Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 03: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC Thời lượng: 3 tiết 2 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc   1 2, , , , nf x x xx x Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa” (Saddle points) của hàm. Giải hệ phương trình Gradient = 0:   1 2 T n f f f f x x x             x 0 Giả sử có m nghiệm                 1 1 1 1 1 2 1 2 T n T m m m m n x x x x x x             x x 3 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tính ma trận Hessian tại một điểm bất kz   2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 n n n n n f f f x x x x x f f f x x x x x f f f x x x x x                                         H Tính ma trận Hessian tại m điểm nghiệm ở bước 1.            1 2; ; ; m x x x H H H Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác định cực trị hay điểm yên 4 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Giả sử ma trận Hessian tại điểm nghiệm i có dạng     11 12 1 21 22 2 1 2 ; 1..i n n n n nn a a a a a a i m a a a              x H Tính định thức của n ma trận thành phần: 11 12 1 11 2 21 22 a a A a A a a   11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n n nn a a a a a a A a a a             1. Nếu tất cả A1, A2, , An > 0 thì ma trận [H] > 0 x (i) – cực tiểu 2. Nếu dấu của Aj là (–1) j (j=1..n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại 3. Nếu một vài Aj > 0 và 1 vài cái Aj < 0 hoặc = 0  x (i) – Điểm yên 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a  5 Điểm yên (Saddle Point) 6 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng lần lượt là k1, k2, k3. Các lò xo ở vị trí tự nhiên (không co – giãn) khi P=0. Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2 theo nguyên l{ cực tiểu thế năng. Thế năng của hệ = Năng lượng biến dạng của lò xo – U  công của ngoại lực   22 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 2 2 k x k x k x x   2P x  7 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U.       22 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 1 1 , 2 2 2 U U x x k x k x k x x P x      x       3 1 1 2 2 3 3 11 2 1 3 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 2 3 3 1 0 kU x P k k k k k kx k x k x x U k x k x x PU k k x P x k k k k k k                                    x Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân bằng và ổn định 8 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tính ma trận Hessian   2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 1 2 U U x x x k k k k k kU U x x x                            H Tính định thức của 2 ma trận thành phần:   2 31 0k k  H   2 3 3 1 2 2 3 3 12 3 2 3 0 k k k k k k k k k k k k          H   0  *H x Là điểm cực tiểu Với: 3 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 k P k k k k k k k k P k k k k k k               * x 9 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau:     3 3 2 21 2 1 2 1 2, 2 4 6f f x x x x x x     x                   1 1 1 2 2 22 1 1 21 1 2 3 3 2 2 1 2 4 42 1 2 0; 0 0; 8 33 4 0 3 8 4 3; 0 4 3; 8 3 x xf x x xx x f f x x x x x x x                                     x Tính ma trận Hessian một điểm bất kz   2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 6 4 0 0 6 8 f f x x x x xf f x x x                          H Có 4 điểm dừng (m=4) 10 Tính ma trận Hessian tại 4 điểm nghiệm ở bước 1. 1) Điểm số 1:        1 11 2 0 0 T T x x     1 x         1 1 1 1 2 4 04 0 0 8 32 0 A A              x x x H Tất cả các định thức thành phần đều >0  Cực tiểu 2) Điểm số 2:        2 21 2 0 8 3 T T x x      2 x         2 2 2 1 2 4 04 0 0 8 32 0 A A               x x x H Trình tự âm – dương của các định thức thành phần không tuân theo quy tắc cực đại  Điểm yên 3) Điểm số 3:        3 31 2 4 3 0 T T x x      3 x         2 2 2 1 2 4 04 0 0 8 32 0 A A                x x x H Toàn bộ các định thức thành phần đều âm  Điểm yên 4) Điểm số 4:        4 41 2 4 3 8 3 T T x x       4 x         4 4 4 1 2 4 04 0 0 8 32 0 A A               x x x H Các định thức thành phần tuân theo quy luật cực đại  Cực đại    6f 1x    418 27 f  2 x    194 27 f  3 x    50 3 f  4 x 11 Xanh lam Cực tiểu Đỏ  Cực đại 2 điểm xanh lá cây còn lại Điểm yên 12 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau:      4 2 21 2 1 1 2 1 2 1, 0.7 8 6 cos 8f f x x x x x x x x     x           3 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 102.8 16 sin 8 2012 sin f x x x x x x f f x x x x x                            x Giải hệ phương trình này 1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 thì PT (1) vô nghiệm  Suy ra x1≠0 2) Trường hợp 2: Nếu x2=0 thì PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc này 3 1 12.8 16 8 0x x   13 Vẽ đồ thị hàm:   31 1 12.8 16 8f x x x   online: https://rechneronline.de/function-graphs/ 14 Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 nghiệm nằm trong 3 khoảng sau đây: - Khoảng 1 là [-2.1; -1.8] trong đó nghiệm rất gần với -2.1 - Khoảng 2 là [-0.6; -0.3] trong đó nghiệm rất gần với -0.5 - Khoảng 3 là [2.4; 2.7] trong đó nghiệm rất gần với 2.55  Sử dụng phương pháp số như bisection ra sẽ ra được 3 nghiệm này lần lượt là: 1 1 2 1 3 1 2.084068332 0.5253777475 2.609446079 x x x            Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu và điểm yên của điểm dừng 15   20.48406282 0 0 0 7.656659188         1H a) Xét điểm dừng số 1: 1 1 22.084068332; 0x x     Tất cả các định thức thành phần đều >0  Cực tiểu b) Xét điểm dừng số 2: 2 1 20.5253777475; 0x x      2 13.68141707 0 0 11.72397822         H Toàn bộ các định thức thành phần đều âm  Điểm yên c) Xét điểm dừng số 3: 3 1 22.609446079; 0x x     3 41.19735425 0 0 5.190791161         H Tất cả các định thức thành phần đều >0  Cực tiểu  1 3.86895325f   x  2 3.048179374f  x  3 41.89351183f   x 16 3) Trường hợp 3: x1≠0, x2≠0:     3 4 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2.8 16 sin 8 0 7 40 20 3012 sin 0 7 40 20 7 40 20 12 sin 0 30 30 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          Ta vẽ đồ thị để xem điểm đồ thị cắt trục hoành ở đâu: 17 Như vậy là không có nghiệm nào x1≠0, x2≠0 của véc tơ Gradient. Chúng ta chỉ có 2 điểm cực trị (màu xanh dương) và một điểm yên (màu xanh lá cây)