Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua việc khái quát hoá từ một số trường hợp cụ thể

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 36-42 This paper is available online at DẠY HỌC KIẾN TẠO CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘTMẶT PHẲNG THÔNG QUA VIỆC KHÁI QUÁT HOÁ TỪ MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Bùi Văn Nghị1, Hoàng Ngọc Anh2, Nguyễn Tiến Trung3 1 Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Khoa Toán, Trường Đại học Tây Bắc 3 Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Bài báo trình bày về một phương án dạy học theo hướng tổ chức các hoạt động giúp học sinh kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian thông qua khái quát hoá. Ban đầu, học sinh giải bài toán tổng quát thông qua việc cụ thể hoá từng phần: điểm cụ thể, phương trình mặt phẳng có các hệ số ở dạng tổng quát; điểm có toạ độ ở dạng tổng quát, phương trình mặt phẳng hệ số cụ thể. Tiếp đó, học sinh khái quát hoá, đề xuất và chứng minh công thức khoảng cách trong trường hợp tổng quát. Từ khóa: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian; khái quát hoá; dạy học kiến tạo. 1. Mở đầu Theo quan niệm về dạy học kiến tạo, học sinh (HS) học bằng cách đặt mình vào trong một môi trường tích cực, phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề bằng cách đồng hoá hay điều ứng những kiến thức và kinh nghiệm đã có cho tương thích với những tình huống mới, từ đó xây dựng nên những kiến thức mới cho bản thân. Khái quát hoá là hoạt động tư duy nhằm tóm lược, quy vào những điểm chung nhất cho nhiều sự vật, sự việc, hiện tượng. Trong dạy học một công thức tính toán, định lí, giáo viên (GV) có thể dùng phương pháp đặc biệt hoá: cho HS tìm công thức trong một số trường hợp riêng. Sau đó, trên cơ sở thống kê các kết quả, GV hướng dẫn HS tìm công thức tính tổng quát - định lí đó. Ở đây, khái quát hoá là một hoạt động tư duy giúp HS kiến tạo tri thức. Dạy học theo hướng này, một mặt phát huy được tính tích cực học tập của HS một mặt rèn luyện cho HS sinh khả năng và thói quen giải quyết vấn đề trong môn Toán cũng như trong cuộc sống: Khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, có thể chia nhỏ, cụ thể hoá một vấn đề thành các vấn đề đơn giản hơn, cụ thể hơn. Khái quát phương thức giải quyết các vấn đề cụ thể sẽ có được phương án giải quyết chung của vấn đề lớn hơn, ban đầu. Liên hệ: Nguyễn Tiến Trung, e-mail: trungnt@hnue.edu.vn. 36 Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng... Trong dạy học môn Toán nói chung, dạy học hình học nói riêng, “Người giáo viên cần tạo ra những tình huống, trong đó học sinh gặp trở ngại về nhận thức, học sinh phải hoạt động, giải quyết vấn đề, phải điều chỉnh nhận thức, phải tìm kiếm để có được những tri thức mới” [3;93]. Theo [2;184], trong quá trình dạy học hình học, ta “cần chú trọng cả phương pháp tiên đề và phương pháp toạ độ”. Khi đó, hai phương pháp sẽ bổ khuyết cho nhau, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học hình học. Trong bài báo này chúng tôi trình bày phương án thiết kế tình huống dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian (Hình học lớp 12 THPT). Đây là một phương án khác với phương án đã trình bày trong [4]. 2. Nội dung nghiên cứu Kịch bản tổ chức các hoạt động học tập giúp học sinh kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng trong không gian như sau: Hoạt động 1: Tiếp cận vấn đề và xác định phương án giải quyết Giáo viên: Đặt vấn đề trực tiếp từ nội bộ môn Toán: Tương tự như trong phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, trong không gian chúng ta cũng thường phải gặp bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Có thể phát biểu bài toán như sau: Cho mặt phẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0 và điểmM (x0; y0; z0), hãy xác định công thức tính khoảng cách d (M ;α) từ điểm đến (α). Trong trường hợp tổng quát này, các em hãy đề xuất phương án giải bài toán. Phân tích: Học sinh đã biết biết khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là độ dài đoạn thẳng MM ′, trong đó M ′ là hình chiếu vuông góc củaM trên mặt phẳng (α)). Đồng thời học sinh có quy trình để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : Bước 1. Xác định đường thẳng (∆) quaM ′ vuông góc với mặt phẳng (α). Bước 2. Xác định giao điểmM ′ của đường thẳng (∆) và mặt phẳng (α). Bước 3. Độ dài đoạnMM ′ chính là khoảng cách từM đến mặt phẳng (α). Đương nhiên, còn một cách khác mà đa số học sinh đã quen với việc xác định một điểm bằng cách: Gọi điểm M ′ là điểm cần tìm, M ′ thuộc (α), thì ta có −−−→ MM ′//−→n (α), khi đó ta có thể biểu diễn −−−→ MM ′ = t.−→n (α), (t ∈ R), tức là ta có  xM ′ − xM = tA yM ′ − yM = tB zM ′ − zM = tC Suy ra: d (M, (α)) = ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ =√(tA)2 + (tB)2 + (tC)2 = √A2 +B2 + C2. |t|. Khi đó, chỉ cần xác định được t (sao cho điểmM ′ thuộc (α)) thì ta xác định được công thức tính khoảng cách. Học sinh: Thảo luận, trao đổi tìm phương án giải bài toán. Hoạt động 2 (Hoạt động khám phá, kiến tạo công thức): Giáo viên: Chia lớp thành 04 nhóm, mỗi nhóm giải một bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 37 Bùi Văn Nghị, Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Tiến Trung Bài toán 1. Tính khoảng cách từ điểmM (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : 2x− 3y + 6z − 5 = 0. Bài toán 2. Tính khoảng cách từ điểmM (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : 5x− 4y − 1 = 0. Bài toán 3. Tính khoảng cách từ điểmM (2;−2; 3) đến mặt phẳng (α) : Ax+By + Cz +D = 0, A2 +B2 + C2 > 0. Bài toán 4. Tính khoảng cách từ điểmM (−3; 0; 4) đến mặt phẳng (α) : Ax+By + Cz +D = 0, A2 +B2 + C2 > 0. HS: Giải bài tập theo từng nhóm. Dự kiến một số lời giải thu được như sau: Nhóm 1: GọiM ′ (x1; y1; z1) là hình chiếu củaM trên (α), khi đó ta có−−−→ MM ′⊥(α)⇔ −−−→MM ′//~n(α), tức là ta có −−−→ MM ′ = t~n(α), (t ∈ R). (1) Hơn nữa, −−−→ MM ′ = (x1 − x0; y1 − y0; z1 − z0) , ~n(α) = (2;−3; 6) nên đẳng thức (1) trở thành   x1 − x0 = 2t y1 − y0 = −3t z1 − z0 = 6t ⇔   x1 = x0 + 2t y1 = y0 − 3t z1 = z0 + 6t (2) Thế toạ độ của điểmM ′ từ (2) vào phương trình mặt phẳng (α) ta được 2(x0 + 2t)− 3(y0 − 3t) + 6(z0 + 6t)− 5 = 0⇔ t = −2x0 − 3y0 + 6z0 − 5 4 + 9 + 36 Khi đó ta có d (M ; (α)) = ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ =√(2t)2 + (−3t)2 + (6t)2 = √49t2 = |t|√49 Thay giá trị của vừa tìm được vào công thức trên ta được d (M ; (α)) = ∣∣∣∣−2x0 − 3y0 + 6z0 − 549 ∣∣∣∣ .√49 = |2x0 − 3y0 + 6z0 − 5|√49 . a) b) Hình 1. 38 Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng... Nhóm 2: Ta có ~n(α) = (5,−4, 0) nên phương trình đường thẳng (MM ′) có dạng  x = x0 + 5t y = y0 − 4t z = z0 Thế vào phương trình mặt phẳng (α) ta được phương trình: 5 (x0 + 5t)− 4 (y0 − 4t)− 1 = 0⇔ t = −5x0 − 4y0 − 1 41 Khi đó ta có: −−−→ MM ′ = (x− x0; y − y0; z − z0) = (5t;−4t; 0) d (M ; (α)) = ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ =√(5t)2 + (−4t)2 + 02 = |t|√41 Thay giá trị của t vừa tìm được vào công thức trên ta được d (M ; (α)) = ∣∣∣∣−5x0 − 4y0 − 141 ∣∣∣∣ .√41 = |5x0 − 4y0 − 1|√41 . Nhóm 3: Ta có ~n(α) = (A;B;C) nên phương trình đường thẳng (MM ′) có dạng:  x = 2 +At y = −2 +Bt z = 3 + Cz. Thế vào phương trình mặt phẳng (α) ta được: A(2 +At) +B(−2 +Bt) + C(3 +Cz) +D = 0⇔ t = −2A− 2B + 3C +D A2 +B2 + C2 Ta có: −−−→ MM ′ = (x− 2; y + 2; z − 3) = (At;Bt;Ct) d (M ; (α)) = ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ = √ (At)2 + (Bt)2 + (Ct)2 = |t| √ A2 +B2 + C2 Thay giá trị của t vừa tìm được vào công thức trên ta được d (M ; (α)) = ∣∣∣∣−2A− 2B + 3C +DA2 +B2 + C2 ∣∣∣∣ .√A2 +B2 + C2 = |2A− 2B + 3C +D|√ A2 +B2 + C2 . 39 Bùi Văn Nghị, Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Tiến Trung Nhóm 4: Một cách tương tự, kết quả thu được của nhóm 4 là: d (M ; (α)) = |−3A+ 4C +D|√ A2 +B2 + C2 . Hoạt động 3: Thảo luận chung cả lớp, dự đoán, đề xuất công thức tổng quát Giáo viên: Yêu cầu các nhóm thông báo kết quả rồi tổng hợp thành phiếu học tập có sẵn (hoặc trình bày trên bảng) như dưới đây. PHIẾU HỌC TẬP Thống kê các công thức tìm được của các nhóm: Nhóm Điểm; mặt phẳng Công thức 1 M (x0; y0; z0); (α) : 2x− 3y + 6z − 5 = 0 d (M ; (α)) = |2x0 − 3y0 + 6z0 − 5|√ 49 . 2 M (x0; y0; z0); (α) : 5x− 4y − 1 = 0 d (M ; (α)) = |5x0 − 4y0 − 1|√ 41 . 3 M (2;−2; 3); (α) : Ax+By + Cz +D = 0 d (M ; (α)) = |2A− 2B + 3C +D|√ A2 +B2 + C2 . 4 M (−3; 0; 4); (α) : Ax+By + Cz +D = 0 d (M ; (α)) = |−3A+ 4C +D|√ A2 +B2 + C2 . Như vậy, trong trường hợp tổng quát: M (x0; y0; z0); (α) : Ax+By + Cz +D = 0 d (M ; (α)) = ....................... Học sinh: Đề xuất công thức d (M, (α)) = |Ax0 +By0 + Cz0 +D|√ A2 +B2 + C2 . Hoạt động 4: Xét tính đúng sai của kết quả khái quát hoá Giáo viên: Phán đoán của HS trên cơ sở đánh giá, nhận xét rồi khái quát hoá từ các kết quả của một số trường hợp là một kiểu tư duy tuy nhiên không phải lúc nào cũng cho ta một kết quả đúng. Kết quả của phán đoán cho ta một hướng đi, còn để xác định tính đúng đắn thì ta phải bác bỏ hoặc chứng minh nó. Từ đó, GV hướng dẫn học sinh chứng minh bằng cách làm tương tự như cách mà mỗi nhóm đã làm (gộp hai dạng bài tập dành cho nhóm 1, 2 và nhóm 3, 4 lại). Đương nhiên, có thể hướng dẫn học sinh chứng minh công thức tổng quát như được trình bày trong sách giáo khoa như sau: GọiM ′ (x1; y1; z1) là hình chiếu củaM trên (α). Xét hai vectơ−−−→ MM ′ = (x1 − x0; y1 − y0; z1 − z0) và ~n(α) = (A,B,C), ta thấy −−−→ MM ′ và ~n(α) cùng giá vì chúng cùng vuông góc với mặt phẳng (α). Suy ra ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ . ∣∣~n(α)∣∣ = ∣∣∣−−−→MM ′.~n(α)∣∣∣ = |A (x− x0) +B (y − y0) + C (z − z0)| = |Ax0 +By0 +Cz0 + (−Ax−By −Cz)| (1) Mặt khác, vìM ′ thuộc (α) nên ta có 40 Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng... Ax1 +By1 + Cz1 +D = 0⇔ D = − (Ax1 +By1 + Cz1) Thay vào (1) ta được: ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ . ∣∣~n(α)∣∣ = |Ax0 +By0 + Cz0 +D|. Gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (α) là d (M, (α)). Vậy: d (M, (α)) = ∣∣∣−−−→MM ′∣∣∣ = |Ax0 +By0 + Cz0 +D|∣∣~n(α)∣∣ = |Ax0 +By0 + Cz0 +D|√ A2 +B2 +C2 Từ đó, giáo viên hướng dẫn học sinh kết luận: “Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểmM (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax+By + Cz +D = 0 là: d (M, (α)) = |Ax0 +By0 + Cz0 +D|√ A2 +B2 +C2 Hoạt động 5: Kiểm nghiệm, vận dụng công thức vừa tìm được để tính toán (tình huống hoạt động; tình huống xác nhận) Giáo viên: Yêu cầu học sinh giải các bài tập sau: Bài tập 1. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong các trường hợp sau: a)M (1;−2; 13) , (α) : 2x− 2y − z + 3 = 0 b)M (1;−2; 3) , (α) : x− 5y − 2z + 5 = 0 c)M (1; 2; 2) , (α) : 3x− y − z + 1 = 0 d)M (0; 1; 5) , (α) : x− z + 1 = 0 Bài tập 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: (P ) : 3x− 4y − z + 1 = 0 và (Q) : 3x− 4y − z − 2 = 0 Bài tập 3. a) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách mặt phẳng (α) : x− 4y + 2z − 12 = 0 một khoảng bằng 1. b) Tìm các điểm thuộc trục Oz cách đều hai mặt phẳng x+ 2y − z + 2 = 0 và x− y + z + 5 = 0. Với bài tập 1, học sinh vận dụng công thức vừa kiến tạo được vào các bài toán cụ thể. Với các bài tập 2, 3, học sinh được vận dụng kiến thức đã học vào các tình huống mới, cần phải có sự liên hệ giữa các khái niệm, yêu cầu bài toán về khái niệm đã học, để sử dụng được công thức vừa có. 41 Bùi Văn Nghị, Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Tiến Trung 3. Kết luận Qua việc tổ chức các hoạt động học như trên, học sinh được đóng vai trò là người khám phá, kiến tạo tri thức một cách tích cực và tự nhiên. Giáo viên đã chia hoạt động kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian thành các hoạt động thành phần. Theo đó, học sinh được thực hiện các nhiệm vụ học tập đơn giản hơn, thành các nhóm, sau đó gộp lại kết quả của các nhóm để hoàn thành nhiệm vụ hoạt động. DH theo hướng này, một mặt phát huy tính tích cực của HS một mặt rèn luyện cho HS sinh một kĩ năng giải quyết vấn đề trong môn Toán cũng như trong cuộc sống: Khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, có thể chia nhỏ, cụ thể hoá thành các vấn đề đơn giản hơn, cụ thể hơn. Từ việc giải quyết các vấn đề cụ thể, khái quát phương thức giải quyết của vấn đề lớn hơn, ban đầu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Châu, 2005. Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học. Nxb Giáo dục. [2] Bùi Văn Nghị, 2008. Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học sư phạm. [3] Bùi Văn Nghị, 2009. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông. Nxb Đại học sư phạm. [4] Bui Van Nghi and Nguyen Tien Trung, 2013. Designing a teaching situation: Developing formula to caculate the distance from a point to a plane in space (Geometry for 12th grade, Chapter 3, Lesson 2). Journal of Science of HNUE, Interdisciplinary Science, Vol. 58, No. 5, pp. 47-52. [5] Sách giáo khoa, Sách bài tập và Sách giáo viên Hình học 12 ban cơ bản, ban nâng cao. ABSTRACT Teaching students how to determine distance from a point to a plane by the use of a generalized situation This article presents activities that teachers can use to help students construct the formula for calculating the distance from a point to a plane in space through generalized activity. Initially, students solve the problem by the way of determining each part of the problem: specific point coordinates, the plane equation coefficients in the general form; point coordinates in general form and the specific plane equation coefficients. From there, students conceptualize, propose, construct and prove the distance formula in the general case. 42