Cơ học công trình xây dựng - Chương 5: Tính chuyển vị của hệ thanh

www.nuce.edu.vn 1National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com CƠ HỌC CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG Trần Minh Tú Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng DD & CN Trường Đại học Xây dựng www.nuce.edu.vn 2National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Chương 5 TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH www.nuce.edu.vn 3National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Chương 5. Tính chuyển vị của hệ thanh NỘI DUNG 5.1. Các khái niệm 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 4National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com 5.1. Các khái niệm • Khái niệm về biến dạng Là sự thay đổi hình dạng, kích thước của phân tố dưới tác dụng của các nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, ) • Các thành phần biến dạng Một phân tố thanh bất kỳ có chiều dài ds, khi biến dạng có thể phân thành ba thành phần  Biến dạng xoay jds giữa hai tiết diện cách nhau chiều dài ds, j gọi là biến dạng xoay (góc xoay) tỉ đối – góc giữa hai tiêt diện khi ds=1 đ.v dài www.nuce.edu.vn 5National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com  Biến dạng dọc trục (biến dạng dài) eds giữa hai tiết diện cách nhau chiều dài ds, e là biến dạng dài tỉ đối  Biến dạng trượt gds giữa hai tiết diện cách nhau chiều dài ds; g – góc trượt tỉ đối  Chiều dương của các thành phần biến dạng qui ước như trên các hình vẽ. 5.1. Các khái niệm www.nuce.edu.vn 6National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Khái niệm chuyển vị Là sự thay đổi vị trí của các tiết diện của thanh khi thanh bị biến dạng • Một tiết diện của thanh có ba khả năng: – Không chuyển vị nhưng có biến dạng (tiết diện 1) – Vừa có biến dạng, vừa có chuyển vị (tiết diện 2) – Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (tiết diện 3) 5.1. Các khái niệm www.nuce.edu.vn 7National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Phân loại chuyển vị Chuyển vị trong hệ thanh bao gồm: chuyển vị thẳng (chuyển vị dọc theo phương trục thanh , chuyển vị ngang theo phương vuông góc trục thanh) và chuyển vị quay (phương vòng).  Kí hiệu chuyển vị là Dkm : chuyển vị theo phương k do nguyên nhân m 5.1. Các khái niệm Trên (a) phương k, m là phương thẳng đứng tại tiết diện C, D; j là phương vòng tại gối tựa B. www.nuce.edu.vn 8National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Dkm Phương và vị trí của chuyển vị Nguyên nhân gây ra chuyển vị  Khi nguyên nhân gây ra chuyển vị bằng đơn vị => chuyển vị đơn vị dkm  dkm – chuyển vị theo phương k, tại k, do nguyên nhân m bằng 1 đ.v gây nên • Khái niệm về đường đàn hồi Đường đàn hồi: Đường cong của trục dầm sau khi chịu uốn Trọng tâm mặt cắt ngang của dầm K - trước biến dạng K’ – sau biến dạng KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang. B F L K K’ z K K’ v(z) u(z) 5.1. Các khái niệm www.nuce.edu.vn 9National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường đàn hồi, đường vuông góc với tiếp tuyến t tại K’ => - Mặt cắt ngang dầm sau biến dạng tạo với mặt cắt ngang dầm trước biến dạng góc j => góc xoay j(z) KK’ v(z) - chuyển vị đứng u(z) - chuyển vị ngang  Biến dạng bé: u(z)<<v(z) v(z) => độ võng – ký hiệu: y(z)  Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phươngthẳng đứng của trọng tâm mặt cắt ngang B F L j K K’ z j Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng Biến dạng bé: j(z) = tgj = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay 5.1. Các khái niệm www.nuce.edu.vn 10National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp • Gt: Khi chịu uốn vật liệu thanh làm việc trong miền đàn hồi: 5.2.1. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi ( )1 x x M z EI  3 2 2 1 "( ) "( ) (1 ' ) y z y z y      • Hình học giải tích: • Biến dạng bé '' ( )x x M z y EI   z M M>0 ''( ) 0y z  z M ''( ) 0y z  M<0 ( ) "( ) x x M z y z EI    - Phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi www.nuce.edu.vn 11National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com 5.2.2. Phương pháp tích phân trực tiếp Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay. Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị . ( )j     x x Mdy z dz C dz EI x x M y(z) dz C .dz D EI            5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp www.nuce.edu.vn 12National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com P A BC Điều kiện liên tục: C C y y  C C j j   Điều kiện biên chuyển vị 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp www.nuce.edu.vn 13National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com VD 5.1: Xác định độ võng tại đầu tự do của dầm công-xôn chịu tác dụng của tải tập trung như hình vẽ Ta có: ( )M F L z   B F L-z L EI z ( )   '' x x x F L zM (z) y (z) EI EI ( ) ( )   j          2 x x F L z) F z z dz C Lz C EI EI 2 ( )          2 3 x F z z y z L Cz D EI 2 6 0 0 0z Cj     0 0 0z y D     ( )j  j   2 B x FL z L 2EI  Điều kiện biên ( )   3 B x FL y y z L 3EI 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp www.nuce.edu.vn 14National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) 5.3.1. Công khả dĩ, nguyên lý công khả dĩ • Chuyển vị khả dĩ: Là bất cứ dạng chuyển vị nào mà hệ có thể thực hiện được do nguyên nhân nào đó gây ra, sao cho với chuyển vị này các điều kiện liên kết nội và ngoại vẫn được đảm bảo. • Chuyển vị thực: do nguyên nhân thực gây nên (lực, mô men,..) - là một trong các chuyển vị khả dĩ. • Định nghĩa công khả dĩ: Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên những chuyển vị và biến dạng vô cùng bé do một nguyên nhân bất kỳ (tải trọng, nhiệt độ, chuyền vị cưỡng bức) nào đó gây ra www.nuce.edu.vn 15National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Xét hai trạng thái của hệ đàn hồi: – Trạng thái 1- Trạng thái thực “k”, khi hệ chịu lực F1, F2,. Fk; các thành phần nội lực trong hệ là Sk(Nk,Qk,Mk) – Trạng thái 2 - Trạng thái khả dĩ “m”, khi hệ chịu các nguyên nhân m (có thể là lực Fm) gây ra những thay đổi nhỏ của chuyển vị và biến dạng; các thành phần nội lực trong hệ là Sm(Nm,Qm,Mm) Dkm - là chuyển vị khả dĩ theo phương của lực Fk do các nguyên nhân ở trạng thái m gây nên 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 16National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Công khả dĩ ngoại lực Công khả dĩ của ngoại lực ở trạng thái thực k trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi: 1 . n ik ikm i T F   D  Công khả dĩ nội lực: Công khả dĩ của các nội lực ở trạng thái thực k trên các biến dạng khả dĩ tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi: ( ) 1 n k sm i A S dze    • Nguyên lý công khả dĩ: Nếu một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực thì tổng công khả dĩ của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ bất kỳ vô cùng bé và công khả dĩ của các nội lực trên những biến dạng đàn hồi khả dĩ tương ứng phải bằng không (T + A = 0) 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 17National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • 5.3.2. Công thức Maxwell – Mohr • Xét bài toán phẳng, thí dụ một khung phẳng. Gọi trạng thái chịu lực của khung đã cho là trạng thái “m”, lực và chuyển vị ở trạng thái này biểu diễn bởi chỉ số m. • Giả sử cần xác định chuyển vị theo phương k của trọng tâm mặt cắt ngang A, muốn vậy ta tạo cho khung một trạng thái “k” bằng cách bỏ tất cả ngoại lực và đặt lên khung một lực tập trung đơn vị đ.v tại A, theo phương k có chiều tuỳ ý, ứng lực phát sinh trong hệ ở trạng thái này là ., ,kk kN M Q 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 18National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Công thức Maxwell - Mohr tính chuyển vị của hệ phẳng – Đối với hệ dầm, khung phẳng - bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt – Đối với hệ thanh, dàn phẳng - lực dọc trên mỗi thanh là hằng số – Đối với hệ gồm các thanh thẳng như dầm hoặc khung ta có thể tính các tích phân một cách đơn giản - Phương pháp nhân biểu đồ do Vêrêxaghin đề xuất i i i kk mm m k km l l l Q Q dzN N dz M M dz EA EI GA D        i k m km l M M dz EI D  1 i n k km m i km il N N dz N N l EA EA D    5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 19National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com 5.3.3. Phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin • Cơ sở toán học: Giả sử trên đoạn chiều dài thanh L, hàm số F(z) là đường cong bất kỳ, còn f(z) là một đường thẳng có phương trình: (hình vẽ)  - Diện tích biểu đồ hàm số bậc bất kỳ F(z). zC - hoành độ trọng tâm của diện tích . f(zC) tung độ của hàm bậc nhất f(z) ứng với hoành độ zC. Biểu thức tích phân tính theo: 0 ( ) ( ) . ( ) L CI F z f z dz f z  5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 20National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Như vậy các biểu thức tích phân trong công thức Maxwell-Mohr có trị số bằng tích của diện tích  của biểu đồ nội lực (Nm, Mm ,Qm) với tung độ của biểu đồ nội lực do tải trọng đơn vị gây ra ( ) tại vị trí tương ứng với toạ độ trọng tâm của diện tích . (*) trong đó, là diện tích các biểu đồ (Nm, Mm ,Qm) • là giá trị của các biểu đồ tại những vị trí tương ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ Chú ý: • Nếu biểu đồ F(z) và f(z) đều là những đường thẳng thì phép nhân trên đây có tính chất hoán vị. • Tích mang dấu + nếu hai biểu đồ ở cùng một phía với trục thanh. • Nếu biểu đồ có hình dạng phức tạp thì chia thành các hình đơn giản để dễ xác định diện tích và trọng tâm. , ,kk kN M Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 kkkm m m m kN N c M M c Q Q c EA EI GA D         ( ) ( ) ( ), ,m m mN M Q   ( ) ( ) ( ), ,kk c c ckN z M z Q z , ,kk kN M Q 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 21National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Các bước thực hiện phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin: • Bước 1: Tạo trạng thái “m” - trạng thái chịu lực của hệ, vẽ biểu đồ nội lực. • Bước 2: Tạo trạng thái “k” - vẽ biểu đồ nội lực cho trạng thái này – Cần xác định chuyển vị thẳng tuyệt đối của một điểm theo phương nào đó thì đặt lực Fk=1đ.v tại điểm đó theo phương chuyển vị. – Nếu cần xác định góc xoay thì đặt mô men mk=1 đ,v – Nếu cần xác định chuyển vị tương đối giữa hai điểm thì đặt hai lực Fk=1 tại hai điểm theo phương nối hai điểm đó. • Bước 3: Tiến hành nhân biểu đồ và thay vào công thức (*) 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 22National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com  Diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình thường gặp 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 23National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Ví dụ 5.2. Xác định độ võng và góc xoay tại đầu D của một dầm chịu lực như hình vẽ, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. • Biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây ra như hình vẽ. • Để tính độ võng tại D, ta đặt tại D một lực Fk=1 =>Biểu đồ mô men uốn. Theo (*) ta có ( ) 1 ( )kD my M M c EI   ( ) 2 31 3 2 6 m qL qL M L   3 ( ) 4 kM c L 3 41 3 6 4 8 D qL qL y L EI EI    kết quả mang dấu dương chứng tỏ độ võng tại D cùng chiều với Fk. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 24National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Để tìm góc xoay ta đặt tại D mô men Mk=1. Biểu đồ mô men như trên hình vẽ. Theo công thức, ta có ( ) 1 ( )kD mM M c EI    ( ) 1kM c  3 31 1 6 6 D qL qL EI EI    5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 25National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Ví dụ 5.3. Cho khung có độ cứng EI=const. Xác định chuyển vị theo phương ngang tại D và góc xoay tại B. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. • Biểu đồ mô men do tải trọng gây ra biểu diễn trên hình (b). 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 26National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Để xác định chuyển vị ngang ta đặt lực Fk=1 (hình c). Biểu đồ mô men như trên hình (d). Ta chia biểu đồ làm hai phần, phần chữ nhật 1 và phần tam giác 2. Ta có 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 27National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com • Để xác định góc xoay tại B, ta đặt mô men Mk=1 (chiều tùy ý, hình (e), Biểu đồ mô men như trên hình (f). ta có dấu dương chứng tỏ chiều góc xoay cùng chiều với chiều mô men Mk kM 1 2( ) ( ) 1k kM c M c  ( ) 3 3 31 2 B qa qa qa EI EI     5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) www.nuce.edu.vn 28National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com Câu hỏi ??? www.nuce.edu.vn 29National University of Civil Engineering Tran Minh Tu tpnt2002@yahoo.com