kj kj k kj kj p p yxp yxp xp yxp xyp p p yxp yxp yp yxp yxp ),( ),( )( ),( )/( ),( ),( )( ),( )/( CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • Từ hệ thức ∑∑ ∑∑ ≡= ≡= k jk jk k kj kj jj j jk jk j kj kj kj p p yxp yxp xyp p p yxp yxp yxp ),( ),( )/( ),( ),( )/( 1 ),( ),( )/( 1 ),( ),( )/( =≡= =≡= ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ k jk k jk k kj k kj k jj j jk j jk j kj j kj j kj p p yxp yxp xyp p p yxp yxp yxp • Các sự kiện (X=xj/Y=yk) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc • Các sự kiện (Y=yj/X=xj) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc • Ta có CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • Ví dụ: Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có phân bố xác suất được cho trong bảng sau. Hãy xác định phân bố có điều kiện của X khi Y=y1 0.160.180.06y2 0.20.30.1y1 x3x2x1Y \ X Giải: Ta có • p(x1/y1)=p(x1,y1)/p(y1)=0.1/(0.1+0.3+0.2)=0.1/0.6=1/6 • p(x