Kiến trúc - Xây dựng - Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn

CHƯƠNG 8- CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN GVC. Th.s. Lê Hoàng Tuấn 1. KHÁI NIỆM Đường đàn hồi- Trục cong của dầm Đường đàn hồi v=yP y zK K' u    KK'- Chuyển vị thẳng của m/c K  v- Chuyển vị đứng ( độ võng)  u- Chuyển vị ngang   -Chuyển vị góc (góc xoay) của m/c K 1. KHÁI NIỆM Trong điều kiện chuyển vị bé thì <<u v K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng . Góc xoay  có thể lấy gần đúng: dz dvtg  KK’  v= y(z) . Đường đàn hồi v=y(z)P y zK K' (z) (z) Pz 1. KHÁI NIỆM Giải tích hóa các chuyển vị: Đường đàn hồi v=y(z)P y zK K' (z) (z) Pz Trong hệ trục (y,z):  P/t Đường đàn hồi y = y(z)  Độ võng điểm có hoành độ z: y  Góc xoay m/c hoành độ z:  =  (z)  tg  (z) = y' (z) Phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi. 1. KHÁI NIỆM 1000 1 300 1     L f  Quy ước dương của chuyển vị: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Góc xoay  dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. trong đó: L - chiều dài nhịp dầm f - độ võng lớn nhất của dầm , ymax  Điều kiện cứng: 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét điểm bất kỳ K hoành độ z trên dầm. Đường đàn hồi y(z)P y zK K' (z) (z) Pz  x x EI M1   Chương 7: HH giải tích :   2 3 21 1 y y     Sau khi chịu lực K  K'.   x x 2 3 2 EI M 'y1 y    2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Vì y'== góc xoay bé   x x 2 3 2 EI M 'y1 y    Và Mx luôn trái dấu y" Nên ta được : x x EI My ''Phương trình vi phân của Đường đàn hồi: Mx y z Mx y"< 0 Mx > 0 Mx y z Mx y"> 0 Mx < 0 Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH x x EI My ''Từ phương trình   CdzEI M y x x'          DdzCdz EI M y x x C và D là hai hằng số tích phân, tìm được từ các điều kiện biên Tích phân lần 1  P/t góc xoay: Tích phân lần 2 P/t ĐĐH hay P/t độ võng: 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Các điều kiện biên: yA =A = 0 A A BC yA = 0 yB = 0  ph C tr C yy  ph C tr C  3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Thí dụ 1: A B L P z y B 0yB =z yA AViết p/t đường đàn hồi và góc xoay cho dầm công son (console). Suy ra độ võng và góc xoay lớn nhất. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: EIx = hằng số. Giải: Mx = –Pz 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH A B L P z y B 0yB =z yA A EIx = hằng số. xx x EI Pz EI M''y  P/t vi phân ĐĐH : Tích phân 2 lần : Điều kiện biên: z=L ; =0 và y=0 C EJ Pzy x  2 ' 2  DCz EJ Pzy x  6 3 EI2 PLC x 2  x 3 EI3 PLD  3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH A B L P z y B 0yB =z yA A EIx = hằng số. x 3 x 2 x 3 EI3 PLz EI2 PL EI6 Pzy  P/t góc xoay: x 2 x 2 EI2 PL EI2 Pz  Độ võng và góc xoay ở A ứng với z=0: và x 2 A EI2 PL  x 3 A EI3 PLy  P/t ĐĐH: Dấu + chỉ độ võng hướng xuống. Dấu - chỉ góc xoay ngược kim đồng hồ; 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Thí dụ 2: Viết p/t đường đàn hồi và góc xoay cho dầm đơn chịu tải đều. Suy ra độ võng và góc xoay lớn nhất. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: Giải: Mx = VA .z - q.z2/ 2 A B q z z EIx = hằng số. L L/2 C  VA VB Phản lực: VA = qL/2 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH P/t vi phân ĐĐH : Tích phân 2 lần :  2 x zLz EI2 q''y  C 3 z 2 Lz EI2 q'y 32 x        DCz 12 z 6 Lz EI2 qy 43 x        Điều kiện biên: z=L ; y=0 z=0 ; y=0 x 3 EI24 qLC ;0D  3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Độ võng ymax=yC =y (z=L/2): A B q z z EIx = hằng số. L L/2 C  VA VB P/t ĐĐH:        3 3 2 2 x 3 L z L z21z EI24 qLy P/t góc xoay:        3 3 2 2 x 3 L z4 L z61 EI24 qL'y Góc xoay A= y'A=y' (z=0) : x 4 2 Lz max EI384 qL5yy         x 3 AA EI24 qLy  x 3 BB EI24 qLy Góc xoay B= y'B=y'(z=L) : 4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Các liên hệ trong dầm thực (DT): 'y x x EI M''y  y Qdz dM  q dz dQ  q Dầm giả tạo (DGT) x x gt EI M''yq  của DT 'yQgt  của DT yM gt  của DT 4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm thực (DT) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và mômen uốn Mgt do tải trong giả tạo qgt tác dụng trên DGT gây ra.  Dầm giả tạo: + Có liên kết tương ứng với chuyển vị của DT + Có chiều dài bằng chiều dài DT  Lực giả tạo qgt: x x gt EI Mq  + Trị số = MX chia EIx + Chiều hướng theo thớ căng của DT DT DGT BAy= 0   0 y=0   0 BAMgt=0 Qgt 0 Mgt=0 Qgt 0 Mgt=0 Qgt=0 Mgt 0 Qgt 0 A B By = 0  = 0 A y  0   0 Tại C :y = 0;  0;tr= ph A C B Tại C : Mgt=0; Qgt  0; Qtr = Qph A C B DẦM GIẢ TẠO VÀ DẦM THỰC TƯƠNG ỨNG THÍ DỤ 3 Giải: A q a) L B DGT c) x 2 EI2 qL b) 2 qL 2 Mx Tính độ võng và góc xoay đầu B EIx = const  Dầm thực- hình a)  Biểu dồ mômen uốn- hình b)  Dầm giả tạo- hình c) d) x 2 EI2 qL Qgt Mgt  Tính chuyển vị: x 4 x 2 B gtB x 3 x 2 B gtB EI8 qLL 4 3L EI2 qL 3 1My EI6 qLL EI2 qL 3 1Q   THÍ DỤ 4 Tính độ võng ở giữa nhịp và góc xoay 2 đầu A,B ; EIx = const L/2 L/2 L C A B P 4 PL Mx DGT EI4 PL Mgt EI4 PL Vgt L/2 Giải:  Dầm thực  Biểu đồ mômen uốn  Dầm giả tạo  Tính chuyển vị: EI16 PL EI4 PL 2 L 2 1V 2 gt  EI16 PLV 2 gtA  EI48 PL 2 L 3 1 EI4 PL 2 L 2 1 2 LVy 3 gtC  5. DẦM SIÊU TĨNH Định nghĩa: Đó là các dầm mà ta không thể xác định toàn bộ phản lực liên kết chỉ với các p/t cân bằng tĩnh học ( bài toán phẳng có nhiều nhất 3 p/t cân bằng tĩnh học). Phải tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng hay xchuyển vị của dầm. Cách giải: THÍ DỤ 5 Giải: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm AB ; EIx = const A q a) L B A q b) L B VB c) 2 qL 2 MxLV B  Dầm siêu tĩnh - hình a)  Dầm thay thế - hình b)  Biểu đồ mômen uốn -hình c)  P/t đ/k chuyển vị: yB =0  Tính chuyển vị yB bằng pp dầm giả tạo: THÍ DỤ 5 (TT) A q b) L B VB c) 2 qL 2 MxLV B DGTd) EI2 qL 2 EI LV B Qgt e) EI2 qL 2 EI LV B Mgt B  Biểu đồ mômen uốn -hình c)  Dầm thực- hình b)  Dầm giả tạo- hình d)  Tính chuyển vị- hình e) 3 L2 EI LVL 2 1 4 L3 EI2 qLL 3 1My B 2 B gtB  THÍ DỤ 5 (TT) A q b) L B VB A q h) L B VB=3qL/8  Cho yB=0 qL 8 3VB  - hình h)  Vẽ biểu đồ nội lực với VB - hình i,j) Qy 8 qL2 128 qL9 2 8 qL38 qL5 Mx  Đây cũng là biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh