Cơ khí chế tạo máy - Kỹ thuật điều khiển nâng cao

1 KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO Giảng viên: TS. Nguyễn Viễn Quốc Email: vienquoc@gmail.com Nội dung Chương 1: Điều khiển dựa trên mô hình trạng thái Chương 2: Điều khiển tối ưu Chương 3: Điều khiển mờ Chương 4: Mạng nơron nhân tạo Tài liệu tham khảo 1. Rolands S. Burns, Advanced Control Engineering, 2001 (Chapter 8, 9, 10) 2. Nguyễn Thị Phương Hà, Lý thuyết Điều khiển Hiện đại, NXB ĐHQG, 2012. 2 Chương 1: Điều khiển dựa trên mô hình trạng trái 1.1) Mô hình trạng thái 1.1.1) Định nghĩa - Xét hệ thống bậc n, m ngõ vào, p ngõ ra. - Mô hình không gian trạng thái (state-space model) gọi tắt là “mô hình trạng thái” có dạng: x = Ax + Bu& (1.1)a y = Cx (1.2)b trong đó: x : vectơ trạng thái, (n ´ 1) u : vectơ ngõ vào, (m ´ 1) y : vectơ ngõ ra, (p ´ 1) A : ma trận hệ thống (hay ma trận trạng thái), (n ´ n) B : ma trận vào, (n ´ m) C: ma trận ra, (p ´ n) D : ma trận truyền thẳng (feedthrough matrix), (p ´ n) - Phương trình 1.1a gọi là phương trình trạng thái; phương trình 1.1b gọi là phương trình ngõ ra. - Sơ đồ khối chi tiết hệ thống: Hệ thống m ngõ vào p ngõ ra 3 - Trong trường hợp ngõ ra hệ thống không chịu tác động trực tiếp từ ngõ vào thì D = 0 (ma trận không) - Hệ thống bậc n có n biến trạng thái. Các biến trạng thái thay đổi theo thời gian “vẽ” nên một quỹ đạo trong không gian n chiều. - Trường hợp hệ bậc 2 (n = 2), 2 trạng thái ( ), ( ) vẽ nên quỹ đạo gọi là chân dung pha (phase portrait) trong không gian 2 chiều gọi là mặt phẳng pha (phase plane). 1.1.2) Thành lập mô hình trạng thái - 2 cách thiết lập mô hình trạng thái: o Từ phương trình vi phân o Từ hàm truyền. VD: Tìm mô hình trạng thái của hệ thống trong hình dưới đây: 4 VD: 1.1.3) Xác định hàm truyền, zero, cực từ mô hình trạng thái: - Xét hệ thống có mô hình trạng thái: ̇ = + = - Cực của hệ thống là nghiệm phương trình: det( − ) = 0 Phương trình trên được gọi là phương trình đặc tính của hệ thống. - Zero của hệ thống là nghiệm phương trình - Hàm truyền được xác định theo công thức: 5 ( ) = ( ) ( ) = ( − ) VD: Xác định cực - zero và hàm truyền của hệ thống: ̇ = 0 1−2 −1 + 11 = [1 0] Giải: 1.1.4) Tính không duy nhất của mô hình trạng thái: - Xét hệ thống: Ta cũng có thể biểu diễn hệ thống trên theo vectơ trạng thái z qua phép đổi biến: = trong đó, là ma trận n x n không suy biến. ̇ = + = Suy ra ̇ = + = Hệ thống trên có thể được biểu diễn bởi mô hình trạng thái theo biến trạng thái z như sau: ̇ = + = trong đó: = = 6 = - Như vậy, tùy vào cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể được biểu diễn bởi nhiều mô hình trạng thái khác nhau. VD: Cho hệ thống: ̇ = 0 1−6 −5 + 01 = [6 0] Đổi biến trạng thái với: = 1 11 2 Giải Đổi biến trạng thái với: = 1 11 2 = 1 11 2 = = 13 20−12 −18 = = −11 = = [6 6] Phương trình trạng thái theo biến trạng thái z: ̇ = 15 22−13 −19 + −11 = [6 6] 1.2) Lời giải phương trình trạng thái - Xét hệ bậc nhất: ̇( ) = ( ) + ( ) Biến đổi Laplace 2 vế: ( ) − (0) = ( ) + ( ) ⇒ ( ) = (0) − + − ( ) 7 Biến đổi Laplace ngược, ta có: ( ) = (0) + ( ) ( ) có thể được xác định theo công thức: = 1 + + 2! + ⋯+ ! - Tương tự, xét hệ bậc > 1: ̇( ) = ( ) + ( ) Biến đổi Laplace 2 vế: ( ) − (0) = ( ) + ( ) ⇒ ( − ) ( ) = (0) + ( ) ⇒ ( ) = ( − ) (0) + ( − ) ( ) Biến đổi Laplace ngược, ta có: ( ) = (0) + ( ) ( ) Đặt ( ) = , phương trình trên trở thành: ( ) = ( ) (0) + ( − ) ( ) ( ) gọi là ma trận chuyển trạng thái. Nó có thể được tính theo các công thức sau: = + + 2! + ⋯+ ! hoặc = ℒ {( − ) } VD: Xét hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái: 8 Cho m = 1 kg, C = 3 Ns/m, K = 2 N/m, u(t) = 0. Hãy xác định: a) Phương trình đặc tính, cực hệ thống, và b) ( ) và ( ) c) Đáp ứng quá độ của các biến trạng thái từ điều kiện đầu: (0) = 1.0; ̇(0) = 0 Giải a) PTĐT: b) c) u(t) = 0 9 1.3) Điều khiển được – Quan sát được 1.3.1) Điều khiển được - Xét hệ thống bậc n có mô hình trạng thái: ̇ = + = - Hệ thống được gọi là điều khiển được (controllable) nếu tồn tại luật điều khiển u(t) có thể đưa hệ thống từ trạng thái ban đầu ( ) đến trạng thái ( ) bất kỳ trong khoảng thời gian hữu hạn. - Điều kiện để hệ thống điều khiển được (toàn phần) là ma trận điều khiển được , = [ ] có hạng là n. Lưu ý: rank( ) = Û det ( ) ≠ 0. VD: Cho hệ thống: 10 Hệ thống có điều khiển được không? VD: Cho hệ thống: ̇ = −1 2−3 4 + 46 = [1 −2] Hệ thống có điều khiển được không? Giải = [ ] = 4 86 12 det = 0 ⇒ ( ) < 2 Þ Hệ thống không điều khiển được. 1.3.2) Quan sát được - Hệ thống được gọi là quan sát được (observable) nếu có thể xác định được vectơ trạng thái ( ) (trạng thái của hệ thống tại ) khi biết ngõ ra ( ) trong khoảng thời gian hữu hạn. - Điều kiện để hệ thống quan sát được (toàn phần) là ma trận quan sát được N, = ⋮ (n x n) có hạng là n. Lưu ý: rank( ) = Û det ( ) ≠ 0. 11 VD: Cho hệ thống: Hệ thống có quan sát được không? Giải: = [1 −1] = [1 −1] −2 03 −5 = [−5 5] = 1 −1−5 5 det = 0 Þ Hệ thống không quan sát được 1.4) Điều khiển hồi tiếp trạng thái - Xét hệ thống có mô hình trạng thái: ̇ = + = với luật điều khiển hồi tiếp trạng thái: = − . - Phương trình trạng thái của hệ thống kín: ̇ = + ( − ) 12 Þ ̇ = ( − ) + - Phương trình đặc trưng của hệ kín: det( − + ) = 0 Nghiệm của phương trình này chính là cực hệ kín. Bài toán Phân bố cực (Pole Placement): - Nếu hệ thống điều khiển được, ta có thể chọn K để hệ kín có cực ở bất kỳ vị trí nào mong muốn. - Các phương pháp xác định K: o So sánh trực tiếp o Công thức Ackerman 1.4.1) Xác định K bằng phương pháp so sánh trực tiếp: - Nếu vị trí cực mong muốn là , , , , ta có phương trình đặc trưng mong muốn là: ( ) = ( − )( − )⋯ ( − ) = + + ⋯+ + = 0 - Đồng nhất các hệ số của phương trình trên với phương trình đặc trưng hệ kín: det( − + ) = 0 Ta sẽ có hệ n phương trình để xác định n phần tử của ma trận . VD: Cho hệ thống hở: ̇ = 0 10 −4 + 01 = [1 0] Xác định ma trận hồi tiếp trạng thái K để hệ thống kín có cực tại = = −2. Kiểm tra tính điều khiển được: 13 = [ ] = 0 11 −4 det ≠ 0 Þ rank( ) = 2 Þ hệ thống điều khiển được. Phương trình đặc trưng mong muốn: ( ) = ( + 2)( + 2) = + 4 + 4 = 0 (1) Phương trình đặc trưng hệ thống hồi tiếp trạng thái: det 1 00 1 − 0 10 −4 + 01 [ ] = 0 Þ + (4 + ) + = 0 (2) So sánh (1) và (2): = 4 4 + = 4 Þ = 0 Ma trận hồi tiếp trạng thái cần tìm: = [4 0] 1.4.2) Xác định K bằng công thức Ackermann: - Công thức Ackermann: = [0 0 ⋯ 0 1] ( ) trong đó: là ma trận điều khiển được, ( ) = + + ⋯+ + ( : là hệ số phương trình đặc trưng mong muốn) VD: Như VD trên, nhưng xác định bằng công thức Ackermann. Giải: = [0 1] ( ) = [ ] = 0 11 −4 Þ = 4 11 0 ( ) = + + = 0 10 −4 + 4 0 10 −4 + 4 1 00 1 = 4 00 4 14 Suy ra: = [0 1] 4 11 0 4 00 4 = [4 0] VD: Cho hệ thống hở: ̇ = 0 1 00 0 1−4 −7 −3 + 031 = [0 0 1] Hãy xác định bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp cực phức với = 0.6, = 10 và cực thứ ba là cực thực tại −20. 1.5) Bộ quan sát (ước lượng) trạng thái - Luật điều khiển hồi tiếp trạng thái đòi hỏi phải đo được tất cả các trạng thái. Trong thực tế, thường là không đo được tất cả các trạng thái do thiếu cảm biến hoặc có những trạng thái không phải là những đại lượng vật lý nên không thể đo được ® cần phải ước lượng trạng thái. - Việc ước lượng trạng thái được thực hiện bởi bộ ước lượng trạng thái, hay còn gọi là bộ quan sát. o Bộ quan sát đủ bậc: ước lượng tất cả các biến trạng thái. o Bộ quan sát giảm bậc: ước lượng một vài trạng thái trong số các trạng thái của hệ thống. - Bộ quan sát Luenberger: 15 Xét hệ thống: ̇ = + (1.5.1) = Gọi là trạng thái ước lượng. Phương trình trạng thái bộ quan sát: ̇ = + + ( − ) (1.5.2) trong đó là ma trận độ lợi của bộ quan sát. Trừ 2 phương trình (1.5.1) và (1.5.2), ta có: ̇ − ̇ = ( − ) − ( − ) (1.5.3) Đặt = − , phương trình (3) viết lại như sau: ̇ = ( − ) (1.5.4) Từ (2), phương trình trạng thái bộ quan sát được viết lại như sau: ̇ = ( − ) + + (1.5.5) 16 Nhận xét: Từ pt (1.5.4), ta thấy đặc tính động học của quyết định bởi trị riêng của − , cũng chính là cực của bộ quan sát (1.5.5). - Việc thiết kế bộ quan sát chính là xác định để cực của bộ quan sát ở vị trí mong muốn. Thông thường cực của bộ quan sát cần phải được thiết kế sao cho nó nhanh hơn cực của bộ điều khiển ít nhất là 5 lần. Bài toán Phân bố cực (Pole Placement) cho bộ quan sát: - Nếu hệ thống quan sát được, ta có thể chọn để bộ quan sát có cực ở bất kỳ vị trí nào mong muốn. - Phương pháp xác định tương tự như pp xác định , bao gồm: o So sánh trực tiếp o Công thức Ackerman 1.5.1) Xác định Ke bằng phương pháp so sánh trực tiếp - Phương trình đặc trưng mong muốn ( ) = ( − )( − )⋯ ( − ) = + + ⋯+ + = 0 - Đồng nhất các hệ số của phương trình trên với phương trình đặc trưng của bộ quan sát: det( − + ) = 0 Ta sẽ có hệ n phương trình để xác định n phần tử của ma trận . VD: Cho hệ thống hở: ̇ = 0 1−2 −3 + 01 = [1 0] Thiết kế bộ quan sát có = 10 rad/s và = 0,5. 17 Giải Kiểm tra tính quan sát được của hệ thống: = = 1 00 1 rank( ) = 2 Þ Hệ thống quan sát được. Phương trình đặc trưng mong muốn: ( ) = + 2 + = + 10 + 100 = 0 Phương trình đặc trưng của bộ quan sát: det( − + ) = 0 det( − + ) = det 1 00 1 − 0 1−2 −3 + [1 0] = + (3 + ) + (3 + 2 + ) = 0 Đồng nhất hệ số 2 phương trình, ta có: 3 + = 10 3 + 2 + = 100 Giải ra: = 7, = 77 Ma trận độ lợi bộ quan sát cần tìm: = 777 1.5.2) Xác định Ke bằng công thức Ackermann - Công thức Ackermann: = ( ) [0 0 ⋯ 0 1] trong đó: là ma trận quan sát được, ( ) = + + ⋯+ + ( : là hệ số phương trình đặc trưng mong muốn) VD: Như ví dụ trên, nhưng xác định bằng công thức Ackermann. = = 1 00 1 18 Phương trình đặc trưng mong muốn: ( ) = + 10 + 100 = 0 Suy ra: ( ) = + + = 0 1−2 −3 + 10 0 1−2 −3 + 100 1 00 1 Ma trận Ke được xác định theo công thức: = ( ) 01 1.6) Tính đối ngẫu giữa bài toán thiết kế bộ điều khiển và thiết kế bộ quan sát: - Bài toán phân bố cực thiết kế bộ điều khiển: Đồng nhất hệ số 2 đa thức det( − + ) = ( ) - Bài toán phân bố cực thiết kế bộ quan sát: Đồng nhất hệ số 2 đa thức det( − + ) = ( ) - Ta có: det( − + ) = det( − + ) = det( − + ( ) ) = det( − + ) - Nhận xét: 2 bài toán này tương tự nhau: Thiết kế bộ điều khiển Thiết kế bộ quan sát 19 1.7) Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái ước lượng - Xét hệ thống điều khiển như hình: Hệ thống hở: ̇ = + (1.6.1) = Luật điều khiển hồi tiếp trạng thái ước lượng: = − (1.6.2) Gọi sai lệch giữa trạng thái ước lượng và trạng thái thực của hệ thống là = − , thì: = − (1.6.3) Kết hợp các phương trình (1.6.1), (1.6.2), (1.6.3), ta có: ̇ = − ( − ) = ( − ) + (1.6.4) Từ (1.5.4), phương trình sai lệch: ̇ = ( − ) (1.6.5) 20 Gộp các phương trình (1.6.4) và (1.6.5): ̇ ̇ = − 0 − (1.6.6) - Phương trình (1.6.6) mô tả đặc tính động học của hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái ước lượng. Từ đó ta có thể suy ra phương trình đặc trưng của hệ thống: det − − 0 − = 0 Þ det( − + ) det( − + ) = 0 (1.6.7) Nhận xét: o Cực của hệ kín bao gồm cực của bộ quan sát và cực của hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái. o Việc thêm bộ quan sát không làm thay đổi vị trí của cực hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái. - Từ nhận xét trên, ta có kết luận: Bài toán thiết kế hệ thống hồi tiếp trạng thái ước lượng có thể phân tách thành 2 bài toán: o Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái Þ o Thiết kế bộ quan sát bộ quan sát Þ - Cực của bộ quan sát cần phải được chọn sao cho nó ít ảnh hưởng đến cực của bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái Þ cực bộ quan sát cần được chọn ở xa trục ảo hơn (nhanh hơn) cực bộ điều khiển. 1.8) Bộ quan sát giảm bậc: - Trong trường hợp hệ thống bậc n có m trạng thái có thể đo chính xác, chỉ cần ước lượng n-m trạng thái còn lại Þ sử dụng bộ quan sát giảm bậc. - Để đơn giản, ta xét trường hợp = 1. Giả sử trạng thái đo được chính xác. Phương trình ngõ ra: 21 = = = [1 0 ⋯ 0] (1.8.1) - Thiết kế bộ quan sát giảm bậc ước lượng − 1 trạng thái còn lại. Tách vectơ trạng thái thành 2 phần: = trong đó là những trạng thái cần ước lượng. Phương trình trạng thái hệ thống: ̇ ̇ = + (1.8.2) Từ pt trên, ta có phương trình ứng với trạng thái đo được: ̇ = + + Þ ̇ − − = (1.8.3) Vế trái pt (1.8.3) đo được ® xác định được. Ta sẽ xem phương trình như phương trình ngõ ra. Phương trình ứng với trạng thái cần ước lượng: ̇ = + + (1.8.4) So sánh (1.8.3 và (1.8.4) với phương trình hệ thống trong bài toán thiết kế bộ quan sát đủ bậc: Pt hệ thống (bậc n) để thiết kế bộ quan sát đủ bậc Pt hệ thống (bậc n-1) để thiết kế bộ quan sát giảm bậc ̇ = + = ̇ = + + ̇ − − = Qua đó, ta sẽ thiết kế bộ quan sát giảm bậc theo giống như cách thiết kế bộ quan sát đủ bậc. Để làm được như vậy, ta cần thay thế các biến theo bảng sau: Bộ quan sát đủ bậc Bộ quan sát giảm bậc 22 + ̇ − − ma trận n´1 ma trận (n-1)´1 Phương trình bộ quan sát đủ bậc (đã được thiết lập ở (1.5.5)) ̇ = ( − ) + + (1.8.5) Thay thế các biến theo bảng trên, ta có phương trình bộ quan sát giảm bậc: ̇ = ( − ) + + + ( ̇ − − ) (1.8.6) Þ ̇ − ̇ = ( − ) +( − ) + ( − ) Þ ̇ − ̇ = ( − )( − ) +[ − + ( − ) ] + ( − ) (1.8.7) Đặt = − , = − , và thay = theo (1.8.1), pt (1.8.7) được viết lại như sau: ̇ = ( − ) + [ − +( − ) ] + ( − ) Đặt: = − = + − = − 23 Phương trình (1.8.8) được viết gọn lại thành: ̇ = + + (1.8.8) Đây chính là phương trình bộ quan sát giảm bậc. - Xác định biểu thức chuyển từ ® Ta có [ ] 11 0 x y é ù = ê ú ë ûex 1 1 0 1ˆ ˆ( )ˆ ˆ x y x y é ù é ù é ù é ù = = = - +ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë ûe e n- e e 1 e x x Kx x I K (1.8.9) Đặt: 0é ù = ê ú ë ûn-1 C I % , 1é ù = ê ú ë ûe D K % Pt (1.8.9) trở thành: = + (1.8.10) - Phương trình sai lệch được thiết lập từ pt (1.8.4) và (1.8.6): ̇ − ̇ = − ( − ) − ( ̇ − − ) Thay (1.8.3) vào pt trên, ta có: ̇ − ̇ = ( − )( − ) (1.8.11) Đặt = − , pt (1.8.9) được viết lại như sau: ̇ = ( − ) (1.8.12) - Tóm tắt bài toán thiết kế bộ quan sát giảm bậc: Phương trình trạng thái: ̇ = + + 24 Phương trình ngõ ra: ̇ − − = Phương trình bộ quan sát giảm bậc: ̇ = + + trong đó = − , = − = + − = − Biểu thức chuyển từ ® = + trong đó: 0é ù = ê ú ë ûn-1 C I % , 1é ù = ê ú ë ûe D K % Phương trình sai lệch trạng thái: ̇ = ( − ) trong đó = − . 25 Điều kiện quan sát được: Ma trận quan sát được = ⎣⎢⎢ ⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥ ⎥⎤ có hạng bằng ( − 1). Phương trình đặc trưng bộ quan sát: det( − + ) = 0 (pt bậc − 1) (1.8.13) Với các cực mong muốn , , , ta có phương trình đặc trưng mong muốn: ( ) = ( − )( − )⋯ ( − ) = + + ⋯+ + = 0 (1.8.14) 26 Các phương pháp tìm : o So sánh trực tiếp: Đồng nhất các hệ số 2 phương trình (1.8.11) và (1.8.12). o Dùng công thức Ackermann: = ( ) ⎣⎢⎢ ⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥ ⎥⎤ ⎣⎢⎢⎢ ⎡00⋮01⎦⎥⎥ ⎥⎤ trong đó: ( ) = + + ⋯+ + VD: Cho hệ thống hở: ̇ = 0 1 00 0 1−6 −11 −6 + 001 = [1 0 0] a) Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cực nằm tại vị trí: , = −2 ± 2√3, = −6 b) Giả sử ngõ ra = có thể đo được chính xác. Thiết kế bộ quan sát giảm bậc (bậc 2) có cực mong muốn là = =−10. c) Vẽ sơ đồ khối hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái ước lượng. Giải: a) Kiểm tra tính điều khiển được: = 0 0 10 1 −61 −6 25 27 det ≠ 0 Þ ( ) = 3 Þ Điều khiển được. Phương trình đặc trưng hệ thống kín hồi tiếp trạng thái: det( − + ) = 0 − + = = 0 00 00 0 − 0 1 00 0 1−6 −11 −6 + 001 [ ] = −1 00 −16 + 11 + + 6 + det( − + ) = = −(−1) −16 + 11 + + ( + 6 + ) −10 = + (6 + ) + (11 + ) + 6 + = 0 Phương trình đặc trưng hệ kín mong muốn: + 2 − 2√3 + 2 + 2√3 ( + 6) = = + 10 + 40 + 96 = 0 Đồng nhất hệ số 2 phương trình, ta có: 6 + = 10 11 + = 40 6 + = 96 Suy ra: = 90, = 29, = 4 Ma trận điều khiển hồi tiếp trạng thái: = [90 29 4] b) Phân tích phương trình trạng thái hệ thống: 1 1 2 2 3 3 0 1 0 0 0 0 1 0 6 11 6 1 x x x x u x x é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê- - - ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û & & & 28 = 0, = [1 0], = 0−6 , = 0 1−11 −6 , = 0, = 01 Kiểm tra tính quan sát được: = = 1 00 1 rank(N) = 2 Þ Quan sát được. Phương trình đặc trưng của bộ quan sát giảm bậc: det( − + ) = 0 det( − + ) = = det s 00 s − 0 1−11 −6 + [1 0] = det + −111 + + 6 = + ( + 6) + 6 + + 11 = 0 Phương trình đặc trưng mong muốn: ( + 10) = + 20 + 100 = 0 Cân bằng các hệ số 2 phương trình trên, ta có: + 6 = 20 6 + + 11 = 100 Þ = 14, = 5 Ma trận độ lợi bộ quan sát giảm bậc: = 145 Xác định phương trình bộ quan sát giảm bậc: = − = = 0 1−11 −6 − 145 [1 0] = −14 1−16 −6 29 = + − = = −14 1−16 −6 145 + 0−6 − 145 0 = −191−260 = − = 01 − 145 0 = 01 ̇ = + + = −14 1−16 −6 + −191−260 + 01 Biểu thức chuyển từ ® 0 0 0 1 0 0 1 é ù é ù ê ú= =ê ú ê ú ë û ê úë û n-1 C I % , 1 1 14 5 é ù é ù ê ú= =ê ú ê ú ë û ê úë û e D K % = + = 0 01 00 1 + 1145 Luật điều khiển hồi tiếp trạng thái ước lượng: = − = −[90 29 4] (Vẽ sơ đồ khối)