Chương IV. Chuyển động của hệ chất điểm và vật rắn

CHƯƠNG IV. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN §1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM 1.Khối tâm của hệ chất điểm Giả sử có hệ gồm 2 chất điểm có khối lượng m1, m2 đặt tại các điểm tương ứng M1, M2 trong trọng trường. Trọng lực tác dụng lên các chất điểm m1 và m2 là 2 véctơ: song song cùng chiều với nhau. Tổng hợp 2 lực này có điểm đặt tại G nằm trên phương M1M2 thoả mãn điều kiện: Điểm G thoả mãn (4-1) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất 1 2;m g m g   1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 0 (4 1) M G m g m m M G m M G M G m g m m M G m M G                Xét một hệ n chất điểm như sau: Khối tâm của một hệ n chất điểm có khối lượng m1, m2 …mn là một điểm G được xác định bởi đẳng thức vectơ: 1 1 2 2 ... 0n nm M G m M G m M G       1 0 (4 2) n i i i hay m M G     Toạ độ của khối tâm G đối với một gốc toạ độ O nào đó. Toạ độ này có thể xác định theo cách sau đây đối với chất điểm thứ i (hình 4-2): Nhân 2 vế của (4-3) với mi rồi cộng các phương trình nhận được theo vế với vế từ 1 đến n, ta được: Chú ý đến (4-2), ta có: (4 3)i iOG OM M G        n 1i iii n 1i i n 1i i GMmOMmOG)m( i n 1i i n 1i i OMmOG)m(    Từ đó, ta suy ra: có 3 toạ độ X,Y,Z; có 3 toạ độ xi, yi, zi, Chiếu lên 3 trục toạ độ, sẽ được:     n 1i i n 1i ii m OM.m OG ROG   1 1 n i i i n i i m r R m         1 1 1 1 1 1 ; ; n n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i m x m y m z X Y Z m m m                ii rOM   2. Vận tốc của khối tâm Khi hệ chất điểm chuyển động, khối tâm có vận tốc: Trong đó là động lượng tổng hợp của hệ. Nên vận tốc của khối tâm có biểu thức: 1 1 1 1 (4 4) n n i i i i i i n n i i i i dr m m v dR dt V dt m m                1 1 n n i i i i i m v p P         4 5 P V m     3. Phương trình chuyển động của khối tâm Giả sử hệ có n chất điểm, các chất điểm lần lượt chịu tác dụng của những lực và chuyển động với gia tốc tương ứng: sao cho ta tìm được gia tốc của khối tâm là tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên tất cả các chất điểm của hệ, là tổng khối lượng của cả hệ, 1 2, ,..., nF F F    1 2, ,..., na a a    1 1 1,..., n n nm a F m a F      1 1 1 1 1 1 4 6 n n n i i i i i i i i n n n i i i i i i dv m m a F dV dt a dt m m m                     1 n i i F F     1 m i i m m   Do đó có thể viết lại biểu thức trên như sau: Phương trình (4-7) giống như phương trình chuyển động của một chất điểm. Từ đó ta kết luận: Chuyển động của khối tâm của một hệ chất điểm giống như chuyển động của một chất điểm mang khối lượng bằng tổng khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ.  4 7 F a m     §2. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 1. Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho bất kỳ đoạn thẳng nào vẽ trong vật rắn cũng luôn luôn song song với chính nó. Ví dụ: Chuyển động của ngăn kéo của bàn giấy, chuyển động của bàn đạp xe đạp…. 2. Tính chất Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó có quĩ đạo giống nhau. Do đó, chúng có cùng quãng đường di chuyển s, cùng vận tốc và cùng gia tốc. 3. Phương trình động lực học của vật rắn tịnh tiến Giả sử các chất điểm có khối lượng m1, m2, ..., mn chịu tác dụng bởi các ngoại lực Khi đó các chất điểm của vật rắn sẽ có gia tốc tuân theo định luật Newton II: Trong chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm có cùng gia tốc Cộng vế với vế các phương trình trên ta được: là tổng hợp tất cả các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. là khối lượng của cả vật rắn. 1 2, ,..., nF F F    1 2, ,..., na a a    1 1 1 2 2 2, ,..., n n nm a F m a F m a F          1 1 4 8 n n i i i i m a F ma F                 1 n i i F F     1 n i i m m   §3. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH Khi một vật rắn quay xung quanh một trục  thì: -Mọi điểm của vật rắn sẽ có qũy đạo tròn, các đường tròn qũy đạo của chúng có cùng trục, trục này trùng với trục quay  và có tâm nằm trên trục quay , có bán kính r khác nhau -Trong cùng một khoảng thời gian t, bán kính của mọi điểm của vật rắn đều quay được một góc  như nhau. -Mọi điểm của vật rắn có cùng vận tốc góc và gia tốc góc -Tại mỗi thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vật rắn cách trục quay một đoạn r liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức ; tv r a r         1.Mômen lực tác dụng lên vật rắn quay Giả sử có một vật rắn quay xung quanh một trục cố định  dưới tác dụng của lực F. Khi đó điểm đặt M của lực F vạch một quỹ đạo tròn bán kính r nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục , có tâm nằm trên trục này, và có thể phân tích lực thành 3 thành phần (hình 4-5) sao cho: - Thành phần Ft tiếp tuyến vuông góc với bán kính - Thành phần Fnxuyên trục cùng phương với bán kính - Thành phần F1 song song với trục quay  1, ,n tF F F    1 n tF F F F       Như vậy: Tác dụng của lực làm cho vật rắn quay quanh trục cố định  chỉ tương đương với tác dụng của thành phần tiếp tuyến của lực này. Vectơ mômen lực tiếp tuyến đối với trục quay được định nghĩa: Mômen lực có: -Trị số: - Phương vuông góc với mặt phẳng chứa - Chiều sao cho ba vectơ theo thứ tự đó hợp thành tam diện thuận. Chú ý: M =0 khi F =0 hoặc khi F đồng phẳng với trục quay , nghĩa là khi F song song với  , hoặc cắt trục  (r=0). tM r F     . sin , .t t tM r F r F r F    , tr F  , ,tr F M   2. Phương trình cơ bản của động lực học vật rắn quay quanh một trục cố định Ta xét một vật rắn chịu tác dụng của mômen lực M, quay quanh trục cố định  với gia tốc góc β (Hình 4-6). Ta tìm mối liên hệ giữa M và β Ta tưởng tượng chia vật rắn thành nhiều phần tử, mỗi phần tử có khối lượng mi, cách trục quay một khoảng ri, chịu tác dụng của ngoại lực tiếp tuyến Fti . Theo định luật Newton II, ta viết được: Nhân hữu hướng bên trái của phương trình với và thay Chú ý: Cộng các phương trình (4-8) vế với vế theo i ta được: là mômen tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Và đại lượng mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay . i ti tim a F  ir  ti ia r    . ( )i i i i tim r r r F              2. .i i i i i i ir r r r r r r                   2 4 8i i im r M      2( ) 4 9i i i i m r M hay I M         i i M M   2 i i i I m r Phương trình (4-9) có dạng tương tự phương trình cơ bản của động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến trong đó: - Mômen lực đặc trưng cho tác dụng của ngoại lực lên vật rắn chuyển động quay, có vai trò giống như lực -Gia tốc góc đặc trưng cho biến thiên trạng thái của vật rắn chuyển động quay, có vai trò giống như gia tốc a -Mômen quán tính I đặc trưng cho quán tính của vật rắn chuyển động quay, đóng vai trò như khối lượng m. Thật vậy, cùng mômen lực tác dụng, nếu mômen quán tính I càng lớn thì gia tốc góc càng nhỏ, vận tốc góc càng ít biến đổi, nghĩa là trạng thái chuyển động quay của vật rắn càng ít thay đổi. ma F  3. Tính mômen quán tính của vật rắn quay. a.Trường hợp chung Mômen quá tính I của vật rắn quay quanh trục cố định  được tính theo công thức. Trong đó là mômen quán tính của chất điểm thứ i đối với trục , phép cộng lấy cho các chất điểm của vật rắn. Nếu khối lượng của vật phân bố liên tục trong toàn thể tích của nó, ta chia vật thành những phần tử có khối lượng vô cùng nhỏ dm, khi đó phép cộng trong tổng trở thành phép lấy tích phân cho toàn vật rắn 2 i i i I m r 2 toanvat I r dm  b. Mômen quán tính của vật rắn đối với trục đối xứng Ví dụ 1. Một thanh đồng chất dài l, khối lượng m, quay quanh trục o qua trung điểm G của thanh và vuông góc với nó (Hình 4-7). Ta xét một phần tử của thanh khối lượng dm, dài dx, cách G một đoạn x. Khi đó mômen quán tính của dm đối với trục o là dI = x 2.dm Vì thanh đồng chất nên khối lượng của một đơn vị dài là m/ℓ. Khối lượng của dm̀: dx l m dm = dxx l m dI 2= 2 0 m dII x dx     2 0 12 ml I  Ví dụ 2. Tính mômen quán tính của khối trụ đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R, quay quanh trục đối xứng o của khối trụ đó. Ta chia khối trụ đặc thành nhiều phần tử có đáy dS là hình vành khăn bán kính x rộng dx, cao h. Mỗi phần tử có thể tích dV và có khối lượng dm (hình 4-8): dm = dV = h2xdx. Trong đó, m = V = hR2   R 0 4 3 0 2 R hdxx2hI π ρπρ 2 0 2 mR I  Bằng cách tương tự, ta tính được Io cho các trường hợp khác.Cụ thể là: - Vành tròn rỗng, trụ rỗng: Io = mR 2 - Khối cầu - Tấm phẳng chữ nhật 3. Định lý Steiner-Huyghens Trong trường hợp trục quay  song song với trục đối xứng ta có thể áp dụng định lý Steiner- Huyghens như sau: Mômen quán tính I của vật rắn đối với một trục  song song với trục đối xứng o bằng mômen quán tính của vật đối với trục đối xứng o cộng với tích khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách d giữa hai trục đó: I = Io + md 2 2 o mR 5 2 I = ( )22o bam 12 1 I +.= §4.CÁC ĐỊNH LÝ VỀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 1.Các định lý về mômen động lượng Nếu ta thay vào phương trình và nếu I = const thì được gọi là mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay . “Đạo hàm theo thời gian vectơ mômen động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố định bằng mômen tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đó”. dt d   = MI  =    4 10 d IId dL M dt dt dt        L I   Từ (4-10) ta suy ra: Trong đó là độ biến thiên mômen động lượng của vật rắn trong khoảng thời gian dt được gọi là xung lượng của mômen tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong khoảng thời gian dt.Lấy tích phan hai vế của (4-11) “Độ biến thiên mômen động lượng của vât rắn quay quanh một trục cố định trong khoảng thời gian t=t2-t1 bằng xung lượng của vectơ mômen động lượng tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong cùng khoảng thời gian đó”.  4 11dL Mdt    dL  Mdt    2 1 2 1 L L t t dtMLdL    Δ 2. Định luật bảo toàn mômen động lượng Giả sử có vật rắn cô lập (không chịu tác dụng của ngoại lực), khi đó theo định lý về mômen động lượng “Mômen động lượng của vật rắn cô lập được bảo toàn” Trong thực tế, vật rắn luôn chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng nếu mômen lực đối với trục quay bằng không hoặc do F đồng phẳng với trục quay , thì khi đó mômen động lượng của vật rắn cũng được bảo toàn. Trường hợp M 0 nhưng hình chiếu của nó lên phuơng nào đó bằng không, thì mômen động lượng của vật rắn được bảo toàn (theo một phương). 0= dt Ld  const L   0 0M do F    §5. CÔNG CỦA LỰC VÀ ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY 1. Công và công suất của lực trong chuyển động quay của vật rắn Nếu vật rắn quay xung quanh trục cố định , lực tiếp tuyến nằm trong mặt phẳng quỹ đạo làm cho vật rắn quay (xem hình 4-13) thì khi đó, công vi phân của lực tiếp tuyến Ft là: dA = Ft.ds. Mặt khác ds = r.d → dA = r.Ft.d. mà M = r.Ft là mômen của lực Ft đối với trục quay  ta có thể viết: dA=M.d → 2 1 12A Md     Công suất của mômen lực là: Vì hai vectơ cùng chiều nên có thể viết: 2. Động năng của vật rắn quay Giả sử dưới tác dụng của lực tiếp tuyến điểm đặt lực lên vật rắn quay được một cung ds. Công nguyên tố trên ds là: dA=M.d. Ta đã có phương trình động lực học của vật rắn quay và định nghĩa vận tốc góc và gia tốc góc: dA d P M M dt dt     P M   2 ; 2 d dA Fds M M I dt d dA I I d Id dt                             Công toàn phần của mômen ngoại lực tác dụng làm cho vật rắn quay từ lúc có vận tốc góc 1 đến lúc có vận tốc góc 2 bằng: Từ đó suy ra biểu thức động năng của vật rắn quay ở thời điểm có vận tốc góc  là: Nếu vật rắn vừa quay vừa tịnh tiến, động năng toàn phần của vật rắn bằng tổng động năng quay và động năng tịnh tiến 2 2 2 1 2 2 I I A     2 dqw 2 I  2 2 dw 2 2 mv I  