Giáo trình Nội bộ xác suất thống kê

ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NễNG LÂM -------------------------------- BỘ MễN TOÁN Lí GIÁO TRèNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG Kấ Dành cho sinh viờn tất cả cỏc ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thỏi Nguyờn, năm 2017 M l Phần 1. Lý thuyết xá suất 5 1 Biến ố ngẫu nhiên và xá suất 6 1.1 Giải tí h tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Quy tắ ộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Quy tắ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.7 Phương pháp giải một bài toán giải tí h tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Php thử và biến ố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Php thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Biến ố (sự kiện) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Quan hệ giữa á biến ố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Phân hia một biến ố theo hệ đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Cá định nghĩa về xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Định nghĩa ổ điển về xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Định nghĩa thống kê về xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Nguyên lý xá suất lớn và xá suất nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Cá định lý ơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Định lý ộng xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Định lý nhân xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 Định lý xá suất toàn phần - Định lý Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.4 Định lý Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập hương 1 28 2 Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân phối xá suất 33 2.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Bảng phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên rời rạ . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Hàm phân phối xá xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Hàm mật độ xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Kỳ vọng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 Độ lệ h huẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Một số quy luật phân phối xá suất thông dng . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1 Quy luật không-một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1 22.4.2 Quy luật nhị thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4.3 Quy luật Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.4 Quy luật huẩn N(a, σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.5 Quy luật khi bình phương-χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.6 Quy luật Student-T(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.7 Cá định lí giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Bài tập hương 2 66 Phần 2. Thống kê toán 70 3 Cơ sở lý thuyết mẫu 71 3.1 Tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 Tổng thể và kí h thướ ủa tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 Mẫu và phương pháp họn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.3 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Cá phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1 Sắp xếp số liệu thự nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2 Hàm phân phối thự nghiệm ủa mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.3 Biểu diễn số liệu bằng biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 Cá đặ trưng ủa mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Hàm thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2 Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.3 Phương sai mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.4 Phương sai điều hỉnh mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.5 Độ lệ h tiêu huẩn mẫu và độ lệ h tiêu huẩn điều hỉnh mẫu . . . . . 80 3.3.6 Sai số tiêu huẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.7 Cá h tính á đặ trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.8 Tần suất mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bài tập hương 3 84 4 ớ lượng tham số 87 4.1 Phương pháp ướ lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Phương pháp hàm ướ lượng (phương pháp mô men) . . . . . . . . . . . 87 4.2 Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2 ớ lượng kỳ vọng ủa biến ngẫu nhiên ó phân phối huẩn . . . . . . 91 4.2.3 ớ lượng kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên không theo quy luật phân phối huẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.4 ớ lượng khoảng ho tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Bài tập hương 4 100 5 Kiểm định giả thuyết thống kê 106 5.1 Khái niệm hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.1 Giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.2 Tiêu huẩn kiểm định giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.3 Miền bá bỏ giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.4 Giá trị quan sát ủa tiêu huẩn kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.5 Quy tắ kiểm định giả thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 35.1.6 Cá sai lầm mắ phải khi kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.7 Thủ t ủa kiểm định giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2.1 Đã biết phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2.2 Chưa biết phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 Kiểm định sự bằng nhau ủa hai kỳ vọng ủa hai biến ngẫu nhiên ó phân phối huẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4 Kiểm định giả thuyết ủa xá suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.1 Trường hợp một tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.2 Trường hợp hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Bài tập hương 5 118 6 Tương quan và hồi quy 123 6.1 Đồ thị phân tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.1 Phân tí h ý nghĩa hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.2 Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2.3 Kiểm định giả thuyết về giá trị ủa ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 Hồi quy tuyến tính đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3.1 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản ủa tổng thể . . . . . . . . . . 129 6.3.3 Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Bài tập hương 6 133 Ph l 1 139 Ph l 2 141 Ph l 3 142 Ph l 4 143 Tài liệu tham khảo 144 4Lời nói đầu "Xá suất thống kê" là một môn họ ần thiết đối với sinh viên khối á trường Kinh tế- Nông-Lâm-Sinh-Y bởi nội dung phong phú và sự ứng dng rộng rãi ủa nó trong nhiều lĩnh vự khá nhau ủa khoa họ tự nhiên, kỹ thuật, y họ và kinh tế-xã hội. Đã ó nhiều uốn sá h giáo trình đượ viết ho môn họ này, tuy nhiên nhóm tá giả mong muốn viết một uốn giáo trình phù hợp với nội dung hương trình ủa Trường Đại họ Nông Lâm để sinh viên ó thể tiếp ận môn họ này và á môn họ ơ sở ngành sau đó, ũng như ập nhật với hương trình thi tuyển sau đại họ môn Toán ao ấp thống kê ủa Đại họ Thái Nguyên ho khối á ngành Nông-Lâm-Sinh-Y. Giáo trình gồm hai phần. Phần I: "Lý thuyết xá suất" ó hai hương. Chương 1 trang bị những kiến thứ ơ bản về giải tí h tổ hợp, những khái niệm nền tảng, những định lý quan trọng ủa lý thuyết xá suất ổ điển. Chương 2 quan tâm đến khái niệm trung tâm ủa xá suất là biến ngẫu nhiên và á quy luật phân phối xá suất, á tham số đặ trưng ủa nó. Một số quy luật phân phối xá suất thông dng và định lý về luật số lớn, định lý giới hạn ũng đượ trình bày trong hương này. Phần II: "Thống kê toán" gồm ó 4 hương. Chương 3 trình bày về ơ sở lý thuyết mẫu: á phương pháp họn mẫu, sắp xếp mẫu, đặ trưng ủa mẫu. Chương 4 và Chương 5 quan tâm đến hai bài toán ơ bản là ướ lượng tham số và kiểm định giả thuyết thống kê. Cá bài toán về tương quan và hồi quy tuyến tính đơn giản đượ đề ập đến ở Chương 6. Phần uối ùng là một số bảng ph l thông dng. Bạn đọ ó thể tự họ môn "Xá suất thống kê" với uốn giáo trình này nếu đã đượ trang bị một số kiến thứ ơ bản về Giải tí h ổ điển và Đại số tuyến tính. Cá khái niệm mới đượ ập nhật thêm á thuật ngữ bằng tiếng Anh để bạn đọ ó thể làm quen với á thuật ngữ đó khi đọ sá h nướ ngoài. Hệ thống ví d đượ lựa họn ít nhiều liên quan đến á bài toán thường gặp trong thự tế ủa á lĩnh vự Nông, Lâm nghiệp, Sinh họ . Cá bài tập ở uối mỗi hương dành ho bạn đọ giải quyết thông qua vận dng lý thuyết và lời giải ủa á ví d trong hương. Trong những kiến thứ rộng lớn về lý thuyết xá suất và thống kê toán, để lựa họn đượ những vấn đề ần thiết viết trong khuôn khổ một uốn giáo trình nhỏ sao ho phù hợp với nội dung hương trình ở bậ đại họ , đáp ứng đượ những m tiêu đã đề ra là rất khó khăn và không tránh khỏi sai sót. Cá tá giả mong muốn nhận đượ những nhận xt góp ý ủa á đồng nghiệp, á sinh viên và bạn đọ để uốn giáo trình đượ hoàn thiện hơn. Nhóm tá giả 5Phần 1. Lý thuyết xá suất Sự không hắ hắn rất phổ biến trong thế giới mà ta đang sống: từ á vấn đề ủa thế giới tự nhiên như nắng, mưa, giông, bão,... đến á vấn đề về đời sống hính trị, xã hội ủa on người. Ngay ả Sinh - Lão - Bệnh - Tử - một quy luật tất yếu mà ai ũng biết, là hặng đường hắ hắn mà mỗi đời người đều phải trải qua thì nhìn hung ũng nằm ngoài sự điều khiển ủa húng ta. Tuy nhiên, sự không hắ hắn làm ho uộ sống ủa húng ta trở nên thú vị hơn rất nhiều. Hãy thử tưởng tượng xem thế giới này sẽ trở nên buồn tẻ, hán ngắt đến mứ nào nếu như mọi thứ đều ó thể biết trướ một á h hắ hắn, hoàn hảo? Lý thuyết xá suất là một ngành khoa họ Toán họ xá lập á suy luận mang tính định lượng về sự không hắ hắn, thông qua đó nghiên ứu những quy luật tất nhiên ẩn dấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên nhằm ho php dự báo á hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy, á phương pháp ủa lý thuyết xá suất đượ ứng dng rộng rãi trong mọi lĩnh vự ủa uộ sống. Chương 1 Biến ố ngẫu nhiên và xá suất Chương này dành để giới thiệu á khái niệm nền móng ủa xá suất: php thử, biến ố ngẫu nhiên, biến ố sơ ấp,... Cá định nghĩa về xá suất đượ giới thiệu ở M 1.3 và uối ùng M 1.4 ung ấp những ông  ơ bản nhất để tính xá suất: định lý ộng, định lý nhân, định lý toàn phần, Bayes và định lý Bernoulli. 1.1 Giải tí h tổ hợp M này dành để tóm lượ lại á kiến thứ về giải tí h tổ hợp mà sinh viên đã đượ họ trong hương trình phổ thông. Cá bài toán giải tí h tổ hợp òn đượ gọi là á bài toán "đếm": đếm số kết quả, đếm số khả năng xảy ra, đếm á á h giải quyết vấn đề,... nói hung là đếm số lượng những đối tượng nào đó mà hầu hết á loại đối tượng đượ đề ập đến đều ó thể mô tả như là một dãy á phần tử thỏa mãn những điều kiện nhất định. Ta ó thể mô phỏng một bài toán giải tí h tổ hợp như sau. Bài toán. "Cho n, k ∈ N và tập hợp E = {x1, x2, . . . , xn} gồm n phần tử khá nhau. Có bao nhiêu dãy x1x2 . . . xk á phần tử đượ lấy từ tập E và thỏa mãn á tính hất N1, N2, . . .?" Có nhiều á h giải quyết bài toán trên tùy theo á h lấy k phần tử và phương pháp sắp xếp húng để ho ta những kết quả khá nhau. 1.1.1 Quy tắ ộng Giả sử một ông việ ó thể thự hiện theo một trong k phương án A1, A2, . . . , Ak, trong đó mỗi phương án Ai ó ni á h thự hiện và á á h thự hiện phương án Ai không trùng với á á h thự hiện phương án Aj nếu i 6= j, với mọi i, j = 1, . . . , k. Khi đó, ông việ ó thể đượ thự hiện bởi n1 + n2 + . . .+ nk á h và ta gọi đó là quy tắ ộng (Additional Rule). Ví d 1.1.1. Một tổ gồm ó 3 sinh viên ở Thái Nguyên, 3 sinh viên ở Yên Bái, 4 sinh viên ở Tuyên Quang và 4 sinh viên ở Hà Giang. Cần họn 3 sinh viên ùng tỉnh để đi lao động. Hỏi ó bao nhiêu á h họn? 6 7Giải. Phương án 1: ó 1 á h họn 3 sinh viên ở Thái Nguyên; Phương án 2: ó 1 á h họn 3 sinh viên ở Yên Bái; Phương án 3: ó 4 á h họn 3 sinh viên ở Tuyên Quang; Phương án 4: ó 4 á h họn 3 sinh viên ở Hà Giang. Vậy, ó n = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 á h họn. Chú ý rằng, bản hất ủa quy tắ trên là đếm số phần tử ủa á tập hợp hữu hạn không giao nhau. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ta ần đếm số phần tử ủa hợp hai tập hợp hữu hạn ó giao khá ∅. Nếu ký hiệu n(•) là số phần tử ủa một tập hợp nào đó thì ta ó quy tắ ộng mở rộng sau: n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B). Ví d 1.1.2. Một hội nghị khoa họ quố tế gồm 100 người biết tiếng Anh, 60 người biết tiếng Pháp, 20 người biết ả hai thứ tiếng và 50 người òn lại không biết ả hai thứ tiếng trên. Hỏi Hội nghị khoa họ đó ó bao nhiêu người? Giải. Gọi tập hợp những người biết tiếng Anh là A, những người biết tiếng Pháp là B. Khi đó tập hợp những người biết tiếng Anh hoặ Pháp là A∪B. Theo bài ra ta ó n(A) = 100;n(B) = 60;n(A ∩ B) = 20 và n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B) = 100 + 60− 20 = 140. Vậy Hội nghị khoa họ đó ó 140 + 50 = 190 (người). 1.1.2 Quy tắ nhân Giả sử một ông việ phải thự hiện k giai đoạn A1, A2, . . . , Ak, trong đó mỗi giai đoạn Ai đượ thự hiện bởi 1 trong ni á h, với mọi i = 1, . . . , k. Khi đó, ó n1n2 . . . nk á h thự hiện ông việ nói trên và ta gọi là quy tắ nhân (Multipli ative Rule). Ví d 1.1.3. Biển số xe ô tô gồm 7 ký tự, trong đó 2 ký tự đầu là mã số tỉnh, ký tự thứ ba là một hữ ái trong bảng 26 hữ ái tiếng Anh, á ký tự tiếp theo là một hữ số thuộ tập {0, 1, . . . , 9}. Hỏi nếu hỉ dùng một mã số tỉnh ố định thì một tỉnh ó thể làm đượ nhiều nhất bao nhiêu biển số xe khá nhau? Giải. Vì mã số tỉnh đã đượ ố định nên ta ó 26 á h họn hữ ái xếp ở vị trí thứ ba và ó 10 á h họn hữ số ho mỗi vị trí trong bốn vị trí òn lại. Theo quy tắ nhân, ta ó 26ì 10ì 10ì 10ì 10 = 260.000 (biển số xe). 1.1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1.4. Một hoán vị (permutation) ủa n phần tử ủa tập E là á h sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. 8Số á hoán vị ủa n phần tử, ký hiệu Pn, là Pn = n! = n(n− 1)(n− 2) . . . 2.1 và quy ướ 0! = 1. Ví d 1.1.5. (i) Có 3 người A,B,C xếp vào 3 hỗ ngồi. Ta ó P3 = 3! = 1ì 2ì 3 = 6 á h xếp như sau: ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA. (ii) Từ 3 hữ số 1, 2, 3 ó thể tạo đượ bao nhiêu số gồm 3 hữ số khá nhau? Giải. Rõ ràng mỗi số gồm 3 hữ số khá nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị ủa 3 phần tử. Vậy ta ó P3 = 3! = 1ì 2ì 3 = 6 số, đó là: 123, 132, 213, 231, 312, 321. 1.1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.6. Một hỉnh hợp (arrangement) hập k ủa n phần tử (0 < k 6 n) là một dãy ó thứ tự gồm k phần tử khá nhau đượ lấy từ tập E. Số á hỉnh hợp hập k ủa n phần tử, ký hiệu Akn, là Akn = n(n− 1) . . . (n− k + 1) = n! (n− k)! . Ví d 1.1.7. Sinh viên năm thứ nhất ủa Trường Đại họ Nông Lâm phải họ 5 họ phần trong một họ kỳ, mỗi ngày họ 2 họ phần. Hỏi rằng Phòng Đào tạo ủa Trường ó bao nhiêu á h xếp thời khóa biểu trong ngày? Giải. Số á h ần tìm hính là số á h ghp 2 họ phần từ 5 họ phần, trong đó á á h ghp sẽ khá nhau nếu ó ít nhất một họ phần khá nhau hoặ thứ tự họ phần khá nhau. Vì thế á á h xếp thời khóa biểu trong ngày là A25 = 5ì 4ì 3 = 60 ( á h). 1.1.5 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1.8. Một hỉnh hợp lặp (arrangement with repetition) hập k ủa n phần tử là một dãy ó thứ tự gồm k phần tử (không nhất thiết khá nhau) đượ lấy từ tập E. Số hỉnh hợp lặp hập k ủa n phần tử, ký hiệu Akn, là Akn = n k. Ví d 1.1.9. Có 5 khá h hàng không quen biết nhau ùng vào mua hàng ở một ửa hàng gồm ó 7 quầy. Giả sử á khá h hàng vào mua hàng ở á quầy một á h ngẫu nhiên. Hỏi ó bao nhiêu á h để 5 người vào 7 quầy nói trên? Giải. Vì mỗi người đều ó 7 á h họn quầy nên số á h để 5 người vào mua hàng một á h ngẫu nhiên tại 7 quầy hính là A57 = 7 5 = 16.807. 91.1.6 Tổ hợp Định nghĩa 1.1.10. Một tổ hợp ( ombination) hập k ủa n phần tử (0 < k 6 n) là một tập on gồm k phần tử ủa tập E. Số á tổ hợp hập k ủa n phần tử, ký hiệu Ckn, là Ckn = n! k!(n− k)! = n(n− 1) . . . (n− k + 1) k! . Vì Cn−kn = n! (n− k)!(n− (n− k))! = n! k!(n− k)! = C k n, nên một á h lấy ra k phần tử thì ũng hính là một á h lấy ra n − k phần tử òn lại. Ta ó một số trường hợp đặ biệt sau C0n = C n n = 1;C 1 n = C n−1 n = n. Từ ông thứ tổ hợp trên, ta ó ông thứ Nhị thứ Newton (a + b)n = an + C1na n−1b+ . . .+ Ckna n−kbk + . . .+ Cn−1n ab n−1 + bn. Thay n = 2, 3 vào ông thứ trên ta ó á hằng đẳng thứ đáng nhớ quen thuộ . Ví d 1.1.11. (i) Chọn ngẫu nhiên ra 2 người từ một nhóm 3 người A,B,C. Khi đó, ó C23 = 3! 2!.1! = 3 á h họn là : AB,AC,BC. (ii) Có 5 họ sinh, ần họn ra 2 họ sinh để đi trự lớp, hỏi ó mấy á h họn? Giải. Rõ ràng số á h họn ra 2 họ sinh bất kỳ trong số 5 họ sinh là số á tổ hợp hập 2 ủa 5 phần tử. Vậy ta ó C25 = 5! 2!3! = 5ì 4 2 = 10 á h họn. 1.1.7 Phương pháp giải một bài toán giải tí h tổ hợp Giải tí h tổ hợp là một ông  rất quan trọng, ph v đắ lự ho việ giải á bài tập xá suất sau này. Trong quá trình giải một bài toán giải tí h tổ hợp, ông việ đòi hỏi nhiều tư duy nhất hính là "nhận dạng" xem bài toán đó thuộ á h đếm nào. Nói á h khá , điều quan trọng nhất là ần phân biệt, so sánh đượ á khái niệm trên để áp dng đượ đúng ông thứ ần dùng. Do đó, ta ó một số nhận xt sau. a) Về á h lấy á phần tử: Ta thường dùng 4 á h để lấy ra k phần tử từ n phần tử. 1. Lấy theo nghĩa tổ hợp. 2. Lấy theo nghĩa hỉnh hợp. 10 3. Lấy ra k phần tử, mỗi lần lấy từng phần tử một và không hoàn lại. 4. Lấy ra k phần tử, mỗi lần lấy từng phần tử một và ó hoàn lại. - Trong 4 á h trên, hai á h đầu á phần tử đượ lấy ra đồng thời một lần, hai á h sau á phần tử đượ lấy lần lượt từng phần tử một, lấy k lần. - Trong 3 á h đầu, á phần tử đượ lấy ra là khá nhau. Trong khi đó, ở á h 4, á phần tử đượ lấy ra ó thể ó những phần tử đượ lấy lặp lại. - Cá h 3 phân biệt với hai