Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier .................................................................................................................275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier ....................................................... 276 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức ..................................................................................... 279 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................... 282 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier .................................................... 284 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier ........................................................................................ 288 8.1.6. Thí dụ ............................................................................................................................ 289 8.2. Tích phân Fourier ......................................................................................................... 290 8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier...................................................................... 290 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier ................................................................................. 293 8.3. Biến đổi Fourier ............................................................................................................ 295 8.3.1. Định nghĩa..................................................................................................................... 295 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................................................ 296 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier................................... 297 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299 8.4. Một số ví dụ về ứng dụng........................................................................................ 301 8.4.1. Bộ lọc điện .................................................................................................................... 301 8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại............................................................................. 302 8.1. Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu. 276 Giải tích các hàm nhiều biến Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị đó. 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [ , ]π π− là chuỗi lượng giác 0 1 [ cos sin ]2 n nn a a nx b nx ∞ = + +∑ , trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây 1 ( )cos , 0,1,2,3,...na f x nxdx n π ππ− = =∫ 1 ( )sin , 1,2,3,...nb f x nxdx n π ππ− = =∫ . Tổng riêng của chuỗi này là 0 1 ( ) [ cos sin ]2 n n k k k aS x a kx b kx = = + + =∑ 1 1 [1 2 (cos cos sin .sin )] ( )2 n k kt kx kt kx f t dt π ππ =− = + +∑∫ = 1 1 [1 2 cos ( )] ( )2 n k k t x f t dt π ππ =− = + −∑∫ . Để ý rằng 1 sin[(2 1) / 2]1 2 cos sin( / 2) n k n uku u= ++ =∑ khi 2u mπ≠ , m ]∈ , ta suy ra 1( ) ( ) ( )2n nS x D t x f t dt π ππ− = −∫ , trong đó ( ) ( ) 2 1sin 2( ) sin 2 n n u D u u + = , có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễ thấy rằng nhân Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π và 0 1 ( ) 1nD u du π π =∫ . Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 277 0 1( ) ( ) ... ( ) 1 n n S x S x S x nσ + + += + , 0 1( ) ( ) ... ( )( ) 1 n n D x D x D xx nΦ + + += + , và gọi ( )n xΦ là nhân Fejer, còn ( )n xσ là tổng Fejer, và từ các công thức tích phân Dirichlet ta có 1( ) ( ) ( )2n nx u f x u du π π σ Φπ− = +∫ . Bổ đề. Nhân Fejer ( )n xΦ có những tính chất sau đây: (i) Nhân Fejer ( )n xΦ là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π ; (ii) ( ) 0 ,n x xΦ ≥ ∀ ; (iii) 1 ( ) 12 n x dx π π Φπ− =∫ ; (iv) Với mỗi (0, )δ π∈ ta có | | lim max ( ) 0nn x x δ π Φ →∞ ≤ ≤ = . Chứng minh. Từ định nghĩa ta có 0 0 1( 1) ( ) ( ) sin[(2 1) / 2]sin( / 2) n n n k k k n x D x k xxΦ = = + = = + =∑ ∑ 2 2 0 0 1 12sin[(2 1) / 2]sin( / 2) [cos cos( 1) ] 2sin ( / 2) 2sin ( / 2) n n k k k x x kx k x x x= = = + = − +∑ ∑ 2 2 2 1 cos( 1) 2.sin [( 1) / 2] 2sin ( / 2) 2sin ( / 2) n x n x x x − + += = . Từ đây suy ra 2 2 sin [( 1) / 2]( ) ( 1)sin ( / 2)n n xx n x Φ += + . Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0. Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra (0) 1n nΦ = + . Từ công thức trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii). Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau đây: 278 Giải tích các hàm nhiều biến 2 2 2| | | | sin [( 1) / 2]1 1max ( ) max1 sin ( / 2) ( 1)sin ( / 2)nx x n xx n x nδ π δ π Φ δ≤ ≤ ≤ ≤ += ≤+ + . Bổ đề đã được chứng minh xong. Định lý. (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [ , ]π π− và ( ) ( )f fπ π− = thì tổng Fejer ( )n xσ hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khi n→∞ . Chứng minh. Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2π). Từ bổ đề trên ta suy ra 1 1| ( ) ( ) | ( ). ( ) ( ) ( )2 2n n nf x x f x u du u f x u du π π π π σ Φ Φπ π− − − = − + =∫ ∫ 1 1( )[ ( ) ( )] ( ) | ( ) ( ) |2 2n nu f x f x u du u f x f x u du π π π π Φ Φπ π− − = − + ≤ − +∫ ∫ . Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số. Suy ra, với mỗi số 0ε> cho trước, tồn tại số 0δ> sao cho | | ( ; ) : max | ( ) ( ) | / 3 − ≤ = − ≤ x y f f x f y δ ϖ δ ε . Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có 1 1 1| ( ) ( ) | 2 2 2nf x x δ δ π π δ δ σ π π π − − − − ≤ + +∫ ∫ ∫ . Đối với tích phân ở giữa ta có đánh giá 1 1( ) | ( ) ( ) | ( ; ) ( )2 2n nu f x f x u du f u du δ δ δ δ Φ ϖ δ Φπ π− − − + ≤ ≤∫ ∫ 1( ; ) ( ) .2 3nf u du π π εϖ δ Φπ− ≤ <∫ Dễ thấy rằng hàm f bị chặn bởi một số M nào đó cho nên, từ tính chất (iv) trong bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên nε đủ lớn sao cho với n nε≥ thì 2 tích phân còn lại đều nhỏ hơn / 3ε , và tổng hợp lại ta có | ( ) ( ) | ,nf x x n nεσ ε− ≤ ∀ ≥ . Định lý đã được chứng minh xong. Nhận xét. Ta đã biết rằng chuỗi Fourier của một hàm liên tục không nhất thiết hội tụ tại mỗi điểm, và do đó khả năng thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier của nó là rất mỏng manh. Tuy nhiên, định lý trên đây đã đưa ra một phương pháp mới, thiết Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 279 lập lại hàm số không phải trực tiếp từ tổng riêng của chuỗi Fourier, mà từ các trung bình cộng của chúng (tức là các tổng Fejer). Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều, tới chính hàm f. Như vậy, việc nghiên cứu các chuỗi phân kỳ cũng có lúc đem lại hiệu quả bất ngờ. Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ (không nhất thiết là chuỗi lượng giác) bằng cách thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và khảo sát tính hội tụ của chúng được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng. 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức Ta đã biết thế nào là đa thức đại số bậc n. Bây giờ ta có thêm khái niệm đa thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng 2 2 0 1 cos sin , 0 n k k n n k A A kx B kx A B = + + + ≠∑ . Định lý. (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [ , ]π π− và ( ) ( )f fπ π− = thì, với mỗi 0ε> , tồn tại đa thức lượng giác ( )T x sao cho | ( ) ( ) | , [ , ]f x T x xε π π− < ∀ ∈ − . Chứng minh. Suy ra từ định lý trên, vì mỗi tổng Fejer cũng là một đa thức lượng giác. Định lý. (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thì, với mỗi 0ε> , tồn tại đa thức đại số ( )P x sao cho | ( ) ( ) | , [ , ]f x P x x a bε− < ∀ ∈ . Chứng minh. Dùng phép đổi biến b ax a tπ −= + với [0, ]t π∈ , ta được hàm số ( )*( ) b af t f a tπ−= + xác định trên đoạn [0,π]. Thác triển hàm này về phía trái trục số theo công thức *( ) ( )f t f t− = ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn [ , ]π π− và thỏa mãn *( ) *( )f fπ π− = . Từ định lý trên, với mỗi số 0ε> , ta tìm được đa thức lượng giác ( )T x thỏa mãn điều kiện | * ( ) ( ) | / 2 , [ , ]f t T t tε π π− < ∀ ∈ − . Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích, khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa (hội tụ đều trên toàn trục số), cho nên tồn tại số tự nhiên nε sao cho với mọi n nε≥ đa thức Taylor bậc n của ( )T x , ký hiệu là ( )nP t , thỏa mãn điều kiện | ( ) ( ) | / 2 , [ , ]− < ∀ ∈ −nT t P t tε π π . Lấy đa thức ( ) ( )nP t P tε= ta có 280 Giải tích các hàm nhiều biến | * ( ) ( ) | | * ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 2 2f t P t f t T t T t P t ε ε ε− ≤ − + − < + = . Quay trở về với biến x , tức là lấy x at b aπ −= − , ta có ( )( ) , [ , ]x af x P x a bb aπ ε−− < ∀ ∈− , trong đó ( )x aP b aπ −− rõ ràng là một đa thức. Định lý đã được chứng minh. Nhận xét. Định lý trên cho thấy rằng, với mọi hàm f liên tục trên đoạn [a,b], ta luôn tìm được dãy đa thức ( )nP x hội tụ đều trên đoạn này tới hàm f. Và từ đây suy ra rằng mọi hàm liên tục trên đoạn luôn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ đều của các đa thức (trên đoạn đó). Điều này, theo một nghĩa nào đó, cho thấy rằng các hàm liên tục (vốn được đưa ra một cách trừu tượng và tổng quát) cũng không quá khác biệt với các đa thức, vốn rất quen thuộc với chúng ta. Và ngoài ra, nó cũng làm thỏa mãn những người hay hình dung một hàm liên tục như một “biểu thức” nào đó. Định nghĩa. Một hệ các hàm số 1 2, ,..., ,...nϕ ϕ ϕ xác định trên đoạn [a,b] được gọi là đầy đủ đối với họ hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ đều nếu như mọi hàm trong họ này có thể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên với độ chính xác tuỳ ý. Nghĩa là, với mỗi 0ε> , tồn tại hữu hạn các hàm iϕ và các số ( 1,2,..., )i i kλ = sao cho 1 1| ( ) [ ( ) ... ] | , [ , ]k kf x x x a bλ ϕ λ ϕ ε− + + < ∀ ∈ . Từ các định lý trên ta có các mệnh đề sau. Mệnh đề. Hệ các hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,...,cos ,sin ,...x x x x nx nx là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [ , ]π π− và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Chứng minh. Suy ra từ định lý Weierstrass I. Mệnh đề. Hệ các hàm lũy thừa 21, , , ... , , ...nx x x là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ (theo nghĩa xấp xỉ đều). Chứng minh. Suy ra từ định lý Weierstrass II. Chú ý. Hệ các hàm lượng giác không thể là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với họ các hàm liên tục trên đoạn [ , ]π π− (bởi vì nếu không thì từ tính chất ( ) ( )T Tπ π− = của các đa thức lượng giác sẽ kéo theo ( ) ( )f fπ π− = với mọi hàm liên tục f ). Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 281 Người ta coi độ lệch toàn phương trung bình giữa 2 hàm f và g xác định trên đoạn [a,b] là đại lượng 2[ ( ) ( )] b a f x g x dx−∫ . Đại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g (hay là của g so với f ). Định nghĩa. Một hệ các hàm số 1 2, ,..., ,...nϕ ϕ ϕ xác định trên đoạn [a,b] được gọi là đầy đủ đối với họ các hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình nếu như, với mỗi hàm f ∈ ℜ và với mọi số 0ε> , tồn tại một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so với hàm f nhỏ hơn ε. Mệnh đề. Hệ các hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,...,cos ,sin ,...x x x x nx nx là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [ , ]π π− và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Chứng minh. Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta suy ra, với mỗi số 0ε> , tồn tại đa thức lượng giác ( )T x sao cho | ( ) ( ) | / 2 , [ , ]f x T x xε π π π− < ∀ ∈ − . Từ đây ta suy ra 2[ ( ) ( )] 2 f x T x dx dx π π π π ε επ− − − < =∫ ∫ . Mệnh đề đã được chứng minh xong. Nhận xét. Trong chứng minh trên, vì để sử dụng được tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm liên tục nhận giá trị như nhau tại 2 đầu mút của đoạn. Sau này ta sẽ thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình, hệ các hàm lượng giác không những là đầy đủ trong lớp hàm liên tục nói chung (nhận các giá trị bất kỳ tại 2 đầu mút cuối của đoạn), mà còn là đầy đủ trong lớp hàm rộng hơn hẳn: lớp các hàm với bình phương khả tích. Và trong lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa toàn phương trung bình, các tổng riêng Fourier sẽ thể hiện được đầy đủ các ưu thế của mình, chứ không bị “yếu thế” (so với tổng riêng Fejer) trong phép xấp xỉ đều như đã thấy trước đây. Lớp của những hàm này thường được ký hiệu là 2[ , ]L π π− . Mệnh đề. Hệ các hàm lũy thừa 21, , , ... , , ...nx x x là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình. Chứng minh. Tương tự như mệnh đề trên. 282 Giải tích các hàm nhiều biến 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng. Khi ấy tính khả tích của một hàm số không kéo theo tính khả tích của bình phương của nó (và ngược lại). Thí dụ, hàm ( ) 1/ | |f x x= là khả tích trên đoạn [ 1,1]− , còn bình phương của nó thì không. Tuy nhiên, nếu hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm đặc biệt (điểm không xác định) và là khả tích Riemann trên mọi đoạn bất kỳ không chứa các điểm này thì từ tính khả tích của 2f suy ra tính khả tích của f , vì ta luôn có 2| | (1 ) / 2f f≤ + . Đối tượng chính mà chúng ta nghiên cứu trong phần này sẽ là những hàm khả tích cùng với bình phương của nó trên đoạn [ , ]π π− , và ta gọi chúng một cách ngắn gọn là hàm với bình phương khả tích. Kết quả sau đây cho chúng ta thấy rằng tổng Fourier bậc n là xấp xỉ toàn phương trung bình tốt nhất trong số các xấp xỉ bởi đa thức lượng giác bậc n của hàm bình phương khả tích. Định lý. Cho f là hàm số với bình phương khả tích trên đoạn [ , ]π π− . Nếu ( )nS x là tổng Fourier bậc n của f thì 2 2 ( ) [ ( ) ( )] min [ ( ) ( )] n n nT x f x S x dx f x T x dx π π π π− − − = −∫ ∫ , trong đó minimum ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác ( )nT x có bậc không quá n. Nếu 0 1 1, , , ... , , , ....n na a b a b là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây: 2 2 2 20 1 1( ) ( )2 n nn a a b f x dx π ππ ∞ = − + + ≤∑ ∫ . Chứng minh. Với 0 1 ( ) cos( ) sin( )2 n n k k k AT x A kx B kx = = + +∑ , sử dụng tính vuông góc của hệ các hàm lượng giác, ta có 2 2 2 20 1 [ ( )] 2 n n k k k AT x dx A B π π π =−   = + +   ∑∫ cho nên 2[ ( ) ( )]nf x T x dx π π− − =∫ 2 2 2 20 1 ( ) 2 n k k k Af x dx A B π π π =−   + + + −  ∑∫ Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 283 0 1 2 ( ) ( )cos( ) ( )sin( )2 n k k k A f x dx A f x kx dx B f x kx dx π π π π π π=− − −   − + + =    ∑∫ ∫ ∫ = 2 2 2 20 1 ( ) 2 n k k k Af x dx A B π π π =−   + + + −  ∑∫ 0 0 12 2 n k k k k k a A a A b Bπ =   + + =   ∑ ( ) 2 2 2 2 2 2 20 0 0 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) .2 2 n n k k k k k k k k A a af x dx A a B b a b π π π π = =−    −   = + + − + − − + +          ∑ ∑∫ Từ đây suy ra 2[ ( ) ( )]nf x T x dx π π− −∫ đạt giá trị cực tiểu khi đa thức ( )nT x trùng với tổng riêng Fourier ( )nS x (bậc n) của f , tức là phần thứ nhất của định lý đã được chứng minh. Phần thứ 2 là hiển nhiên, vì rằng từ công thức trên ta suy ra 2 2 2 2 20 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] 02 n n n n n af x dx a b f x S x dx π π π ππ π=− − − + + = − ≥∑∫ ∫ , và cho n tiến ra vô cùng ta có ngay điều phải chứng minh. Nhận xét. Bất đẳng thức Bessel cho thấy rằng đối với hàm có bình phương khả tích thì chuỗi 2 2 20 1 ( )2 n nn a a b ∞ = + +∑ là hội tụ. Định lý. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [ , ]π π− và nhận cùng một giá trị ở 2 đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier 0 1 1, , , ... , , , ....n na a b a b của f thỏa mãn đẳng thức Parseval sau đây: 2 2 2 20 1 1 ( ) ( )2 k kk af x dx a b π ππ ∞ =− = + +∑∫ . Chứng minh. Ta biết rằng hệ các hàm lượng giác là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [ , ]π π− có giá trị tại 2 đầu mút bằng nhau, cho nên, với mỗi 0ε> , tồn tại đa thức lượng giác ( )T x thỏa mãn 21 [ ( ) ( )]f x T x dx π π επ− − <∫ . 284 Giải tích các hàm nhiều biến Theo định lý trên ta có 2 21 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]nf x S x dx f x T x dx π π π π επ π− − − ≤ − <∫ ∫ , và áp dụng đẳng thức (*) đối với nS suy ra 2 2 2 2 2 2 2 20 0 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 n k k k k k k a af x dx a b f x dx a b π π π ππ π ∞ = =− −       − + + ≤ − + + =          ∑ ∑∫ ∫ 2 21 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]nf x S x dx f x T x dx π π π π επ π− − = − ≤ − <∫ ∫ . Do ε là số dương nhỏ bao nhiêu tuỳ ý mà vế trái luôn luôn không âm (theo bất đẳng thức Bessel), nên nó phải bằng 0 . Định lý được chứng minh. Hệ quả. Với các giả thiết của định lý, chúng ta có 2lim [ ( ) ( )] 0nn f x S x dx π π→∞− − =∫ . Chứng minh. Suy ra từ chứng minh của định lý trên. 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier Lưu ý rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức 0 1 ( ) ( cos sin )2 n nn af x a nx b nx ∞ = ≈ + +∑ để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải. Mệnh đề. Cho hàm f liên tục trên đoạn [ , ]π π− với ( ) ( )f fπ π− = và có khai triển Fourier là 0 1 ( ) ( cos sin )2 n nn af x a nx b nx ∞ = ≈ + +∑ . Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn [ , ]π π− thì chuỗi Fourier của 'f bằng chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là 1 '( ) ( sin cos )n n n f x na nx nb nx ∞ = ≈ − +∑ . Chứng minh. Giả sử hàm 'f có chuỗi Fourier là 0 1 '( ) ( cos sin )2 n nn f x nx nxα α β ∞ = ≈ + +∑ Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 285 trong đó, theo định nghĩa, ta có 0 1 1'( ) [ ( ) ( )] 0f t dt f f π π α π ππ π− = = − − =∫ ; 1 '( ).cos( ) ( )cos( ) ( )sin( ) 0 . .n n n nf t nt dt f t nt f t nt dt n b n b π π πα π ππ − = = + = + =−∫ ∫ ; 1 '( ).sin( ) ( )sin( ) ( )cos( ) 0 . . .n n n nf t nt dt f t nt f t nt dt n a n a π π πβ π ππ − = = − = − =−−∫ ∫ Mệnh đề đã được chứng minh. Bổ đề. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp ( 1)k− và khả vi từng khúc ở cấp k ( 1)k ≥ , ngoài ra ( ) ( )( ) ( )i if fπ π− = , với 1,..., 1i k= − . Khi đó các hệ số Fourier của f thỏa mãn | | , | | , 1, 2, ...n nn nk ka b nn n ε ε≤ ≤ = , với các 0nε > sao cho 2 1 n n ε ∞ = <∞∑ . Chứng minh. Sử dụng mệnh đề trên k lần liên tiếp ta thu được ( ) 1 ( ) ( cos sin )k n n n f x nx nxα β ∞ = ≈ +∑ , trong đó, phụ thuộc vào k chẵn hay lẻ, ta có hoặc là ,k kn n n nn a n bα β=± =± , hoặc là ,k kn n n nn b n aα β=± =± . Đặt 2 2n n nε α β= + và áp dụng bất đẳng thức Bessel cho hàm ( )