Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa toán học ở trường phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2014, Vol. 59, No. 8, pp. 69-75 This paper is available online at BÀN VỀ VẤN ĐỀ DẠY HỌCMÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Nguyễn Thị Nga Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tóm tắt.Mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp phát triển ở học sinh khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn, chuẩn bị cho họ những kiến thức và kĩ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa dạng sau này và nối liền toán học với các môn học khác. Bài báo này trình bày một số khái niệm liên quan đến mô hình hóa toán học, quá trình mô hình hóa toán học cũng như những lợi ích và khó khăn của việc dạy học mô hình hóa toán học. Đồng thời, chúng tôi cũng đề cập đến thực trạng của việc dạy học mô hình hóa toán học ở Việt Nam hiện nay và đề xuất một tình huống dạy học bằng mô hình hóa. Từ khóa:Mô hình hóa, quá trình mô hình hóa toán học, dạy học hàm số tuần hoàn. 1. Mở đầu Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông và những kĩ năng cơ bản để bước vào cuộc sống sau này. Đa số học sinh phổ thông sau này không phải là người làm toán mà là người sử dụng toán nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh. Để đạt được mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết. Ở nhiều nước trên thế giới, vấn đề mô hình hóa đã được quan tâm, đề cập trong rất nhiều nghiên cứu và là chủ đề chính của nhiều hội nghị, hội thảo. Tầm quan trọng và các ứng dụng của mô hình toán học trong giảng dạy và học tập đã được đề cập trong nhiều nghiên cứu như Pollak (1970), Blum & Niss (1991), Werner Blum (1993), Lalina Coulange (1997), J. C. Barbosa (2002),... 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Mô hình hóa toán học là gì? Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Ngày nhận bài: 17/2/2014. Ngày nhận đăng: .17/08/2014 Liên hệ: Nguyễn Thị Nga, e-mail: ngathi103@yahoo.com 69 Nguyễn Thị Nga Mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình. . . Mô hình hóa toán học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Ví dụ, mô hìnhvề sự phát triển của dân số xác định bởi công thức: P (t) = P0er:t, với P0: số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trưởng, t: thời gian. 2.2. Quá trình mô hình hóa toán học Theo Lalina Coulange [4], quá trình mô hình hóa toán học một vấn đề thực tiễn được trình bày trong Hình 1. Hình 1. Quá trình mô hình hóa toán học Quá trình này gồm 4 bước: - Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian. Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo. - Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học. Khi có mô hình trung gian ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống. - Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước 2. - Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Trở lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa. Trong bước này có hai khả năng: * Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. * Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Khi đó cần xem 70 Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa Toán học ở trường phổ thông... xét các nguyên nhân sau: - Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình. - Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét. - Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng. - Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế. Trong trường hợp này, cần phải thực hiện lại quy trình trên cho đến khi tìm được mô hình toán học thích hợp cho tình huống. 2.3. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán Mô hình hóa được mọi người quan tâm vì nó cho phép liên kết toán học với các môn học khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và giảng dạy toán học. Thật vậy, mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp học sinh phát triển khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong thực tiễn, chuẩn bị cho họ những kiến thức và kĩ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa dạng sau này. Theo Barbosa [3], mô hình hóa như là một môi trường học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thông qua toán học: “Mô hình hóa là một môi trường học tập mà học sinh được mời đến để tìm hiểu và/hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những tình huống phát sinh trong các lĩnh vực kiến thức khác”. Việc ứng dụng mô hình hóa trong dạy học toán có những ưu điểm sau: - Học sinh có cơ hội tham gia giải quyết một số vấn đề thực tế chứ không đơn thuần là tìm hiểu làm thế nào để giải quyết một phương trình, khảo sát một hàm số,. . . - Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng kết nối với các tình huống và các vấn đề khác; - Hầu hết các học sinh dễ nhớ một vấn đề mô hình hóa mà họ đã dành nhiều thời gian hơn so với việc đơn thuần là giải một bài toán toán học; - Việc dạy học mô hình hóa có thể triển khai ở bất kì mức độ giáo dục nào từ tiểu học đến trung học và cả đại học. 2.4. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học Mặc dù mô hình hóa rất có ích trong việc tổ chức dạy học toán học ở trường phổ thông nhưng cũng có không ít trở ngại. Theo Werner Blum [6] và Aslan Doosti & Alireza M.Ashtiani [2] thì có các trở ngại sau: - Những trở ngại từ quan điểm của giáo viên Lựa chọn các vấn đề để thảo luận trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là nghệ thuật của giáo viên. Tình huống như thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư rất nhiều và những cái họ có trong tay phải được cập nhật và phải được điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngoài ra cũng đòi hỏi khả năng quản lí tình hình mở trong lớp học của giáo viên. - Những trở ngại từ quan điểm của học sinh Mô hình hoá làm cho bài học và các kì thi toán học được yêu cầu cao hơn và khó dự đoán hơn. Các học sinh không muốn thử nghiệm một phương pháp tiếp cận mới. - Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá 71 Nguyễn Thị Nga Mô hình hoá đòi hỏi mất nhiều thời gian hơn so với các phương pháp truyền thống và khó khăn để đánh giá hơn. Thật vậy, những gì không kiểm tra sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi các học sinh hoặc giáo viên. 2.5. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam 2.5.1. Ở Pháp Tương tự như nhiều nước khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mô hình hóa vào dạy học toán và các môn học khác. “Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường học (23/05/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực hành một “phương pháp tiếp cận khoa học” được yêu cầu như một năng lực của học sinh. Phương pháp đó được mô tả như sau: - Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh luận, mô hình hóa theo cách cơ bản; - Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được áp dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tượng này” [5]. 2.5.2. Ở một số nước khác Theo nghiên cứu của Werner Blum [6], ở các nước như Mỹ, Úc, Đức, Canada và Anh, có rất nhiều tài liệu về dạy học mô hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại học. Trong các tài liệu này, người ta xây dựng những ví dụ, những tình huống cụ thể để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mô hình hóa. Điều này là thực sự có ý nghĩa để tạo “vùng sống” cho dạy học mô hình hóa vì nó khắc phục được các trở ngại đã nêu ra ở phần trên. 2.5.3. Ở Việt Nam Trong các năm gần đây, việc áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của các môn khoa học khác khá được quan tâm trong chương trình và sách giáo khoa toán của Việt Nam. Chẳng hạn, chương trình toán lớp 9 nêu rõ: “Quan điểm tăng tính thực tiễn, tính sư phạm được thể hiện rõ nét trong chương trình 2002, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác” [SGV Toán 9]. Tương tự, chương trình môn toán ở trung học phổ thông (THPT) cũng nhấn mạnh quan điểm này như sau: + Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn toán. + Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn [Trích chương trình THPT môn Toán, 2006]. “Mục tiêu đầu tiên của chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của các kiến thức toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác” [Trích chương trình Đại số và Giải tích 11, 2006]. Như vậy, ứng dụng thực tiễn của toán học và sự liên môn trong đó toán học đóng vai trò công cụ đã được đề cập tường minh trong chương trình trung học. Tuy nhiên, vấn đề dạy học mô 72 Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa Toán học ở trường phổ thông... hình hóa không được chú trọng ở Việt Nam. “Vấn đề dạy học mô hình hóa không được nhấn mạnh trong chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam. Chúng tôi chỉ tìm thấy dấu vết của sự mô hình hóa trong việc ứng dụng các kiến thức toán học vào một số vấn đề nảy sinh từ thực tế. Trong sách giáo khoa toán THPT, các bài tập loại này rất hiếm và thường được đặt trong phần bài đọc thêm hoặc ở phần đầu một số chương với vai trò dẫn dắt đến kiến thức mới” [5]. - Trường hợp các hàm số lượng giác, hàm số tuần hoàn + Thực trạng: Dạy học các mô hình toán học (giải phương trình lượng giác) Hàm số tuần hoàn là một lĩnh vực mà mô hình hóa toán học có môi trường tốt để tồn tại vì nó liên quan đến nhiều lĩnh vực như vật lí, thiên văn học,. . . Tuy nhiên, vấn đề dạy học mô hình hóa các hàm số tuần hoàn bị thu hẹp thành việc dạy học các mô hình toán học. “. . . , việc dạy học mô hình hóa, đặc biệt là mô hình hóa các hiện tượng tuần hoàn thu hẹp thành dạy học sử dụng các mô hình. Đặc biệt, nếu hàm số thuộc vào mô hình thì nó sẽ được trình bày trong đề bài ngay khi giới thiệu thực tế cần mô hình hóa” [5]. Ví dụ, xem xét bài tập “mô hình hóa” trong SGK Toán lớp 11 sau đây: Hình 2. Bài tập "mô hình hóa" ở SGK Đại số và giải tích lớp 11 Công việc của học sinh trong tình huống này hoàn toàn là công việc toán học (giải các phương trình, chọn nghiệm). Hiện tượng thiên văn học về sự biến thiên của khoảng thời gian có ánh sáng mặt trời mỗi ngày cung cấp một lí do cho công việc toán học trong mô hình dao động điều hòa. Công việc toán học này trong trường hợp tốt nhất cho phép chứng tỏ khoa học thiên văn nhận được các kết quả xác thực như thế nào nhưng không cho phép đi vào chính phương pháp mô hình hóa hiện tượng. Chẳng hạn, dữ kiện về vĩ độ phục vụ cái gì? Vĩ độ có thuộc về mô hình cần xây dựng hay không? Làm thế nào để xây dựng được hàm số d(t)? + Tình huống dạy học hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa Chúng tôi đã xây dựng và thực nghiệm một tình huống dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động (Cabri II Plus). Bài toán tổng quát trong thực nghiệm được phát biểu như sau: “Một công viên giải trí ở Thành phố Hồ Chí Minh có một đu quay lớn. Bắt đầu lượt chơi, bạn M bước vào một cabin. Một tia sáng màu đỏ chiếu sáng từng đợt vào một vị trí cố định của đu quay mà các cabin đi qua. Nếu một cabin được chiếu sáng, người ngồi trên cabin sẽ thắng một lượt chơi miễn phí. Câu hỏi: - M có thắng một lượt miễn phí không? Nếu có, sau bao nhiêu vòng chơi? - M có thể thắng thêm những lần khác không?” 73 Nguyễn Thị Nga Ở đây, chúng tôi nhắm đến sự mô hình hóa hình học một tình huống thực tế. Thật vậy, lĩnh vực hình học khuyến khích sự tham gia vào công việc mô hình hóa bởi vì nó cho phép tạo nên mối liên hệ ngữ nghĩa chặt chẽ với tình huống thực tế được chọn. Hình học là một công cụ quen thuộc được sử dụng để mô hình hóa không gian xung quanh chúng ta. Hơn nữa, mô hình hóa một không gian thực tế bởi hình học là một hoạt động mà học sinh đã thực hiện ngay từ tiểu học mặc dù điều này chỉ thể hiện ngầm ẩn. Chẳng hạn, một cái cửa sổ hay một cái bàn được biểu diễn bởi một hình chữ nhật. Chúng tôi đã xây dựng những tình huống sư phạm cho phép mô hình chuyển động tròn đều đóng vai trò mô hình hình học trung gian để xây dựng mô hình dao động điều hòa. Do đó, hiện tượng thực tế được chọn là một chuyển động tròn đều. Việc lựa chọn môi trường hình học động (Cabri II Plus) có lợi thế là cung cấp cho học sinh những phương tiện để khám phá mô hình bằng cách thao tác trên nó, điều chỉnh nó và xem xét hệ quả của những điều chỉnh đó. Thực nghiệm đã được tiến hành vào đầu năm học 2010-2011 với 12 HS lớp 12 của một trường THPT tại Thành phố Hồ Chí Minh (chia làm 6 nhóm). Chú ý rằng, HS đã được học về chuyển động tròn đều năm lớp 10 và dao động điều hòa ở đầu năm lớp 12 này. Thực nghiệm đã diễn ra trong 2 buổi, mỗi buổi kéo dài 2,5h với các mục tiêu được trình bày trong Bảng 1. Bảng 1. Mục tiêu của các tình huống thực nghiệm Tình huống thực nghiệm Mục tiêu Buổi 1 Tình huống tiếp cận Cabri Làm quen với các công cụ của Cabri Tình huống 1 Xây dựng mô hình hình học trung gian (mô hình chuyển động tròn đều) Tình huống 2 Làm tiến triển mô hình hình học trung gian bằng việc đưa vào biến thời gian Buổi 2 Tình huống 3 Giải quyết bài toán về sự trùng khớp (làm xuất hiện mô hình dao động điều hòa: công thức, đồ thị) Mỗi nhóm HS làm việc trên một máy tính đã được cài đặt phần mềm Cabri II Plus. Trong buổi thực nghiệm thứ nhất, học sinh tự mình xây dựng một mô hình hàm số đầu tiên có bản chất hình học. Điểm M biểu diễn cabin trên đu quay di chuyển trên đường tròn theo thời gian - biến độc lập mà các giá trị của nó có thể đọc được trên một trục phân biệt với đường đi của cabin. Buổi thực nghiệm thứ 2 nhắm vào việc giải quyết bài toán tổng quát dựa trên mô hình chuyển động tròn đều đã xây dựng trong các tình huống 1 và 2. Việc giải quyết vấn đề về sự trùng khớp giữa hai hiện tượng tuần hoàn đòi hỏi phải thao tác trên hai chu kì của hai hiện tượng và làm tiến triển mô hình trung gian về một mô hình hàm số tính toán được. Như vậy, trong thực nghiệm này, học sinh được thực sự tham gia vào quá trình mô hình hóa toán học: Lựa chọn và xây dựng mô hình toán học, giải quyết bài toán toán học và đối chiếu kết quả toán học với thực tế để tìm câu trả lời cho bài toán thực tế. Các kiến thức về sự tuần hoàn được xây dựng như là sản phẩm của một quá trình toán học hóa một hiện tượng thực tế - các hiện tượng tuần hoàn theo thời gian. 74 Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa Toán học ở trường phổ thông... 3. Kết luận Kết quả nghiên cứu chứng tỏ học sinh hoàn toàn có thể tham gia vào quá trình mô hình hóa nếu xây dựng được những tình huống phù hợp. Thông qua đó, có thể phát triển ở học sinh năng lực giải quyết vấn đề như lựa chọn và xây dựng mô hình toán học phù hợp với thực tế, đối chiếu kết quả của bài toán toán học với thực tế để tìm câu trả lời cho bài toán ban đầu. Tuy nhiên, làm thế nào để có được những tình huống mô hình hóa hỗ trợ cho giáo viên trong việc dạy học? Những kiểu bài tập hỗn hợp toán - vật lí nào mà thể chế ở trung học cần xây dựng để dạy học mô hình hóa toán học? Vấn đề đào tạo giáo viên, vấn đề kiểm tra, đánh giá cần được thực hiện như thế nào để dạy học mô hình hóa có “vùng sống” thật sự trong dạy học toán? Đó là những câu hỏi cần quan tâm để có thể thúc đẩy việc dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ở trường phổ thông. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga, 2011. Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA. Tạp chí khoa học giáo dục Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, Số 28(62)/Khoa học Giáo dục. [2] Aslan Doosti & Alireza M. Ashtiani, Mathematical Modeling: a new approach for mathematics teaching in different levels. [3] J. C. Barbosa, 2002. Modelagem matemática e os futuros professores. Caxambu. Anais, Caxambu: ANPED. [4] Lalina Coulange, 1997. Les problèmes “concrets” à “mettre en équations” dans l’enseignent, petit x, n047. [5] Nguyễn Thị Nga, 2012. La périodicité dans les enseignements scientifiques : une ingénierie didactique d’introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, ISBN: 978-3-8383-8192-9, Éditions Universitaires Européennes. [6] Werner Blum, 1993. Mathematical modelling in mathematics education and instruction. Mathematics Department, Kassel University, Germany. ABSTRACT The teaching of mathematical modeling in secondary education Modeling could be used to demonstrate the usefulness of mathematics, to improve students’ ability to resolve real-life situations, to prepare for various professions and to connect mathematics with other disciplines. This paper presents some concepts related to mathematical modeling, the process of mathematical modeling and the advantages and disadvantages of teaching mathematical modeling. Also presented is the current status of the teaching of mathematical modeling in Vietnam and a proposal of a means to improve teaching using modeling. 75