Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Phép tính tích phân - Nguyễn Hải Sơn

1 v1.0 BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định. 2. Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ. 3. Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định. 4. Tích phân suy rộng. LÝ THUYẾT 3 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x     2f(x) 3x 2  VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x     2f(x) 3x 2  VÍ DỤ 1 (tiếp theo) . Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1) F '(x) f(x), x D, hay   dF(x) f(x)dx Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:   3 2 3 2 2 x +2x+1 '=3x +2 (6x) ' 6 (3x +2x)'=9x +2 (3x 2x) ' 6x 2       Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b. 5 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsinx x d. arcsinx C        2 1 f(x) 1 1 x   VÍ DỤ 2 6 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsinx x d. arcsinx C        2 1 f(x) 1 1 x   VÍ DỤ 2 (tiếp theo)     7 v1.0 VÍ DỤ 3 Tích phân bằng: 2 dx 3 2x 1 xa. arctg 3 3 1 xb. arctg C 3 3 1 xc. arctg 3 3 1 xd. arctg C 3 3                   8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Xem bảng các công thức tích phân cơ bản 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Tích phân bằng: 2 dx 3 2x 1 xa. arctg 3 3 1 xb. arctg C 3 3 1 xc. arctg 3 3 1 xd. arctg C 3 3                       2 2 2 dx dx 1 xarctg C 3 x ( 3) x 3 3          Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C. 10 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 2 3x 3 3a. arctgx C 2 2 1 3b. arctgx C 26 3 xc. arctg C 2 6 1 xd. arctg C 6 6     VÍ DỤ 4 11 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 2 3x 3 3a. arctgx C 2 2 1 3b. arctgx C 26 3 xc. arctg C 2 6 1 xd. arctg C 6 6     2 2 dx dx 22 3x 3 x 3        VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Gợi ý:     12 v1.0 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:2xf(x )dx 2 2 2 2 F(x )a. C 2 b. F(x ) C c. xF(x ) C d. F(x )    VÍ DỤ 5 13 v1.0 2 2 21d(x ) (x ) 'dx 2xdx xdx d(x ) 2    d(u(x)) u'(x)dx; VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Chú ý: Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.2, tr.46 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: 14 v1.0 Nhận xét: Khó khăn ở đây là việc biểu diễn f(x) g(u(x)).u '(x)     2 2 2 21 1xf(x )dx f(x )d(x ) F(x ) C 2 2     Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:2xf(x )dx 2 2 2 2 F(x )a. C 2 b. F(x ) C c. xF(x ) C d. F(x )    VÍ DỤ 5 (tiếp theo) 15 v1.0 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:sin xf(cos x)dx a. F(cosx) C b. F(cosx) C c. F(sinx) C d. F(sinx) C       VÍ DỤ 6 16 v1.0 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:sin xf(cos x)dx a. F(cosx) C b. F(cosx) C c. F(sinx) C d. F(sinx) C       VÍ DỤ 6 (tiếp theo)     17 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và 2xf '(x) xe 2x 2x 2x 2x 1 3ea. f(x) e 2 2 b. f(x) e e 1 5c. f(x) e e 2 2 d. f(x) e 3e           f( 1) 2e  VÍ DỤ 7 18 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và 2xf '(x) xe 2x 2x 2x 2x 1 3ea. f(x) e 2 2 b. f(x) e e 1 5c. f(x) e e 2 2 d. f(x) e 3e           f( 1) 2e  Hướng dẫn: f(x) là một nguyên hàm của 2xxe ; f(x) f '(x)dx  VÍ DỤ 7 (tiếp theo) 2 2 2x x 2 x 2x 1 1f(x) f '(x)dx xe dx e dx e C 2 2 1 3f( 1) 2e f( 1) e C 2e C e 2 2 1 3f(x) e e 2 2                        19 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và f(0) = 1/2. 2 2 2 2 1a. sin(x ) 1 2 1b. cos(x ) 1 2 1c. sin(x ) 2 d. cos(x ) 1        2f '(x) x sin(x ) VÍ DỤ 8 20 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và f(0) = 1/2. 2 2 2 2 1a. sin(x ) 1 2 1b. cos(x ) 1 2 1c. sin(x ) 2 d. cos(x ) 1        2f '(x) x sin(x ) VÍ DỤ 8 (tiếp theo)     21 v1.0 Tích phân bằng: 1 xa. tg C 2 2 1 xb. tg 2 2 xc. tg 2 xd tg C 2   dx 1 cos x VÍ DỤ 9 22 v1.0    2 2x x1 cos x 2cos ; 1 cos x 2sin ;2 2    VÍ DỤ 9 (tiếp theo) Hướng dẫn: f(x)dx F(x) C  1f(ax b)dx F(ax b) C (a 0)a    ta suy ra: 23 v1.0 Tích phân bằng: 1 xa. tg C 2 2 1 xb. tg 2 2 xc. tg 2 xd tg C 2   dx 1 cos x VÍ DỤ 9 (tiếp theo) 2 dx dx 1 1 x x. tg C tg C x 11 cos x 2 2 22cos 22                    24 v1.0 Tích phân bằng: 2 2 1 x dx a. 1 b. 3 7 c. 3 1 d. 3  VÍ DỤ 10 25 v1.0 Tích phân bằng: 2 2 1 x dx a. 1 b. 3 7c. 3 1d. 3  VÍ DỤ 10 (tiếp theo) 3.2.3. Công thức Newton - Leibnitz a b a b f(x)dx F(x) F(b) F(a)   Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f(x). 2 23 3 3 2 11 x 2 1 7x dx 3 3 3 3        Hướng dẫn: 26 v1.0 Tích phân bằng: 0 2 sin xdx   a. 1 b. 0 c. 1 d. cos x  VÍ DỤ 11 27 v1.0 Tích phân bằng: 0 2 sin xdx   a. 1 b. 0 c. 1 d. cos x  Chú ý: Đối với tích phân xác định khi ta đổi cận, tích phân sẽ đổi dấu nên thứ tự của các cận là rất quan trọng. VÍ DỤ 11 (tiếp theo) a a b b f(x)dx f(x)dx       28 v1.0 Tích phân bằng: ln2 x 0 xe dx a. 1 ln2 1 ln2b. 2 c. ln2 1 ln2 1d. 2     VÍ DỤ 12 29 v1.0 Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.4 và 3.2.1.4 Phương pháp tích phân từng phần: trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. • Trong các tích phân n nguyên dương, ta thường chọn: u = xn • Trong các tích phân và n nguyên dương, ta thường chọn u = lnn x VÍ DỤ 12 (tiếp theo)   b b b a a a udv uv vdu   n kx n nx e dx x sinkxdx; x coskxdx   nx ln xdx; 1    30 v1.0 x x ln2 ln2 ln2x x x 0 0 0 ln2 ln2ln2 x x 0 0 ln2 0 u x; dv e dx du dx; v e I xe dx x( e ) e dx ln2ln2.e e dx ( e ) 2 ln2 1 ln2e e 2 2                                        Tích phân bằng: ln2 x 0 xe dx a. 1 ln2 1 ln2b. 2 c. ln2 1 ln2 1d. 2     Đặt VÍ DỤ 12 (tiếp theo) 31 v1.0 Tích phân bằng: e 1 x ln xdx 2 2 2 2 1 ea. 4 1 eb. 2 1 ec. 4 1 ed. 2     VÍ DỤ 13 32 v1.0 Tích phân bằng: e 1 x ln xdx 2 2 2 2 1 ea. 4 1 eb. 2 1 ec. 4 1 ed. 2     VÍ DỤ 13 (tiếp theo)     33 v1.0 Tích phân bằng:3ln x 2 dx x    2 2 3 a. 3 ln x 2 ln x C 3b. ln x 2 ln x C 2 c. 3 ln x 2 ln x C d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 14 34 v1.0 Hướng dẫn: Xem phương pháp đổi biến của tích phân bất định 3.1.2.3 VÍ DỤ 14 (tiếp theo) 35 v1.0 Tích phân bằng:3ln x 2 dx x    2 2 3 a. 3 ln x 2 ln x C 3b. ln x 2 ln x C 2 c. 3 ln x 2 ln x C d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 14 (tiếp theo) 2 2 dx t ln x dt x 3ln x 2 tdx (3t 2)dt 3. 2t C x 2 3 .ln x 2ln x C 2                   Đặt Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Khi tìm được nguyên hàm của biến số mới không đổi lại thành hàm của biến số cũ. 36 v1.0 Tích phân bằng: 3ln x 2 dx x ln x        3 3 3 3 1a. ln x 2 ln x C 3 b. ln x 2 ln x C 2c. ln x 4 ln x C 3 d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 15 37 v1.0 Tích phân bằng: 3ln x 2 dx x ln x        3 3 3 3 1a. ln x 2 ln x C 3 b. ln x 2 ln x C 2c. ln x 4 ln x C 3 d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 15 (tiếp theo)     38 v1.0 Sử dụng phép đổi biến , tích phân trở thành: 1 2 0 x 1 dx (3x 1)   1 2 0 4 2 1 4 2 1 4 2 1 t+ 2a. dt 9 t t+ 2b dt 9 t t-1c. dt 9 t t+ 1d. dt 3 t     t 3x 1  VÍ DỤ 16 39 v1.0 VÍ DỤ 16 (tiếp theo) 3.2.4.2. Phương pháp đổi biến (xem trong giáo trình tr.62-63). 40 v1.0 1 4 4 2 2 2 0 1 1 t 1 dt t 3x 1 x dx 3 3 x 0 t 1; x 1 t 4 t 1 1x 1 dt t+23dx dt 3(3x 1) t 9t                       Nhận xét: Sai lầm thường gặp là quên không đổi cận. VÍ DỤ 16 (tiếp theo) Sử dụng phép đổi biến , tích phân trở thành: 1 2 0 x 1 dx (3x 1)   1 2 0 4 2 1 4 2 1 4 2 1 t+ 2a. dt 9 t t+ 2b dt 9 t t-1c. dt 9 t t+ 1d. dt 3 t     t 3x 1  Đặt đổi cận 41 v1.0 Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng: 1 2 2 dx x x 1    a. 6 b. 6 c. 3 d. 3     1x sin t  VÍ DỤ 17 42 v1.0 Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng: 1 2 2 dx x x 1    a. 6 b. 6 c. 3 d. 3     1x sin t  VÍ DỤ 17 (tiếp theo)     43 v1.0 Tìm a để hàm số là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên x. 1a. 4 1b. 4 c. 1 d. 1    3f(x) ax x, x 0,2   VÍ DỤ 18 44 v1.0 Tìm a để hàm số là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên x. 1a. 4 1b. 4 c. 1 d. 1    3f(x) ax x, x 0,2   Hướng dẫn: f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên x nếu f(x)dx 1    VÍ DỤ 18 (tiếp theo) 2 3 0 1 f(x)dx (ax x)dx ... 4a 2 1a 4                45 v1.0 Câu 1: Sự khác nhau của tích phân bất định và tích phân xác định? Trả lời: Tích phân bất định là một họ hàm số, còn tích phân xác định là một số cụ thể. Về mặt kí hiệu thì tích phân bất định không có cận, còn tích phân xác định có cận trên và cận dưới. Câu 2: Tích phân bất định của hàm số là gì? Trả lời: 2 1 dx sin x cot gx C  MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP