Phương pháp tính cơ học kết cấu tàu thủy

PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH 6-2009 TRẦN CÔNG NGHỊ , ĐỖ HÙNG CHIẾN (trang này để trống) 2 TRẦN CÔNG NGHỊ, ĐỖ HÙNG CHIẾN PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH TP HỒ CHÍ MINH 6-2009 3 Mục lục Mở đầu 5 Chương 1 Phương pháp biến phân và trọng hàm dư 6 1. Phép biến phân 6 2. Các phương pháp nhóm trọng hàm dư 23 Chương 2 Phương pháp sai phân hữu hạn 32 1. Hàm một biến 32 2. Phương pháp lưới cho bài toán 2 chiều 37 3. Xoắn dầm 41 4. Bài toán trường 2D với biên cong 42 5. Phương pháp sai phân hữu hạn trên cơ sở phép biến phân 44 6. Dao động dầm 51 7. Dao động tấm 52 8. Ổn định tấm 54 Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn 57 1. Phương pháp phần tử hữu hạn 57 2. Thứ tự giải bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 59 3. Ma trận cứng phần tử. Ma trận cứng hệ thống 61 4. Áp đặt tải 63 5. Xử lý điều kiện biên 65 6. Giải hệ phương trình đaị số tuyến tính 66 7. Những phần tử thông dụng trong cơ học kết cấu 70 8. Trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái biến dạng phẳng 82 9. Tấm chịuu uốn 88 10. Vật thể 3D 93 11. Nén ma trận. Khối kết cấu 95 12. Sử dụng phần mềm SAP và ANSYS tính toán kết cấu 103 13. Phân tích kết cấu bằng ngôn ngữ MATLAB 112 14. Dao động kỹ thuật 142 Chương 4 Tính toán độ tin cậy 163 1. Độ tin cậy 164 2. Tính toán độ tin cậy 164 3. Xác định chỉ số an toàn, xác suất hư hoại 165 4. Phép tính thống kê và biến ngẫu nhiên 170 5. Các phương pháp tính 171 6. Phân tích những điều không chắc chắn từ tải và độ bền 181 7. Chọn hàm phân bố 182 8. Phân tích độ tin cậy hệ thống 182 9. Xác định các hệ số sử dụng 183 10. Thủ tục phân tích độ tin cậy kết cấu 189 11. Độ bền thân tàu 190 Tài liệu tham khảo 193 4 Ký hiệu chính A diện tích, area b chiều rộng, beam, width c, C hệ số, coefficient d đường kính, diameter D độ cứng tấm, flexural rigidity of plate E mộ đun đàn hồi, modulus of elasticity f hàm, function F lực, lực cắt, force, shear force G mộ đun đàn hồi (cắt ), shear modulus g gia tốc trọng trường, gravity constant h chiều cao, depth, heigh I, П, F phiếm hàm, functional I, J momen quán tính mặt cắt, moment of inertia Jp momen quán tính trong hệ độc cực, polar moment of inertia K, k hệ số, coefficient K, k độ cứng L, l chiều dài, length M momen, moment m khối lượng, mass N lực dọc trục, axial force P tải, load P công suất, power p áp suất, pressure Q tải, load q tải phân bố, distributed load R hàm sai số, residual function R, r bán kính, radius S diện tích, area T, MT momen xoắn, torque, couple t chiều dày, thickness t thời gian, time U thế năng, potential energy u0 thế năng đơn vị, strain energy per unit volume V lực cắt, shear force W trọng lượng, weight W,w công ngoại lực, work α góc nói chung, angle generally β góc nói chung, angle generally δ, Δ, w chuyển dịch vị trí, deflection δ toán tử biến phân, variational operator γ biến dạng góc, shear strain θ góc, chuyển vị góc, angle, angle deflection Π thế năng, potential energy ε biến dạng , strain σ ứng suất nói chung, stress, generally η hệ số nói chung, coefficient generally ν hệ số Poisson, Poisson’s coefficient φ, ψ vector riêng, eigenvector ρ mật độ, density γ trọng lượng riêng, specific weight τ, T chu kỳ, perio ω tần số góc, circular frequency, generally ωn tần số riêng , natural frequency, generally 5 Mở đầu Cuốn sách “PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY” trình bày các phương pháp tính cần cho việc xử lý những vấn đề thuộc cơ học kết cấu. Đây là phần không tách rời của bộ sách giành cho cơ học kết cấu tàu thủy, cần cho những người quan tâm cơ học kết cấu tàu thủy và công trình ngoài khơi. Ba cuốn sách đã được phát hành: “Cơ học kết cấu tàu thủy”, “Sức bền tàu”, “Dao động tàu thủy” cần đến các phương pháp tính trình bày trong sách này lúc xử lý các đề tài. Các chương trong sách sẽ trình bày những đề tài được quan tâm nhiều hiện nay. Chương đầu bàn về ứng dụng phương pháp biến phân kinh điển, dùng hiệu quả hàng trăm năm trong toán và cơ học, giải những bài toán uốn dầm, uốn tấm. Phương pháp Ritz có sử dụng hàm thử và phép biến phân cùng các ứng dụng để giải bài toán cơ học chất rắn nói chung, dầm và tấm nói riêng, là phần cần để ý của chương. Các phương pháp có sử dụng hàm thử song không qua giai đoạn tính biến phân giới thiệu cùng chương mang tên gọi chung là phương pháp trọng hàm dư. Chương tiếp theo giới thiệu phương pháp sai phân hữu hạn hiện là phương pháp hữu hiệu trong toán tính và trong cơ học. Tại chương này người đọc gặp cách xây dựng bài toán và giải bài toán cơ học kết cấu theo cách làm quen thuộc trước nay. Phương pháp sai phân hữu hạn đang phát huy tác dụng lớn ngày nay và chắc còn tác dụng dài lâu. Bên cạnh đó những cách làm theo hướng đổi mới thủ tục tính toán cho phương pháp truyền thống trình bày trong chương này giúp bạn đọc xem xét vấn đề đầy đủ, có tính thời sự. Có thể phát biểu rằng những cách làm mới không thay đổi nội dung phương pháp sai phân hữu hạn song làm cho nó bắt kịp tiến bộ trong lĩnh vực toán tính. Những cơ sở của phương pháp tính phần tử hữu hạn và ứng dụng của nó xử lý những bài toán cơ học kết cấu giới thiệu trong sách giúp bạn đọc làm quen và có điều kiện nâng cao khả năng tính toán theo phương pháp rất hữu hiệu này. Chương bốn trình bày các phương pháp tính đang dùng phổ biến trong môn học “Độ tin cậy kết cấu”. Các thủ tục tính trình bày tại đây giúp người đọc xác định đúng và nhanh trong điều kiện có thể các thông số liên quan độ tin cậy kết cấu dân dụng nói chung và của tàu thủy nói riêng. Mỗi chương của sách ngoài phần lý thuyết và hướng dẫn tính toán đều có những ví dụ minh họa. Những người chuẩn bị sách cố ý trình bày những ví dụ độ phức tạp không cao, người đọc dễ dàng kiểm tra bằng các phép tính thủ công. Tuy nhiên, với các bài toán động lực học, khối lương tính toán thường lớn, đề nghị bạn đọc sử dụng công cụ tính thích hợp khi tìm trị riêng và vecto riêng. Những người viết 6 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ TRỌNG HÀM DƯ Các bài toán cơ học kết cấu giải theo nhiều phương pháp khác nhau. Trong chương này của sách đề cập những cách giải dựa trên các phương pháp dùng hàm thử theo nghĩa kinh điển. Các phương pháp trực tiếp tìm lời giải bao gồm: phương pháp biến phân kinh điển (Direct Variational Method) và phương pháp trọng hàm dư (Weighted Residual Method). Phương trình vi phân chính yếu trình bày trạng thái cân bằng vật rắn, xem xét trong chương: L(u) - p = 0 trong miền V, (a) và các điều kiện biên: B(u) - q = 0 trên biên S = Su + Sp (b) trong đó u – là hàm chuyển vị, nếu không giải thích khác, p – tải Biểu thức (b) được hiểu cụ thể theo cách diễn giải tại hình 1.1: Điều kiện động học u = u* tại Su; Điều kiện động lực học q = q* tại Sp. L và B là những toán tử vi phân. Toán tử thường gặp có thể là ∇, ∇2, ∇4 = ∇2∇2 1 PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN Phép tính biến phân liên quan vấn đề xác định cực trị, tức maximum hoặc minimum của các phiếm hàm. Phiếm hàm (functional) hiểu là hàm của các hàm. Trong chừng mức nhất định phiếm hàm có nét tương đồng với hàm số chúng ta vẫn quen, điểm khác nhau cần nhắc đến, hàm số theo nghĩa thông thường là hàm của các biến, còn hàm đóng vai trò phiếm hàm của các hàm. Việc chính của tính toán biến phân là tìm hàm, ví dụ hàm u(x), với x – biến độc lập, để phiếm hàm dưới dạng tích phân giới hạn x1, x2: ∫= 2 1 ),...,',( x x dxxuuFI (1.1) đạt cực trị. Trong tích phân này u’ = du/dx, I và F cùng được gọi phiếm hàm. Với những vấn đề thuộc cơ học kết cấu: I ≡ Π = U – W U – công biến dạng, W – công của ngoại lực. Nghiệm gần đúng tìm từ biểu thức: )()()(~ xuxuxu δ+= (1.2) Hình 1.1 Điều kiện biên Hình 1.2 Hàm u và biến phân δu 7 trong đó u(x) – nghiệm chính xác, nếu tồn tại, δu(x) có tên gọi biến phân. δ là toán tử biến phân. Phép tính biến phân hàm I: ( ) ( )∫∫ = dxFFdx δδ (1.3) Và ( )u dx d dx du δδ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ (1.4) ' ' u u Fu u FF δδδ ∂ ∂+∂ ∂= (1.5) Điều kiện cần để I đạt cực trị: 0' ' 2 1 2 1 ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= ∫∫ x x x x Fdxdxu u Fu u FI δδδδ (1.6) 1.1 PHƯƠNG PHÁP RITZ Phương pháp Ritz xây dựng trên cơ sở phép biến phân. Phương pháp Ritz1 tìm cách thay thế biến u, có thể chọn ví dụ bài toán một chiều u(x), trong phiếm hàm (1.1): ∫= 2 1 ),...,',( x x dxxuuFI , bằng nghiệm gần đúng dưới dạng hàm xấp xỉ: ∑ = = N i ii fau 1 ~ (1.7) Hàm u, chúng ta đã gặp trong các bài toán cơ học khác nhau, thể hiện tại (a), để tiện xem xét có thể coi là hàm chuyển vị trong ví dụ tiếp theo. Hàm cơ sở hay còn gọi hàm thử fi, i =1,2,..., N phải thoả mãn các điều kiện biên (b) S = Sp + Su, tức là điều kiện động lực học trên Sp, và điều kiện động học tại biên Su. Hàm xấp xỉ u~ liên tục đến bậc r-1, trong đó r – bậc đạo hàm cao nhất trong I. Thay u~ vào I, công thức (1.1), tích phân I trở thành hàm của các ẩn ai. Phiếm hàm I tương đương hàm tổng thế năng Π gặp trong những bài toán cơ học kết cấu Π = U – W, trong đó U – công biến dạng2, W – công ngoại lực3. Điều kiện cần để I đạt cực trị là: ni a uI i ,,2,10)( L==∂ ∂ (1.8) Xác định hàm I trong các bài toán cơ học kết cấu có thể tiến hành theo cách gán I bằng tổng năng lượng hệ thống Π = U – W. Công biến dạng vật thể làm từ vật liệu đàn hồi: ∫= V T dVU }{}{ 2 1 σε , (1.9) Công do ngoại lực tác động lên vật thể: ∫= S T dSupW }{}{ , (1.10) trong đó {ε}= [C]{σ} – vector biến dạng, {σ} = [D]{ε} – vector ứng suất, 1 Ritz W., “Über eine neue Methode zur Lösung gewissen Variations-Problem der mathematischen Physik”, J. Rein Angew. Math. (1909). 2 strain energy 3 external work due to applied loads 8 {p} – vector ngoại lực {u} – vecto chuyển vị. ∫∫ −=Π pS T V T dSupdV }{}{}{}{ 2 1 σε (1.11) Thay hàm Π của hàm u vào vị trí phiếm hàm I, xác định hàm u đảm bảo tổng thế năng đạt minimum. Từ phép biến phân xác định biểu thức δΠ: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=Π ∫∫ pS T V T dSupdV }{}{}{}{ 2 1 σεδδ (1.12) Giải bài toán cơ học vật rắn chúng ta nhận phương trình: { }∫∫ = pS T V T dSupdVD }{}]{[}{ δεεδ (1.13) Trong đó {p} – tải bên ngoài tác động lên biên Sp vật thể đang xem xét. Từ đây có thể viết: δU = δW hoặc δ(U –W) = 0. (1.14) Trường hợp bài toán ba chiều hàm chuyển vị có thể thể hiện: { } [ ]Tuu wv= ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ = = = ∑ ∑ ∑ i ii i ii i ii zyxc zyxb zyxau ),,(w ),,(v ),,( θ ψ ϕ (1.15) trong đó ai, bi, ci - các hệ số cần xác định, đóng vai trò tọa độ suy rộng, ϕi, ψi, θi – các hàm cơ sở hay còn gọi hàm thử. Hàm cơ sở thoả mãn các điều kiện biên tại S = Sp + Su. Biến phân hàm chuyển vị xác định như sau: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ = = = ∑ ∑ ∑ i ii i ii i ii zyxc zyxb zyxau ),,(w ),,(v ),,( θδδ ψδδ ϕδδ (1.16) Biết rằng ∫= V dVuU 02 1 , trong đó +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2222 0 21 z w yx u z w yx uu ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ vv + ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 222 2 1 z u x w yx w zxy u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ vv và: 9 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∂ ∂+∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= ∂ ∂=∂ ∂= w x u zx w z u u xx u zx x δδδδγ δδδε L có thể viết: dxdydz x u y w yz w x u z w zy u x U xyyzzxzyx∫∫∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= vvv δδτδδτδδτδσδσδσδ Thay giá trị δu, δv, δw từ biểu thức (1.16) vào phương trình xác định δU và δW tiếp tục xác định biến phân δΠ, nhận được công thức sau của phương pháp Ritz. ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ Π∂+∂ Π∂+∂ Π∂=Π i i i i i i i c c b b a a δδδδ , i=1,2,,n (1.17) Từ biểu thức (1.17), với δai, δbi, δci khác 0, có thể viết: ni cba iii ,...,2,10;0;0 ==∂ Π∂=∂ Π∂=∂ Π∂ (1.18) Từ đây đưa đến lập hệ phương trình đại số tuyến tính chứa các ẩn ai, bi, ci. Công biến dạng dầm Thế năng dầm bị tác động bởi các lực kéo, nén, cắt, momen uốn, momen xoắn: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++= ∫ ∫∫∫∫∫ GAdxFkGA dxF k AE dxN EI dxM EI dxM GI dxMU zy y z z z x y t T 222222 2 1 (1.19) trong đó MT - momen xoắn, My, Mz - momen uốn N – lực kéo, nén Fy, Fy – lực cắt Công biến dạng tấm chữ nhật axb, dày t. ( ) dxdy y w x w yx wwDU ∫∫ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−+∇= 2 2 2 222 22 )1(2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ν (1.20) trong đó )1(12 2 3 ν−= tE D Công biến dạng tấm tròn bán kính R, dày t ϕϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂νϕ rdrd w rr w rr ww rr w rr w rr wDU ∫∫ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= 2 2 22 222 2 2 22 2 111)1(211 2 Công biến dạng vật thể 3D: ∫= V dVuU 02 1 và { } { }∫= S T dSuFW . 10 trong đó { } { }∫= ε εσε 0 0 du T ( )zxzxyzyzxyxyxxyyxx γτγτγτεσεσεσ 22221 +++++= Thủ tục giải bài toán cơ học kết cấu bằng phương pháp Ritz 1. Xây dựng hàm hoặc hệ hàm fi cho biến u: ∑ = = N i ii fau 1 ~ 2. Xây dựng phiếm hàm I (ký hiệu tương đương Π) của u, ux, . . . 3. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính 0=∂ ∂≡∂ Π∂ ii a I a , i=1,2,,n và xác định ai. 4. Tìm nghiệm u. Phương pháp Ritz giải dầm Từ phương trình cân bằng dầm uốn, hình 1.3, có thể xây dựng quan hệ: Phương trình chính: p dx wdEJ dx d =2 2 2 2 Lực cắt: 2 2 dx wdEJ dx dV = Momen uốn: 2 2 dx wdEJM −= Góc xoay: dx dw−=θ Uốn dầm Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Ritz xác định độ võng dầm liên tục dài L, EI = const, tựa trên hai gối tại đầu nút, dưới tác động tải trọng phân bố đều q = const, hình 1.4. Tiến hành xử lý bài toán theo thủ tục đang nêu. Độ võng dầm: Hình 1.3 11 ∑∞ = = 1 )(~ n nn faxw trong đó fn (x) - hàm thử, an - hệ số cần xác định. Điều kiện biên: tại x =0: w(0) = 0; w’(0) ≠ 0. tại x = L: w(L) = 0; w’(L) ≠ 0. Để thoả mãn điều kiện biên hàm fn (x) có thể mang dạng: L xnxfn πsin)( = , n =1,2,... Độ võng tính theo công thức: L xnaxw n n πsin)(~ 1 ∑∞ = = Từ tính đối xứng của phương trình độ võng, chỉ cần giữ lại các hệ số có chỉ số lẻ 1, 3, 5... Hàm đúng giờ đây chỉ còn là: L xnaxw n n πsin)(~ ,...3,1 ∑ = = Phiếm hàm I cho dầm bị uốn đơn thuần, bằng tổng thế năng biến dạng và công ngoại lực tác động lên dầm:I ≡ Π = U – W. Thế năng dầm uốn: [ ]∫= L dxxwEJU 0 2)(" 2 1 dx L xn L naEJU L n n∫ ∑ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= ∞ =0 22 1 sin 2 1 ππ Công ngoại lực: ∫ ∫ ∑ = == L L n n dx L xnaqdxxwqW 0 0 ,...3,1 sin.)(~. π ∫ ∫ ∑∑ ∞ = ∞ = − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=≡Π L L n n n n dxL xnaqdx L xn L naEJI 0 0 ,...3,1 22 ,...3,1 sinsin 2 1 πππ Hệ số ai xác định sau khi lấy đạo hàm của I theo ai. ( ) { } ∫∫ ∑ =−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=− ∞ = LL n n dxL xnqdx L xn L k L xn L naEJ a WU 0 2 0 2 1 0sinsinsin πππππ∂ ∂ Trong khoảng không gian 0 - L họ hàm (sin n x L π ) có tính trực giao: dx L xn L xmL ππ∫ 0 sinsin = ⎩⎨ ⎧ 0 2/L nm nm ≠ = Hình 1.4 Dầm thẳng, tựa hai đầu, chịu tải q(x) = const 12 ( ) ,...3,102 2 4 ==−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=− k k LqaL L kEJ a WU k k π π ∂ ∂ Từ đó: 55 4 14 πkEJ qLak ×= Biểu thức độ võng dầm w(x): L xi iEJ qLxw i π π sin 14)(~ 1 55 4 ∑∞ = = i=1,3,5,... Tại vị trí giữa dầm x = L/2 giá trị của hàm xấp xỉ như sau: w(L/2) = EJ qL4 5 4 π ≈ 0,013071 qL 4 / EJ, khi sử dụng chỉ một hệ số a1. w(L/2) = EJ qL4 55 3 114 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π ≈ 0,0130172 qL 4 / EJ, nếu sử dụng a1 và a2. Lời giải “chính xác” theo phương pháp giải tích đưa ra kết quả: w(L/2) = EJ qL4 384 5 ≈ 0,0130208 qL4 /EJ. Moment uốn tính theo công thức: M(x) = EJ.w’’(x) Tại x = L/2 giá trị momen này được tính như sau: M(L/2) = - 2 sin14 1 33 4 π π i i qL i ∑∞ = , i=1,3,5,.... Ổn định dầm Ví dụ 2: Ổn định dầm dài L, độ cứng EI, chịu tác động lực nén N. Hàm chuyển vị được tìm dưới dạng: L xnaxw n n πsin)( 1 ∑∞ = = Với dầm chịu lực nén N, hàm W mang dạng: dxNwW L ∫= 0 2' 2 1 ∫ ∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∞ = L n n dxL Ln L naNW 0 2 1 cos 2 1 ππ Tổng thế năng của dầm: ∫ ∑∑ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=−=Π ∞ = ∞ = L n n n n dxL xn L naN L xn L naEIWU 0 2 1 2 1 2 cossin 2 1 ππππ Tiến hành đạo hàm Π theo ak, sẽ nhận được hệ phương trình: 13 { } ∫ ∑ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=Π ∞ = L n n L xk L k L xn L naEI a 0 2 1 2 sinsin 2 1 ππππ ∂ ∂ dx L xk L k L xn L naN n n ⎭⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ∑∞ = ππππ coscos 1 = 0. Nhờ tính trực giao của L xkπcos và L xkπsin , k =1,2, 3,...trong đoạn (0, L): =∫L dxLxkLxn0 coscos ππ 0 nếu k≠ n = 2 L nếu k = n; sẽ nhận được: 0 2 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=Π N L kEIa a kk π ∂ ∂ Với ak ≠ 0, biểu thức trong dấu ngoặc vuông phải bằng không, do vậy có thể viết: 2 22 L EIkN π= Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ nhất của N, khi vượt qua giá trị đó dầm chuyển sang giai đoạn mất ổn định. Trong công thức cuối có thể thấy, N đạt nhỏ nhất cho trường hợp k =1, biểu thức lực Euler có dạng: 2 2 L EIN E π= Xây dựng phương trình ma trận Sử dụng công thức biến phân tổng năng lượng như tổng cọng biến phân thế năng và công ngoại lực của bài toán uốn dầm có thể viết: Từ [ ]∫= L dxxwEJU 0 2)(" 2 1 xác định: ∫= L dxwEJwU 0 ".".δδ Từ ∫= L dxxwqW 0 )(. viết ∫= L wdxqW 0 .δδ 0.".". 00 =−=Π ∫∫ LL wdxqdxwEJw δδδ (1.21) Hàm chuyển vị w(x) theo cách làm ngày nay nên viết dưới dạng vecto như sau: Nuw = Các đại lượng liên quan {w} xác định theo cách sau: uNwuNw δδδδδθ ''";'' =−=−= trong đó N – hàm hình dáng theo cách gọi ngày nay, u – chuyển vị tại các nút tính toán. 14 0 0000 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−=Π ∫∫∫∫ LLLL pdxdxEJpdxdxEJ TTTTTTT N"uN"N"uN"uuN"N"u δδδδ (1.22) Ký hiệu: ∫= L dxEJ 0 N"N"K T và ∫= L pdx 0 TN"P , có thể viết phương trình cuối dạng: PKu = (1.23) Ví dụ 3: Xác định độ võng dầm, momen uốn và lực cắt dầm nêu tại hình 1.5. Hình 1.5 Dầm thẳng chịu tải phân bố tuyến tính Điều kiện biên: w(0) = 0; -θ(0) = w’(0) = 0 và w(L) = 0. Ký hiệu ξ = x/L trong các phép tính tiếp theo. Hàm hình dáng, bàn chi tiết tại mục “hàm nội suy”, tại đây chúng ta nhận như sau: [ ] ( ) ( )[ ]43232 2 ξξξξξ +−−=N Đạo hàm bậc hai của [N]: [ ] ( ) ( )[ ]22 12122621" ξξξ +−−= LN Thay hai biểu thức này vào công thức xác định các thành phần K và P : ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++−−+− −+−+−= ∫ 8,00 041441924847296364 729636436244][ 30 4332 322 3 L EJd L EJK L ξξξξξξξ ξξξξξ { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −+− +−= ∫ 60/1 30/133 2 00 5432 432 0 LpdLpP L ξξξξξ ξξξ Vector {u} xác định từ quan hệ: EJ Lp u u 40 2 1 48/1 120/1 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ Lời giải: ( ) ( ) ( )432404323240 5127 240 2 48 1 120 1)( ξξξξξξξξ +−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+−= EJ Lp EJ Lp xw ( )220 30367 120 ")( ξξ +−−=−= LpEJwxM ( )ξ158 30 ''')( 0 −=−= LpEJwxV 15 Kết quả vừa trình bày chưa đáp ứng điều kiện momen tĩnh tại gối trái phải triệt tiêu. Cần thiết hiệu chỉnh hàm thử, trong trường hợp này là hàm hình dáng. Có thể chọn hàm bậc cao hơn cho [N], ví dụ có thể chọn: [ ] ( ) ( ) ( )[ ]544332 ξξξξξξ −−−=N Các phép tính tiếp theo: [ ] ξ ξξξξξξξξξ ξξξξξξξξξ ξξξξξξξξ d L EJK ∫ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−+−+− +−+−+− +−+−+− = 1 0 654543432 54343232 432322 4 4004801442402647212011224 2402647214414436726012 1201122472601236244 { } ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − − − −= ∫ 105/1 60/1 30/1 1 0 54 43 32 1 0 0 LpdpP ξ ξξ ξξ ξξ ξ Hệ phương trình đại